CC BY
4
Поверхность (К) тогда и только тогда вырождается в линию, когда векторы K и K2 коллинеарны, т. е. когда выполняется условие (11).
Библиографический список
1. Хляпова Е.А. О парах конгруэнций фигур, порождённых центральной коникой и точкой // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1975. Вып.6. С.212-221.
E. A. S c h e г b a k
ON CONGRUENCES OF EQUIPPED CONICS IN A 3 BELONGING TO A QUADRIC
Congruences P of equipped conics F = {F1 , F2 } are considered in a three-dimensional affine space, provided that a point F2 describes a quadric Q, to which all conics F1 of the congruence {F1 } belong. Necessary and sufficient conditions are proved that the coordinate plane {A, e1 , ek } (k = 2, 3) is a tangent plane to a surface A of centers of a conic F1 . Subclass P1 of congruences P is isolated possesing interesting geometric properties.
УДК 514.75
АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ НА МНОГООБРАЗИИ ЦЕНТРАЛЬНЫХ
ГИПЕРКВАДРИК Е.П. Ю р о в а
(Калининградский государственный университет)
В ^мерном аффинном пространстве Ап рассматривается (n-1)-мерное многообразие Vn_l центральных невырожденных гиперквадрик. Введены и геометрически охарактеризованы четыре аффинные связности на Изучаются определяемые этими связностями поля векторов и ковекторов на гиперповерхности С центров гиперквадрик Q е Уп-1.
Данная статья является продолжением работ [1]-[3]; при этом используются обозначения и результаты последних. Индексы принимают следующие значения:
а,... = 1, п I= 1, п - 1 .
Если начало А репера R={A, ег} помещено в центр гиперквадрики Q е Уп-1, а векторы ег лежат на гиперплоскости TQ, касательной к гиперповерх-
ности С центров гиперквадрик в точке А, то уравнение гиперквадрики Q и система уравнений Пфаффа многообразия имеют соответственно вид
аарха*Р = 1; (1)
Vасф = Ъар1ю1, ^ = 0, (2)
а В
где ( (В - компоненты деривационных формул репера, удовлетворяющие уравнениям структуры аффинного пространства. Продолжив систему (2), полу-
чим
VЪаВ i = Ъав(, ( = С( (3)
При этом выполняется: Ъ[аВМ = 0 Ъ[аВМ] = 0 ] = 0
Проведем частичную канонизацию репера R, направив вектор еи по сопряженному к гиперплоскости TQ относительно гиперквадрики Q направлению. Тогда ап= 0, а„„ Ф 0, а из (2) вытекает
( = Л>р, (4)
где
Л* = -аа*^ - ак1К . (5)
р пп гр гпр V '
Таким образом, многообразие ^^ гиперквадрик Q определяет нормализацию
гиперповерхности С: нормаль VQ в точке А проходит в направлении вектора .
Уравнения (4) являются дифференциальными уравнениями поля нормали VQ. Определяемую нормализацией аффинную связность на гиперповерхности С [4, а 242] обозначим К. Для тензора а4, взаимного к а^, имеем:
VaiJ = -ана]*Ъщ (.
Из (3) получаем
Vall = Ъик(к, VЪllk = Б11кр(р, (6)
где
В7 = + Ъ.7 .
икР п(Ак\ I) р укр
Уравнения (6) определяют ^-^-мерное многообразие квадратичных элементов g=QoТQ, задающих на гиперповерхности С инвариантную
метрику й$2=ау( (К
Наряду с соответствующей метрике g объектом связности Леви-Чивита Г:
1 0
Г,' = - ак (Ьф+ Ь„- Ъч,), V = 0 (7)
рассмотрим охватываемый фундаментальным объектом 1-го порядка Г = {аар, Ьар1} многообразия Vn-l геометрический объект
г)к = а%, Уу)к = у)к1 с1. (8)
Предложение 1. Объект |у,к| определяет на поверхности С аффинную связность.
Доказательство. Действительно, для форм Пфаффа
~1 = со1, ~ / = со / + у\к сок (9)
имеем:
й~1 = ~1 л ~ 1 + - Б* ~ р л ~ Ч.
г 2 рч
й~ = ~ \ л ~ 1 + - Я1. ~ р л ~ Ч,
10)
2
где -БРч = -у[РЧ], -К® = -г'лРЧ] -/лрГ'\М] + слрЛч(11)
Таким образом, формы ~1, ~1 , удовлетворяют уравнениям структуры пространства аффинной связности (10).
Обозначим введенную связность буквой у.
