CC BY
8
УДК 515.164: 514.763
О СПРОЕКТИРОВАННОЙ ЛИНЕЙНОЙ СВЯЗНОСТИ И ЕЁ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ НА ФАКТОРМНОГООБРАЗИИ НЕВЫРОЖДЕННЫХ
АФФИНОРНЫХ ПОЛЕЙ
Е.М. Романова
Институт управления, экономики и финансов Казанского (Приволжского) федерального университета, г. Казань, Россия
romanova1elena@rambler. ru
Резюме. Данная работа посвящена построению и изучению различных геометрических структур на бесконечномерных многообразиях. А именно, многообразию невырожденных аффинорных полей T0 над компактным конечномерным многообразием M. Здесь нужно отметить, что каждое бесконечномерное многообразие Банахова типа или типа Фреше уникально и индивидуально по своей сути. Поэтому каждый отдельный пример такого многообразия представляет интерес для математика-геометра, а новые факты из области геодезических заинтересуют физиков. В статье строится объект спроектированной линейной связности на фактормногообразии Tq/F0 по действию группы функций F0 , не обращающихся в нуль ни одной точке многообразием M, как на базе главного расслоение (Т0, п, T0 /F0, F0 ). Эта линейная связность наделяет фактормногообразие Tq/F0 свойством локально проективно-аффинного пространства. Локальная симметричность выполняется только в случае двумерности многообразия M и для этого случая находятся все семейства геодезических линий относительно спроектированной связности.
Ключевые слова: бесконечномерные многообразия, многообразия Банаха и Фреше, фактор многообразия, расслоенные пространства, векторные расслоения, главные расслоения, аффинорные поля, векторные поля, объект линейной связности, спроектированная связность, тензоры кручения и кривизны, ковариантное дифференцирование, геодезические линии.
ABOUT DESIGNED LINEAR CONNECTION AND HER GEODESICS ON THE FACTORMANIFOLD OF NONDEGENERATE AFFINOR FIELDS
E.M. Romanova
Institute of Management, Economics and Finance of the Kazan (Volga region) Federal University, Kazan University, Kazan, Russia
romanova 1elena@r ambler. ru
Abstract. This work describes the construction and study of various geometric structures on infinite dimensional manifolds. Namely, the manifold of nondegenerate affinor fields T0 on a compact finite-dimensional manifold M. It should be noted that every infinite-dimensional manifold the type of the Banach or the type of the Frechet unique and individual. Therefore, each individual example of such manifold is of interest for a mathematician-geometer, and new facts from the field of geodetics interest to physicists. We construct the facility designed linear connection on factormanifold Tq/F0 by the action of the group offunctions F0 , not equal to zero in any point of the manifold M, as in the main bundle (Т0, п, T0 /F0, F0). This linear connection gives factormanifold T0/F0 property locally projective-affine space. The local symmetry is performed only for two-dimensional manifold M and in this case we founde all the family of geodesic lines relatively designed connection.
Keywords: infinite-dimensional manifolds, manifolds, Banach and Frechet, factormanifold, stratified spaces, vector bundles, the main bundle, affinor fields, vector fields, linear connections object, designed connectivity, the tensors of torsion and curvature, covariant differentiation, geodesic lines.
В статье рассматривается многообразие T0 невырожденных аффинорных полей как подмногообразие пространства Tll(M) тензорных полей валентности (1,1) конечного класса гладкости на компактном m-мерном многообразии M. На этом многообразии T0 действует группа функций F0 , не обращающихся в нуль ни в одной точке многообразия M. В [1] (утверждение 3) доказано, что множество T0/F0 образует фактор многообразие и расслоение (Т0, п, T0/F0, F0) является главным.
