Строение линейных специальных гиперкомплексов двумерных плоскостей в пятимерном проективном простарнстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.755.5

СТРОЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ГИПЕРКОМПЛЕКСОВ ДВУМЕРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ В ПЯТИМЕРНОМ ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

И, В, Бубякин, Е, С, Никитина

Рассмотрим в проективном пространстве Р5 специальные гиперкомплексы С двумерных плоскостей, т. е. специальные многообразия двумерных плоскостей коразмерности один. Выясним, при каких аналитических условиях специальные гиперкомплексы являются линейными, а также строение линейных специальных гиперкомплексов.

С

реперов, образованных точками Лр = 0,1, 2; р,д = 3,4, 5) так, чтобы точки Лг лежали в образуюгцей Ь гиперкомплекса. Уравнение перемещения этого репера имеют вид

¿Л1= ш. Лз + ш?Лр, ¿Лр = ш?Аг + ш?Лч, (1)

где все линейные дифференциальные формы удовлетворяют структурным уравнениям проективного пространства Р5. Следовательно, линейные формы ш? определяют перемещение двумерной плоскости Ь в Р

нейным уравнением, связывающим формы ш?, которое можно записать в виде

А?ш? = 0. (2)

Л

падала с точкой гиперповерхности, а вершины Ли (к,1 = 1,2), Лг

© 2008 Бубякин И. В., Никитина Е. С.

(т, в = 3, 4) лежали в касательной плоскости к гиперповерхности. Тогда уравнение (2) для специального гиперкомплекса приведется к виду

"о = 0- (3)

Формы "0, "к не входят в уравнение (3) гиперкомплекса С, поэтому они линейно независимы и их можно принять в качестве базисных форм на специальном гиперкомплексе. Это же уравнение (3) определяет касательную плоскость Т V к гиперповерхности V, лежащей па

,

ного гиперкомплекса двумерных плоскостей проективного пространства Р5 при грассмаповом отображении [1]. Продолжая уравнение (3), получим

"к А "1+ "0 А "0 = 0. (4)

Ввиду полученных квадратичных уравнений на основании леммы Кар-тана [2] будем иметь

"0 = Ло8"о + Л10", -"к = ЛкьЛк1 ", (5)

где коэффициенты образуют симметрическую матрицу.

Теперь рассмотрим касательную плоскость Т^ к гиперповерхности V в точке I, соответствующей двумерной плоскости [А, при грассмаповом отображении. Для этого найдем дифференциал точки I:

¿1 = " + "\+"1 )1 + "0[Ао,А1,А2] + "р1 [А0,Ар,А2} + "1 [А,А,Ар], (6)

где, например, точка [А3,А1,А2] на алгебраическом многообразии П(2, 5), соответствующая двумерной плоскости [А,А, А] в проектив-Р

ки I. С этой целью продифференцируем (6) дважды:

¿4 = ¥[АъА2, А + 2{р10 А ,Ао ,А] + [Ак, А, А]

+ ^ А,Ао ,А5] }(то йТУ), (7)

где перестановка г, ], к четная и

у = шГшГ - шкшк, у1т = (-1 )1шг0шак (к + 1 = 3),

У. = ш? ш. — шгш., уТ = шГ ш\ — шш. Третий дифференциал точки I равен

= 6^[Лз,Л4,Л5] (тосЩ2 V), (8)

где

шш

ф = (1е1; I ш^ шf I .

шшш

Специальный гиперкомплекс будет линейным, если его образ при грас-смановом отображении является сечением алгебраического многообразия П(2, 5) гиперплоскостью. Асимптотическая форма ф не обращается в нуль, иначе коразмерность многообразия двумерных плоскостей повысится па единицу. Асимптотические формы у1т , у. и уТ также лиС

альный гиперкомплекс будет линейным, если асимптотическая форма у линейно выражается через формы у1т, уг., уТ:

у = 2(щт у1т + оР + ат уТ). (9)

Ввиду (9) второй дифференциал точки I запишется в виде

Л = 2{у1т( [Лт ,Лт ,Л5] + ат [ЛьЛзЛ]) + УгЛЛк,Л3,Л4} +а.[Л1,Л2,Л5}) + уТ([Л, Лт,Л5} + аТ[Л1,Л2,Л5])}■

Помещая точки [Л1,ЛТ,Ль], [Лк,Лз,Л4], [Ла,ЛТ,Л] в соприкасающуюся плоскость Т^V к гиперповерхности V С П(2, 5), будем иметь

ат= аг. = аТ = 0. (10)

у

шТ0 шТ — шк шк = 0. (11)

"0

"к

Ло"2Л0+ Лы"I"1 = 0. (12)

Это равенство должно выполняться тождественно, иначе двумерные плоскости Ь образуют многообразие коразмерности два в проективном Р

должны выполняться равенства

Лоз = 0, Л0 = 0, Лк1 = 0. (13)

Отсюда и из (5) вытекает, что

"0 = о, "к = 0. (14)

Эти уравнения совместно с уравнением (3) говорят о том, что гиперплоскость а = [Ао,А;,а2,Аз,А4] описывает двумерное многообразие, а точка Ао — двумерную поверхность, лежащую в гиперплоскости а. Двумерные плоскости Ь и касательные плоскости [А,А,А] к дву-

А

Таким образом, имеет место следующая

С

а

двумерного многообразия и имеющих с касательными плоскостями к

а

точку касания.

Ь

через прямую общего положения, для линейного специального гипер-

а

рация свойственна линейным гиперкомплексам двумерных плоскостей общего вида.

Заметим также, что гиперплоскость сечения алгебраического многообразия П(2, 5) те лежит целиком в соприкасающейся плоскости Тр V к гиперповерхности V С П(2, 5) , а имеет с ней общую плоскость коразмерности два.

ЛИТЕРАТУРА

1. Акивис М. А. К дифференциальной геометрии грассманова многообразия // Tensor. 1982. V. 38. Р. 273-282.

2. Базылев В. Т. Геометрия дифференцируемых многообразий. М.: Высшая школа, 1989.

г. Якутск

25 декабря 2006 г.