Фундаментальное соответствие между 1-семействами и гиперкомплексами многомерных плоскостей в проективном пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

№ 305 Декабрь 2007

МАТЕМАТИКА

УДК 514.755

А.Г. Мизин

ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ 1-СЕМЕЙСТВАМИ И ГИПЕРКОМПЛЕКСАМИ МНОГОМЕРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Детально рассматривается фундаментальное соответствие для указанных семейств, введенное ранее автором, между семействами дополнительных размерностей на грассмановом многообразии многомерных плоскостей проективного пространства.

В работе [1] показано, что между семействами Ь (а) и Ь (а1) С-мерных плоскостей Ь на Ж-мерном

грассмановом многообразии Ог(сС, п), где

N = (С + 1) (п - С), связанными, во-первых, условием

а + а7 = N и, во-вторых, определенными соотношениями на их базисные формы, существует локальное соответствие, названное фундаментальным. С его помощью результаты, относящиеся к первой дифференциальной окрестности одного семейства, могут быть после надлежащей переформулировки трансформированы в результаты, относящиеся к первой окрестности другого семейства. В дальнейшем для краткости семейства Ь (1) и Ь (Ж -1) называются регулюсами и гиперкомплексами.

1. Регулюсы Ь (1)

Присоединим к регулюсу Ь (1) подвижной репер {Л1}, деривационные формулы которого имеют вид йЛ1 = юJЛJ, где формы Пфаффа <Ю удовлетворяют уравнениям структуры Бю',1 = юКЛюК проективного пространства, а также условию ю° + ... + ю"п = 0 (I,J,К = 0,1,...,п). Пусть {г1} - тангенциальный репер, двойственный данному, т.е.

г1 = (-1) (Л,,.. А-!, Л,+1,..., Ап) и с гJ = -ю г1.

Считая, что С-плоскость Ь = (Л0, Л1,..., Лп) описывает регулюс Ь (1), зададим его уравнения в виде

юр = Лр© , I = 0,1,...,С , р = С + 1,...,п , (1)

где базисная форма © есть одна из главных форм юр, обращение в нуль которых фиксирует С-плоскость Ь на регулюсе Ь (1).

Как точечное многообразие регулюс Ь (1) представляет собой (С+1)-мерную поверхность X (С,1) с С-мерной образующей Ь. Основное локальное соответствие регулю-са Ь(1) имеет вид х : X ^ 1С+1 = ТХ (С,1), гдеX - текущая

точка образующей Ь , а ТХ (С,1) - касательная (С+1)-пло-

скость к (С+1)-мерной поверхности X (С, 1) в точке X. Если X = х'Л1, а 1С+1 = (Ь, хрЛр), то соответствие х задается формулой

хр = Лрх , (2)

при этом особые точки X* образующей Ь, для которых соответствие х становится неопределенным, определяются из системы

Лрх = 0. (3)

Если гап§||Лр|| = г , то все особые точки X* заполняют в Ь особую (С-г)-плоскость Ь*С-г = СН Ь (1). При этом (С+1)-плоскости х( X) для всех неособых точек X заполняют (С+г)-мерную плоскость 1*+г, которая в тангенциальных координатах задается системой

Лрар = 0 (4)

и называется касательным подпространством образующей Ь регулюса Ь (1), т.е. 1*+ г = ТЬ (1) .

В случае п = 2С +1 для регулюса Ь (1) общего вида, т.е. при г = С -1 = С +1, системы (3) и (4) имеют лишь тривиальные решения. Это означает, что касательное подпространство ТЬ (1) совпадает с Рп, а в

самой образующей Ь нет особых точек X*.

При п > 2С +1, т.е. при п - С > С +1, с образующей Ь регулюса Ь (1) общего вида (г = С +1) инвариантно связывается касательное подпространство ТЬ (1) = +1,

а в Ь по-прежнему нет особых точек X*.

При п < 2С +1, т.е. при п - С < С +1, для регулюса Ь (1) общего вида (г = п - С) касательное подпространство ТЬ (1) опять совпадает с Рп, а в образующей

Ь появляются особые точки X*, заполняющие особую (С-г)-плоскость Ь*С-г.

Определение. Регулюс Ь (1), для которого гап§||Лр|| = г, назовем регулюсом ранга г, где 1 < г < шт{С +1, п - С} .