Для некоторого фиксированного аффинорного поля A0 G T0 построим карту в точке [A0] на базе расслоения T0 /F0 , которая имеет вид cA0 = ( UA0, фА0, HA0 ), где UA0 = { [A] gT0 /рI tr (A0-1A) Ф 0} - область определения карты; координатным
пространством служит подмножество HA0 = { B G T0 | tr (A0-1B) = 0}, а координатное отображение действует так çA0: [A] G UA0 ^ A = gA — A G HA0 , где
~ =_m_G р . Здесь через tr обозначен след матрицы координатного
g HA—lA) 0
представления соответствующего тензорного поля валентности (1,1).
Тогда на пространстве расслоения Т0 допустимая карта в точке А0 имеет координатное отображение 0 : срА0 (UA0) х р ^ T0 с Tl(M), действующее по правилу
v A g Фао Uao ) с Hao, va g f A = 0(A, a) = a(A + л) g t с Tl1 (M).
Очевидно, что T0 является открытым подмножеством векторного пространства T(M) тензорных полей валентности (1,1) на многообразии M, поэтому на T0 можно определить плоскую линейную связность, задав ее объект относительно тривиальной карты (Т0, idT0, T(M ) ) отображением
Tao : (A,B) gT1'(M)хT1(M) ^(4B) = 0gT11(M) .
Тогда, согласно закону преобразования линейной связности, относительно карты, центрированной в точке А, для объекта связности будет выполняться условие:
D0(.Àa) (T(A,a) (С, Г; B P)) = D20(Ai,a) ГB P) ■
Вычислим производные первого и второго порядка по правилам дифференцирования, описанным в [2],
D0(ia)(B,P) = aB + p(A + Ao) = (aB + pA) + PA g T (M), D20(~a(C,y;B,P) = yB +PC, для V a,b,с g Hao, v a,p, y g Fo.
В [1] доказано, что пространство Tf(M) тензорных полей валентности (1,1) на многообразии М есть прямая сумма пространств HA0 = {BItr (A0-1B)=0} и ТА0 = {gA0I g G F}, т.е. Нло © TA0 = Tl(M). Это разложение единственным образом определяет
естественную связность Г на расслоении (Т0, п, Т0 ^0, F0) [3] . И если объект связности представить в виде
Га^уВ,Д) = Фаа)(с,г,в,Д),У(Ла)(с,г;В,Д)) е нА0 х^,
то с одной стороны,
л®( В Д)) = «Г А,->(с,г;в Д)+ у (А,а)(с,г;в Д)А) + v (Ха)(с,г, в, Д) • Ao,
а с другой стороны, в2©(1а)(С,у;В,Д) = (уВ + рС) + 0 • А0 •
Следовательно, в силу единственности разложения по элементам прямой суммы и согласно закону преобразования линейной связности имеем
у( а«(C, у;в, Д) = 0 и С а,« (С, у; в,Д) = 1 (ув+ДС) •
Спроектируем полученную связность г ~ на базу T0 расслоения
(А,«)
Г~ (С; В) = рг (Г~ .(С,у; В,Д),0) = 1(уВ + ДС). Для этого нужно выразить а через А,
{А,а> а
Д через В и у через С •
Пусть А = ©А,а) = а(А + А) еТ0 и ©-'(А) = (А,а) е Н0 х^•
Возьмем след №(А0~гА) = «т(А0~гА) + ат = ат. Тогда а =1 ^г(А А) •
т 0
Отсюда А =1А - А и ©-1 (А) = -А - А , 1 * (АА)^
^0
а
+ у л -1 л\ ^ ' 4 0
ч Г (А0 А) т у
Вычислим производную в точке А отображения ® 1 : Т0 с Т 1 (М) ^ НА0 х ^: ШМВ) = {-^В - т (А-В) А, — &(А-1 В)1 = (ВД), где Д = ^(А-'В)
Г (А А) Г2 (А- А) т
т
Г (А- А) К2 (А-1 А) а а2 " "' а'
