Гидромеханическая модель колебательного контура Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011

Серия: Физика

Вып. 3 (18)

УДК 537.86

Гидромеханическая модель колебательного контура

М. А. Марценюк, В. Г. Сивков, М. С. Скляренко, М. В. Ширяев

Пермский государственный национальный исследовательский университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Наличие современного измерительного оборудования, которое берет на себя выполнение многих вспомогательных задач, затрудняет непосредственное чувственное восприятие изучаемых физических явлений, снижая тем самым качество обучения. В работе рассматривается новый подход к постановке практикума по электрическим колебаниям. Предложена визуализация процессов протекания тока с помощью лампы накаливания и их последующее косвенное измерение по яркостным данным цифрового изображения, регистрируемого цифровой скоростной фотокамерой. Представлены гидромеханические модели основных элементов электрической цепи.

Ключевые слова: колебательный контур, электрические цепи, моделирование, обучение, фотосъемка.

1. Введение

Совершенствование измерительной техники, развитие компьютерных методов открывают возможности для модернизации лабораторных практикумов по физике. Однако наличие точной аппаратуры, в свою очередь, отдаляет студента от физической реальности, поскольку многие вспомогательные задачи решаются самим оборудованием [1-2].

В своих работах [8-9] американский физик Д. Гестенес, показал, что обучение физике должно быть основано на освоении базовых моделей, а сами модели и законы должны выводиться студентами из практикума.

Это требует иного подхода к организации практикума с целью эффективного использования новых возможностей техники для более углубленного изучения физики.

В частности, были разработаны методики для изучения механических движений [3, 4], а также явления диффузии в растворах окрашенных веществ [5, 6].

Значительно труднее достичь чувственного восприятия при изучении электромагнитных явлений, которые большей частью недоступны непосредственному наблюдению.

Цель данной работы состояла в разработке методики визуализации токов и количественного анализа переходных процессов в электрических цепях на основе как непосредственного

наблюдения (анализ яркости лампы накаливания), так и путем измерения напряжений с помощью осциллографа. После получения законов протекания токов через индуктивности и емкости, студентам предлагаются гидромеханические модели данных элементов. Далее следует изучение колебательного контура и его гидромеханической модели.

2. Методика визуализации токов

Процессы, происходящие в КЬ- и ЛС-цепях, визуализируются с помощью лампы накаливания, которая используется в качестве индикатора тока. На рис. 1, а представлена зависимость силы тока I от напряжения U на лампе накаливания (вольт -амперная характеристика (ВАХ)). На начальном отрезке эта зависимость имеет нелинейную часть, что связано с резким изменением сопротивления лампы при ее нагревании (напряжение зажигания составляет 0,7В).

На данном участке лампа ведет себя как нелинейный резистивный элемент, что существенно искажает характерный вид зависимостей токов от времени при переходных процессах. Поэтому в схемы необходимо включить дополнительный источник питания с ЭДС большей или равной напряжению зажигания лампы. Для обеспечения количественного измерения напряжения U на лампе накаливания по ее яркости Br используется скоростная цифровая фотокамера Basler WatchGuard A504kc,

© Марценюк М. А., Сивков В. Г., Скляренко М. С., Ширяев М. В., 2011

позволяющая вести съемку с частотой до 10000 кадров/с.

Предварительно строится калибровочная зависимость яркости лампы от напряжения. Яркость лампы измеряется по цифровому изображению лампы как среднее значение интенсивности цветовых компонент пикселей в пространстве RGB. Полученная зависимость (рис. 1,б) c точностью 2% аппроксимируется полиномом

и = (9,5 -10-7 Вт3 - 2,3-10~4 Вт2 + 0,027Вг + 1)В.

[ мА 200т .•

-------1-------1-------1-------1-------1-------1-------1------1-------1--------1

О 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Вг

б

Рис. 1. Характеристики лампы накаливания: а - ВАХ, б - зависимость яркости от напряжения; точки - экспериментальные данные, сплошная линия - результат аппроксимации

3. Цепочки с индуктивностью, емкостью

Рассмотрим основные электрические цепи, которые будут в дальнейшем моделироваться с помощью электро-механических аналогий.

