9. Baudet V., Beuve M., Jaillet F., Shariat B., Zara F. Integrating Tensile Parameters in Hexahedral Massspring System for Simulation // Laboratoire d'InfoRmatique en Image et Systemes d'information. - Research report, 2007. - S p. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://liris.cnrs.fr/Documents/Liris-4449.pdf, свободный. Яз. англ. (дата обращения 2S.07.2013).
10. Hendriks F. Mechanical behavior of human epidermal and dermal layers in vivo. - The Netherlands: Technische University Eindhoven, Eindhoven, 2005. - 119 p. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://alexandria.tue.nl/extra2/200510941.pdf, свободный. Яз. англ. (дата обращения 2S.07.2013).
11. Geerlings M. Skin layer mechanics. PhD thesis. - The Netherlands, Universiteitsdrukkerij TU Eindhoven, Eindhoven, 2009. - 122 p. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://alexandria.tue.nl/extra2/657S03.pdf, свободный. Яз. англ. (дата обращения 2S.07.2013).
Николаев Сергей Николаевич - Санкт-Петербургский государственный университет, аспирант,
ser.niev@gmail.com
УДК 53.091
ЗАВИСИМОСТЬ РЕАКТИВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ОТ МЕХАНИЧЕСКИХ
ПАРАМЕТРОВ ЕГО НАГРУЗКИ И.П. Попов
Показано, что инертная нагрузка пьезоэлектрического преобразователя может быть представлена в виде индуктивного сопротивления в его цепи питания, а упругая - в виде емкостного. Предложены модели колебательных систем с элементами различной физической природы, в которых могут возникать свободные гармонические колебания. Показано, что в инертно-емкостной (mC) колебательной системе происходит взаимное превращение энергии электрического поля конденсатора в кинетическую энергию массивного элемента; в упруго-индуктивной (kL) колебательной системе происходит взаимное превращение энергии магнитного поля соленоида в потенциальную энергию пружины.
Ключевые слова: инертная индуктивность, упругая емкость.
Введение
При разработке мехатронных систем следует учитывать, что механическая нагрузка может быть представлена в виде реактивного сопротивления в цепях питания электромеханических преобразователей. В индуктивных преобразователях инертная нагрузка создает емкостное сопротивление, а упругая -индуктивное [1]. В настоящее время получили распространение пьезокерамические электромеханические преобразователи [2], особенно в робототехнике [3]. Актуальной задачей является выявление характера реактивного сопротивления (их цепей питания), в виде которого представлена механическая нагрузка. В литературе нет непосредственного решения этой задачи. Предпосылкой ее решения является одна из двух систем аналогий между электромагнитными и механическими величинами [4], в соответствии с которыми масса и упругость связаны дуальными соотношениями с индуктивностью и емкостью: m ^ L, k ^ C.
Однако дуальная связь не является функциональной, поскольку охватываемые ею величины относятся к изолированным друг от друга системам. По этой причине указанные соотношения сами по себе не дают оснований рассматривать механические величины в качестве параметров электрических цепей.
Целью настоящей работы является представление механической нагрузки в виде реактивного сопротивления в цепи питания пьезоэлектрических преобразователей.
Пьезоэлектрический преобразователь с инертной нагрузкой в электрической цепи
На рис. 1 изображен пьезоэлектрический преобразователь с инертной нагрузкой массой m. Работа преобразователя основана на прямом и обратном пьезоэффектах. Прямой пьезоэффект проявляется в том, что на обкладках пьезоэлемента при его деформации x появляется электрический заряд q:
q = d1x, (1)
где d1 - пьезомодуль. При подаче на обкладки напряжения u пьезоэлемент деформируется и развивает усилие F:
F = d2u. (2)
В этом заключается обратный пьезоэффект. Для выявления характера реактивного сопротивления цепи питания преобразователя, в виде которого представлена инертная нагрузка, целесообразно абстрагироваться от собственных емкости, индуктивности, массы и упругости пьезоэлемента, потерь на трение и активного сопротивления.
Пусть на обкладки пьезоэлемента подается напряжение u. В соответствии с третьим и вторым законами Ньютона, а также с учетом (2)
17 Л Л2 Х
р = а2и = т——
2 а
Первая и вторая производные (1) равны
dq , а ах а2 q аг ^ а2 х ж 1 а^ аг2 аг 1 аг2 '
Пусть для компактности
а1а2 = г.