Теорема 1. Регулюс Ь (1) ранга г характеризуется тем, что (ё+1)-плоскость %(Х) во всех неособых точках X (ё-г+1)-плоскости Ьё _ 2+1, проходящей через особую (ё-г)-плоскость Ь*ё_г, одна и та же, при этом все (ё-г)-плоскости х (X) образуют связку с центром Ь в касательном подпространстве /*+г = ТЬ (і).

Доказательство следует из (2)-(4) и определения соответствующих Ь_г и /*+г.

Итак, в первой дифференциальной окрестности образующей Ь все регулюсы Ь (і) делятся при

п > 2ё +1 на ё +1 классов, а при п < 2ё +1 - на п _ ё классов.

Можно показать, что при соответствующей канонизации репера {Лг} уравнения (1) регулюса Ь (1) ранга г приводятся к простейшему виду ®ё+2 = +3 =... = ©, где © = ю^+1, а все остальные

главные формы равны нулю.

Особый интерес представляют регулюсы Ь (1) ранга г = 1, называемые торсами. Торс Ь (1) задается уравнениями (1), где все главные формы кроме одной <+1 = © , равны нулю.

Теорема 2. Торс Ь (1) характеризуется тем, что в Ь особые точки X* заполняют (ё _ 1) -плоскость Ь _1 = С к Ь (1), а его касательное подпространство ТЬ (1) = 1*+1 таково, что образы х(Х) всех неособых точек X совпадают с 1*+1.

Доказательство. Условие гап§||Лр|| = 1 означает, что существуют наборы а* и ар такие, что Лр = аіар. Покажем, что уравнение аіх' = 0 задает в Ь особую (ё _ 1 )-плоскость Ь*, _1 = С к Ь (1), а (ё +1)-плоскость 1*+1 = (ь, а*рЛр) и является касательным подпространством образующей Ь , т.е. 1*+1 = ТЬ (1).

Действительно, в силу (3) имеем, что х состоит из особых точек. Теперь в силу (2) получаем XXX) = (ь, хрЛр ) = ( Ь, Л Рх'Лр ) =

= (ь, (а*а*р )х'Лр ) = (ь, (а* х' )а*р Лр ).

Если точка х = х'Лі - неособая, то аі х' Ф 0 и, следовательно, х (X ) = (ь, а*р Лр) = I*+1, что и требовалось доказать.

Дальнейшему изучению торсов Ь (1) посвящена работа [2], где установлено, что все торсы Ь (1) делятся на (ё + 1)п _ ё) классов, и дано описание структуры всех классов торсов Т(к; т). Они имеют следующую структуру.

Теорема 3. Торс Т(к; ж) представляет собой 1-семейство всех С-мерных плоскостей Ь, имеющих соприкосновение порядка С - к с 1-конусом к-мерных плоскостей, который имеет (к -1) -мерную вершину и погружен в некоторое ж-мерное подпространство Рж пространства Рп. В частности:

1) торс Т(0; ж) есть семейство соприкасающихся С-плоскостей к линии, погруженной в Рж ;

2) торс Т (С; ж) есть 1-конус С-мерных плоскостей с (С -1) -мерной вершиной, погруженный в Рж ;

3) торс Т (С; С +1) есть пучок С-плоскостей в некотором (С +1) -подпространстве Рп пространства Рп

2. Гиперкомплексы Ь (Ж -1)

Присоединим к гиперкомплексу Ь (Ж -1) подвижной репер {Л1} и тангенциальный репер {г1} со стандартными деривационными формулами (1). Считая, что С-плоскость Ь = (Л0, Л1,..., ЛС) описывает гиперкомплекс Ь (N -1), зададим его уравнение в виде

Лр юр = 0 , I = 0,1,..., С , р = С +1,..., п . (5)

Выберем произвольным образом (С -1 )-плоскость ЬС-1 и (С +1 )-плоскость 1Л+1, инцидентные Ь , и зададим их в виде ЬС-1 : а1х' = 0, хр = 0 и 1С+1 = (Ь, арЛр ) . Будем искать торс Ь (Т1), проходящий через Ь и принадлежащий гиперкомплексу Ь ( -1), для которого ЬС-1 = СНЬ (Т1), а ЬС+1 = ТЬ (Т1). Повторяя рассуждения из п.1 для торсов, мы получим, что главные формы должны подчиняться следующим соотношениям юр = арр© , где © - некоторая главная форма. Внеся эти соотношения в уравнение (5), мы получим равенство Лра;.ар = 0 , которое представляет собой необходимое и достаточное условие того, что требуемый торс Ь (Т1) существует. Если теперь зафиксировать

