Гиперкомплексы двумерных плоскостей в проективном пространстве P6 Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2009 Математика и механика № 1(5)

УДК 514.755

А.Г. Мизин

ГИПЕРКОМПЛЕКСЫ ДВУМЕРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Р6

В работе по свойствам основных локальных соответствий, связанных с элементом гиперкомплекса, проводится полная классификация указанных гиперкомплексов в первой дифференциальной окрестности элемента и частичная классификация во второй окрестности. Например, показывается, что специальные гиперкомплексы делятся на 12 классов.

Ключевые слова: подвижной репер, проективное пространство, локальные свойства, гиперкомплекс двумерных плоскостей.

1. Основные соответствия гиперкомплекса К3

Множество всех двумерных плоскостей Ь в проективном пространстве Р6 зависит от 12 параметров.

В данной работе рассматриваются 11-параметрические семейства Ь(11), т. е. гиперкомплексы К3. Работа уточняет и развивает общий подход к классификации гиперкомплексов К3, изложенный в работе [1] и относящийся только к первой окрестности [2].

Присоединим к гиперкомплексу К3 подвижной репер {Л1}, деривационные формулы которого имеют вид ЙА1 = ю 7 А7, где формы Пфаффа ю 7 удовлетворяют уравнениям структуры Вю"7 = ((ЛюК проективного пространства, а также условию ю00 +... + ю” = 0 (I, J,К = 0,1,...,6). Пусть {Г1} - тангенциальный репер, двойственный данному, т.е. Г1 =(-1)1 (А0,...А1 -1,А1+1,...,А6), а его деривационные формулы имеют вид й Г7 = -(^ Г1.

Считая, что плоскость Ь = (А0, А1, А2) описывает гиперкомплекс К3, зададим его уравнения в виде

Лрюр = 0, I,I',],]' = 0,1,2; р,р',д,д' = 3,...,6 , (1)

где юр - главные формы, обращение в нуль которых фиксирует плоскость Ь на гиперкомплекс К3, а коэффициенты Лр суть функции главных параметров, а также оставшихся вторичных параметров.

Зафиксируем некоторую прямую Ь1 в плоскости Ь, и зададим её в виде Ь : аХ = 0. Будем искать торсы Ь(^), проходящие через Ь, принадлежащие гиперкомплексу К3 и имеющие данную прямую Ь1 своей характеристикой, т. е.

Ь = сиь (т1).

Пусть X = х1 А - произвольная точка прямой Ь1, т. е. а^х1 = 0 . Для неё вдоль такого торса Ь(^1) имеем йХ е Ь . Так как йХ = й(х1 А) = йх1А1 + х1 (ю/А;- +юрАр),

то получим систему

юрх1 = 0. (2)

Прямая Ь1 станет характеристикой некоторого торса Ь(^1), если все уравнения этой системы будут пропорциональны её уравнению а^х1 = 0. Поэтому совокупность искомых торсов Ь(^1) определится системой

юр = а19р , (3)

где 9р - некоторые главные формы, а формы юр удовлетворяют уравнению (1).

С другой стороны, пусть 13 = (Ь, хрАр) - произвольная фиксированная 3-

плоскость, проходящая через Ь.

Будем искать торсы Ь(^1), проходящие через Ь, принадлежащие гиперкомплексу К3 и имеющие данную 3-плоскость своим касательным подпространством, т.е. 13 = ТЬ (Т1). Пусть далее Г = арГр - произвольная гиперплоскость, проходящая через 13 = (Ь, хрАр), т. е. архр = 0. Для неё вдоль такого торса Ь(^1) имеем

йГ з Ь . Так как йГ = й(арГр) = йарГр - ар (юрГ1 + юрГд), то получим систему

юрар = 0 . (4)

3-плоскость 13 станет касательным подпространством некоторого торса Ь(^1),

если все уравнения этой системы будут пропорциональны её уравнению

архр = 0 . Поэтому совокупность искомых торсов Ь(^1) определится системой

юр = хр 9г , (5)

где 9; - некоторые главные формы, а формы

ю р

удовлетворяют уравнению (1).