Использовались схемы (рис. 2), позволяющие проследить по изменению яркости лампы накаливания за изменением тока в цепях КЬ и КС

при включении и выключении источника постоянного напряжения.

В RL-цепи лампа накаливания выводится на линейный участок ВАХ с помощью источника постоянного напряжения таким образом, чтобы при положении переключателя П в позиции 2 напряжение на лампе составляло 1В. В цепочке с конденсатором создать смещение по току не удается, однако в данной цепи нелинейность ВАХ не будет играть заметной роли. Процессы зарядки и разрядки конденсатора характеризуются резким скачком тока и его последующей релаксацией. Таким образом, лампа быстро нагревается при включении тока и из-за наличия тепловой инерции не успевает остывать при его выключении. По этой причине лампа не будет вносить существенных искажений, связанных с нелинейностью ВАХ.

в

Рис. 2. Принципиальные схемы установок для исследования переходных процессов в RL- (а) и RC-(б) цепях и электрических колебаний (в);

Осц - осциллограф, ГИ - генератор импульсов, ИП - источник питания

На рис. 3 показаны зависимости напряжений на лампе при последовательном включении переключателя П в положение 1, затем после

паузы в несколько секунд - в положение 2. Зависимости были получены как путем анализа данных цифровой фотосъемки, так и с помощью цифрового осциллографа. Напряжения показаны в относительных единицах (напряжение на лампе без учета постоянного смещения, деленное на максимальное значение). Проводилось по две серии экспериментов (на рис. 3 обозначены цифрами 1, 2), соответствующие различным

значениям индуктивности и емкости: ^ = 10,9 Гн, Я = 4,25 Гн, С = 82мФ, С2 = 129мФ . Как видно, увеличение индуктивности и емкости приводит к увеличению времени релаксации: напряжение спадает и нарастает медленнее. Результаты обоих способов измерений с точностью порядка 5% совпадают. Различие кривых для цепи КС обусловлено отсутствием смещения на лампе (при напряжении меньше 0,7В лампа не горит) и невозможностью по яркости лампы определить знак напряжения.

и = -

я

я+я

-• (и -и1 ехр(- /т) + и2),

где введена постоянная времени т =

Ь

Я + ЯГ

(1)

; и,

и2 - напряжения источников питания ИП1, ИП2, Я - сопротивление лампы накаливания, Яь -омическое сопротивление проводов катушки.

При обратном переключении из положения 1 в положение 2 напряжение на лампе будет меняться следующим образом:

и=и

я

я+яг

• ехр(-/ / т) + и2

Я

я+яг

(2)

Для процесса зарядки конденсатора (переключатель П в положении 1) [10] -

и = и1 ехр(- / т) ,

(3)

б

Рис. 3. Переходные процессы в RL-(а) и RC-(б) цепях: сплошная линия - данные осциллографа, пунктир - результат косвенных измерений напряжений по яркости лампы накаливания

В работе [10] показано, что при подаче напряжения на катушку (переключатель П в положении 1) напряжение на лампе и меняется по закону

для разряда (переключатель П в положении 2)

[10] -

и = -и1 • ехр(- / т),

(4)

где постоянная времени т = яС.

С помощью аппроксимации кривых переходных процессов (см. рис. 3) известными теоретическими зависимостями можно найти постоянные времени цепей. Постоянные времени составили т = 0,22 с, т2 = 0,08 с для RL-цепи и т = 1,2с , т2 = 1,9с для RC-цепи.

После достижения студентами понимания процессов, происходящих в RL- и RC-цепях, можно исключать визуализацию токов с помощью лампы накаливания и проводить дальнейшие измерения цифровым осциллографом.

4. Колебательный контур

Для исследования колебаний использовался последовательный колебательный контур, на конденсатор которого с генератора (ГИ) подавались прямоугольные импульсы (рис. 1 , в). При этом период следования импульсов был много больше периода собственных колебаний системы. На X-вход осциллографа подавался сигнал с конденсатора C, на Y-вход осциллографа - с резистора R. Для заряда д на обкладках конденсатора справедливо уравнение

<7 + 25*7 +со о д = 0 .