(3)
(4)
(5)
При подстановке второго выражения (4) в (3) имеем и = т— . Сравнение этого выражения с наг аг
Т л т
пряжением на катушке индуктивности и = ь— дает ьт = —, где ьт - инертная индуктивность.
аг г
Рис. 1. Пьезоэлектрический преобразователь с инертной нагрузкой
Переходный процесс при подключении пьезоэлектрического преобразователя с инертной нагрузкой к источнику постоянного напряжения
Пусть активное сопротивление Я Ф 0 и коэффициент трения Ь Ф 0. Уравнение механического равновесия по аналогии с (3) с учетом (4) запишется как
, а2 х ах т аг ь
а2ип =т—— + Ь— =---+--г,
аг аг л аг Л
(6)
где ип - напряжение на пьезоэлементе. Баланс напряжений в соответствии со вторым законом Кирхгофа
,, п. т Ь, и = ип + Яг =--+-г + Яг ,
а1а2 аг а1а2
с учетом (5)
01+| Ь+Яг. 11 =иг
аг I т т ) т
(7)
Общее решение дифференциального уравнения г является суммой общего решения г1 однородного уравнения (без правой части) (свободная составляющая тока) и частного решения г2 (принужденная составляющая)
Ь+Яг
г=г1 + г2:
\ = С1е
г 2 = С2 .
При подстановке г2 в (7) 0 +
Ь + Яг
С2 =
иг_
т
С2
и
Ь/г + Я
_ Ь/г+Я
г=г1 + г2 =С1е т/г
и
Ь/г + Я' (8)
Пусть у(0) = у0 . Из первого уравнения (4) определяется начальный ток при г = 0, а из (8) - постоянная С1:
/0 = а1^0,
г = I а1у0 -
С1 = а1^0 _
и
и
Ь/г + Я
Ь/г + Я
Яь + Я г е Ьт +-
Ь/г + Я
/ 0 _
и
Яь + Я
е-г1т +-
и
Яь + Я
т
и
Я = -,
ьт
ЯЬ + Я Ь + Яг
(9)
Здесь ЯЬ - фрикционное сопротивление, т - постоянная времени цепи. Характер протекания тока идентичен изменению тока в катушке индуктивности при замыкании и размыкании цепи. При включении источника питания начальный ток отсутствует:
и
Яь + Я
((т).
Этому решению соответствует электрическая схема пьезоэлектрического преобразователя с инертной нагрузкой, представленная на рис. 2. При отключении источника и = 0, г = /0е-*"\
Ь/г Я
Рис. 2. Электрическая схема пьезоэлектрического преобразователя с инертной нагрузкой Пьезоэлектрический преобразователь с упругой нагрузкой в электрической цепи
На рис. 3 изображен пьезоэлектрический преобразователь с упругой нагрузкой с коэффициентом упругости к [5, 6].
Рис. 3. Пьезоэлектрический преобразователь с упругой нагрузкой По аналогии с (3), при тех же допущениях, в соответствии с законом Гука, с учетом (5) и первого
уравнения (4) имеем ^ = d2u = кх, С2 — = к— = , г = ——. Сравнение последнего выражения с
Ж
dt d1
к dt
. пСи г
током в конденсаторе г = С — дает Ск = —, где Ск - упругая емкость.
dt к
Переходный процесс при подключении пьезоэлектрического преобразователя с упругой нагрузкой
к источнику постоянного напряжения
Пусть х(0) = х0, Я Ф 0, Ь Ф 0. Уравнение сил по аналогии с (6) и в соответствии с законом Гука имеет вид
С2ип = кх + Ь—. 2 п dt
(10)
Баланс напряжений в соответствии со вторым законом Кирхгофа с учетом (10) и первого уравнения (4) запишется как
к Ь Сх dx и = ип + Яг =— х +--+ ЯС, —,
Сх
d2 С2 dt Ш2
1 СХ
dt Ь + ЯС1С2
х=
Ь + ЯС1С2
(11)
х = х! + х2, х1 = С1е Ь+Яг
При подстановке х2 в (11) 0 +
х2 = С 2. к = ис2 = ис
Ь + Яг 2 = Ь + Яг , 2 = к
2 х = С1е
к
Ь+Яг
ис2
С1 — х0
ис2
ис2
х — х
ис2
. Производная последнего выражения с учетом первых уравнений (4) и (9)
есть
т
к
г г
Жх = = [ иа2 _ хрк ) ~~г/щг+я) = ( иа2 _ж^х^/ж^^ "Скя+я)
аг~ Ь + Яг Ь + Яг)е =[ Ь + Яг Ь + Яг )£ '
С учетом (5)
г = __^х^)е-гь е-гь . (12)
^ Ь/г + Я Ь/ г + Я ) ЯЬ + Я
Здесь ^ Ск Я +Я )= ^ - постоянная времени Электрической цепи. Характер протекаНИЯ
тока идентичен процессу зарядки конденсатора при включении источника постоянного напряжения. Решению (12) соответствует электрическая схема пьезоэлектрического преобразователя с упругой нагрузкой, представленная на рис. 4. При и = 0 режим аналогичен процессу разряда конденсатора.
