Геометрия свободной системы материальных точек с массами, зависящими от конфигурации системы Текст научной статьи по специальности «Физика»

АВ. Гохман. Геометрия свободной системы материальных точек

ФИЗИКА

УДК 514.853

ГЕОМЕТРИЯ СВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК С МАССАМИ, ЗАВИСЯЩИМИ ОТ КОНФИГУРАЦИИ СИСТЕМЫ

А.В. Гохман

Саратовский государственный университет E-mail: sgalaev@mail.ru

Представлена интерпретация движения свободной системы материальных точек с массами, зависящими от конфигурации системы, в виде геодезического пути в проективно-евклидовом пространстве аффинной связности.

Ключевые слова: механическая система, пространство аффинной связности, геодезический путь.

Geometry of the Free System of Material Points with Masses Depending on the Configuration of the System

A.V. Gohman

The motion of the free system of material points with masses depending on the configuration of the system is considered. We give the interpretation of this motion as a geodesic path in the projectively flat space.

Key words: mechanical system, affinely connected space, geodesic path.

Известна [1] дифференциально-геометрическая интерпретация движения механической системы 5 с голономными стационарными связями в виде «движения точки единичной массы» в римановом пространстве с метрикой, определяемой кинетической энергией системы:

1 n 1

Г1 ^ • a • В 1 • a • В

= ~ LPapq qВ =тaaPq q

2 a,В 2

(1)

где - обобщенные координаты системы. В римановом пространстве с метрическим тензором ааЬ определяется контравари-

антная вдоль пути qb = qb ) от векторного поля V7 = у7(£) производная

dt

где

г;=2 <Э

d,

qa,„, + дая. -Э a

(2)

(3)

' Ь Я/ 7 РЯ ^Л^Ьг

- так называемые коэффициенты римановой связности. Теперь уравнения рассматриваемой системы 5 записываются в виде

Зс&а

dt

= Q a ■

(4)

© А.В. Гохман, 2010

Известия Саратовского университета. 2010. Т. 10. Сер. Физика, вып. 2

где О" — контравариантные компоненты обобщенной силы. Если О" = 0, то уравнение (4) совпадает с уравнениями геодезических путей в рассмотренном римановом пространстве.

Рассмотрим теперь свободную систему , состоящую из N материальных точек

Ри массы которых зависят от конфигурации всей системы. При этом конфигурацию системы мы будем называть допустимой, если в ней никакие две точки не занимают одно и то же положение в трехмерном евклидовом пространстве. У всякой допустимой конфигурации существует окрестность допустимых конфигураций, являющаяся открытым подмножеством в Замерном евклидовом пространстве и, стало быть, Замерным дифференцируемым многообразием. Такую окрестность мы и будем рассматривать здесь в качестве пространства конфигураций системы и обозначать его также Е3^ Пусть ■Л „2 3

X•, х{ , х{ - декартовы координаты точки Рг.

Тогда в качестве координат в пространстве EN возьмем координаты

И = (д1,д 2,..., дЗN) =

— (х1 , Х1 , Х1 ,..., XN , XN , XN ) = (х ), а = 1, 2,3-

Мы рассматриваем систему 5 при условии, что абсолютные скорости присоединяемых и отбрасываемых частиц равны нулю. В этом случае система уравнений движения имеет вид [2]

й

dt

(m*;)=-; ■

(5)

Зададим в пространстве конфигураций ЕзN аффинную связность в системе координат (д") коэффициентами связности

ч;=2 { ^^ ). (б)

где индексы а и I связаны условиями

а

д = х , а

pß = dß ln m,.

• ß 'V

(7)

Определим «движение точки единичной массы» в полученном пространстве аффинной связности А под действием обобщенной силы

Qa =

m.

уравнениями

Sqа dt

= Q'

(8)

(9)

и покажем, что они совпадают с системой уравнений (5).

Сравним первые уравнения систем (9) и (5), учитывая (6), (7):

й 11 й • 1 . т-4 • 0 • ; 1 1

dt

m,

■ —1 q +^Sß pr qßqr+-Sr Pß qßqg = —L.

^, 1S 2

1 i

2

m

■■1 dm

m1 xi +

dq

1 • g '1 1 qrx

-i1,

d (m1 x1) = —11. dt

Аналогично сравниваем и остальные уравнения.

Таким образом, получаем теорему о том, что рассматриваемая система без воздействия на нее внешних сил движется по геодезическому пути построенного пространства аффинной связности. Это пространство относится к классу так называемых проек-тивно-евклидовых пространств аффинной связности. Его специальные свойства зависят в нашем случае от функций В частности, пространство А может оказаться и римано-вым [3]. Если при этом метрический тензор пространства окажется положительно определенным, то система 51 становится обычной голономной системой.

Список литературы

1. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967. 664 с.

2. Космодемьянский А.А. Курс теоретической механики: В 2 т. М.: Просвещение, 1966. Т.2. 398 с.

3. Широков П.А. Проективно-евклидовы симметрические пространства // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. 1950. Вып.8. С.73-81.

4

Научный отдел