Из (3) и (5) следует, что совокупность всех торсов Ь(^1) гиперкомплекса К3 задается уравнениями

Rang | |юр || = 1. (6)

Условия (6) применительно к системам (3) и (5) означают, что существует такая главная форма 0, что

юр = а1хр9 , (7)

Так как формы

ю р

удовлетворяют уравнению (1), то после внесения данных равенств (7) в уравнение (1) и сокращения на 0 мы получим равенство

Лрахр = 0. (8)

Итак, прямая Ь1 : а¡х' = 0 и 3-плоскость 13 = (Ь, хрАр) тогда и только тогда являются соответственно характеристикой Ь1 = СкЬ (Т1) и касательным подпространством 13 = ТЬ (Т1) некоторого торса Ь(^1), когда выполнено равенство (8).

Найдем многомерные аналоги основной корреляции [1] на луче линейчатого комплекса в Р3.

Зафиксируем в Ь прямую Ь : а1х1 = 0 и будем перебирать торсы Ь(^1) гиперкомплекса К3, проходящие через Ь и имеющие характеристику Ц = СкЬ (Т1). Ясно, что при фиксированных коэффициентах а0 : а1 : а2, задающих прямую Ь1,

уравнение (8) будет задавать линейную оболочку касательных подпространств ТЬ(Х¥1) всех таких торсов Ь(^1). При этом все такие торсы Ь(^1) образуют пфаффово подмногообразие Ь (Т3), для которого Ь = СкЬ (Т3).

* 1

Определение. Прямые Ьх\ а^х = 0 плоскости Ь, для которых

лра = 0, (9)

будем называть критическими, а остальные прямые Ь1 - регулярными.

Итак, на множестве регулярных прямых Ь1 плоскости Ь гиперкомплекса К3 определено отображение ф1 : Ь ^ Г. Формулы этого отображения с учётом (8) можно записать в виде

а3 : а4 : а5 : а6 = Л'3а1 : Л4а1 : Л15а1 : Лг6а1. (10)

Таким образом, мы получили основное локальное соответствие ф1 : Ь1 ^ Г = ТЬ (*Р3) гиперкомплекса К3, где СкЬ (Т3) = ^ .

Аналогично определяется второе отображение ф2.

Зафиксируем 3-плоскость 13 = (Ь,хрАр), инцидентную элементу Ь гиперкомплекса К3, и будем перебирать все торсы Ь(^1) гиперкомплекса К3, проходящие через Ь и имеющие 13 касательным подпространством, т.е. 13 = ТЬ(у1). Ясно, что

для фиксированных х3 : х4 : х5 : х6, задающих 13, уравнение (8) будет задавать пересечение прямых - характеристик таких торсов Ь(^1).

Определение. 3-плоскости /* = (Ь, хрАр), для которых

Лрхр = 0, (И)

будем называть критическими, а остальные 3-плоскости /3 - регулярными.

Итак, на множестве регулярных 3-плоскостей определено отображение ф2 : /3 ^ X . Если /3 = (Ь, хрАр), то его формулы с учетом (8) можно записать в виде

х0 : х1 : х2 = Л0рхр : Л\хр : Л2рхр . (12)

Локальные отображения ф1 и ф2 называются основными соответствиями гиперкомплекса К3. Это аналоги основной корреляции на луче линейчатого комплекса в Р3.

Рассмотрим теперь пересечение гиперплоскостей ф1(Ь1) для всех регулярных прямых Ь1 плоскости Ь и назовем его внешней ассоциированной плоскостью / для плоскости Ь. Она в силу (10) задается системой

Лрхр=0,

которая совпадает с (11).

Рассмотрим также линейную оболочку точек ф2(/3) для всех регулярных 3-плоскостей /3 и назовем её внутренней ассоциированной (прямой или точкой) для плоскости Ь. Она в тангенциальных координатах а0 : а1 : а2 плоскости Ь задается в силу (12) системой

ЛРа1 = 0 ,

которая совпадает с (9).

2. Классификация гиперкомплексов К3

Так как основные соответствия ф1 и ф2 гиперкомплекса К3 полностью определяются матрицей ||лр ||, то обозначим Rang ||Л'р || = r и назовем К3 гиперкомплексом ранга r, r = 3,2,1, и обозначим его через rК3.

Таким образом, все гиперкомплексы делятся на три класса.

1. Rang ||лр || = 3 . Это гиперкомплекс3 К3 общего вида. В этом случае система (9) имеет лишь тривиальное решение, то есть все прямые L1 плоскости L регулярны, а через плоскость L проходит критическая 3-плоскость l3* = (L, х*pAp), ибо

/1 i\ *3 *4 *5 *6

система (11) имеет нетривиальное решение х : х : х : х .

