CC BY
5
3. Малаховский В. С. Конгруэнции линейчатых квадрик в трехмерном проективном пространстве // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1977. Вып. 8. С.32-42.
4. Фиников С.П. Теория конгруэнций. М.: ГИТТЛ, 1950. 528с.
V. S. M a l a k h o v s k y
ON ONE CLASS OF CONGRUENCES OF OSCULATING QUADRICS DARBOUX OF A NONRULED SURFACE
A congruence (Qm) of osculating quadrics Darboux of a smooth nonruled surface S is investigated in a three-dimensional projective space, whose associated quadrics are nondegenerated cones, containing the first directrix Wilczynsci. It is proved that points of intersection of a quadric Qm^(Qm) with the first directrix Wilczynsci of the surface S are focal points of the quadric Qm, where the surface S is a double focal surface of the congruence (Qm). A subclass of the congruences (Qm) is investigated in detail, defined by a totally integrable system of Pfaffian equations. Quadrics of this subclass envelop a surface of a new type, possessing interesting geometric properties.
УДК 514.75
ОБ п-ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СЕМЕЙСТВАХ АФФИННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Н. В. М а л а х о в с к и й
(Калининградский государственный университет)
Изучается п-параметрическое семейство Нп аффинных отображений И: Ап^ап п-мерных аффинных пространств. Построены поля фундаментальных геометрических объектов первого и второго порядков. Исследованы их подобъ-екты и охваты. Рассмотрены фокальные многообразия семейства Нп. В случае центроаффинного пространства Ап определена индуцированная семейством Нп инвариантная метрика в Ап, а в пространстве ап - аффинная связность.
§1. Фундаментальные объекты семейства аффинных отображений
Рассмотрим два п-мерных аффинных пространства Ап, ап и множество Н всевозможных аффинных отображений И: Ап^ап. Отнесем пространства Ап и ап к реперам {А;Ё:}, {а;е;} ( у,к,1,1,К=1,п). Деривационные формулы этих реперов и структурные уравнения пространств Ап и ап запишутся в виде [1]:
dA = Q;Ё;, dE; = Q;KEK, dQ1 = QK л Q;K, dQ;K = QJ л QK;
da = ю 1ei, de1 = юk ek
k~ dro1 = юk люI, drok = юj люk
,k,--1 w^Wj
Пусть M(XJ) и m(x1) две соответственные точки при аффинном отображении h. Тогда аффинное отображение h задается формулами
x1 = Mjx1 + p1 (1)
det (Mj) Ф 0. Обозначим: f1 = MjX + p1 - x1. Используя формулы
dX1 = -XKQK - Q;, dx1 = -xkю
ю , находим:
df1 = - fk ю k + vm;x; + Ap1
1vI
(2)
где УМ} = dM} - МКПК + Мкюк, Ар1 = dpi + ркюк - м;П1 + ю1. Следовательно, формы Пфаффа УМ}, Ар1 являются структурными формами отображения И. Обозначим:
01=Ар1. (3)
В общем случае, формы Пфаффа 01 линейно независимы: 01л02л...л011^0 и их можно принять за базисные формы п-параметрического семейства Нп аффинных преобразований И. Система пфаффовых уравнений семейства Нп запишется в виде:
(4)
1 nk
vm; = aik 9
Имеем:
D91 =9k л (ю k -AIkQ1),
d(VMj) = 9k л (AjIkю 1j - ^1KkQK). Продолжая систему (4), находим:
где
AAIk = AIkj9 J, = AIjb
A^\k = d^\k - A,^ Q K - j k + j ю j + jKk QK ■
K
(5)
(6)
(7)
Системы величин {м},рк}, {м},рк,А/щ}, {м},рк,А/щ,А/щ} образуют фундаментальные объекты семейства Нп соответственно нулевого, первого и второго порядков [2]. Из (4) следует, что система величин {м}} является тензором.
Система величин
M
K
, определяемая соотношениями MKMK =5j,
M;k MK = 5K, также является тензором:
dM
* *
K mKmL A jLk 91
mL q K + mk ю1.
(8)
Обозначим:
*
* *
Р1 = М| р1. (9)
Имеем:
* / * * * N
ёР1
мк - м^м^р1 а0к - рк ок - м1 ю1+ о!. (10)
v )
\к „К г-ч! л Л, 1 , г-ч!
Из (8), (10) следует, что система величин
с * * ^
р!,мК
образует линейный гео-
метрический объект. Он определяет аффинное отображение И"1: ап^Лп:
* *
х! = м! х1 - Р , обратное отображению ИеИп. Обозначим: 01 = ю- - 'О .
Уравнения (5) запишутся в виде ё01 = 0к л 0к . Используя (6), находим:
ё01 = 0 к л 0 к + ОК л 0к. (11)
Вполне интегрируемая система форм Пфаффа {01,0к } определяет главное
расслоение линейных реперов, присоединенное к семейству Ип.
