Функциональная связь между индуктивностью и массой, емкостью и упругостью Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 53.091

Попов Игорь Павлович Igor Popov

ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ СВЯЗЬ МЕЖДУ ИНДУКТИВНОСТЬЮ И МАССОЙ, ЕМКОСТЬЮ И УПРУГОСТЬЮ

FUNCTIONAL CONNECTION BETWEEN INDUCTANCE AND MASS, CAPACITANCE AND ELASTICITY

Установлены зависимости, связывающие величины различной физической природы — индуктивность и массу, электрическую емкость и коэффициент упругости. Вводятся понятия инертного и упругого реактивных сопротивлений, инертной индуктивности, упругой емкости, искусственной (индуктивной) массы, искусственной (емкостной) упругости. Рассматриваются колебательные системы смешанной природы. В кЬ колебательной системе энергия магнитного поля катушки индуктивности преобразуется в потенциальную энергию пружины. В тС колебательной системе энергия электрического поля конденсатора преобразуется в кинетическую энергию инертного элемента

Ключевые слова: инертная индуктивность, упругая емкость, индуктивная масса, емкостная упругость

Dependencies connecting various physical quantities — inductance and mass, and capacitance coefficient of elasticity are pointed out. The concepts of inert and reactive elastic resistance, inductance inert, elastic capacity, artificial (inductive), artificial (capacitive) elasticity are introduced. Oscillating systems mixed nature. In kL oscillating system magnetic energy coil transformed into pote ntial energy of the spring are considered. In mC vibrational energy system of the electric field capacitor is converted into kinetic energy of inert element

Key words: inertial inductance, elastic capacity, weight inductive, capacitive elasticity

Между величинами различной физической природы может существовать функциональная зависимость [1-5]. Зачастую возможность установления такой зависимости не является очевидной. Последнее замечание может быть отнесено, например, к таким величинам как индуктивность и масса, электрическая емкость и коэффициент упругости, поскольку ни одно из понятий, используемых при определении индуктивности и электрической емкости, не применяется для определения инертной массы и упругости.

Целью последующего рассмотрения является установление функциональных

соотношений между электрическими и «неэлектрическими» величинами, моделирование на их основе искусственных физических величин и исследование колебательных систем смешанной природы. Указанные функциональные соотношения могут носить лишь частный характер, поскольку их «действие» не может выходить за рамки электромеханических систем, при рассмотрении которых они получены.

1. Инертная индуктивность. Простейшей моделью инертно-индуктивного устройства (ср. [6]) является линейный пьезоэлектрический преобразователь с инертной нагрузкой массой т (см. схему).

x

Схема инертно-индуктивного устройства

Работа устройства основана на прямом и обратном пьезоэффектах. Прямой пьезо-эффект проявляется в том, что на обкладках пьезоэлемента при его деформации x появляется электрический заряд q.

q = d1x, (1)

где d1 — пьезомодуль. При подаче на обкладки напряжения u пьезоэлемент деформируется и развивает усилие F. В этом заключается обратный пьезоэффект.

F = d2u. (2)

2. Инертно-индуктивное устройство в цепи переменного тока. Для выявления «чистого» вклада массы нагрузки в реактивное сопротивление устройства целесообразно абстрагироваться от собственных емкости, индуктивности, массы и упругости пьезоэлемента, потерь на трение и активного сопротивления. В момент времени t = 0 на обкладки пьезоэлемента подает-

ся напряжение u = Ucosш t. В соответствии с третьим и вторым законами Ньютона, а также с учетом (2)

d 2 *

(3)

F = d2U cos ю t = m „ 2 dt2

Первая и вторая производные (1)

dq _ . dx d 2q _ di _ d 2x _ i _ di , _ _ di . dt 1 dt dt2 dt 1 dt2

(4)

При подстановке последнего выражения в (3)

m di di djd2U

cos ю t

m

d2U cos © t _--, — _■

d dt dt

Пусть для компактности

d1d2 = z

и пусть начальные условия — г(0) = 0. Тогда

(5)

с zU zU zU

i=\-coseo tdt =-sincoi + C, ¿(0) =-sinOi + C, C = 0,

J m ют ют

zU . U . U . i_-sinat_-sinat_-sinю ,

®m Xm ®Lm

Л _ t _ &m

Л m _ _ ,

m

Lm _ , (6)

z

где Хт — реактивное инертно-индуктивное сопротивление;

Ьт — инертная индуктивность.