(С - 1)-плоскость ЬС-1 и перебирать все торсы Ь (Т1), для которых ЬС-1 = СНЬ (Т1), то оказывается, что касательные подпространства 1Л+1 = ТЬ (Т1) заполняют гиперплоскость г = хргр , где

хр = Лра, (6)

а все такие торсы образуют пфаффово подмногообразие Ь (Тп-С-1 ) , для кот°р°го ЬС-1 = СНЬ (и-С-1 ) [3].

Таким образом, мы получили основное локальное соответствие ф: ЬС-1 ^ г = ТЬ ( п-С-1) гиперкомплекса Ь (Ж -1), где СНЬ (п_С-1) = ЬС-1. Особые

(С -1 )-плоскости ЬС-1, для которых соответствие ф становится неопределенным, определяются из системы

Лра,. = 0. (7)

Если гап§||Лр || = г , то особые (С - 1)-плоскости

пересекаются по (г-1 )-плоскости Ь*-1, которая называется внутренней ассоциированной плоскостью. При этом гиперплоскости ф(ЬС-1) для всех неособых

(С -1 )-плоскостей ЬС-1 пересекаются по (п - г )-пло-

1* ~

скости 1п_г, которая называется внешней ассоциированной плоскостью и задается системой

Лрхр = 0. (8)

В случае п = 2С +1 для гиперкомплекса Ь (Ж -1)

общего вида, т.е. при г = п - С = С +1, системы (7) и (8) имеют лишь тривиальные решения. Это означает, что в Ь нет особых (С-1 )-плоскостей, а внешняя ассоциированная плоскость совпадает с Ь.

При п > 2С +1, т.е. при п - С > С +1, в плоскости Ь гиперкомплекса Ь(Ж -1) общего вида, т.е. при

г = С +1, по-прежнему нет особых (С -1 )-плоскостей,

/*

но имеется внешняя ассоциированная плоскость 1п-а-1.

При п < 2С +1, т.е. при п - С < С +1, в плоскости Ь гиперкомплекса Ь(Ж -1) общего вида (г = п - С) появляется внутренняя ассоциированная плоскость

Т*

Ьп-С-1, а внешняя ассоциированная плоскость опять совпадает с Ь .

Определение. Гиперкомплекс Ь (Ж -1), для которого гап^|Лр Ц = г, назовем гиперкомплексом ранга г, где 1 < г < шт {С +1, п - С}.

Теорема 4. Гиперкомплекс Ь (Ж -1) ранга г характеризуется тем, что гиперплоскость ф(ЬС-1) для всех неособых (С-1 )-плоскостей ЬЛ-1, проходящих через внутреннюю ассоциированную (г - 1)-плоскость, одна и та же. При этом все гиперплоскости ф( ЬЛ-1) образуют связку с

__ ;* и и

центром 1п_г - внешней ассоциированной плоскости.

Доказательство следует из (6)-(8) и определения соответствующих Ь*-1 и Гп_г.

Итак, в первой дифференциальной окрестности все гиперкомплексы Ь (Ж -1) делятся при п > 2С +1 на

С +1 классов, а при п < 2С +1 - на п - С классов.

Можно показать, что при соответствующей канонизации репера {Л,} уравнение (5) гиперкомплекса

Ь (Ж -1) ранга г приводится к простейшему виду

,-.С+1 . С + 2 . . С+1 _ /ч

ю0 +ю1 + ... + ю г- = 0.

Особый интерес представляют гиперкомплексы

Ь (Ж -1) ранга г = 1, называемые специальными (допустимыми). Специальный гиперкомплекс задается уравнением юС+1 = 0 .

Теорема 5. Специальный гиперкомплекс L (N -1) характеризуется тем, что внутренняя ассоциированная плоскость становится точкой X*, а его внешняя ассоциированная плоскость - гиперплоскостью 1 , причем образы ф(Ld-1) всех неособых (d -1 )-плоскостей Ld-1

Т-’*

совпадают с 1 .