Рассмотрим вспомогательное п-мерное голономное дифференцируемое многообразие Уп [4], [5], отнесенное к реперу {^ш^Шу,...}, причем ёЪ = 01т1,
ёт1 = 0 ктк + 0 , где векторы ш1 и т^ принадлежат касательному и соприкасающемуся пространству к многообразию Уп в точке Ь. Биективное отображение ф: Ип^Уп, определенное формулой ф(И)=Ъ, устанавливает биективное соответствие между Ип и множеством всех линейных преобразований касательного пространства к многообразию Уп в точке Ъ. Действительно, при 01=О, т.е. для фиксированного отображения ИеИп, формулы (11) приводятся к виду:
ё0/ = 0к л 0к (0 =001 = о), что характеризует линейное преобразование. Рассмотрим систему величин:
*
С = мК (12)
Дифференцируя (12) с учетом (8), (6), находим:
* г
ёс1 = сш0И + Ск 0к, где сш = мК
Чаи - м£ '
Следовательно, {С1} - ковариантный вектор в касательном пространстве к многообразию Уп. Он определяет неголономную гиперповерхность в семействе Ип: С101=О.
§2. Фокальные многообразия семейства Нп
Из (2), (3), (4) следует: ёГ = -Гкюк + (А!кХ! + 5к)0к. Обозначим:
fk =А\кХ} +5 к. (13)
Отображение И: Лп^ап семейства Нп определяется уравнениями f1=0. Назовем точку (Х;,х1)еЛпхап фокальной точкой отображения ИеНп, если существует направление
044 (14)
где V -параметрическая форма, вдоль которой эта точка принадлежит двум смежным отображениям. Из этого определения следует, что координаты Х;, х1 фокальной точки удовлетворяют системе уравнений £=0, f1+df1=0, т.е. системе
£=0, ^ 0 к = 0. (15)
Направление (14) называется фокальным направлением семейства Нп. Исключая из уравнений (15) базисные формы 0к, получим систему уравнений для определения фокальных точек отображения ИеНп:
£=0, det(fk)=0. (16)
Эта система состоит из п+1 уравнений на 2п координат Х;, хк. Определяя из уравнений £=0 координаты х1 и подставляя их значения в оставшееся уравнение (16), убеждаемся, что проекция множества фокальных точек на пространство Лп образует в нем алгебраическую гиперповерхность 8 порядка 2п. Аналогично исключая Х;, получим, после подстановки в уравнение det(fi)=0, алгебраическую гиперповерхность ст^ап порядка 2п. Назовем 8 и ст фокальными гиперповерхностями отображения ИеНп. Из (13) следует, что выбором 01 в качестве базисных форм семейства Нп исключается возможность совмещения начала ЛеЛп репера с фокальной точкой отображения И.
§3. Отображение Ье
Пусть в аффинном пространстве Лп зафиксирована точка С. Обозначим через САп центроаффинное пространство с центром С. Отображение И, переводящее СЛп в ап обозначим символом Ис. Поместим начало А репера в точку С. Тогда
П;=0. (17)
Из (1) следует, что система величин р1 для каждого отображения Ис определяет в пространстве ап инвариантную точку р=Ис(С): р=р1е1. В силу (17) и (7)
геометрический объект {А1;} в случае отображения Ис является тензором: УА1; = Ащк 0к. Тензор А1; охватывает ковектор в пространстве СЛп: Л1= А1;, который задает для каждого Ис инвариантную гиперплоскость в СЛп: Л;Х;-1=0. Ее
*
образом является гиперплоскость: Л1м} (х1-р1)-1=0, неинцидентная точке р. Тензор М1к=Л;Лк определяет в центроаффинном пространстве СЛп инвариантную метрику ds2=MIкУXIУXK. Совмещая начало а репера пространства ап с инвари-
*
антной точкой р, приводим базисные формы 01 к виду: 0-ю1. Тензор у^-М* А\к определяет в пространстве ап аффинную связность у. Действительно, формы Пфаффа ю1 -ю1, ю' = ю 1 + у 1к юк удовлетворяют уравнениям структуры пространства аффинной связности [3]:
Бю1 = юр л сор - У1рш]йр лют,
Ою5 = юк Л СО к + (у5[ т8] + У к[ тУ 1к^])ю§ л ^ * * *
причем Уу ]т = У У^ = Ц ^ - Мк Ц ^Чт-
Библиографический список
1. Малаховский В. С. Введение в теорию внешних форм. Калининград, 1980. 84 с.
2. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. мат. о-ва. М., 1953. Т.2. С.275-383.
3. Рыбников А. К. Аффинные связности, индуцируемые на многомерных поверхностях аффинного пространства // Тр. геометр. семинара / ВИНИТИ. М., 1974. Т.6. С.135-155.
4. Акивис М. А. Многомерная дифференциальная геометрия. Калинин, 1977.
84с.
5. Шевченко Ю. И. Связности голономных и неголономных дифференцируемых многообразий // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1994. Вып. 25. С.110-121.
N. V. M a l a k h o v s k y ON n-PARAMETRIC FAMILIES OF AFFINE MAPS
An n-parametric family Hn of affine maps h:An^an of n-dimensional affine space is studied. Field of fundamental geometric object of the first and second orders are constructed. Their subobject and scopes are investigated. Focal manifolds of the family Hn are considered. In the case of a (centroaffine) space An an invariant metric in An, and in the space an an affine connection is defined, induced by the family Hn.
УДК 514.75
SPEZIELLE DISTRIBUTIONEN AUF GRASSMANN'SCHER MANNIGFALTIGKEIT ( I )
