Реактивные элементы электрических цепей с «Неэлектрическими» параметрами Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.3.011.1

РЕАКТИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ С «НЕЭЛЕКТРИЧЕСКИМИ» ПАРАМЕТРАМИ И.П. Попов

Правительство Курганской области. Департамент экономического развития, торговли и труда. Управление стратегического планирования и прогнозирования.

640024, Курган, ул. Гоголя, 56

Рассматриваются реактивные элементы электрических цепей с «неэлектрическими» параметрами - инертный, упругий и др. Определяется характер процессов, протекающих в них, и характер самих элементов. Показана возможность создания колебательных систем, элементы которых имеют различную физическую природу - электрическую и механическую, электрическую и термодинамическую и т.д.

Ключевые слова: реактивные, цепи, инертный, упругий, термодинамический.

Введение

Изоморфность в математическом смысле механических и электрических устройств позволяет осуществлять электрическое моделирование механических процессов и систем [1]. Ниже будет показано, что «неэлектрические» величины могут являться параметрами не только схем замещения, но и электрических цепей непосредственно, и на основе этого возможна разработка и использование реактивных элементов электрических цепей, выполненных на иных физических принципах.

Традиционные реактивные элементы емкость и индуктивность характеризуются фазовыми соотношениями между приложенным синусоидальным напряжением и протекающим синусоидальным током, а также видом переходных процессов. Кроме того, совокупность реактивных элементов с различным характером реактивности образует колебательные системы, в которых могут возникать свободные гармонические колебания и резонансные явления. Эти три позиции положим в основу дальнейшего рассмотрения.

1. Инертный ш-элемент. Покажем, что число параметров электрических цепей Я, Ь, С может быть расширено за счет введения нового параметра, характеризующегося массой т подвижного элемента электромеханической системы.

Вводимый в рассмотрение т-элемент представляет собой устройство (рис. 1), состоящее из последовательно соединенных проводящих рамок, активные части проводников которых длиной I распределены в некоторой плоскости, и постоянного магнита массой т с индукцией В, между полюсами которого находится п Рис. 1 Инертньш т-элемент проводников [2]. По существу это упро-

Попов Игорь Павлович - начальник отдела инновационного развития.

щенная модель электрической машины.

Определим характер процессов, протекающих в электрических цепях, содержащих m-элемент, а также характер самого m-элемента.

1.1. m-элемент в цепи синусоидального тока. Покажем, что m-элемент имеет реактивный характер. Для его выявления в чистом виде целесообразно прибегнуть к идеализации m-элемента, т.е. к следующим допущениям: активное сопротивление R = 0 , коэффициент трения b = 0, индуктивность L = 0.

Подключим m-элемент к источнику синусоидальной ЭДС e = Em sin at. Опишем состояние m-элемента в виде системы двух уравнений в соответствии со вторым законом Ньютона и вторым правилом Кирхгофа

d 2 x

m

2

= Blni

dt2 dx

Bln= Em dt

где x - перемещение инертной части, Blni - сила Ампера, Bln (dx I dt) - ЭДС электромагнитной индукции. B, l, n, - параметры, обусловливающие электромеханическое взаимодействие. Введем параметрический коэффициент y = Bln . Система имеет решение

E„, a m

i = -

2

cos at =

У

Em

sin( at + —), 2

где

a m

- реактивное инертное сопротивление. Ток опережает

приложенное напряжение на угол % /2. Таким образом, рассматриваемый т-элемент имеет емкостной характер. При этом

г _т_

¥ у 2.

1.2. Переходный процесс при постоянной ЭДС. Покажем, что и в этом случае т-элемент ведет себя идентично электрической емкости.

Для исключения влияния собственной индуктивности т-элемента положим Ь = 0 . При этом Ь Ф 0, Я Ф 0 и, следовательно, уравнение для сил по сравнению с п. 1.1 дополнится силой трения Ь(йх/ , а уравнение по второму правилу

Кирхгофа - падением напряжения Яг. В момент ( = 0 цепь подключается к источнику ЭДС е(?) = Е . Пусть ёх/ = у0 . Уравнения движения и состояния

цепи примут вид:

d2x

dx

m—— + b— = Blni dt2 dt

dx

Bln — + Ri = E dt

(

Система имеет следующее решение: i =

у vo + E R

E

y 2 I b + R

+

2

-t

T

Э

e

E

y 2 / b + R

( E0 + E R

E

R3 + R /

— e Хэ +■

E

R3 + R

п 1 1 1

в обмотке в момент ( = 0, — =--------- -

Т3 RC з R3C3 Rm / y m / b

, где E0 = yv0 - 3ДС, индуцированная

т+—. R = У-

2 и/i IA b

При 6=0, Яэ = го и решение примет вид: г =

E0 + E R

eТз . тэ = СэЛ, что

соответствует [3, с. 451, (14-16)]. В частном случае, когда Е = 0, имеет место

—г

переходный процесс при коротком замыкании. При этом =—0еХэ , ср. [3,

Я

с. 452].

