CC BY
20
УДК 519.622.2: 544.654.2
ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА СОВМЕСТНОГО ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОГО ОСАЖДЕНИЯ НА ВРАЩАЮЩИЙСЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ ЭЛЕКТРОД. Часть 1. Постановка задачи, разработка математической модели
1,2ВАХРУШЕВ А.В., 1МОЛЧАНОВ Е.К.
1Институт механики Уральского отделения РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т.Барамзиной, 34
2
Ижевский государственный технический университет имени М.Т. Калашникова, 426069, г. Ижевск, ул. Студенческая, 7
АННОТАЦИЯ. Предложена математическая модель совместного электрохимического осаждения наночастиц, находящихся в растворе электролита во взвешенном состоянии, и металлической матрицы, объединяющая в себе массоперенос электроактивных ионов и наночастиц во всем объеме электролита, электродные реакции, адсорбцию/десорбцию ионов и наночастиц на поверхностях катода и анода и турбулентное движение жидкости.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: наночастицы, турбулентность, электроосаждение, покрытия, композиционные материалы.
ВВЕДЕНИЕ
Вращающийся цилиндрический электрод (ВЦЭ) является широко используемым в научной и лабораторной практике инструментом для исследования таких электрохимических процессов как, осаждение металлов [1 - 7], осаждение сплавов [5, 6], исследование процесса развития коррозии [5, 6], очистка промышленных стоков [8, 9], исследование рассеивающей способности электролита в ячейке Хулла [10 - 12].
Довольно часто ВЦЭ используется на практике [6, 13, 14] с целью изучения турбулентного режима течения электролита. Массоперенос вещества в объеме электрохимической ячейки, во многом, определяется параметрами гидродинамики электролита. В экспериментальной работе [15] по исследованию массопереноса вещества и поляризации на вращающихся электродах была установлена зависимость между толщиной диффузного слоя вблизи поверхности электрода от вязкости жидкости, геометрических размеров вращающегося электрода, коэффициентов диффузии электроактивных веществ и скорости вращения электрода. В диффузном слое предполагается, что электроактивные ионы перемещаются за счет диффузии, а за его пределами концентрация ионов считается постоянной. Существует ряд работ [16 - 21], посвященных математическому моделированию электрохимических процессов на ВЦЭ, в которых исследование массопереноса вещества осуществляется лишь в объеме диффузного слоя, находящегося вблизи поверхности электрода, который ничтожно мал по сравнению с размерами электрохимической ячейки. Однако в реальных электрохимических ячейках с вращающимися электродами толщина и форма диффузного слоя определяются большим количеством параметров и могут значительно отличаться от расчетной величины. Следовательно, данное допущение существенным образом снижает точность и достоверность проводимых математических расчетов. Для устранения этого в настоящей работе предложена математическая модель совместного электрохимического осаждения, описывающая массоперенос электроактивных веществ во всем объеме электролитической ячейки с учетом переноса за счет конвекции.
Таким образом, целью данной работы является постановка задачи и разработка математической модели процесса совместного электрохимического осаждения (СЭО) на вращающийся цилиндрический электрод (ВЦЭ) металлической матрицы и наночастиц, находящихся в растворе электролита во взвешенном состоянии, с учетом гидродинамических параметров системы. Массоперенос частиц и ионов электролита происходит за счет трех основных механизмов: диффузия, миграция, конвекция, описывается уравнениями конвективной диффузии и исследуется во всем объеме электролитической ванны. Движение жидкости описывается на базе осредненных уравнений
Рейнольдса (ЯЛ№). Катодные и анодные процессы описываются на основе третичного распределения тока [1], которое учитывает омическое падение напряжение в растворе электролита, перенапряжения на электродах и активность ионов вблизи поверхности электрода. Адсорбция наночастиц описывается на основе изотермы адсорбции Лэнгмюра. Настоящее исследование является продолжением работ авторов, в которых моделирование процесса СЭО проводилось без учета характера течения жидкости и конвективных потоков вещества [2 - 4].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Геометрия ВЦЭ (рис. 1) имеет осевую симметрию, следовательно, математическая модель имеет размерность - размерность 2Б-осесимметричной модели с цилиндрической системой координат.