Покажем, что критическая 3-плоскость l3* является внешней ассоциированной l3 для плоскости L.

Действительно, в этом случае из (10) и (11) получаем, что

арх*p = (Л'pai) х*p = (Лгрх*p )a = 0. Это и означает, что критическая 3-плоскость

l3* и гиперплоскость 9j (Lj ) для любой регулярной прямой Lj инцидентны.

2. Rang ||л'р || = 2 . Для гиперкомплекса 2 К3 в плоскости L имеется одна критическая прямая L1*, поскольку система (9) имеет нетривиальное решение a* : a* : a*, а все критические 3-плоскости l* образуют пучок с осью L

в 4-плоскости 14, определяемой системой (11). Покажем, что гиперплос-

кость ф!^) для любой регулярной прямой Lj проходит через указанную 4-плоскость 14. Действительно, для регулярной прямой Lj : a^1 = 0 имеем

Л3 at : Л4at : Л5 at : Л6 at Ф 0:0:0:0, а поэтому в силу (10) и (11) заключаем, что

9j(Lj) з 14, так как aрхр = (Лгpat)хр = (Л'рхр)at = 0• at = 0 . Таким образом, указанная 4-плоскость является внешней ассоциированной плоскостью 14 .

С другой стороны, точка ф3(13) для любой регулярной 3-плоскости лежит на *

критической прямой L1 . Действительно, в силу (12) и (9) получаем

a*х' = a*(h^pap) = ^'pa*)ap = 0 • a1’ = 0 . Это означает, что критическая прямая и является внутренней ассоциированной.

3. Rang| |Л'р|| = 1. В этом случае для коэффициентов уравнения (1) гиперкомплекса 1К3 справедливо разложение

Л'р = a*/'. (13)

* *'* * * P *' *

Рассмотрим точку X = х Ai и гиперплоскость Г = a]) Г , где х и ap взяты из (13).

Покажем, что произвольная прямая L1 плоскости L из пучка с центром * ' * *'

X является критической. Действительно, в силу (13) имеем Лpai = (aрх )at =

* *'* *

= ap (a'х ). Если теперь aiх = 0, то есть прямая Lj проходит через точку X ,

тогда и Л a = 0 . Это и означает, что прямая Lj - критическая. Покажем также, что любая 3-плоскость l3, инцидентная плоскости L и гиперплоскости Г*, являет' р * *'* р *'* * р

ся критической. В силу (13) имеем Лрхр = (aрх )хр = х (ap^). Если же теперь a*рхр = 0, то есть 3-плоскость l3 лежит в Г*, то отсюда заключаем, что Л'рхр = 0 .

Следовательно, 3-плоскость l3 - критическая.

Кроме того, отметим важнейшие геометрические характеристики данного класса: 1) все гиперплоскости ф!^) для регулярных прямых Lb для которых aiх*' Ф 0, совпадают с Г*; 2) все точки ф2(13) для регулярных 3-плоскостей l3, для которых a*рхр Ф 0, совпадают с X*.

Действительно, в силу (10) и (13) имеем ap = ^pa{ = (a*pxl )at = (a1х*' )a*p = a*p , то есть ф1(^) = Г*. Аналогично в силу (12) и (13) имеем х' = Л'рхр = (a*рх*')хр = = )х*' = х*', то есть ф3 (l3), что и требовалось доказать.

**

Итак, точка X и гиперплоскость Г являются внутренними и внешними ассоциированными для плоскости L гиперкомплекса 1К3, который называют специальным, или допустимым.

3. Канонические уравнения классов гиперкомплексов К3

1. Гиперкомплекс 3 К3. Это гиперкомплекс общего вида. Он характеризуется наличием критической 3-плоскости l3*, проходящей через элемент L. Заметим, что l3* является одновременно внешней ассоциированной 3-плоскостью, т. е. l* = l3. Проведем частичную канонизацию репера, полагая l* = (L, A6), что в силу (9) приведет к равенствам

Л6 = 0.

Обозначим координатные прямые плоскости L, задаваемые уравнениями х1 = 0 , через Lj и продолжим канонизацию. Так как все прямые Lj плоскости L регулярны, то положим ф1(Lj) = Г'+3. Эти требования в силу (10) приводят к равенствам

л4 =л50 =л3 =л5 =л2 =л2 = 0.