г/к Ь/г Я
Рис. 4. Электрическая схема пьезоэлектрического преобразователя с упругой нагрузкой
Колебательные системы с элементами различной физической природы
Для электрической цепи инертная индуктивность Ьт неотличима от «обычной» индуктивности Ь, а упругая емкость Ск - от «обычной» емкости С. При соединении преобразователей с искусственными электрическими величинами с катушкой индуктивности или конденсатором образуются колебательные системы, в которых могут возникать свободные гармонические колебания.
Собственная частота колебаний автономной консервативной инертно-емкостной (тС) системы
равна
= 1 = /~г~
ЮтС0 = г—— = \ п .
4ЬтС ^тС
Собственная частота колебаний упруго-индуктивной (кЬ) системы равна
= 1 = Гк ЮкЬ0 = 4ЬГк=\ьг •
В отличие от колебательных систем с однородными элементами [7-11], в (тС)- и (кЬ)-системах колебания происходят при взаимодействии величин различной физической природы - инертной массы и электрической емкости, упругости и индуктивности.
Заключение
В работе показано, что инертная нагрузка пьезоэлектрического преобразователя может быть представлена в виде индуктивного сопротивления в его цепи питания, а упругая - в виде емкостного, что дает возможность учитывать эти сопротивления при проектировании мехатронных систем, в частности, принимать меры к их электрической компенсации путем создания контуров с элементами противоположной реактивности. Эти меры позволяют оптимизировать динамические и энергетические характеристики ме-хатронных систем.
Литература
1. Попов И.П. Реактивные элементы электрических цепей с «неэлектрическими» параметрами // Вестник Самарского государственного технического университета. Технические науки. - 2010. - № 4 (27).
- С. 166-173.
2. Бойков В.И., Быстров С.В, Королев А.Ю. Динамика пьезопривода с управлением от широтно-импульсного модулятора с тремя состояниями // Изв. вузов. Приборостроение. - 2013. - Т. 56. - № 4.
- С. 81-85.
3. Гедько Ю.Г., Смирнов Б.С., Пугачев И.П., Рытов Ю.Р. Исследование пьезоэлектрических актюаторов микроробота // Изв. вузов. Приборостроение. - 2012. - Т. 55. - № 6. - С. 7-15.
4. Милях А.Н., Шидловский А.К. Принцип взаимности и обратимость явлений в электротехнике. - К.: Наукова думка, 1967. - 316 с.
5. Ткалич В.Л., Лабковская Р.Я., Пирожникова О.И. Метод повышения надежности упругих чувствительных элементов систем управления и автоматики // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. -2011. - № 1 (71). - С. 136-137.
6. Пирогов С.П., Чуба А.Ю. Расчет частот собственных колебаний манометрических трубчатых пружин // Изв. вузов. Приборостроение. - 2012. - Т. 55. - № 1. - С. 39-42.
7. Буслаева М.М. Разработка осциллятора малых угловых колебаний // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. - 2010. - № 1 (65). - С. 68-74.
8. Акунов Т.А., Дударенко Н.А., Полинова Н.А., Ушаков А.В. Исследование колебательности процессов в апериодических непрерывных системах, порождаемой фактором кратности собственных чисел // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2013. - № 3 (85). -С. 55-60.
9. Попов И.П. Колебательные системы, состоящие только из инертных или только упругих элементов, и возникновение в них свободных гармонических колебаний // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. - 2013. - № 1 (21). - С. 95-103.
10. Попов И.П. Свободные гармонические колебания в электрических системах с однородными реактивными элементами // Электричество. - 2013. - № 1. - С. 57-59.
11. Попов И.П. Свободные гармонические колебания в системах с однородными элементами // Прикладная математика и механика. - 2012. - Т. 76. - Вып. 4. - С. 546-549.
Попов Игорь Павлович - Курганский государственный университет, аспирант, ip.popow@yandex.ru