(5)

5 = я + яь

2Ь

- декремент затухания,

частота свободных колебаний при отсутствии омического сопротивления. Пусть Я = Я + Я -

общее омическое сопротивление цепи (с учетом сопротивления проводов катушки индуктивности). При общем сопротивлении, которое меньше

критического сопротивления я^, = £ [2], в

контуре возникнут затухающие колебания:

д = СиГИе ео8(ю ґ),

Таким образом, с помощью осциллографа, работающего в режиме самописца, можно получить фазовую траекторию процесса.

Была проведена серия экспериментов при различных значениях сопротивления резистора: я = 100 Ом, я2 = 400 Ом, я = 900 Ом, я = 2000 Ом, Ь = 218 мГн, С = 55 нФ,

(6) Я = 64,4 Ом. На рис. 4 показаны фазовые

где иГИ - амплитуда импульсов, подаваемых с

генератора ГИ, ю = д/ю0 _82 . Если сопротивление

равно критическому, в системе будет наблюдаться апериодическое затухание

д = сиГИ (1 + 5ґ)е

-5ґ

при сопротивлении, которое больше критического, заряд будет меняться по следующему закону:

д = сиГИ

где у1>2 = 5 + Ф

^у2е т‘ґ + у1е Т22 ^

Ті +Ї2

-Юл

б

Рис. 4. Фазовые траектории колебательного контура

д

Напряжение на конденсаторе их = сопротивлении - иу =Щ= ЯСіУх.

С

траектории процессов. При этом различные кривые обозначены цифрами 1-4 в зависимости от значения сопротивления резистора, напряжения показаны в относительных единицах

с-.,= и-

тах

(7)

(М)

и„

тах

(МУ

(8)

5. Гидромеханические модели протекания тока в цепочках с индуктивностью и емкостью и в колебательном контуре

Полученные результаты полезно

интерпретировать с помощью наглядных механических моделей, используя которые, студент может достичь более глубокого понимания наблюдаемых явлений.

5.1. Процесс зарядки конденсатора

Процесс зарядки электрического конденсатора может быть представлен в виде процесса перекачки жидкости из сосуда А в сосуд В с помощью насоса Р (рис. 5). Для простоты предполагаем, что площадь поперечного сечения ^ сосуда А много больше, чем сечение сосуда B: >> 5В. Это позволяет в дальнейшем

считать уровень жидкости в сосуде А постоянным. Насос Р питается от внешнего источника энергии Е. Пусть Атах - это максимальная высота, на которую данный насос может поднять жидкость, поэтому объем жидкости, который можно закачать в сосуд В, ограничен и определяется площадью его сечения 5. Когда в сосуд В закачано максимальное для данного насоса количество жидкости т = р5'йт1Х (здесь т - масса жидкости, р - плотность), энергия Ен столба жидкости в

сосуде равна Ен = 1 mghmax . Энергия получена

умножением силы тяжести mg на высоту центра 1

масс

2

т = р5йт

^тах столба жидкости. Учитывая, что представим энергию Е в виде

на

1 2 1 2

ЕН =2Р£^^тах =^ СвКтах

где введена энергетическая «емкость» столба Св = рgS .

а

Рис. 5. Механическая модель электроемкости

Сравнивая полученное выражение для энергии

с энергией заряженного конденсатора

й, = Оо - ь •И •

(9)

При ґ ^ да И = Ип

Отсюда следует, что

й0 = ЬИтах. Пусть в начальный момент времени

И(0) = 0, тогда

получаем, что

А = -0О . Таким образом,

И = И„

1 - ехр I -

Ьґ

Постоянная времени этого процесса

т = р^ = Св_

Ь Ьg

(13)

(14)

Поток жидкости в сосуде B следующим образом зависит от времени

йв =-Йн = йоехр I - ~\.

1 2

Е = — Си , мы видим, что величина С,, 2

соответствует электрической емкости

конденсатора С , а высота столба жидкости h -напряжению на обкладках конденсатора и .

Стоит отметить, что, как и электрическая емкость, введенная выше «емкость» столба жидкости зависит от его площади. Роль «заряда» в механической модели будет играть сила тяжести mg, действующая на столб жидкости, а связь

mg = рgSh = С^ эквивалентна аналогичному соотношению для конденсатора д = Си, где величина д - заряд на его обкладках (см. табл.).