Рис. 1. Геометрическая модель
Характер движения жидкости в объеме электролитической ванны зависит от частоты вращения внутреннего цилиндрического электрода, ю, геометрических размеров электрохимической ячейки, а также кинематической вязкости электролита, и, и определяется числом Рейнольдса [22] по уравнению:
Яе = (Г \г0 -гг) и
(1)
Известно [23], что при Яе > 200 на электроде подобного типа достигается турбулентный режим течения. В работе [24], которая является основанием для настоящего исследования, описывается эксперимент по совместному электрохимическому осаждению системы Си+Л1203 на ВЦЭ с частотой вращения внутреннего электрода 500, 1000 и 1500 об/мин. Геометрия электрохимической ячейки [25] и кинематическая вязкость электролита V = 0,01 см2/с. С учетом этого число Рейнольдса равно:
Таблица
Число Рейнольдса в зависимости от частоты вращения ВЦЭ
Частота вращения внутреннего электрода, об/мин
Яе
500
1884,956
1000
3769 911
1500
5654867
Как видно из таблицы число Рейнольдса на каждом режиме превышает критическое для данного типа электрохимической ячейки и, следовательно, характер течения на каждом режиме является турбулентным.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
Моделирование турбулентного течения вращающихся жидкостей до сих пор остается трудно решаемой задачей. Применение методов прямого численного моделирования (DNS) и моделирования крупных вихрей (LES) ограничено в связи с необходимостью использования значительных вычислительных ресурсов, поэтому для описания турбулентного движения жидкости в численном моделировании технологических процессов в инженерных расчетах чаще всего используется модель k-e на базе осредненных уравнений Рейнольдса (k-e RANS) [26, 27], в которых вводятся два дополнительных параметра: кинетическая энергия турбулентности, k, и турбулентная диссипация энергии, е. Однако, данный метод позволяет проводить адекватное моделирование турбулентного движения жидкости лишь в областях, находящихся на некотором расстоянии от неподвижных или подвижных границ и мало пригоден для моделирования вращающегося потока жидкости [28]. Поскольку движение жидкости вблизи поверхности границы сильно отличается от движения жидкости в объеме, то в методе используется некоторая, заранее рассчитываемая, граничная функция, Sw, на величину которой происходит смешение сетки расчетной схемы (рис. 2). Граничная функция, Sw, определяется параметрами конечно-элементной сетки.
Конечно-элементная сетка
4,
Граница
Рис. 2. Конечно-элементная сетка вблизи поверхности
Поскольку третичное распределение тока подразумевает учет концентрации электроактивного вещества непосредственно вблизи поверхности электрода, поэтому применение модели k-e RANS невозможно, следовательно, для описания движения жидкости в работе используется низкорейнольдсовая модификация модели k-e RANS (low Re k-e RANS) [29].
Существуют различные виды модели low Re k-e RANS: Abe-Kondoh-Nagano (k-e AKN) [30], Chang-Hsieh-Chen (k-e CHC) [31] Launder-Sharma (k-e LS) [32] и Yang-Shih (k-e YS) [33]. На основании обзорной работы [34], в которой приводится сравнение всех четырех моделей, в качестве модели для расчета гидродинамики используем k-e AKN модель.
Система уравнений, описывающих процесс массопереноса, представлена ниже:
Осредненное уравнение Рейнольдса:
2
р— + p(u Vu) = V
dt v 7
- pl + (м + мг )(vu + (Vu)T ) - - pkl
+ F, (2)
где u - вектор скорости движения жидкости; р - давление; р - плотность электролита; Л - динамическая вязкость электролита, которая зависит только от физических свойств электролита; /Т - турбулентная динамическая вязкость (6), которая учитывает влияние флуктуаций вектора скорости жидкости; р - плотность жидкости; k - кинетическая энергия турбулентности; е- турбулентная диссипация энергии; ¥ - вектор объемных сил. Расчет динамической вязкости раствора электролита, производится в соответствии с методикой, описанной в [35], и в данной статье не приводится.