Замечание 1. Механическая величина - коэффициент трения Ь также может входить в число параметров электрических цепей.

1.3. Электромеханическая Ьт колебательная система. Свободные гармонические колебания. Поскольку га-элемент и катушка индуктивности Ь имеют противоположный друг другу реактивный характер, то они могут образовывать колебательный контур. Покажем, что в таком контуре возможны свободные гармонические колебания. Поскольку последние могут происходить лишь в отсутствие диссипации энергии, положим Я = 0, Ь = 0. Зададимся начальными условиями: х(0) = 0; dx/dt(0) = у0 ; /(0) = /0.

В уравнении, описывающем состояние электрической цепи, по сравнению с п. 1.1 появляется величина — Ь^г / dt) - ЭДС самоиндукции и система уравнений для Ьга-контура приобретает вид:

d 2 х

m-

dt

2

= Bl ni

dx di Bln — + L— = 0 dt dt

L I

Система имеет решение: i = Im sin(a0t + ф), x = — \lm sin(ca0t + ф)-i0 ]

У

где

Im

i 2 +_E Z0 + ..2

2

X

В m— 1

2 , ..2 m L ''

= * 1*0 + v0

=

У

.yj—C 3 -J—m

(1)

- собственная частота автономной консервативной системы (в которой отсутствует диссипация энергии).

ф = arctg

i0 X В m—

En

= arctg -

/n 1L

v0 V m

X

B mL

W=#

\C3 V m

(2)

1

-t

- волновое сопротивление колебательной системы.

Таким образом, в системе происходят свободные гармонические колебания.

Замечание 2. В отличие от LC колебательного контура, в котором происходит взаимное превращение энергии, обусловленной движением, а именно - энергии магнитного поля в энергию, обусловленную положением, а именно - энергию электрического поля, в рассматриваемой Lm колебательной системе происходит взаимное превращение энергии, обусловленной движением (энергии магнитного поля катушки), в энергию, обусловленную также движением, а именно - в кинетическую энергию инертной массы.

2. Упругий ^-элемент. Из того обстоятельства, что пружинный маятник может совершать

гармонические колебания, следует, что пружина обладает

реактивностью, знак которой противоположен знаку реактивности инертной массы. Положим это заключение в основу введения нового параметра электрической цепи, характеризующегося коэффициентом упругости. С этой целью рассмотрим k-элемент (рис. 2), представляющий собой, например, n последовательно соединенных рамок, закрепленных пружиной с коэффициентом упругости k. Активная часть рамок длиной l находится в магнитном поле с индукцией B. Исследуем k-элемент с тех же позиций, что и m-элемент.

2.1. ^-элемент в цепи синусоидального тока. Покажем, что k-элемент имеет индуктивный характер. Для этого воспользуемся допущениями п. 1.1, т.е. R = 0, b = 0 , L = 0. Кроме того, положим, что масса движущейся части m = 0.

Подключим k-элемент к источнику синусоидальной 3ДС e = Em sin tot. Пусть /(0) = 0. По аналогии с п. 1.1 запишем систему уравнений, описывающих состояние k-элемента:

кх = Blni dx

Рис. 2. Упругий k-элемент

Bl

n— = Ew cos — t. dt m

Здесь кх - сила упругости. Система имеет решение i

E

y — I k

sm — t

Em

X,

cos(—t — —)

где Xb =

— y

- реактивное упругое сопротивление. Ток / отстает от приложенного

напряжения на угол п /2. Таким образом, рассматриваемый ^-элемент имеет индуктивный характер.

Ь=т

2.2. Переходный процесс при постоянной ЭДС. Постановка задачи и принимаемые допущения в этом случае подобны изложенным в п. 1.2, т.е. Ь = 0, Ь Ф 0, Я Ф 0 , е($ = Е. Как и в п. 2.1, положим т = 0.

