Научная статья на тему 'АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ НА МНОГООБРАЗИИ ЦЕНТРАЛЬНЫХ ГИПЕРКВАДРИК'

АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ НА МНОГООБРАЗИИ ЦЕНТРАЛЬНЫХ ГИПЕРКВАДРИК Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
22
6
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Юрова Е. П.

В n-мерном аффинном пространстве Аn рассматривается (n-1)-мерное многообразие Vn-1 центральных невырожденных гиперквадрик. Введены и геометрически охарактеризованы четыре аффинные связности на Vn-1. Изучаются определяемые этими связностями поля векторов и ковекторов на гиперповерхности С центров гиперквадрик Q ∈ Vn-1. Данная статья является продолжением работ [1]-[3]; при этом используются обозначения и результаты последних.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

AFFINE CONNECTIONS ON THE MANIFOLD OF CENTRAL HYPERQUADRICS

The (n-1)-dimensional manifold Vn-1 of central nondegenerated hyperquadrics is considered in the n-dimensional affine space An. Four affine connections on Vn-1 are introduced and their geometric interpretation is given. Fields of vectors and covectors on the hypersurface C of centers of hyperquadrics Q ∈ Vn-1 which are defined by these connections are also studied in the article.

Текст научной работы на тему «АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ НА МНОГООБРАЗИИ ЦЕНТРАЛЬНЫХ ГИПЕРКВАДРИК»

Поверхность (К) тогда и только тогда вырождается в линию, когда векторы K и K2 коллинеарны, т. е. когда выполняется условие (11).

Библиографический список

1. Хляпова Е.А. О парах конгруэнций фигур, порождённых центральной коникой и точкой // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1975. Вып.6. С.212-221.

E. A. S c h e г b a k

ON CONGRUENCES OF EQUIPPED CONICS IN A 3 BELONGING TO A QUADRIC

Congruences P of equipped conics F = {F1 , F2 } are considered in a three-dimensional affine space, provided that a point F2 describes a quadric Q, to which all conics F1 of the congruence {F1 } belong. Necessary and sufficient conditions are proved that the coordinate plane {A, e1 , ek } (k = 2, 3) is a tangent plane to a surface A of centers of a conic F1 . Subclass P1 of congruences P is isolated possesing interesting geometric properties.

УДК 514.75

АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ НА МНОГООБРАЗИИ ЦЕНТРАЛЬНЫХ

ГИПЕРКВАДРИК Е.П. Ю р о в а

(Калининградский государственный университет)

В ^мерном аффинном пространстве Ап рассматривается (n-1)-мерное многообразие Vn_l центральных невырожденных гиперквадрик. Введены и геометрически охарактеризованы четыре аффинные связности на Изучаются определяемые этими связностями поля векторов и ковекторов на гиперповерхности С центров гиперквадрик Q е Уп-1.

Данная статья является продолжением работ [1]-[3]; при этом используются обозначения и результаты последних. Индексы принимают следующие значения:

а,... = 1, п I= 1, п - 1 .

Если начало А репера R={A, ег} помещено в центр гиперквадрики Q е Уп-1, а векторы ег лежат на гиперплоскости TQ, касательной к гиперповерх-

ности С центров гиперквадрик в точке А, то уравнение гиперквадрики Q и система уравнений Пфаффа многообразия имеют соответственно вид

аарха*Р = 1; (1)

Vасф = Ъар1ю1, ^ = 0, (2)

а В

где ( (В - компоненты деривационных формул репера, удовлетворяющие уравнениям структуры аффинного пространства. Продолжив систему (2), полу-

чим

VЪаВ i = Ъав(, ( = С( (3)

При этом выполняется: Ъ[аВМ = 0 Ъ[аВМ] = 0 ] = 0

Проведем частичную канонизацию репера R, направив вектор еи по сопряженному к гиперплоскости TQ относительно гиперквадрики Q направлению. Тогда ап= 0, а„„ Ф 0, а из (2) вытекает

( = Л>р, (4)

где

Л* = -аа*^ - ак1К . (5)

р пп гр гпр V '

Таким образом, многообразие ^^ гиперквадрик Q определяет нормализацию

гиперповерхности С: нормаль VQ в точке А проходит в направлении вектора .