Уравнение неразрывности:
V-и = 0. (3)
Уравнения переноса кинетической энергии турбулентности, k, и турбулентной диссипации энергии, е, а также уравнение турбулентной вязкости, цт, имеют следующий вид:
рдд- + р(и - V)k = Уд,
Ц +
де „
р--+ ри - е = V -
д,
Ц +
Ц
О
Vk
k
+ Р-ре,
О
Vе
е
Мт = Р/цСц —
ее + Се1 ^ - /еСеР~£ =
k 2
(4)
(5)
(6)
е
где Се1, Се2, о, ое - постоянные модели, Pk - скорость продуцирования кинетической энергии турбулентности, а/ /ц - демпфирующие функции.
Р =Ц-Р = 2
Vu + (Vu)I
Л = Ц - е-'73' )-(1
/,=(1 - е-'7" ) -
1 - 0.3е
6-5 )2
1 + 5 е-(*,/200 )2 / + Я/4 ^
V 1 ,
(7)
(8) (9)
где ' - безразмерная величина, характеризующая расстояние до стенки, Я, - турбулентное число Рейнольдса:
(ри ' )
е^ (10)
' * =
Я =
И рk2 це
где ие - масштаб скорости Колмогорова, - расстояние до стенки:
ие =Це/р) ,
' = - - 'г/, " а 2 ,
(11)
(12) (13)
где 'ге/ - характерная длина, которая определяется параметрами геометрии модели и обычно назначается равной половине наименьшей стороны прямоугольника, ограничивающего геометрию модели. В работе 'ге/ принята равной го/2, а О является решением модернизированного уравнения Эйконала [36]:
VО - VО + о„ О(Ч - VО) = (1 + 2О„ )О4, (14)
где а„ - константа, изменяющаяся от 0 до 0,5, в работе принята равной 0,1.
Начальным условием для уравнения (14) является:
о=-2.
(15)
ге/
Граничными условиями для уравнения (14) являются: На неподвижных границах и стенках ВЦЭ:
о=А.
(16)
ге/
На свободной поверхности электролита применяется граничное условие Неймана:
VG - п = 0. (17)
Уравнение (14) с начальными (15) и граничными (16), (17) условиями решается отдельным шагом, предшествующим решению основной системы уравнений. В математической модели используются следующие константы
Се = 1,5; Се2 = 1,9; С, = 0,09; о = 1,4; Ое = 1,5. (18)
2
)
Начальные условия:
и = 0, р = 0, k = к0, е = е0. (19)
Начальная величина кинетической энергии турбулентности, к0:
Г Л2 Г Л2
к0 =
10■ р
к0 =
КР( 0,1 ^ ))' ' И 0,1¡геГ )
кру и
(20)
для стационарной задачи для нестационарной задачи
Начальная величина турбулентной диссипации энергии, е:
3/
50 =
= Сц- Ц2
0,1■ ¡геГ
(21)
Граничные условия:
Неподвижные границы:
л 1 л 2рк
и ■ п = 0, к = 0, 5 = -^. (22)
Д
Границы ВЦЭ
2рк
иг = 0, ир=ю- г, ия = 0, к = 0, 5 = ~г' (23)
где а - угловая скорость вращения ВЦЭ. Границы симметрии модели:
и ■ п = 0, (- р1 + р(Уи + (Уи)Т ))■ п = 0, Ук ■ п = 0, Уеп = 0. (24)
ПРОЦЕСС МАССОПЕРЕНОСА ВЕЩЕСТВА
Уравнение массопереноса ионов бинарного электролита и наночастиц в объеме электролитической ячейки определяются, согласно закону сохранения массы, по уравнению:
^ + у ■ N. = 0, (25)
2+ 2 где индекс / (1, 2, р): 1 - для ионов Си , 2 - для сульфат иона SO4р - для наночастиц,
N1 - потоки ионов электролита и наночастиц в объеме электролита определяются уравнением
Нернста-Планка:
N ; =- В ; У С; - 2; ПШ {¥С ; + С; Ы , (26)
где В, - коэффициент диффузии, с - концентрация в объеме электролита, - зарядовое число, иШ[ - электрофоретическая подвижность, ¥ - константа Фарадея, ф - потенциал электролита, и - вектор скорости движения жидкости.