Заметим, что при этом должно быть выполнено условие Rang ||Л'р || = 3, равносильное тому, что Л°Л4Л2 ф 0.

Осталось провести нормировку вершин репера. Для этого потребуем, чтобы регулярной прямой, задаваемой в плоскости L уравнением х0 + х1 + х2 = 0, соответствием ф1 была сопоставлена гиперплоскость, задаваемая уравнением х3 + х4 + х5 = 0 , что в силу (10) приводит к равенствам

л30 = л4 = л52 .

Итак, уравнение гиперкомплекса 3 К3 общего вида приведено к каноническому виду

®0 +Ю| + ®2 = 0 , (14)

а локальные основные соответствия ф1 и ф2, задаваемые формулами (10) и (12), приняли простейший вид

a3 : a4 : a5 : a6 = a0 : aj : a2 : 0 ; (15)

х0 : х1 : х2 = х3 : х4 : х5. (16)

2. Гиперкомплекс 2 К3. Он характеризуется тем, что с плоскостью L инвариантно связываются внешняя ассоциированная 4-плоскость l4 и внутренняя ассоциированная прямая L1 , которая является также критической.

Проведем частичную канонизацию репера, требуя, чтобы l4 = (L, A5, A6) и Lj = (A0,Aj). В силу (11) и (9) требования приводят соответственно к равенствам

л5 =л 6 = 0 , Лр = 0,

при этом должно быть выполнено условие Rang | |Л'р || = 2, равносильное тому, что Ф 0 . Теперь отображение ф1 будет определяться формулами

л3 л4

л3 л4

а3 : а4 : а5 : а6 = (Л°а0 +Л3а1): (Л4а0 +Л4а1): 0 : 0.

Потребуем также, чтобы регулярным прямым (А1, А2) и (А0, А2) соответствовали

координатные гиперплоскости, а именно, ф1(( А1, А2)) = Г3 и ф1 ((А0, А2)) = Г4, что приведет к соотношениям

л0 = л3 = 0, л0 л4 ф 0.

Завершим упрощение уравнения гиперкомплекса 2 К3 нормировкой вершин, требуя, чтобы регулярной прямой, задаваемой в плоскости Ь уравнением х0 + х1 + х2 = 0, соответствием ф1 была сопоставлена гиперплоскость, задаваемая уравнением х3 + х4 = 0 , что с учетом проведенных фиксаций приводит к равенству

Л3 =л4.

Итак, уравнение гиперкомплекса 2 К3 приведено к каноническому виду

+ю4 = 0, (17)

а локальные основные соответствия ф1 и ф2, задаваемые формулами (10) и (12), приняли простейший вид

а3 : а4 : а5 : а6 = а0 : а1 : 0 : 0 ; (18)

х0 : х1 : х2 = х3 : х4 : 0. (19)

3. Гиперкомплекс 2К3. Это специальный гиперкомплекс. Он характеризуется тем, что с плоскостью Ь инвариантно связываются внешняя ассоциированная

* * гиперплоскость Г и внутренняя ассоциированная точка X .

Проведем частичную канонизацию репера, полагая Г* =Г3 и X* = А0. Это в силу (13) приводит к соотношениям

Л1р = ЛР = 0, л4 = л0 = Л6 = 0, л0 Ф 0 .

Итак, уравнение специального гиперкомплекса 1К3 приведено к каноническому виду

ю0 = 0, (20)

а локальные основные соответствия ф1 и ф2, задаваемые формулами (10) и (12), приняли простейший вид

a3 : a4 : a5 : a6 = 1:0:0:0; (21)

х0 : х1 : х2 = 1:0:0. (22)

4. Вторые дифференциальные окрестности выделенных классов гиперкомплексов К3

Дальнейшее изучение гиперкомплексов К3 связано со второй дифференциальной окрестностью данного класса. Найдем продолжения уравнения каждого класса.

1. Гиперкомплекс 3К3. Обозначим базисные формы 9“ (а,а' = 1,2,...,11) гиперкомплекса 3 К3 следующим образом:

91 = ю||, 92 = гоЦ,93 = roj3, 94 = roj5, 95 = го^, 96 = ю^,

97 = ro0,98 = Oj6, 99 = го®, 910 = roj4, 911 = го52.

