Зависимость реактивного сопротивления пьезоэлектрического преобразователя от механических параметров его нагрузки Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

9. Baudet V., Beuve M., Jaillet F., Shariat B., Zara F. Integrating Tensile Parameters in Hexahedral Massspring System for Simulation // Laboratoire d'InfoRmatique en Image et Systemes d'information. - Research report, 2007. - S p. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://liris.cnrs.fr/Documents/Liris-4449.pdf, свободный. Яз. англ. (дата обращения 2S.07.2013).

10. Hendriks F. Mechanical behavior of human epidermal and dermal layers in vivo. - The Netherlands: Technische University Eindhoven, Eindhoven, 2005. - 119 p. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://alexandria.tue.nl/extra2/200510941.pdf, свободный. Яз. англ. (дата обращения 2S.07.2013).

11. Geerlings M. Skin layer mechanics. PhD thesis. - The Netherlands, Universiteitsdrukkerij TU Eindhoven, Eindhoven, 2009. - 122 p. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://alexandria.tue.nl/extra2/657S03.pdf, свободный. Яз. англ. (дата обращения 2S.07.2013).

Николаев Сергей Николаевич - Санкт-Петербургский государственный университет, аспирант,

[email protected]

УДК 53.091

ЗАВИСИМОСТЬ РЕАКТИВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ОТ МЕХАНИЧЕСКИХ

ПАРАМЕТРОВ ЕГО НАГРУЗКИ И.П. Попов

Показано, что инертная нагрузка пьезоэлектрического преобразователя может быть представлена в виде индуктивного сопротивления в его цепи питания, а упругая - в виде емкостного. Предложены модели колебательных систем с элементами различной физической природы, в которых могут возникать свободные гармонические колебания. Показано, что в инертно-емкостной (mC) колебательной системе происходит взаимное превращение энергии электрического поля конденсатора в кинетическую энергию массивного элемента; в упруго-индуктивной (kL) колебательной системе происходит взаимное превращение энергии магнитного поля соленоида в потенциальную энергию пружины.

Ключевые слова: инертная индуктивность, упругая емкость.

Введение

При разработке мехатронных систем следует учитывать, что механическая нагрузка может быть представлена в виде реактивного сопротивления в цепях питания электромеханических преобразователей. В индуктивных преобразователях инертная нагрузка создает емкостное сопротивление, а упругая -индуктивное [1]. В настоящее время получили распространение пьезокерамические электромеханические преобразователи [2], особенно в робототехнике [3]. Актуальной задачей является выявление характера реактивного сопротивления (их цепей питания), в виде которого представлена механическая нагрузка. В литературе нет непосредственного решения этой задачи. Предпосылкой ее решения является одна из двух систем аналогий между электромагнитными и механическими величинами [4], в соответствии с которыми масса и упругость связаны дуальными соотношениями с индуктивностью и емкостью: m ^ L, k ^ C.

Однако дуальная связь не является функциональной, поскольку охватываемые ею величины относятся к изолированным друг от друга системам. По этой причине указанные соотношения сами по себе не дают оснований рассматривать механические величины в качестве параметров электрических цепей.

Целью настоящей работы является представление механической нагрузки в виде реактивного сопротивления в цепи питания пьезоэлектрических преобразователей.

Пьезоэлектрический преобразователь с инертной нагрузкой в электрической цепи

На рис. 1 изображен пьезоэлектрический преобразователь с инертной нагрузкой массой m. Работа преобразователя основана на прямом и обратном пьезоэффектах. Прямой пьезоэффект проявляется в том, что на обкладках пьезоэлемента при его деформации x появляется электрический заряд q:

q = d1x, (1)

где d1 - пьезомодуль. При подаче на обкладки напряжения u пьезоэлемент деформируется и развивает усилие F:

F = d2u. (2)

В этом заключается обратный пьезоэффект. Для выявления характера реактивного сопротивления цепи питания преобразователя, в виде которого представлена инертная нагрузка, целесообразно абстрагироваться от собственных емкости, индуктивности, массы и упругости пьезоэлемента, потерь на трение и активного сопротивления.

Пусть на обкладки пьезоэлемента подается напряжение u. В соответствии с третьим и вторым законами Ньютона, а также с учетом (2)

17 Л Л2 Х

р = а2и = т——

2 а

Первая и вторая производные (1) равны

dq , а ах а2 q аг ^ а2 х ж 1 а^ аг2 аг 1 аг2 '

Пусть для компактности

а1а2 = г.