В работе значения коэффициентов диффузии приняты те, которые определены в ходе экспериментальной работы [37], коэффициент диффузии наночастиц Вр определяется, исходя из уравнения Эйнштейна [38]:
к ■ т
В
р 6п ■ /л ■ гр
где к - постоянная Больцмана, Т- температура электролита, гр - радиус наночастиц. Электрофоретическая подвижность ионов определяется, исходя из уравнения:
итг , (28)
г Я ■ Т
где Я - универсальная газовая постоянная.
Также для ионов электролита применяется условие электронейтральности:
2 = 0. (29)
(27)
В работе предполагается, что катодные и анодные процессы описываются следующими уравнениями:
Си 2+ + е о Си
Си + + е о Си
А^, =+0,16^)
Л^ 2 = +0,52^)
(30)
(31)
где Си2+ обозначает ионы, находящиеся в растворе электролита; Сиа+ - ионы, адсорбированные на поверхности электрода; Сиш° - атомы гальванического осадка, а г1с,г3с,
а а "л
г1 ,г3 - скорости протекания, соответственно, катодных и анодных реакций; Лфе?1, Лфе?2 - стандартные электродные потенциалы реакций.
Скорости протекания электродных реакций определяются в соответствии с теорией Батлера-Фольмера [39] по следующим уравнениям:
< = -ехр№Н(1 -03-0Р),
г1а = k1fl - ехр
С 1С
г3 = ^ - ехр
V ЯГ У
V ЯТ У
-0
-0
< = kзfl - схр^^^ -03 -0р),
(32)
(33)
(34)
(35)
где ^сД3с, ^аД3а - константы скорости протекания, соответственно, катодных и анодных реакций (30), (31); вь в3с, в^, в3а - коэффициенты переноса, соответственно, катодных и
анодных реакций (30), (31); в работе приняты значения определенные в [40]: а1 - активность
2+
ионов Си в растворе электролита, Я - универсальная газовая постоянная, 03 и 0Р - безразмерные доли поверхности электрода, занятые, соответственно, адсорбированными ионами Си+ и наночастицами Л1203; п - перенапряжение на соответствующем электроде, определяется уравнением:
Л = Р, -Р' -ЛРе,
(36)
где - потенциал соответствующего электрода.
Напряжение между электродами электрохимической ячейки, Ц, есть разность между потенциалами катода, фс, и анода, фа.
Ц = Рс - Ра
(37)
Механизм реакции адсорбции/десорбции наночастиц на поверхности катода описывается следующим уравнением:
Р
г
р
о
г;
Р
(38)
где Р обозначает наночастицы Л1203, находящиеся во взвешенном состоянии в объеме электролита, а Ра - наночастицы Л1203, адсорбированные на поверхности катода, гра, - скорости протекания прямой и обратной реакций.
(39)
(40)
где ар - активность взвешенных наночастиц в растворе.
Безразмерные доли поверхности электрода, занятые адсорбированными ионами Си+ и наночастицами Л1203 определяются по уравнениям:
г; = kpapЯГ(1 -03 -0р ),
гр = kpp0p,
С
г
а
г
С
г
3
а
г
3
е3 = (41)
3 г, '
csa
е = , (42)
p Г, +
где c3s и ср обозначают концентрации ионов Си и наночастиц Al2O3 на поверхности
электрода; о3, op - безразмерные величины, характеризующие количество участков поверхности электрода, занятых, соответственно, одним адсорбированным ионом Cu+ и
одной наночастицей Al2O3, rs - плотность участка поверхности катода.
2+
Активности ионов Cu и наночастиц Al2O3 в растворе электролита показывают насколько объемные концентрации реагирующих веществ, вблизи поверхности электрода, отличаются от своих исходных величин:
Л"1
c
1,s
V с1,0 J
(43)
c
ap =
, (44)
С р,0
где V] - коэффициент пропорциональности, в работе принят равным 0,445 на основании экспериментальной работы [41]. Поскольку концентрация наночастиц мала по сравнению с концентрациями ионов электролита и нет экспериментальных данных по определению величины коэффициента пропорциональности для наночастиц, в работе он принят равным 1.