Рассмотрим процесс наполнения сосуда жидкостью при включенном насосе P. Будем считать, что расход через насос зависит от высоты столба жидкости h следующим образом:

(15)

Как видим, формула (15) полностью эквивалентна выражению (3), описывающему изменение тока через конденсатор при его зарядке.

5.2. Процесс разряда конденсатора

Если открыть кран К2 , расход жидкости будет описываться формулой Пуазейля

п-пг

8г|Ь Р ,

(16)

где г - радиус трубы, ^ - вязкость жидкости, Ь -длина трубы, р - перепад давления вдоль трубы.

С другой стороны, Q = -р£ —, а р = рgh, отсюда

Л

следует:

И = Итах Єхр

где последнее вычитаемое отвечает за убыль расхода, связанную с ростом давления столба. С другой стороны, вследствие закона неразрывности потока

Qн =- %=-р^. (10)

т т

Из (10) и (9) получаем

-р^ = Qo - Ь • h. (11)

т

Общее решение этого уравнения имеет вид

"=1ехр(-р0+^- (12)

8Ь^

Постоянная времени этого процесса

_ 8цСВЬ

х = 8

4 4

71Г £ 7ТГ £ р

(17)

(18)

5.3. Механическая модель индуктивности

Как известно, индуктивность Ь проявляет свойства, аналогичные инерции. Поэтому в качестве механической модели индуктивности примем массивный диск D, заключенный в кожух с откачанным воздухом (на рис. 6). Для раскручивания диска используется гидромотор ^ который раскручивается жидкостью текущей из сосуда B в сосуд A. Считая сосуды A и B очень большими, получаем, что существует постоянная разница давлений между ними.

1 2

Кинетическая энергия диска Ев =— Jю , где

J - момент инерции, ю - угловая скорость, что аналогично энергии Е индуктивной катушки Ь ,

“ т г и 2

по которой протекает ток I , ЕЬ = —^~ .

Рис. 6. Механическая модель индуктивности

Рассмотрим задачу разгона диска. Перепад давления между сосудами состоит из двух компонент:

Ро = Рт + Рд-

(19)

где рт, рд - падение давления на трубе и

гидромоторе соответственно. Эти величины находятся из закона Пуазейля и выражения для момента сил, действующих на вал гидромотора

[11]:

м = Рд^ =

2л Сґ2

(20)

где рд - падение давления на гидромоторе, У0 -рабочий объем последнего. Получаем:

8г|Ь Ст 4л ТС т Р о — + т 3

лг Сґ р V

Сґ2

Ст

2 = С

Произведем замену

дифференциальное уравнение, получим:

ґ

2 = А(1 - е~В ),

колебательного контура (рис. 7). Предположим, что в сосуд В предварительно накачана жидкость до уровня h. Если открыть кран К, то безынерционная жидкость (безынерционность означает, что течение мгновенно установится во всех точках трубы, при этом гравитационная масса - аналог электрического заряда - у жидкости имеется) потечет через турбину Т и раскрутит диск D, который, в свою очередь, будет вращать насос Р, а насос будет возвращать некоторую часть жидкости из сосуда А в сосуд В.

Первоначально вращение диска D будет медленным, и баланс жидкости будет отрицательным, т.е. утечка будет превышать приток, так что до некоторого момента времени уровень жидкости в сосуде B будет уменьшаться. Однако раскрученный потоком жидкости диск будет продолжать вращаться по инерции, и в результате насос вновь сможет наполнить сосуд В.

Если пренебречь потерями энергии на трение, то мы получим колеблющуюся механическую систему, принцип действия которой во многом аналогичен работе электрического колебательного контура. Сравнение колебательного контура с математическим маятником, обычно используемое в литературе (см., например, [7, с. 70]), нам представляется менее удачным.

(21)

и, решив

(22)

Рис. 7. Механическая модель колебательного контура

где А =

лг 4 Ро

В = т =

8^Ь 8^ЬрК02

Данное выражение эквивалентно формуле (1). Например, для гидромотора аксиальнопоршневого типа Г15-25Н [12] с рабочим объемом 160см3, радиусом трубы 2,00 см, длиной трубы 100 см, радиусом диска 5,00 см и массой 4,00 кг, т = 12,0мин.