Зададимся начальными условиями: х(0) = 0. Уравнения механического и электрического состояния имеют вид:

Их

кх+Ъ — = Б1т

Их

Б1п — + Я1 = Е Ш

Система имеет решение і =

Е

Е

у2/Ъ + Я Я

Е

V яэ + Я

^ — ■ТЭ +

Е я :

Ь^ L'z

2

■ + ■

Я.

у2 Ъ

У- + -, ср. [3, с. 444].

кЯ к

Я э

2.3. Электромеханическая кС колебательная система. Свободные гармонические колебания. Исследуем возможность возникновения свободных гармонических колебаний в контуре, составленном из конденсатора с емкостью С и к-элемента при допущениях п. 1.3, т.е. Я = 0, Ь = 0, а также т = 0. Пусть начальные условия ис (0) = и0, /(0) = 0. Исходная система уравнений:

кх = ВІ пі

, 1 '

В1п — + ис (0) + — Гг

Ш с С } о

іШг = 0

Здесь

іШ - напряжение на конденсаторе. Система имеет решение

і = Іт 8ІИ ш0г,

где

1 т

,4кС

У

X

X

в кС

В кС

У

ЛС

- волновое сопротивление колебательной системы,

і і [Г

®0 =

(3)

(4)

У

- собственная частота автономной консервативной системы.

Замечание 3. В рассматриваемой кС колебательной системе происходит взаимное превращение энергии, обусловленной положением, а именно -потенциальной энергии пружины, в энергию, также обусловленную положением, а именно - в энергию электрического поля конденсатора.

Замечание 4. Эквивалентность механических параметров электрическим позволяет перейти от дуального соответствия между собственными частотами колебаний пружинного маятника и колебательного контура к непосредственному,

имея ввиду, что

к = у2/ь , т = Су2 .

юп = =

т

У 2 к у2 і

Ьт ^ С У 2 1 2 С

і

у[ЇС'

-г

е

и

и

0

3. Термодинамический Г-элемент. Здесь и далее, в п. 4, покажем, что не только механические величины, но и величины, имеющие другую физическую природу, могут входить в состав параметров электрических цепей. В качестве примера рассмотрим объект, относящийся к области термодинамики.

Г-элемент отличается от описанного в п. 2 тем, что вместо пружины в нем установлен пневмоцилиндр объемом V, площадью поршня S, наполненный газом. Покажем, что Г-элемент имеет электрическое реактивное сопротивление. Для этого воспользуемся допущениями п. 2.1, т.е. R = 0, b = 0, L = 0, масса поршня m = 0.

Подключим Г-элемент к источнику синусоидальной ЭДС e = Em sin at .

Уравнения движения, состояния цепи переменного тока, состояния газа и политропического процесса соответственно запишутся:

S p = S pa + Blni

т dx

Bln— = h cos at

dt

M * pV = —R T

pVa = C [4, c. 118,(5.23)]

где M - масса газа, ц - молярная масса, R* - универсальная газовая постоянная, T -абсолютная температура, a - показатель политропы, C - константа, p - давление газа, pa - атмосферное давление. Здесь Sp и Spa направлены встречно друг другу.

Система приводится к виду:

Гx « yi

<dx У— = Em cos at,

где Г = p

1-“ —RT^S 1-“ a -1“a a

dt

- обобщенный параметр, характеризующий

исходное состояние газа, тип термодинамического процесса и геометрию цилиндра. Здесь Та - абсолютная температура данного газа при давлении, равном атмосферному, а = V / 5. Таким образом, уравнения, описывающие Г-элемент, идентичны уравнениям для ^-элемента (см. п. 2.1). Отсюда следует, что Г-элемент идентичен ^-элементу (параметр Г - аналог коэффициента упругости) и имеет индуктивный характер. Основные формулы в соответствии с этим будут иметь вид:

Хг =

a у

Т = Уч =

a =

1 /Г

у» С

X

У

вг с

(5)

Г ' Э Г 0 ^ С' С Тгс

4. Термопара Т-элемент. Покажем, что 7-элемент также обладает реактивным сопротивлением, и определим его характер.

Пусть в исходном состоянии температура обоих спаев будет 7 = Т2 = Т0 . Пропустим через термопару количество электричества д. Тогда в одном спае выделится, а в другом поглотится теплота Q = Пд (явление Пельтье), где П -коэффициент Пельтье. При этом появится разность температур спаев А Т = 2Q/C, где С - теплоемкость. На концах термопары возникнет разность потенциалов П д

С*

Et = Et о AT = 2Et o^t (явление Зеебека), где ET0 - удельная термо-ЭДС.