Доказательство. Условие rawg||Лр|| = 1 означает,

что существуют такие наборы х* и х* , что Л'p = х’,х’. Покажем, что точка X* = х*Д и гиперплоскость Г = хрГp являются ассоциированными с L .

Действительно, в силу (6) имеем, что все особые (d -1 )-плоскости L*d-1 проходят через X *. Теперь в силу (7) получаем ф( Ld-1) = Xp Гр = Л ipai Гр = (х* хр ) Гp = = (ax*) х*^Гp. Если (d - 1)-плоскость Ld-1 неособая, то

а х*' ^ 0 , и, следовательно, ф^-t ) = х*Гp =Г*, что и

требовалось доказать.

Специальные гиперкомплексы мало изучены. Лишь в работе [4] установлено, что в случае d = 2 и n = 5 гиперкомплексы L (8) делятся на 9 классов (это число совпадает с размерностью грассманова многообразия Gr (2; 5)), и дано описание структуры этих гиперкомплексов.

3. Обсуждение результатов и комментарии

Изложение теории регулюсов L (1) и гиперкомплексов L (N -1) построено так, чтобы, с одной стороны, подчеркнуть независимость этих исследований, а с другой - наличие декларированного автором в работе [1] фундаментального соответствия между семействами L (а) и L (а ) .

Действительно, если базисные формы грассма-

нова многообразия Gr(d, n) разбить произвольным образом на группы {и“}, а= 1,2, .. .,а, и {юр} , Р = а +1,..., N, а сами семейства L (а) и L (а1) задать

уравнениями юр =Ла®а и юа+Лаюр = 0, то оказывается, что геометрические факты, относящиеся к первым окрестностям семейств L (а) и L (а1), соответствуют

друг другу. При этом плоскостям Lk и ld+t, инцидентным текущей d-плоскости L одного семейства, соответствуют плоскости Ld-k-1 и ln-t, инцидентные текущей плоскости L другого семейства.

В нашем случае основное локальное соответствие X регулюса L (1) трансформировалось в основное локальное соответствие ф гиперкомплекса L (N -1), что

отразилось и в формулах, описывающих особенности этих соответствий. При этом теоремам 1 и 2 для регулюса L (1) соответствуют теоремы 4 и 5 для гиперком-

плекса Ь (Ж -1), а формулам (1)-(4) соответствуют формулы (5)- (8). Таким образом, классификация регу-люсов Ь (1) трансформировалась в классификацию гиперкомплексов Ь (Ж -1) .

лись в виде юр = Л*5®1, а уравнение (5) гиперкомплекса Ь (N _ 1) приняло вид

ю + ЛрЮв = 0 .

Аналогично можно провести сравнительное и не-

В окончательном виде главные формы юр оказались зависимое исследование, например, регулюсов Ь (а),

1. Мизин А.Г. О фундаментальном соответствии между семействами многомерных плоскостей проективного пространства // Известия вузов.

Математика. 1989. № 12. С. 27-29.

2. Мизин А.Г. Торсы многомерных плоскостей проективного пространства // Тезисы докладов Второй Сибирской геометрической конферен-

ции. Томск, 1996. С. 63.

3. Кругляков Л.З., Мизин А.Г. Классификация и строение гиперкомплексов многомерных плоскостей // Геометрический сборник. Томск, 1982.

Вып. 23. С. 39-42.

4. Мизин А.Г., Достовалова С.Г. Структура допустимых гиперкомплексов двумерных плоскостей пятимерного проективного пространства //

Тезисы докладов Всесибирский чтений по математике и механике. Томск: Томский государственный университет, 1997. С. 99.

5. Мизин А.Г. О фундаментальном соответствии между регулюсами и суперкомплексами многомерных плоскостей в проективном пространст-

ве // Тезисы докладов Международной конференции. Томск: Томский государственный университет, 2003. С. 72-73.

Статья представлена научной редакцией «Математика» 29 октября 2007 г.

разбиты на группы: первая {юа }, а = 1, состоит из одной формы ю1 = юС+1, а вторая группа{юр} , р = 2,3,..., Ж -из всех остальных. Уравнения (1) регулюса Ь (1) записа-

где а < п - С , и суперкомплексов Ь (Ж - а), чтобы

убедиться в наличии декларированного в [1] фундаментального соответствия между ними. Это сделано в работе [5].

ЛИТЕРАТУРА