Если В е НА, то № (А1 В) = а• 1г (А1 В) + Д т = 0. Из последнего равенства
у
В = т В - т 'У(А°'В) А =1В-Д А. Следовательно, В = аВ + Д А •
1Ъ) = а • 1Г(а В) +
а
~ 1 а ~ _ ~
выразим Д через В, получим Д =--«21г (А1В) =--К ((А + А у1 В) •
т т
Значит, а =1К (А0 4 А), Д = -а Г ((А + А0) 4 В), у = -а Г ((А + А У1 С) • т т т
И
так как пространство В© а (На ) должно быть графиком отображения то получаем следующую формулу для спроектированной связности
Гаа(С;В) =—(уВ+ДС)=1 {-«С Г((А+А)1 В)-аВ К((А+А)-1 С) 1 =
а а\ т т у
и
: _ 1 (с к((Л + 4,)-15) + 5 /т((А + Л0 )_ С))•
т
Итак, относительно допустимой карты сА0 = (иА0, фА0, НА0 ) в произвольной точке Л объект линейной связности г~, спроектированной на базу расслоения многообразия невырожденных аффинорных полей , выведен в [4] и имеет вид для
V Л, В, С е ИА0
г (с; В) = -- (гг ((Л+Ло) _ в )+в* (( л+ЛоУс)).
т
Рассмотрим свойства этой связности, е е тензоры кручения и кривизны. Объект связности Г~ симметричен по своим аргументам, поэтому тензор
кручения Т~(С, В) = 1(Гг(С, В) _Г2(В, С)) равен 0.
Введем обозначение р~(В) =__11г((А + Л )-1В). Тогда объект связности примет
г т
форму Г~(С;В) = С р~(В) + В р(С). Пространства со связностями такого вида
являются проективно -аффинными. Напомним определения:
Определение 1. ([5], §1, С. 401-404^. Пространство линейной связности называется проективно-аффинным, если связность можно представить как сумму Г(Х,У)=Х ф(У) + У ф(Х), где $(•) - некоторый ковектор, Х,У - произвольные векторы.
Определение 2. ([5], §1, С. 401-404). Пространство линейной связности без кручения называется локально симметрическим, если его тензор кривизны ковариантно постоянен.
Введем отображение ш~(С;В) = Бр(В,С)-((В) р~(С) для В,С е Яло и установим его свойства.
Утверждение 1. Отображение является симметрическим и при т=2
ковариантно постоянным тензором. Доказательство.
Вычислим производную от функции рг:
Бр~ (В, С) = - 1т ((Л + Ло) _ В( Л + ЛоУС). т
Она симметрична в силу свойства следа от произведения. Отсюда отображение
ш~(С; В) = - 1т ((Л + Ло)_ В( Л + Ло) 1 С) --^ * ((Л + Ло)-1 В) • 1т ((Л + Ло)_ С) т т
является симметричным билинейным тензором.
Найдем ковариантную производную этого тензора
(Р; С, В) = Бш-г (Р; В, С) _ (Г (Р; С), В) _ (С, Г~ (Р; В)) = = Бшг (Р; С, В) _ (г(С)шг (Р; В) _ Рг (В)ш~(Р; С) _ 2р (РШг (С, В) =
= _ 1 * ((А + Ао) 1 Р( А + Ао) 1 В( А + 4,)4 С) _ т
_—Г ((А + А) _ Р( А + А) _ С( А + А) _ В) +
т000
2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ + г ((А + А)-С) • (г (( А + А)-Р( А + Ао)1 В) + т
+ (г ((А + А0) 1 В) • (г ((А + А0) 1 Р( А + А0) 1 С) + т
+ -2Г(г((А + А,) 1Р) • (г((А + А,) 1 В(А + А,) 1 С) _ т
4 Р ~ ~ ~ ~ Р
--3 (г ((А + А,) 1Р) • (г ((А + А,) 1 В) • (г (( А + А,) 1 С).
т
В работе [6] доказано, что только при т=2 выполняется равенство = ,■
А
Итак, только для двумерного многообразия М тензор ковариантно
постоянен.