Уравнения, описывающие реакции (30), (31), представляют собой закон сохранения массы для поверхностных явлений:
дС*
-3- = У ■ (В*УС3 ) + < - <, (45)
д
дС*
= у ■ (В*УСр ) + га - г? . (46)
дг р р р 3
В работе принято, что диффузия адсорбированных ионов и наночастиц в плоскости поверхности катода отсутствует (В\ = Вр = 0 ).
Плотность электрического тока, 1/, согласно закону Фарадея, определяется по следующему уравнению:
1 г =-¥« - г/ + < + < ). (47)
Начальные условия
2+ 2В начальный момент времени концентрации растворенных ионов Си и SO4 - и
взвешенных наночастиц А1203 равны своим начальным величинам, поверхностная концентрация адсорбированных ионов Си+ и наночастиц А1203, и напряжение между электродами равны 0.
С = С2 = С0, Ср = Ср0, с3 = Ср = 0, и = 0. (48)
Граничные условия
На электродах выполняются следующие граничные условия:
N1 = < - т?, N 2 = 0, N 3 = тар - тар , ( = (. (49)
На токонепроводящих границах:
N1 = N 2 = N р = 0, ( = 0. (50)
ВЫВОДЫ
Предложена математическая модель совместного электрохимического осаждения наночастиц А1203, находящихся в растворе электролита во взвешенном состоянии, и металлической матрицы Си. Модель учитывает массоперенос электроактивных ионов и
a1 =
наночастиц во всем объеме электролита, электродные реакции, адсорбцию/десорбцию ионов и наночастиц на поверхностях катоде и аноде и турбулентное движение жидкости.
Получена замкнутая система уравнений, состоящая из 14 уравнений: (2) - (5), (25), (29), (45), (46), 13 из которых в частных производных. Неизвестными являются 14 величин: три компоненты вектора скорости жидкости - u; давление - p кинетическая энергия турбулентности - k; турбулентная диссипация энергии - s; концентрация ионов электролита и наночастиц в объеме электролита - ci, с2, cp; потенциал электролита - ф1; концентрации адсорбированных ионов Cu+ и наночастиц Al2O3 на поверхностях катода и анода - c3, cp . Для
решения данной системы уравнений задано достаточное количество начальных (19), (48) и граничных условий (22) - (24), (49), (50). Решение дифферинциального уравнения Эйконала (14) с начальными (15) и граничными (16), (17) условиями производится отдельно, перед решением основной системы уравнений.
Аналитическое решение данной системы дифференциальных уравнений невозможно, поэтому для решения необходимо использовать численные методы.
Работа выполнена в дамках государственного задания ИжГТУ им. М.Т. Калашникова. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Averill A.F., Mahmood H.S. Determination of tertiary current distribution in electrodeposition cell - Part 1 Computational techniques // Transactions of The Institute of Metal Finishing. 1997. V. 75. P. 228-233.
2. Vakhrushev A.V., Molchanov E.K. Modeling Electrochemical Deposition of Al2O3 Nanoparticles Into a Cu Matrix // International Journal Nanomechanics Science and Technology. 2012. V. 3. P. 353-371.
3. Вахрушев А.В., Молчанов Е.К. Математическое моделирование процесса совместного электрохимического осаждения наночастиц Al2O3 в матрицу Cu. Часть 1. Математическая модель // Химическая физика и мезоскопия. 2013. Т. 15, № 1. C. 57-64.
4. Вахрушев А.В., Молчанов Е.К. Математическое моделирование процесса совместного электрохимического осаждения наночастиц AL2O3 в матрицу Cu. Часть 2. Расчет одномерного процесса осаждения // Химическая физика и мезоскопия. 2013. Т. 15, № 2. C. 201-207.
5. Gabe D. R., Wilcox G. D., Gonzalez-Garcia J. The rotating cylinder electrode: its continued development and application // Journal of Applied Electrochemistry. 1998. V. 28. P. 759-780.
6. Low J., Ponce de León C., Walsh F.C. Aust. The Rotating Cylinder Electrode (RCE) and its Application to the Electrodeposition of Metals // Australian Journal of Chemistry. 2005. V. 58. P. 246-262.
