О ВЕКТОРАХ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ГИПЕРРАСПРЕДЕЛЕНИЯХ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ EN Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

Г.В. К у з н е ц о в

(Тульский государственный педагогический университет

им. Л.Н. Толстого)

О ВЕКТОРАХ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ГИПЕРРАСПРЕДЕЛЕНИЯХ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Еп

Рассматривается дифференцируемое отображение между двумя областями евклидова пространства Еп. В первой области определяется гиперраспределение, связанный с ним репер второго порядка, а также принадлежащие ему вектора второго порядка. Свойства гиперраспределений изучаются в зависимости от свойств векторов второго порядка.

Пусть точка х е О с Еп, где О - область в п-мерном евклидовом пространстве Еп. Каждой точке х поставим в соответствие точку у = /(х) е О, где О - также область в Еп. Присоединим к точке х множество всех аффинных реперов (х, е;), 1 =

___ * *

1,...,п, с началом в этой точке. Положим а1 = / х(е;), где/ х - касательное линейное отображение к отображению /в точке х. Так как/ х - невырожденное отображение, то векторы независимы и образуют репер с началом в точке у. Уравнения перемещения реперов (х, е;) и (у, а;) запишем в виде:

^ = ю 1 е1 , = е^

ду = ш 1 а1 , = ш J1 aj. (1)

1-формы, входящие в эти уравнения, удовлетворяют уравнениям структуры евклидова пространства:

Бю1 = ю л ю1,, БЮ1, = юк л ю;к, Бш1 = Ш л Ш1,, БШ1, = шк л ш;к . (2) Обозначим через = (е1 ej) и g 1j = (а1 aj) - метрические тензоры в точках х и у соответственно. В силу согласованного выбора реперов в точках х и у 1-формы ю1 и ш1, определяющие перемещение этих точек, связаны равенствами:

ш1 = ю1 (3)

Дифференцируя (3) внешним образом и применяя лемму Картана, получим:

Ш1, - Ю1, = И1^ юк , (4)

где И1^ = И1к|- симметричный тензор деформации евклидовой связности при точечном соответствии /.

Присоединим к точке х репер так, чтобы вектор еп принадлежал прямой (ху), а вектора еа (а = 1,.. ,,п-1) были ему ортогональны. Тем самым в каждой точке х е О будет определена гиперплоскость Дп- (х), ортогональная прямой (ху), а в области О будет задано гиперраспределение Дп-1.

Множество путей, ортогональных полю еп, назовем неголономным многообразием [1], которое в рассматриваемом случае будет гиперраспределением Дп- .

Дифференциальные уравнения гиперраспределения А""1 имеют вид:

®"а = ЛаЬ ЮЬ + Ла ю" . (5)

Тогда из уравнений (1) имеем: dea = юьа eb + ю"а en. Или, по аналогии с [2],

dea - юЬаеь = ю"аеп = ЛаЬ юь en + Ла ю" en = еаь юь + еап ю", где eab = ЛаЬ en и ean = Лaen, причем eab Ф eba.

Для всякой кривой, принадлежащей гиперраспределению An-1, вектора dx и d2x определяют соприкасающуюся плоскость, которая задается векторами ea и eab. Положим y = x + pen. Дифференцируя последнее равенство, найдем:

aa = (8ba - pЛba)eb + pa en , an = - рЛ^а + (1+ pn)en , (6)

Л а „ас л л a ab л j а , n

b = g Лсь, л = g Ль, dp = раЮ + РпЮ . Из равенств (1), имеем: daa = ш ba ab + ш"а an. С учетом того, что при отображении f гиперраспределению An-1 соответствует гиперраспределение An-1, заданное в области Q. Дифференциальные уравнения гиперраспределения An-1 имеют, с учетом (3), вид: ш"а = Л аЬюЬ + Л а ю". Тогда

_ daa - ш ba ab = ш"а an = (Л aban^b + (Л aan)юn = aab ЮЬ + aan ю",

где aab = л ab an и aan = л a an, причем aab Ф aba. _

Из (4) получаем ш "а = ю "а + И"аЬюЬ + hnanюn или Л аЬ = Л ab + hnab, то вполне интегрируемому гиперраспределению А"-1 соответствует в отображении f также вполне интегрируемое гиперраспределение An-1. Для вполне интегрируемых гиперраспределений eab = eba и aab = aba. Тем самым, понятия вполне интегрируемого и не вполне интегрируемого гиперраспределений, можно трактовать как голо-номное и неголономное гладкие многообразия, рассматриваемые в [3, 4].

Рассмотрим единичное векторное поле en, ортогональное гиперраспределению A"-1. Ввиду того, что ю"п = 0, то по аналогии, как было сделано выше, запишем:

den = (- ga4c ea) юс + (- ga4ea) ю" = ene юс + enn ю", где векторы ene и enn принадлежат касательному пространству второго порядка T2 к интегральной линии векторного поля en и ene = - gat^be ea = - Лас ea, enn = - gabЛb ea

= - Ла ea .

Векторы e¡j образуют вместе с e¡ репер второго порядка, связанный с точкой х области Q. Поэтому векторы e¡j назовем векторами второго порядка.