(3)

(4)

(5)

При подстановке второго выражения (4) в (3) имеем и = т— . Сравнение этого выражения с наг аг

Т л т

пряжением на катушке индуктивности и = ь— дает ьт = —, где ьт - инертная индуктивность.

аг г

Рис. 1. Пьезоэлектрический преобразователь с инертной нагрузкой

Переходный процесс при подключении пьезоэлектрического преобразователя с инертной нагрузкой к источнику постоянного напряжения

Пусть активное сопротивление Я Ф 0 и коэффициент трения Ь Ф 0. Уравнение механического равновесия по аналогии с (3) с учетом (4) запишется как

, а2 х ах т аг ь

а2ип =т—— + Ь— =---+--г,

аг аг л аг Л

(6)

где ип - напряжение на пьезоэлементе. Баланс напряжений в соответствии со вторым законом Кирхгофа

,, п. т Ь, и = ип + Яг =--+-г + Яг ,

а1а2 аг а1а2

с учетом (5)

01+| Ь+Яг. 11 =иг

аг I т т ) т

(7)

Общее решение дифференциального уравнения г является суммой общего решения г1 однородного уравнения (без правой части) (свободная составляющая тока) и частного решения г2 (принужденная составляющая)

Ь+Яг

г=г1 + г2:

\ = С1е

г 2 = С2 .

При подстановке г2 в (7) 0 +

Ь + Яг

С2 =

иг_

т

С2

и

Ь/г + Я

_ Ь/г+Я

г=г1 + г2 =С1е т/г

и

Ь/г + Я' (8)

Пусть у(0) = у0 . Из первого уравнения (4) определяется начальный ток при г = 0, а из (8) - постоянная С1:

/0 = а1^0,

г = I а1у0 -

С1 = а1^0 _

и

и

Ь/г + Я

Ь/г + Я

Яь + Я г е Ьт +-

Ь/г + Я

/ 0 _

и

Яь + Я

е-г1т +-

и

Яь + Я

т

и

Я = -,

ьт

ЯЬ + Я Ь + Яг

(9)

Здесь ЯЬ - фрикционное сопротивление, т - постоянная времени цепи. Характер протекания тока идентичен изменению тока в катушке индуктивности при замыкании и размыкании цепи. При включении источника питания начальный ток отсутствует:

и

Яь + Я

((т).

Этому решению соответствует электрическая схема пьезоэлектрического преобразователя с инертной нагрузкой, представленная на рис. 2. При отключении источника и = 0, г = /0е-*"\

Ь/г Я

Рис. 2. Электрическая схема пьезоэлектрического преобразователя с инертной нагрузкой Пьезоэлектрический преобразователь с упругой нагрузкой в электрической цепи

На рис. 3 изображен пьезоэлектрический преобразователь с упругой нагрузкой с коэффициентом упругости к [5, 6].

Рис. 3. Пьезоэлектрический преобразователь с упругой нагрузкой По аналогии с (3), при тех же допущениях, в соответствии с законом Гука, с учетом (5) и первого

уравнения (4) имеем ^ = d2u = кх, С2 — = к— = , г = ——. Сравнение последнего выражения с

Ж

dt d1

к dt

. пСи г

током в конденсаторе г = С — дает Ск = —, где Ск - упругая емкость.

dt к

Переходный процесс при подключении пьезоэлектрического преобразователя с упругой нагрузкой

к источнику постоянного напряжения

Пусть х(0) = х0, Я Ф 0, Ь Ф 0. Уравнение сил по аналогии с (6) и в соответствии с законом Гука имеет вид

С2ип = кх + Ь—. 2 п dt

(10)

Баланс напряжений в соответствии со вторым законом Кирхгофа с учетом (10) и первого уравнения (4) запишется как

к Ь Сх dx и = ип + Яг =— х +--+ ЯС, —,

Сх

d2 С2 dt Ш2

1 СХ

dt Ь + ЯС1С2

х=

Ь + ЯС1С2

(11)

х = х! + х2, х1 = С1е Ь+Яг

При подстановке х2 в (11) 0 +

х2 = С 2. к = ис2 = ис

Ь + Яг 2 = Ь + Яг , 2 = к

2 х = С1е

к

Ь+Яг

ис2

С1 — х0

ис2

ис2

х — х

ис2

. Производная последнего выражения с учетом первых уравнений (4) и (9)

есть

т

к

г г

Жх = = [ иа2 _ хрк ) ~~г/щг+я) = ( иа2 _ж^х^/ж^^ "Скя+я)

аг~ Ь + Яг Ь + Яг)е =[ Ь + Яг Ь + Яг )£ '

С учетом (5)

г = __^х^)е-гь е-гь . (12)

^ Ь/г + Я Ь/ г + Я ) ЯЬ + Я

Здесь ^ Ск Я +Я )= ^ - постоянная времени Электрической цепи. Характер протекаНИЯ

тока идентичен процессу зарядки конденсатора при включении источника постоянного напряжения. Решению (12) соответствует электрическая схема пьезоэлектрического преобразователя с упругой нагрузкой, представленная на рис. 4. При и = 0 режим аналогичен процессу разряда конденсатора.