Ток отстает от приложенного напряжения на те/2. Следовательно, рассматриваемое устройство обладает индуктивным характером.

3. Переходный процесс при подключении инертно-индуктивного устройства к источнику постоянного напряжения. Пусть активное сопротивление Я Ф 0 и коэффициент трения Ъ Ф 0. Уравнение механического равновесия по аналогии с (3) с учетом (4) запишется

/IV 1П /II п

(7)

х , dx m di b

+ —i ,

=m—2 + b— =

dt dt dj dt dj

dd dt dd

с учетом (5)

dL+\ A+f-4L

dt l m m I m

(8)

1 = i1 + i2 ,

i1 = C1 e

i2 = C2

При подстановке i в (8)

1 o = divQ' C1 = d1v0 -

U

blz + R

i =

d1v0

U

Л -Rb+Rt

b¡z + R

+ ■

U

b/z + R

lo -

Rb =

U

Rb + R y

e~ll x+-

U

Rb+R

L„

m

x =

R + R b + Rz

(10)

где ип — напряжение на пьезоэлементе.

Баланс напряжений в соответствии со вторым законом Кирхгофа

тт п- т & Ь . и = ы„ + Я =--+-1 + Я

Здесь ЯЪ — фрикционное сопротивление; т — постоянная времени цепи.

Характер протекания тока идентичен изменению тока в катушке индуктивности при замыкании и размыкании цепи. При включении источника питания начальный ток отсутствует

U

i =■

Rb + R

(1 -е-* .

Общее решение дифференциального уравнения I является суммой общего решения ¡1 однородного уравнения (без правой части) ( свободная составляющая тока) и частного решения г'2 (принужденная составляющая)

Ь+Яг

При отключении источника U = 0, i = IQe~t/x.

4. Упругая емкость. Упруго-емкостное устройство в цепи переменного тока. Упруго-емкостное устройство отличается от инертно-индуктивного устройства (см. схему) тем, что вместо груза его нагрузкой является пружина с коэффициентом упругости к. По аналогии с (3), при тех же допущениях, в соответствии с законом Гука, с учетом (5) и первого уравнения (4)

F = d2UcosQt = kx, -d2(Usinñt = к— = —i ,

dt d1

b + Rz _ Uz = U

C2 - C2 ~T, ñ m m b/z + R

- b/z+R

i = i1 + i2 = C1e m

U

b/z + R

(9)

Пусть у(0) = . Из первого уравнения (4) определяется начальный ток при t = 0, а из (9) — постоянная С1

i = _zaU и sin= -®CkU sin(wt) = k

= —— sin(wt) = -I sin Ш.

^k

Ток опережает приложенное напряжение на л/2, следовательно, рассматриваемое устройство обладает емкостным характером. Здесь кх — сила упругости,

z

У — 1 - к ук-—рг- — юск ую

Ск - -к к

(11)

dt

(12)

(13)

dt Ь + Rd1d2 Ь + Rd1d2

х X1 + X2, — С1^

ь+^

При подстановке x2 в (13)

0 +

к

Ь + ^

С —

Ш2 Ь + ^

С2 —

X2 C2.

Ш2

* = С1в

Ь+Rz

ш 2

С1 — *0

Ш 2

С учетом (5)

(

и

__к*о/ d2

Ь/г + R Ь/г + R

и-и

RЬ +R

о е

— реактивное упруго-емкостное сопротивление и упругая емкость (ср. [7, 8]).

5. Переходный процесс при подключении упру го-емкостного устройства к источнику постоянного напряжения. Пусть x(0) = x0. При допущениях п. 3 уравнение сил по аналогии с (7) и в соответствии с законом Гука имеет вид

d2u.a = кх + Ь— •

Баланс напряжений в соответствии со вторым законом Кирхгофа, с учетом (12) и первого уравнения (4),

ТТ г.- к Ь Лх d* и = ип + Rl = — х +--+ Rdl —,

d2 d2 dt dt

dx к Ud2 ч--х — -

Здесь

1 — Ск ( + R) —- — постоянная

к

времени электрической цепи. Характер протекания тока идентичен процессу зарядки конденсатора при включении источника постоянного напряжения. При U = 0 режим аналогичен процессу разряда конденсатора.

6. Колебательные системы смешанной природы. Соотношения (6) и (11) могут быть использованы при создании колебательных систем смешанной природы (ср. [9, 10]). Их собственные частоты:

ю

0тС

' тС

ю

0кЬ

(14)

Выражение (6) может рассматриваться как искусственная индуктивность, а (11) — как искусственная емкость.