Рассмотрим скалярные произведения

ena' eb Лba, enn*ea Ла . (7)

С учетом (7) дифференциальные уравнения гиперраспределения A"-1 примут вид:

ю "а = - (enb ea) юЬ - (enn ea) ю". (8)

Как видно из (8), дифференциальные уравнения гиперраспределения A"-1 выражаются через скалярные произведения векторов, принадлежащих касательным пространствам 1-го T1 и 2-го порядка T2. Исходя из этого, найдем условия ортогональности векторов, принадлежащих T2 и T1. Из (7) получаем: enaeb = 0, а это будет тогда и только тогда, когда ЛЬа = 0.

48

Г.В. Кузнецов

Равенство нулю основного тензора гиперраспределения возможно тогда и только тогда, когда оно является одновременно вполне интегрируемым и плоским [5], т. е. будет представлять собой 1-параметрическое семейство гиперплоскостей.

Теорема 1. Вектора ena и eb ортогональны тогда и только тогда, когда гиперраспределение Л"'1 является одновременно плоским и вполне интегрируемым.

Из второго равенства (7) видим, что ennea = 0 тогда и только тогда, когда Ла = 0. Для раскрытия геометрической характеристики последнего равенства, возьмем в качестве интегральных линий векторного поля en - прямые. Интегральные линии векторного поля en будут прямыми тогда и только тогда, когда den = 0 (mod юа = 0), т. е. den = - gat^b ®n ea (mod юа = 0).

Ввиду невырожденности тензора g1J получаем, что интегральные линии en являются прямыми тогда и только тогда, когда Ль = 0.

Теорема 2. Вектора enn и ea ортогональны тогда и только тогда, когда интегральные линии векторного поля en являются прямыми.

Как видно из (7), гиперраспределение Лп-1 является :

1) вполне интегрируемым тогда и только тогда, когда enaeb = enbea;

2) плоским тогда и только тогда, когда enaeb = - enbea;

3) сферическим тогда и только тогда, когда enaeb = ^gab, где ^ е R.

Для сферического гиперраспределения интегральные линии векторного поля являются прямыми.

Теорема 3. Для сферического гиперраспределения вектора enn и ea ортогональны.

Выразим вектора aab и aan, принадлежащие T2, где T2 - касательное пространство 2-го порядка к Q. Так как Л ab = Л^ + hnab, то после умножения этих равенств на вектор an, получим:

aab = - (рЛ^ь + рЛ^ьК + (1 + pn)hab + (1 + pn)eab,

где hab = hnaben. Аналогично найдем

a an = - p^b + h^V + (1 + Pn)ha + (1 + Pn)ean, где ha = hnanen. Тем самым касательное пространство второго порядка в точке y е Q, определяется через касательное пространство второго порядка в точке x е Q. Можно записать, что T = f x(T ), где f x- касательное линейное отображение к отображению f x в точке х. Вектора aab и aan образуют вместе с aa репер второго порядка. В случае, когда гиперраспределение Лп-1 является одновременно плоским и вполне интегрируемым, то вектора aab будут зависеть только от векторов, принадлежащих касательному к Q пространству 1-го порядка T1.

Библиографический список

1. Аминов Ю.А. Геометрия векторного поля. М.: Наука, 1990. 208 с.

2. Акивис М.А. Многомерная дифференциальная геометрия. Калинин, 1977. 83 с.

3. Шевченко Ю.И. Примеры неголономных гладких многообразий // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1998. Вып. 29. С. 91-101.

4. Шевченко Ю.И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий. Калининград, 1998. 82 с.

5. Акивис М.А. О плоских гиперраспределениях в Pn // Мат. заметки. 1984. Т.36. Вып. 2. С. 213 - 222.

G.V. K u z n e t s o v

ABOUT VECTORS OF THE SECOND ORDER AND HYPERDISTRIBUTION

IN A EUCLIDEAN SPACE En

In the given work the differentiable mapping between two areas of Euclidean space En is considered. In the first area is defined hyperdistribution, the frame of the second order, and also inhering to it of a vector of the second order is set. The properties hyperdistributions are considered in an association from properties of vectors of the second order.

УДК 514.75

И.А. К у з я к и н а (Калининградский государственный университет ) ГИПЕРПОВЕРХНОСТЬ Уп ПРОСТРАНСТВА Кп+1

Рассматривается гиперповерхность Уп (п+1)-мерного проективного пространства с вырожденным абсолютом - пространства Кп+1. В репере 1-го порядка дано задание гиперповерхности Уп . Доказана теорема существования гиперповерхности Уп^Кп+1. Построены поля прямых, внутренним образом присоединенные к гиперповерхности Уп в дифференциальных окрестностях 3-го и 4-го порядков. К гиперповерхности Уп присоединены инвариантные точечный {М;}и тангенциальный (ак) реперы, двойственные друг другу.

Пространством п+1 измерений с проективной метрикой, или пространством Кп+Ь называется такое пространство, образом точки которого является точка проективного пространства Рп+1, а фундаментальной группой - подгруппа проективных преобразований, сохраняющих некоторый поляритет. Этот поляритет называется абсолютным поляритетом пространства Кп+1. Аналогичные вопросы для трехмерного пространства рассмотрены Р.Г. Бухаревым [1] и И.Н. Мигале-вой [2]. Известно [3], что число параметров группы движений пространства Кп+1

_ (п + 1)(п + 2) (5 + 1)(5 + 2) равно й =----I----, где 5 - дефект поляритета.

Придерживаемся следующей схемы использования индексов: !,К,Ь = 0,п + 1; 1,К,Ь = 1,п + 1; ¿к = 1,п-1; а,Ь,с = 1п.