г/к Ь/г Я

Рис. 4. Электрическая схема пьезоэлектрического преобразователя с упругой нагрузкой

Колебательные системы с элементами различной физической природы

Для электрической цепи инертная индуктивность Ьт неотличима от «обычной» индуктивности Ь, а упругая емкость Ск - от «обычной» емкости С. При соединении преобразователей с искусственными электрическими величинами с катушкой индуктивности или конденсатором образуются колебательные системы, в которых могут возникать свободные гармонические колебания.

Собственная частота колебаний автономной консервативной инертно-емкостной (тС) системы

равна

= 1 = /~г~

ЮтС0 = г—— = \ п .

4ЬтС ^тС

Собственная частота колебаний упруго-индуктивной (кЬ) системы равна

= 1 = Гк ЮкЬ0 = 4ЬГк=\ьг •

В отличие от колебательных систем с однородными элементами [7-11], в (тС)- и (кЬ)-системах колебания происходят при взаимодействии величин различной физической природы - инертной массы и электрической емкости, упругости и индуктивности.

Заключение

В работе показано, что инертная нагрузка пьезоэлектрического преобразователя может быть представлена в виде индуктивного сопротивления в его цепи питания, а упругая - в виде емкостного, что дает возможность учитывать эти сопротивления при проектировании мехатронных систем, в частности, принимать меры к их электрической компенсации путем создания контуров с элементами противоположной реактивности. Эти меры позволяют оптимизировать динамические и энергетические характеристики ме-хатронных систем.

Литература

1. Попов И.П. Реактивные элементы электрических цепей с «неэлектрическими» параметрами // Вестник Самарского государственного технического университета. Технические науки. - 2010. - № 4 (27).

- С. 166-173.

2. Бойков В.И., Быстров С.В, Королев А.Ю. Динамика пьезопривода с управлением от широтно-импульсного модулятора с тремя состояниями // Изв. вузов. Приборостроение. - 2013. - Т. 56. - № 4.

- С. 81-85.

3. Гедько Ю.Г., Смирнов Б.С., Пугачев И.П., Рытов Ю.Р. Исследование пьезоэлектрических актюаторов микроробота // Изв. вузов. Приборостроение. - 2012. - Т. 55. - № 6. - С. 7-15.

4. Милях А.Н., Шидловский А.К. Принцип взаимности и обратимость явлений в электротехнике. - К.: Наукова думка, 1967. - 316 с.

5. Ткалич В.Л., Лабковская Р.Я., Пирожникова О.И. Метод повышения надежности упругих чувствительных элементов систем управления и автоматики // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. -2011. - № 1 (71). - С. 136-137.

6. Пирогов С.П., Чуба А.Ю. Расчет частот собственных колебаний манометрических трубчатых пружин // Изв. вузов. Приборостроение. - 2012. - Т. 55. - № 1. - С. 39-42.

7. Буслаева М.М. Разработка осциллятора малых угловых колебаний // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. - 2010. - № 1 (65). - С. 68-74.

8. Акунов Т.А., Дударенко Н.А., Полинова Н.А., Ушаков А.В. Исследование колебательности процессов в апериодических непрерывных системах, порождаемой фактором кратности собственных чисел // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2013. - № 3 (85). -С. 55-60.

9. Попов И.П. Колебательные системы, состоящие только из инертных или только упругих элементов, и возникновение в них свободных гармонических колебаний // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. - 2013. - № 1 (21). - С. 95-103.

10. Попов И.П. Свободные гармонические колебания в электрических системах с однородными реактивными элементами // Электричество. - 2013. - № 1. - С. 57-59.

11. Попов И.П. Свободные гармонические колебания в системах с однородными элементами // Прикладная математика и механика. - 2012. - Т. 76. - Вып. 4. - С. 546-549.

Попов Игорь Павлович - Курганский государственный университет, аспирант, [email protected]