Рассмотрим тензор кривизны. Он будет выражаться через по правилу Яр(Р;С,В) = Р• (С;В) _Шр(В;С)) + Вшр(Р;С) _Сшр(Р,В) и в силу симметричности тензора равен Я~(Р;С,В) = Вшр(Р;С) _ Сш2(Р,В) ■
Следовательно, ковариантная производная тензора кривизны равна
УЯр(д, Р;С, В) = В •У^р (й; Р, С) _ С • Утр (й; Р, В),
и очевидно, что тензор кривизны ковариантно постоянен, если = , ■
Опираясь на определения 1и 2, можно сделать следующие выводы [7]: Утверждение 2. Фактор многообразие T0 /Ж0 невырожденных аффинорных полей по действию группы функций, не обращающихся в нуль ни в одной точке многообразия M, является локально симметрическим пространством относительно спроектированной линейной связности
Гр(С;В) = С срр(В') + В рр(С), где <Рр(р) = _1 (г((А + А0)-1 В)> тогда и только тогда,
А т
когда многообразие M двумерно.
Утверждение 3. Фактор многообразие T0 /Ж0 невырожденных аффинорных полей по действию группы функций, не обращающихся в нуль ни в одной точке многообразия M, является локально проективно-аффинным пространством относительно спроектированной линейной связности.
Замечание. Известно, что в проективно -аффинном симметрическом пространстве линейной связности существует и единственен с точностью до постоянного множителя ковариантно постоянный симметрический тензор т(Х,У) = Dф(X,Y) - ф(Х) ф(У) и, если при этом тензор т(Х,У) невырожден, то проективно -аффинное пространство является пространством с метрическим тензором т(Х^) и, более того, является римановым пространством постоянной кривизны. Но для нашего тензора на Т0 /¥0 отсутствует даже слабая невырожденность, поэтому его
А
нельзя брать в качестве метрического тензора и наше фактор многообразие не является римановым пространством постоянной кривизны.
Мы рассмотрели основные свойства спроектированной связности. Теперь перейдем к нахождению геодезических линий.
Напомним, что линейная связность, спроектированная на базу расслоения многообразия невырожденных аффинорных полей T0 / F0 , получена в [4] и относительно карты cA0 в точке [A0] имеет вид для
Т~(C ;B) = -1 iftr((A + A0)- B) + Btr((A + A0)-C)), V A,B,C eHA0
m
Относительно естественной карты в точке [A0] Е T0 / F0 семейство геодезических линий связности г локально находятся из дифференциального уравнения:
s"(t ) + TKt ) (s' (t ); s' (t )) = 0.
Отсюда
где 5: t E К - s(é) e Hacс /¡'(M), т.е. trC^sfr}) = О, V t e Ж.
Решение дифференциального уравнения (1) будем искать в виде s( t )=A0v( t J, где t?:t e Ж-» vit) e H:œT0 œT^ÇM), tr v(t~) = 0,V£ e E, т. е. локально v(t) является
бесследовой матрицей размерности m=dim M. Тогда из ( 1 ) следует:^
г 1 —frlniJ + i;. 1 = .-._ --- , (2)
где Ai Е Tl(M) такое, что tr Ai=0, а I - постоянное аффинорное поле, имеющее локальным представлением единичную матрицу.
Здесь ln(i А) = (-1}Г1+1 - логарифмическое и ¡?Л=Е|Г=17Г ~ экспоненциальное отображения для матриц. Они являются гладкими и взаимно обратными отображениями, согласно [3]. Причем матричный ряд для логарифмического отображения сходится для таких А Е Txl(M), что ||A||< 1, где ||.|| -произвольная мультипликативная норма матриц ([8]).
Таким образом, дифференциальное уравнение (2) имеет ограничения по решению, т.е. || v(t) ||<1 и || Ai'i v' (t) - I ||<1.