Замечание. Одного многообразия квадратичных элементов не достаточно для задания связности у, т. к. из (11) и (4) вытекает, что характеристики связности у зависят также от поля нормалей У^ которое определяется многообразием гиперквадрик Q. Пусть П д: Ап ^ Т - оператор проектирования вдоль нормали
Уд на гиперплоскости TQ. Рассмотрим наряду с гиперквадрикой Q (1) любую ги-* -_^ *
перквадрику Q еУп-1, которая порождает квадратичный элемент П Q(q ) с TQ, где
д* = Q*n TQ*. В [1] определено и геометрически охарактеризовано преобразование L пространства гиперквадрик в Ап. Рассматривая ^ как пространство Ап-1, а
___ *
квадратичные элементы q и П^) как гиперквадрики в нем, получаем геометрическую характеристику преобразования ^ пространства квадратичных элементов в которое элементу хп = 0, а^х'х-1 + 2а*х* — 1 = 0 ставит в соответствие элемент хп = 0, а^х1 X — 1 = 0. Любая пара невырожденных центральных квадратичных элементов q, q' е TQ порождает в TQ аффинор
= q ° где q' : и q : l - поляритеты относительно элементов Ь (д') и q соответственно, р, р1 - точки, а 1-(п-2) - плоскость в Т^ Будем
рассматривать как линейное преобразование пространства векторов, каса-
тельных к поверхности С в точке А. Так как элементы q, q' определяются парой гиперквадрик Q, Q построенный аффинор будем также обозначать Q, Q*
Определенное на С биективное отображение М е С ^ Q е Уп-1, где М -центр гиперквадрики Q, задает многообразие Уп-1.
Предложение 2. Связность у определяется аффинорами а а именно: если В=А+dA и Y - результат параллельного перенесения вектора х из А в В в связности у, то Y= а ^(х), где Q = ^(Л), Q = ^(Б).
Доказательство. Учитывая, что многообразие Уп-1 параметризовано точками
__>¡4 >¡4 >¡4 _ >¡4
гиперповерхности С, для координат элемента Ьт ° П^ ), где q =Q О TQ , имеем
= а) + Ьчк®к + (2> ___ *
Отсюда для д ° где q' = ПQ(q ), получаем
У = а' а + Ь^к + (2))Х ,
т. е. У' = (3) +у)кФк + (2) . Преобразование, обратное к последнему имеет вид
У' = (3) -у)кФк +(2»^,
что совпадает с результатом перенесения вектора х={Х} в точку А+dА+(2) в связности у.
В общем случае связность у не симметрична. Она определяет единственную связность без кручения
о к 1 ^ у ) =^2У ())'
о
имеющую с у общие геодезические; обозначим ее символом у. Объектом (12) определяется струя ~ф А второго порядка с началом и концом в точке А:
1 о''
У' = X + - у ]кХхк + (э), Xй = 0. (13)
Из (7) и (8) вытекает
0 к 1
Гк =у.-1 акгЬ и ' ч 2 1
уг-
(14)
Введем системы величин
о 1
г* = Гк, у ,=у к, Т = - акгЬ1^:
УГ^Уу^УТ^ 0.
(15)
Из (7), (8) и (15) получаем
Г* = 2у- 2Г*, у
(А + ^),
(16)
где /3* = арЧЬрф - объект, определяющий нормаль 2-го рода /3 гиперповерхности
С, которая геометрически охарактеризована в [1] и [2]. Геометрическая интерпретация объекта Г,- хорошо известна [4, с.159]. Из (16) имеем: //¡=2 Г,-. Для объекта у справедливо
Предложение 3. Определяемая объектом у нормаль 2-го рода гиперповерхности С
ух = п, х = 0, (17)
построенная для точки А, характеризуется тем, что она является прообразом несобственной гиперплоскости при локальной коллинеации Чеха [5] отображений
Р ерл.
Предложение 4. Для определяемой ковектором Т,- формы Пфаффа 0 = Т,- - о1 выполняется:
б|л = & /п(/ -\а \-1), (18)
где J - якобиан отображения рерл, а = det[aij].
Доказательство. Равенство (18) вытекает из формул (11) [4, с.159] и (5, 7) [6, с.91].
Из (14), (16) получаем:
Т=Т,- (19)
где т* = Г{рдарЧа1. Из (16) вытекает: т* = 3у* - 3ч * и, таким образом, интерпретация ковектора т1 сводится к характеристикам у и Г,-.
Поднимая индексы у введенных ковекторов с помощью тензора а4, получим определяемые многообразием Vn.1 следующие векторные поля на гиперповерхности С: Г-, у-, Т-, т\ причем как вытекает из приведенных выше соотношений в каждой точке все вектора лежат в двумерном подпространстве, натянутом на векторы Г-.
Библиографический список
к
о
о
о
1. Сопина Е.П. Об инвариантных образах, ассоциированных с конгрэнцией центральных невырожденных гиперквадрик // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1986. Вып. 17. С. 83-86.
2. Юрова Е.П. Нормали второго рода гиперповерхности многообразия гиперквадрик // Там же, 1993. Вып. 24. С. 131-133.
3. Юрова Е.П. Векторные поля на гиперповерхности центров многообразия гиперквадрик // Там же, 1995. Вып. 26. С. 130-133.
4. Норден А.П. Пространства аффинной связности М.: Наука, 1976.
5. Чех Э. Проективная дифференциальная геометрия соответствий между двумя пространствами // Чехословац. мат. журн. 1952. V.2. №1. Р. 91-107.
6. Рыжков В.В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами // Геометрия, 1963. Итоги науки / ВИНИТИ. М., 1965. С. 65-107.
E. P. J u г o v a
AFFINE CONNECTIONS ON THE MANIFOLD OF CENTRAL HYPERQUADRICS
The (n-1)-dimensional manifold Vn-1 of central nondegenerated hyperquadrics is considered in the n-dimensional affine space An . Four affine connections on V n-1 are introduced and their geometric interpretation is given . Fields of vectors and covectors on the hypersurface C of centers of hyperquadrics Q e V n-1 which are defined by these connections are also studied in the article.