Уравнения (4) являются дифференциальными уравнениями поля нормали VQ. Определяемую нормализацией аффинную связность на гиперповерхности С [4, а 242] обозначим К. Для тензора а4, взаимного к а^, имеем:

VaiJ = -ана]*Ъщ (.

Из (3) получаем

Vall = Ъик(к, VЪllk = Б11кр(р, (6)

где

В7 = + Ъ.7 .

икР п(Ак\ I) р укр

Уравнения (6) определяют ^-^-мерное многообразие квадратичных элементов g=QoТQ, задающих на гиперповерхности С инвариантную

метрику й$2=ау( (К

Наряду с соответствующей метрике g объектом связности Леви-Чивита Г:

1 0

Г,' = - ак (Ьф+ Ь„- Ъч,), V = 0 (7)

рассмотрим охватываемый фундаментальным объектом 1-го порядка Г = {аар, Ьар1} многообразия Vn-l геометрический объект

г)к = а%, Уу)к = у)к1 с1. (8)

Предложение 1. Объект |у,к| определяет на поверхности С аффинную связность.

Доказательство. Действительно, для форм Пфаффа

~1 = со1, ~ / = со / + у\к сок (9)

имеем:

й~1 = ~1 л ~ 1 + - Б* ~ р л ~ Ч.

г 2 рч

й~ = ~ \ л ~ 1 + - Я1. ~ р л ~ Ч,

10)

2

где -БРч = -у[РЧ], -К® = -г'лРЧ] -/лрГ'\М] + слрЛч(11)

Таким образом, формы ~1, ~1 , удовлетворяют уравнениям структуры пространства аффинной связности (10).

Обозначим введенную связность буквой у.

Замечание. Одного многообразия квадратичных элементов не достаточно для задания связности у, т. к. из (11) и (4) вытекает, что характеристики связности у зависят также от поля нормалей У^ которое определяется многообразием гиперквадрик Q. Пусть П д: Ап ^ Т - оператор проектирования вдоль нормали

Уд на гиперплоскости TQ. Рассмотрим наряду с гиперквадрикой Q (1) любую ги-* -_^ *

перквадрику Q еУп-1, которая порождает квадратичный элемент П Q(q ) с TQ, где

д* = Q*n TQ*. В [1] определено и геометрически охарактеризовано преобразование L пространства гиперквадрик в Ап. Рассматривая ^ как пространство Ап-1, а

___ *

квадратичные элементы q и П^) как гиперквадрики в нем, получаем геометрическую характеристику преобразования ^ пространства квадратичных элементов в которое элементу хп = 0, а^х'х-1 + 2а*х* — 1 = 0 ставит в соответствие элемент хп = 0, а^х1 X — 1 = 0. Любая пара невырожденных центральных квадратичных элементов q, q' е TQ порождает в TQ аффинор

= q ° где q' : и q : l - поляритеты относительно элементов Ь (д') и q соответственно, р, р1 - точки, а 1-(п-2) - плоскость в Т^ Будем

рассматривать как линейное преобразование пространства векторов, каса-

тельных к поверхности С в точке А. Так как элементы q, q' определяются парой гиперквадрик Q, Q построенный аффинор будем также обозначать Q, Q*

Определенное на С биективное отображение М е С ^ Q е Уп-1, где М -центр гиперквадрики Q, задает многообразие Уп-1.

Предложение 2. Связность у определяется аффинорами а а именно: если В=А+dA и Y - результат параллельного перенесения вектора х из А в В в связности у, то Y= а ^(х), где Q = ^(Л), Q = ^(Б).