Продифференцируем внешним образом уравнение (14) с помощью уравнений структуры. С учетом самого уравнения и обозначения базисных форм 0“ получим

(roj1 -ro4)Л91 + (ro2 -ro5)л92 + (ro0 -го4)л93 + (го2 -го4)л94 +

+(ro;2 -го^)л95 +(roj2 -го4)л96 -го6 л97 -го^| л98 -го6 л99 +

+(го] -го°° +го^ -го^) л910 +(го^ -го0 + го3 -го^) л9п = 0.

Применение леммы Картана дает следующие главные формы:

го1 -го4 = А1а9 , го2 -го5 = А2а9 , го0 -го3 = А3а9 ,

го2 -го4 = А4а9а, го2 -го3 = А5а9<Х, го2 -го4 = Аа9, (23)

-го6 = А7а9а, -го6 = А8а9а, -®6 = А9а9а,

го0 +го1 -го3-го4 = А10а9а, го0 +го2-го3 -го5 = А11а9а,

где Ааа' = Аа'а (а,а'= 1,2,...,11) - определяющие геометрию второй дифференциальной окрестности гиперкомплекса 3 К3 общего вида.

Классификация гиперкомплексов 3 К3 во второй окрестности чрезвычайно обширна. Ограничимся лишь идеей дальнейшего исследования.

Напомним, что с элементом L инвариантно связана внешняя ассоциированная 3-плоскость l3 = (L, А6).

Для нее с учетом выбора базисных форм 0“ и равенств (23) имеем

<ПЪ — (Ю0 +ЮІ +ю2 +ю66)Ї3 + (-(010 +011) А3 +01 А4 +02 А5, А1, А2 А6) +

+(А0, 03 А3 + 010 А4 + 04 А5) + (А,, 05 А3 + 06 А4 + 011А5) -

-(А0, А1, А2, А7а0 А3 + Л8а0 А4 + Л9а0 А5)-

Мы видим, что базисные формы 07, 08 и 09 присутствуют здесь лишь в последнем внешнем произведении. Это с учетом того, что базисный минор симметрической матрицы всегда главный, означает, то из симметричной матрицы коэффициентов в (23) можно выделить симметрическую квадратную подматрицу третьего порядка

Л[7,8,9] =

А77 А78 А79

А87 А8!

-А8‘

_ Аду Ад8 Адд _

ранг которой может принимать значения Я = 3,2,1,0. В зависимости от этого ранга и осуществится дальнейшая классификация гиперкомплексов3 К3.

2. Гиперкомплекс 2 К3. Для удобства обозначим базисные формы гиперком-

плекса К3 иначе, а именно:

,3 с2

,4 с3

,4 с4

,3 с,5

,5 с6

— ю0

:_»о , 0 = Ю] , 0 = Ш1 , 0 = ш2, 0 _ш2.

Продифференцируем внешним образом уравнение (17) с помощью уравнений структуры. С учетом самого уравнения и обозначения базисных форм 0“ получим

®0 Л01 + Ю2 Л02 + (ю° — Ю^) А03 + (®0 —ю3) Л04 — ®3 Л05 —

—со 4 Л06 — ю6 Л07 —ю33 Л08 + (ю| — ю°° + ю3 — го3})Л09 = 0.

Применение леммы Картана дает следующие главные формы:

ю2 = Я1р0Р, ю2 = Я2р0Р, ю0 —ю33 = Я3р0Р, ю0 —ю4 = Я4р0Р,

= ю.

= ю2

= ю2.

-Юс = Я

5 в

-ю4 = Я

■бр^

-ю6 = Я

-Ю,; = Я8|

(24)

ю 1 ю 0 + ю 3 ю 4 — Я9 р ^

где Ярр. = Яр.р (в, Р'= 1,2,...,9) - определяющие геометрию второй дифференциальной окрестности гиперкомплекса 2 К3 .

Мы знаем, что с элементом Ь инвариантно связаны внутренняя ассоциированная прямая Ь = (Ао, А1), которая является также критической, и внешняя ассоциированная 4-плоскость 14 = (Ь, А5, А6). Для них с учетом выбора базисных форм 0е и равенств (24) имеем йТу = (ю0 + ю1)Ь" + (—09А3 + 03А4 + 05А5 + 07, А1) + (А0,04А3 + 09А4 + 06А5 + 08А6),

— (ю 0 + Ю| + ®2 + Ю5 + ®б )^4 + (—0 Аз + 9 Л4, , Л5 , Лб ) +

+(Л, 94 А3 + 09 А4, А2, Л5, Аб) + (Л, А, 91 А3 + 92 А4, Л5, А) —

—(Л0, Л1, Л2, Б5р0вД3 + ^бр0^ Л4, Лб) — (Л0, Л1, Л2 , Л5 , Б7р0в Л3 + ^8р9^ Л4 )-

Отсюда следует, что прямая Ц — (А,Л1) описывает 7-семейство, ибо её положение определяется базисными формами 03,..., 09.