Для выявления реактивной составляющей сопротивления положим R = О, L = О. Подключим термопару к источнику синусоидальной ЭДС. Тогда баланс напряжений

^ * II

запишется в виде: T q = Em sin «t, где T = 2Etо—^ - обобщенный коэффициент.

Термо-ЭДС и приложенное напряжение направлены встречно друг другу. Продифференцируем уравнение баланса напряжений: T i -Em« cos«t = 0;

E «

m -cos«t. Ток опережает напряжение на л/2 . Таким образом, термопара

i = ■

T

имеет емкостный характер. Основные формулы будут иметь вид:

XT =—,

і

І

rj-т*

Т ’

BTL

=Лґ.

(б)

Т 1

-, СЭ = -*,

ю т

5. Электрические колебательные контуры, полностью состоящие из «нетрадиционных» реактивных элементов. Четыре электрические контура, содержащие по одному «нетрадиционному» элементу, рассмотрены выше. Это Ьш, кС, ГС и ЬТ, собственные частоты и волновые сопротивления которых определяются соответственно выражениями (1), (2), (4), (3), (5) и (6). Очевидно, что свободные гармонические колебания могут возникать в электрических контурах, полностью состоящих из «нетрадиционных» реактивных элементов. тА-контур. Собственная частота

к

і

_Ly_

У2 m

Последнее соотношение ничем не отличается от частоты механического маятника, за исключением того, что это параметр электрической цепи.

Волновое сопротивление

Y- — X Amk

Т _ У2

Ct

■Jmk

тГ-контур

АТ-контур

ГТ-контур

«о = J—

m

X

У

Am А

«п =•

Jkf

У

і

Г T

У

LAAT

ylm А

rj-т*

ч к

rj~т*

=У 1~А

Замечание 5. Рассмотренными «нетрадиционными» реактивными элементами и образованными ими колебательными системами все их многообразие не ограничивается.

«0 =

Заключение

1. В электрических цепях наряду с электрическими емкостями и индуктивностями могут использоваться элементы, имеющие другую физическую природу, например, механическую - инертный ш- и упругий к- элементы, термодинамическую - Г-элемент, термоэлектрическую - 7-элемент. Таким образом,

в качестве параметров электрических цепей могут рассматриваться «неэлектрические» величины, такие как масса, коэффициент упругости, температура, молярная масса, теплоемкость и др.

2. Каждый из рассмотренных элементов имеет электрический эквивалент, что делает возможным определить прямое соответствие между величинами разной

2 2^1 2 2 природы. Так, т = у2 С, к = —, Г = —, Т* = —, т = У-, к = Г, Ь = —.

Ь Ь С Т Я

3. В отличие от известных колебательных систем, в которых происходит взаимное превращение энергии, обусловленной движением, в энергию, обусловленную положением, в колебательных системах, состоящих из реактивных элементов, имеющих разную физическую природу, происходит взаимное превращение энергии, обусловленной движением, в энергию, обусловленную также движением, или энергии, обусловленной положением, в энергию, обусловленную также положением.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ленк А. Электромеханические системы. Системы с сосредоточенными параметрами. - М.: Мир, 1978. - 283 с.

2. Попов И.П. Реактивные элементы цепей, выполненные на основе линейных электродинамических машин // Состояние и перспективы развития научно-технического потенциала Южно-Уральского региона: Тр. Межгосударств. науч.-техн. конф. - Магнитогорск: МГМИ, 1994. - С. 26-28.

3. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники, ч. 1. Линейные электрические цепи. - М.: Энергия, 1970. - 592 с.

4. Шубин А.С. Курс общей физики. - М.: Высшая школа, 1976. - 480 с.

Статья поступила в редакцию 14 октября 2009 г.

UDC 621.3.011.1

REAKTIVE ELEMENTS OF THE ELECTRICAL CIRCUITS WITH «NONELECTRICAL» PARAMETRES I.P. Popov

Kurgan region Government. Department of economic development, trade and labor. Strategic planning and prognostication administration 56, Gogol st., Kurgan, 640024

Reactive elements of the electrical circuits with «nonelectrical» parametres, such as inert, resilient and so on are introducing into consideration. Character of processes, elapsing in them and character of the elements themselves are defining. Possibility of creation the oscillating systems, whose elements have different physical essence - electrical and mechanical, electrical and thermodynamic and so on is shown

Key words: reactive, circuits, inert, resilient, thermodynamic.

Igor P. Popov - Head of Department of Innovative Development.