7. Nava J.L., Sosa E., P. de León C., Oropeza M.T. Effectiveness Factors in an Electrochemical Reactor with Rotating Cylinder Electrode for the Acid-Cupric/Copper Cathode Interface Process // Chemical Engineering Science. 2001. V. 56. P. 2695-2702.
8. Chen G. Electrochemical Technologies In Wastewater Treatment // Separation and Purification Technology. 2004. V. 38. P. 11-41.
9. Rivera F.F., González I., Nava J.L. Copper Removal from an Effluent Generated by a Plastics Chromium - Plating Industry Using a Rotating Cylinder Electrode (RCE) Reactor // Environmental Technology. 2008. V. 29. P. 817-825.
10. Zech N., Podlaha E.J., Landolt D. Rotating Cylinder Hull Cell Study of Anomalous Codeposition of Binary Iron-Group Alloys // Journal of Applied Electrochemistry. 1998. V. 28. P. 1251-1260.
11. Low C.T., Roberts E.P. Numerical Simulation of the Current, Potential and Concentration Distribution Along the Cathode of a Rotating Cylinder Hull Cell // Electrochimica Acta. 2007. V. 52. P. 3831-3840.
12. Lozano-Morales A., Podlaha E.J. Electrodeposition of NiCu-Matrix Nanocomposites Using a Rotating Cylinder Hull Cell // Journal of Applied Electrochemistry. 2008. V. 38. P. 1707-1714.
13. Gabe D.R., Walsh F.C. Enhanced Mass Transfer at the Rotating Cylinder Electrode. I. Characterization of a Smooth Cylinder and Roughness Development in Solutions of Constant Concentration // Journal of Applied Electrochemistry. 1984. V. 14. P. 555564.
14. Grau J.M., Bisang J.M. Mass Transfer Studies at Packed Bed Rotating Cylinder Electrodes of Woven-Wire Meshes // Journal of Applied Electrochemistry. 2006. V. 36 P. 759-763.
15. Eisenberg M., Tobias C.B., Wilke C.R. Ionic Mass Transfer and Concentration Polarization at Rotating Electrodes // Journal of the Electrochemical Society. 1954. V. 101. P. 306-319.
16. Huerta Garrido M.E., Pritzker M.D. EIS and Statistical Analysis of Copper Electrodeposition Accounting for Multi-Component Transport and Reactions // Journal of Electroanalytical Chemistry. 2006. V. 594. P. 118-132.
17. Podlaha E.J. A Mathematical-Model and Experimental Study of the Electrodeposition of Ni-Cu Alloys from Complexing Electrolytes // Electrochimica Acta. 1994. V. 39. P. 2649-2657.
18. Celis J.P., Roos J.R., Buelens C., Fransaer J. Mechanism of Electrolytic Composite Plating: Survey and Trends // Transactions of the Institute of Metal Finishing. 1991. V. 69. P. 133-139.
19. Hovestad A., Janssen J.J. Electrochemical Codeposition of Inert Particles in a Metallic Matrix // Journal of Applied Electrochemistry. 1995. V. 25. P. 519-527.
20. Eroglu D., West A.C. Mathematical Modeling of Ni/SiC Co-deposition in the Presence of Cationic Dispersant // Journal of The Electrochemical Society. 2013. V. 60. P. 354-360.
21. Lee J., Talbot J.B. Simulation of Particle Incorporation Process: Primary and Secondary Current Distributions // Journal of The Electrochemical Society. 2005. V. 152. P. 706-C715.
22. Egbers C. Physics of Rotating Fluids. Selected Topics of the 11th International Couette-Taylor Workshop Held at Bremen, Germany. New York : Springer, 2000. 445 p.
23. Gabe D.R. Walsh F.C. The Rotating Cylinder Electrode: a Review of Development // Journal of Applied Electrochemistry. 1983. V. 13. P.3-22.
24. Stojak J.L., Talbot J.B. Effect of Particles on Polarization During Electrocodeposition Using a Rotating Cylinder Electrode // Journal of Applied Electrochemistry. 2001. V. 31. P. 559-564.