5.4. Механическая модель колебательного контура

Пусть характеристика насоса имеет вид (9) с добавочным слагаемым ан ю, отвечающим за преобразование механической энергии вращения вала в энергию движения жидкости. Тогда расход через насос P имеет вид

2н = дн + ьн И + анЮ

(23)

аналогично расход через турбину T -

ЙТ = дт + ЬТИ + атю , (24)

Соединяя модели емкости и индуктивности, где ат передаточное число, характеризующее

получаем механическую модель электрического передачу энергии от турбины к валу диска.

Таким образом, общий расход выражается формулой () = цн + цТ + фн +Ът)к + (ан +ат)со , с

другой стороны Q = рЛУ/. Пусть в состоянии равновесия вал диска покоится, а высота жидкости в столбе не меняется со временем. Отсюда получаем

qH + qT + (bH + bT )hG = G

(25)

где h0 - равновесный уровень жидкости в сосуде. Откуда получаем, что

qT + qH bT + bH

Следовательно,

_ bT +bH и \ I aT +aH

Ps

-(h -hG) +-

p S br + b

Введем обозначения Ь =

Р^

тогда уравнение (27) примет вид

/г = Ь(к -И0) + аю .

н

pS

Напишем следующее феноменологическое уравнение, описывающее вращение диска:

J со =Ch + Dm

(29)

где коэффициент С отвечает за момент сил, создаваемых столбом жидкости, Б - за передачу энергии между насосом и диском, диском и

турбиной. Введем обозначения с = С, т = Б ,

тогда динамика предложенной механической модели будет описываться следующей системой уравнений:

СО = сИ + СІЮ 1/г =Ь(И— Ь0) + аю

Для ее решения перейдем к новым координатам:

(30)

h = h-hn

CD = CD -CDn

(31)

При наложении на константы И00, ю00

дополнительных условий

Ь(Иоо -Ио) + аЮоо = 0 «Ио + С ®0о — 0

получаем линейную систему уравнений

ю = с/г + й?ю [/г =Ыг+а5у Будем искать решение системы в виде

\h=Ae~nt {й = Ве~м '

Подставив (З4) в (З0), получим:

[A(b + iv) + Ba = G I Ac + B(d + iv) = G

(34)

(35)

Данная система имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю, откуда следует, что

(26)

(27)

v = І (b + d) ±^j- 1(b + d)2 - ac + bd .

(36)

Чтобы в системе существовали колебания, частота V должна быть действительной, откуда следует, что

b = - d .

(37)

(28)

На феноменологическом языке это означает идеальность насоса и турбины, т.е. насос и турбина имеют 100% КПД. Вся энергия столба расходуется на раскручивание вала диска, вся энергия диска идет на закачку жидкости насосом. Учитывая (37) получаем

v = ±^-ac - b2 .

(38)

(32)

(33)

Чтобы частота была действительной, необходимо, чтобы -ас - Ь2 > 0. Это возможно, если константы а и с имеют разные знаки и, кроме того,

ь2 < ш.

6. Заключение

Обучение методам физического наблюдения (методам экспериментальной физики) всегда представляло собой сложную задачу. В настоящее время ее решение усложняется тем, что физическая реальность ускользает в виртуальном компьютерном мире.

Весьма показательным является итог тестирования американских школьников на знание ими законов Ньютона. Оказалось, что 80% обучаемых не знают первого закона Ньютона, т.е. живут доньютоновскими представлениями [8, 9]. Для решения этой проблемы профессором Гестенесом [8, 9] был предложен «модельный метод», суть которого состоит в том, что в курсе механики выделено шесть главных моделей, которые охватывают все содержание школьного курса. Указанные модели изучаются путем анализа специально организованных опытных наблюдений, и затем на их основе строится все остальное содержание курса.

Наш многолетний опыт преподавания показывает, что в курсе электричества столь же «непереваренными», как и первый закон Ньютона

a =

в механике, остаются понятия самоиндукции и Авторы выражают благодарность рецензенту за работы колебательного контура. В будущем эта ценные замечания и рекомендации. тема должна составить одну из базовых моделей практикума по электричеству.