Доказательство. Учитывая, что многообразие Уп-1 параметризовано точками

__>¡4 >¡4 >¡4 _ >¡4

гиперповерхности С, для координат элемента Ьт ° П^ ), где q =Q О TQ , имеем

= а) + Ьчк®к + (2> ___ *

Отсюда для д ° где q' = ПQ(q ), получаем

У = а' а + Ь^к + (2))Х ,

т. е. У' = (3) +у)кФк + (2) . Преобразование, обратное к последнему имеет вид

У' = (3) -у)кФк +(2»^,

что совпадает с результатом перенесения вектора х={Х} в точку А+dА+(2) в связности у.

В общем случае связность у не симметрична. Она определяет единственную связность без кручения

о к 1 ^ у ) =^2У ())'

о

имеющую с у общие геодезические; обозначим ее символом у. Объектом (12) определяется струя ~ф А второго порядка с началом и концом в точке А:

1 о''

У' = X + - у ]кХхк + (э), Xй = 0. (13)

Из (7) и (8) вытекает

0 к 1

Гк =у.-1 акгЬ и ' ч 2 1

уг-

(14)

Введем системы величин

о 1

г* = Гк, у ,=у к, Т = - акгЬ1^:

УГ^Уу^УТ^ 0.

(15)

Из (7), (8) и (15) получаем

Г* = 2у- 2Г*, у

(А + ^),

(16)

где /3* = арЧЬрф - объект, определяющий нормаль 2-го рода /3 гиперповерхности

С, которая геометрически охарактеризована в [1] и [2]. Геометрическая интерпретация объекта Г,- хорошо известна [4, с.159]. Из (16) имеем: //¡=2 Г,-. Для объекта у справедливо

Предложение 3. Определяемая объектом у нормаль 2-го рода гиперповерхности С

ух = п, х = 0, (17)

построенная для точки А, характеризуется тем, что она является прообразом несобственной гиперплоскости при локальной коллинеации Чеха [5] отображений

Р ерл.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Предложение 4. Для определяемой ковектором Т,- формы Пфаффа 0 = Т,- - о1 выполняется:

б|л = & /п(/ -\а \-1), (18)

где J - якобиан отображения рерл, а = det[aij].

Доказательство. Равенство (18) вытекает из формул (11) [4, с.159] и (5, 7) [6, с.91].

Из (14), (16) получаем:

Т=Т,- (19)

где т* = Г{рдарЧа1. Из (16) вытекает: т* = 3у* - 3ч * и, таким образом, интерпретация ковектора т1 сводится к характеристикам у и Г,-.

Поднимая индексы у введенных ковекторов с помощью тензора а4, получим определяемые многообразием Vn.1 следующие векторные поля на гиперповерхности С: Г-, у-, Т-, т\ причем как вытекает из приведенных выше соотношений в каждой точке все вектора лежат в двумерном подпространстве, натянутом на векторы Г-.

Библиографический список

к

о

о

о

1. Сопина Е.П. Об инвариантных образах, ассоциированных с конгрэнцией центральных невырожденных гиперквадрик // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1986. Вып. 17. С. 83-86.

2. Юрова Е.П. Нормали второго рода гиперповерхности многообразия гиперквадрик // Там же, 1993. Вып. 24. С. 131-133.

3. Юрова Е.П. Векторные поля на гиперповерхности центров многообразия гиперквадрик // Там же, 1995. Вып. 26. С. 130-133.

4. Норден А.П. Пространства аффинной связности М.: Наука, 1976.

5. Чех Э. Проективная дифференциальная геометрия соответствий между двумя пространствами // Чехословац. мат. журн. 1952. V.2. №1. Р. 91-107.

6. Рыжков В.В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами // Геометрия, 1963. Итоги науки / ВИНИТИ. М., 1965. С. 65-107.

E. P. J u г o v a

AFFINE CONNECTIONS ON THE MANIFOLD OF CENTRAL HYPERQUADRICS

The (n-1)-dimensional manifold Vn-1 of central nondegenerated hyperquadrics is considered in the n-dimensional affine space An . Four affine connections on V n-1 are introduced and their geometric interpretation is given . Fields of vectors and covectors on the hypersurface C of centers of hyperquadrics Q e V n-1 which are defined by these connections are also studied in the article.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.