25. Stojak J.L., Talbot J.B. Investigation of Electrocodeposition Using a Rotating Cylinder Electrode // Journal of The Electrochemical Society. 1999. V. 146, P. 4504-4513.
26. Фрик П.Г. Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Пермь : Изд-во ПГТУ, 1998. 107 с.
27. Wilcox D.C. Turbulence Modeling for CFD. California : DCW Industries, 1998. 477 p.
28. Driver D.M., Seegmiller H.L. Features of a Reattaching Turbulent Shear Layer in Diverging Channel Flow // The American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal. 1985. V. 23, P. 163-171.
29. Ignat L., Pelletier D., Ilinca F. A Universal Formulation of Two-equation Models for Adaptive Computation of Turbulent Flows // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2000. V. 189, P. 1119-1139.
30. Abe K., Kondoh T., Nagano Y. A New Turbulence Model for Predicting Fluid Flow and Heat Transfer in Sepa-rating and Reattaching Flows-I. Flow Field Calculations // Int. J. of Heat and Mass Transfer. 1994. V. 37. P. 139-151.
31. Chang K.C., Hsieh W.D., Chen C.S. A Modified Low-Reynolds-Number Turbulence Model Applicable to Recirculating Flow in Pipe Expansion // Journal of Fluid Engineering. 1995. V. 117. P. 417-423.
32. Launder B., Sharma B. Application of the Energy Dissipation Model of Turbulence to the Calculation of Flow Near a Spinning Disc // Letters in Heat and Mass Transfer. 1974. V. 1. P. 131-138.
33. Yang Z., Shih T.H. New Time Scale Based k-s Model for Near-Wall Turbulence // The American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal. 1993. V. 31. P. 1191-1198.
34. Jagadeesh P., Murali K. Application of Low-Re Turbulence Models for Flow Simulations Past Underwater Vehicle Hull Forms // Journal of Naval Architecture and Marine Engineering. 2005. V. 1. P. 41-54.
35. Cухотин А.М. Справочник по электрохимии. Л. : Химия, 1981. 488 c.
36. Fares E., Schröder W. A Differential Equation for Approximate Wall Distance // Int. J. for Numerical Methods in Fluids. 2002. V. 39. P. 743-762.
37. Bund A., Thiemig D. Influence of Bath Composition and pH on the Electrocodeposition of Alumina Nanoparticles and Nickel // Surface & Coatings Technology. 2007. V. 201, № 16-17. P. 7092-7099.
38. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика. М. : : Физматлит, 2001. 736 с.
39. Bockris J.O., Reddy A. Modern Electrochemistry. V. 2A Fundamentals of Electrodics. New York : Kluwer Academic Publishers, 2002. 817 p.
40. Pohjoranta A., Tenno R. A Computational Multi-Reaction Model of a Cu Electrolysis Cell // Electrochimica Acta. 2009. V. 54. P. 5949-5958
41. Pohjoranta A., Tenno R. A Method for Microvia-Fill Process Modeling in a Cu Plating System With Additives // Journal of The Electrochemical Society. 2007. V. 154 P. 502-509.
HYDRODYNAMIC MODELING OF ELECTROCODEPOSITION ON A ROTATING CYLINDER ELECTRODE. PART 1. STATEMENT OF THE PROBLEM, DEVELOPMENT OF MATHEMATICAL MODEL
1,2Vakhrushev A.V., 'Molchanov E.K.
Institute of Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Izhevsk, Russia Kalashnikov Izhevsk State Technical University, Izhevsk, Russia
SUMMARY. Mathematical model describing of mass transfer of electrolyte ions and held in suspension of nanoparticles throughout the volume of the electrolyte, electrode processes, adsorption and desorption of electroactive ions and nanoparticles on cathode and anode and turbulent fluid motion is presented.
KEY WORDS: nanoparticles, turbulence, electrodeposition coatings, composite materials.
Вахрушев Александр Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией механики наноструктур ИМ УрО РАН; заведующий кафедрой "Нанотехнологии и микросистемная техника" ИжГТУ имени М.Т. Калашникова, тел. (3412) 21-45-83, e-mail: [email protected]
Молчанов Евгений Константинович, аспирант ИМ УрО РАН, e-mail: [email protected]