Сопоставление параметров электрической емкости и индуктивности и их механических моделей

Сопоставляемые величины

Электрическая емкость Жидкость в сосуде B

Энергия конденсатора 1 7 Er = - CU 2 С 2 Энергия столба жидкости в поле тяжести Eh = 1 CBh2

Связь между зарядом на обкладках и напряжением q = CU Связь между аналогом заряда mg и аналогом напряжения к mg = CBh

Емкость плоского конденсатора С = J*. 4nd Аналог емкости Cb = PgS

Катушка индуктивности Вращающийся диск

Энергия катушки, по которой протекает электрический ток Ь El = 1 LI2 L 2 Энергия вращающегося диска D Ed = 1J Ю2 D 2

Индуктивность катушки L Аналог индуктивности - момент инерции диска J

Электрический ток в катушке I Угловая скорость вращения диска Ю

ЭДС самоиндукции u = Ldl dT Момент силы инерции K = J^ dt

Список литературы

1. Портис А. Физическая лаборатория / пер. с англ. М.: Наука, 1972. 320 с.

2. Сивков В.Г., Субботин Г.И. Физический практикум по электричеству и магнетизму. 2-е изд.. Пермь, 2004. 232 с.

3. Скляренко М.С., Марценюк М.А.

Экспериментальное исследование

механических колебаний методом

скоростной фотосъемки // Научнотехнические ведомости СПбГПУ. 2007. Т.1. №4. С.167-174.

4. Скляренко М.С., Марценюк М.А., Сивков

В.Г. Исследование вынужденных

механических колебаний методом

скоростной фотосъемки // Научнотехнические ведомости СПбГПУ. 2009. №90. С.244-252.

5. Марценюк М.А., Скляренко М.С.

Компьютерные методы в учебном

исследовании процесса диффузии // Компьютерное моделирование - 2007. Тр. междунар. науч.-техн. конф. СПб.: Изд-во Политех. ун-та, 2007. С. 153-154.

6. Скляренко М.С. Методы компьютерного

видения в физическом эксперименте // Вестн. Перм. ун-та. Информационные

системы и технологии. Вып. 2007. 10(15).

С.85-93.

7. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т. 6. Электродинамика / пер. с англ. 2-е изд. М.: Мир, 1977. 350 с.

8. Hestenes D. Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the mathematical language of physics // Am. J. Phys. 2003. Vol. 71(2). P.104. URL: http://modeling.la.asu.edu/ (дата обращения: 19.11.2010).

9. Wells M., Hestenes D., Swackhammer G. A.

modeling method for high school physics instructions // Ibid. 1995. Vol. 63(7). P606. URL: http://modeling.la.asu.edu/ (дата

обращения: 19.11.2010).

10. Марценюк М.А., Сивков В.Г., Скляренко М.С., Ширяев М.В. Новый подход к изучению колебательного контура // Вестн. Перм. ун-та. Информационные системы и технологии. Вып. 2010. 2(39). С.82-91.

11. Башта Т.М., Руднев С.С., Некрасов Б.Б. и

др. Гидравлика, гидромашины и гидроприводы: учебник для машиностроит. вузов 2-е изд., перераб.

М.:Машиностроение, 1982. 423с.

12. Технические характеристики насосов и

гидромоторов URL:

http://sibtehnokom.ru/node/1385.

Hydromechanical model of oscillatory circuit

M. A Martsenyuk, V. G. Sivkov, M. S. Sklyarenko, M. V. Shiryaev

Perm State University, 614990, Perm, Bukirev st., 15. mrcn@psu.ru, maxskl@mail.ru, sivkov@psu, HEKTO2006@yandex.ru

Modern measurement equipments often hide primary data processing and do not allow students to directly percept studying phenomenon. We propose novel approach for studying oscillatory circuits during laboratory experiments. The current is visualized with filament bulb. The quantitative analysis is taken by using digital photography data processing. Also we developed hydromechanic models of basic electric components.

Keywords: oscillatory circuit, electric circuits, modeling, learning, photography.