Сопоставление соотношений (14) с формулой для собственной частоты механического осциллятора ю0 = (к/т)0'5 позволяет установить существование искусственных механических величин.

Искусственная (индуктивная) масса

тЬ — гЬ

(15)

* — *0

Ь +Яz

ш2

Производная последнего выражения с учетом первых уравнений (4) и (10)

ЛХ

Ш2

х0к

г/к(Ь/г + Я) _

Л Л1 \Ь + Rz Ь + Rz

( Ш2 ё.^к/^ ^

Ь + Rz Ь + Rz

Ск ( + Я)

реализутся в виде кЬ колебательной системы без пружины.

Искусственная (емкостная) упругость

г

кс —-

С

(16)

реализуется в виде тС колебательной системы без инертной нагрузки.

Выражения (6), (11), (15), (16) позволяют привести соотношения (14) к классическому виду.

к

к

к

t

t

— Г^ — 1 — РС

®0тСу~'

- [к — 1 — [к

Ю0кЬ N й 1 Ь

В соответствии с последними выражениями тС и кЬ системы могут быть представлены как электрические колебательные контуры с искусственными индуктивностью или емкостью либо как механические маятники с искусственными массой или упругостью.

Таким образом, на основе рассмотрения процессов, происходящих в системах, включающих как электрические, так и «неэлектрические» параметры, установлены частные функциональные зависимости (6), (10), (11), (14) —(16) между величинами различной физической природы. Указанные зависимости позволяют модели-

ровать объекты с «искусственными» электрическими и механическими величинами — индуктивностью, емкостью, массой и упругостью, которые могут иметь разнообразные технические приложения.

Использование объектов с «искусственными» физическими величинами позволяет создавать колебательные системы, в которых свободные гармонические колебания могут происходить при взаимодействии величин различной физической природы — одновременно электрической и механической.

«Искусственные» масса, упругость, индуктивность и емкость принципиально отличаются от аналогий между механическими и электромагнитными величинами, поскольку электромагнитные аналоги не могут применяться в качестве элементов механических систем, а механические — в электрических цепях.

Литература

1. Баландин О.А., Верхотуров А.Р. Теоретические аспекты взаимодействия твердых частиц с электромагнитными волнами // Вестник ЧитГУ. 2011. № 12(79). С. 71-77.

2. Романов В.Г. Экспериментальное обоснование зависимости «состав—свойства» на основе исследования электрических свойств синтезированных галенитов // Вестник ЧитГУ. 2009. № 1(52). С.92-99.

3. Попов И.П. Об электромагнитной системе единиц // Вестник Челябинского гос. ун-та. Физика. 2010. Вып. 7. № 12(193). С. 78-79.

4. Попов И.П. Сопоставление квантового и макроописания магнитного потока // Сборник научных трудов аспирантов и соискателей Курганского государственного университета. 2010. Вып. XIII. С. 26.

5. Попов И.П. Электромагнитное представление квантовых величин // Вестник Курганского государственного университета. Естественные науки. 2010. Вып. 3, № 2(18). С. 59-62.

6. Попов И.П. Упруго-индуктивное устройство //Зауральский научный вестник. 2011. Вып. № 1.С. 181-183.

7. Попов И.П. Инертно-емкостное устройство //Актуальные проблемы современной науки и практики: Материалы международной научно-практической конференции. Курган: УрГУПС.

2011. С.119-120.

8. Попов И.П. Вращательные инертно-емкостные устройства // Вестник СамГТУ. Технические науки. 2011. №3(31). С. 191-196.

9. Попов И.П. Свободные гармонические колебания в системах с однородными элементами // Прикладная математика и механика. 2012. Т. 76. Вып. 4. С. 546-549.

10. Попов И.П., Попов Д.П., Кубарева С.Ю. О самонейтрализации реакции системы, состоящей из упругих элементов, на гармонические воздействия // Зауральский научный вестник.

2012. № 2. С. 39-41.

Коротко об авторе_

Попов И.П., начальник отдела инновационного развития Департамента экономического развития, торговли и труда Правительства Курганской области, г. Курган [email protected]

_Briefly about the author

I. Popov, head of Innovation Development Department of Economic Development, Trade and Labour of the Government of the Kurgan region, Kurgan

Научные интересы: электрофизика

Scientific nterests: electro-physics