Мы видим, что в дифференциале ё14 базисные формы 05, 0б, 07 и 09 присутствуют в двух последних слагаемых. Это, с учетом того, что базисный минор симметрической матрицы всегда главный, означает, что из симметрической матрицы коэффициентов в (24) можно выделить симметрическую квадратную подматрицу четвертого порядка

1 в В б В57 В58

Вб5 Вбб Вб7 Вб8

В75 В7б В77 В78

_ В85 В8б В87 В88 _

ранг которой может принимать значения Я = 4,3,2,1,0. В зависимости от этого ранга и осуществится дальнейшая классификация гиперкомплексов2 К3.

3. Гиперкомплекс 1К3. Для удобства обозначим базисные формы гиперкомплекса 1 К3 в виде

Продифференцируем внешним образом уравнение (20) с помощью уравнений структуры. С учетом самого уравнения и обозначения базисных форм 0а получим

—ю4 Л01 —ю3 А 02 —юб Л03 +ю0 Л04 +®2 Л05 — 0 .

Применение леммы Картана дает следующие главные формы

—ю4 — С1у9у, —ю3 — С2у0у, —ю3б — С3у0у, ю0 — С4у0у, ю2 — С5у0у, (25)

где С ' — Су'у (у,у' —1,2,...,5) - определяющие геометрию второй дифференци-

альной окрестности гиперкомплекса 1 К3 .

Этот гиперкомплекс характеризуется тем, что с его элементом Ь инвариантно связаны внутренняя ассоциированная точка X — Л0, которая является центром пучка критических прямых Ь1, а также внешняя ассоциированная гиперплоскость Г* — Г3, содержащая все критические 3-плоскости I*.

Для них с учетом выбора базисных форм 0У и равенств (25) имеем йЛ0 — ю0 А + С4 У0У Л1 + с5у0у Л2 + 01 Л4 +02 Л5 + 03 Лб,

$ Г3 — —ю3г3 — 04Г1 — 05Г2 + С1у0уГ4 + С2у0уГ5 + С3у0уГб .

Мы видим, что формы 04 и 05 присутствуют в дифференциале $Л0 лишь в первых двух слагаемых. Это означает, что в зависимости от ранга Я1 симметрической

матрицы второго порядка C[4,5] =

C44 Q

C54 C5.

45

точка A0 описывает (3 + R1) ■

54 55

поверхность (Л1 — 2,1,0).

С другой стороны, формы 01, 02 и 03 содержатся в дифференциале $ Г3 лишь в последних трех слагаемых. Это означает, что в зависимости от ранга Я2 симметрической матрицы третьего порядка

"C„ C12 C13

C[1,2,3] = C21 C22 C23

C31 C32 C33 _

гиперплоскость Г описывает соответствующее семейство Г (2 + Я2), где Я2 = 3,2,1,0.

Таким образом, в зависимости от значений рангов (Я1, Я2) все специальные комплексы1К3 делятся во второй дифференциальной окрестности на 12 классов.

Структура специальных (допустимых) гиперкомплексов двумерных плоскостей в проективном пространстве Р5 описана в работе [3].

ЛИТЕРАТУРА

1. Кругляков Л.З., Мизин А.Г. Классификация и строение гиперкомплексов многомерных плоскостей // Геом. сб. Вып. 23. Томск, 1982. С. 39 - 42.

2. Гербсоммер Л.Э.,Кругляков Л.З., Мизин А.Г. О комплексах многомерных плоскостей // ДАН СССР. 1980. Т. 255. № 5. С. 10381 - 1042.

3. Мизин А.Г., Достовалова С.Г. Структура допустимых гиперкомплексов двумерных плоскостей пятимерного проективного пространства // Всесибир. чтения по матем. и мех.: Тез. докл. Томск: Томский госуниверситет, 1997. С. 99.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:

МИЗИН Анатолий Георгиевич - кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры геометрии механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: mag@math.tsu.ru

Статья принята в печать 03.12.2008 г.