В [8] также доказано, что det(e A)= e trA. Тогда выражение правой части (2)
представляет собой некоторую функцию /':îe (н',дг) с Ж — fit) e F{M~).
Исходя из этого, дифференциальное уравнение (2) можно переписать как v'( t J=Aj f '( t ). Причем согласно ограничению, для v ée (аг,/?г] должно выполняться условие
(3)
Решением последнего уравнения является v( t )=A1 f ( t )+A2 , где А1 , А2 £ Г'(М): tr Ai=0, tr A2=0 , a f:t e (к,/?) с Ж fit) eFa(ЛГ) - первообразная для
функции f '( t ). Нахождение этой первообразной в общем случае представляет некоторые трудности. В частности, не все свойства экспоненциального и логарифмического отображений выполняются в бесконечномерном случае, что очень осложняет решение. Поэтому ограничимся изучением случая плоского многообразия M.
Рассмотрим случай размерности многообразия dim M =m =2 . Тогда легко доказать [9; 10] , что для любого аффинора без следа А £ T11(M) выполняется
равенство А2=а1, где и = 7 tr А2 = - det А и tr А=0. Пусть Ai 2= аг I, А2 2= а2 I, v 2( t )=V(t)I.
Общее решение уравнения (2) возьмем в виде v( t)=A1 f( t)+A2. Тогда
\>2=(Alf+A2)2=Af f2+f (A1A2+A2A1)+A22=(a1f2+2a f+a2)I и, следовательно,
т 1 L П L П
v =a1f'+2a f+a2. Здесь а = - tr^A^ A2~), oL = -tr AL , as = -tr Аг . Перейдем к решению уравнения (2) при m=2:
Так как tr v = 0 и det v= - у , то detf I + v)= 1+ tr v + det v= 1 - у. Тогда v ' =Aj(l -v), а с другой стороны v '=Aif. Отсюда f'=l- v и f'=l- (a1f2+2a f+a2).-Причем условия (3) для функции f ' переходит в неравенство
которое также можно получить из ограничения 11 v(t) ||< 1.
Решение последнего дифференциального уравнения будет зависеть от значений параметров a, ctj, а2 е Методы, применяемые при нахождении
общего решения такого уравнения, идентичны методам решения обыкновенных дифференциальных уравнений и не представляют сложностей для математика. Таким образом, рассматривая все возможные допустимые случаи по этим параметрам, получим следующие 5 различных типов общих решений [9]:
1) При aj = 0 и а =0: v(t)= t+B2, где Вj, В2 G Т'(М), tr Вj =tr B2=tr (И, В2)= trBf=0, - < jjr и no t ограничений нет.
2) При a1 =0 и a ф0: v( t )= B 1e ct+b +B2,
и
где В!, B2 e T^(M), сфО , b е РШХ tr B,=tr В2= tr В,2 =0, tr (Bj B2) =-c,~ trB. для таких t, что 1 — се'т+ъ < ^ .
3) При qi ф0 и а2 = а,(а: -1) : v(t) = BiT^r-\-B2,
где Bh В2 е Т?(М), с ф0, Ъ е F(M), tr Bj=tr B2=tr (Bt B2) = 0, ^ trBl = 1 ,-JvBl = 1 и для таких t, что
4) При qi ф0 и a2 > аг(а2 -1) : v(t) = BlZ Lrr_-r+ B2, где В, ,B2 ет^М), сфО,
- — trB? = 1,- trBl = 1 и для таких t, что 1 —
2с 2
Ъ е tr Bj=tr В2=0, tr (Bt
zi-Ъ
B2) =c,
5) При a¡ фО и а2 < а,(а2 -1) : vit) = B±tg(€t + b) + В2, где B¡, В2 G '/¡' (M), с ф
и для таких t , что
О, h Е F(M) tr B¡=tr B2=tr (B¡ B2) = 0 ^ trBf = 1 ,^trB.
I1 ~ ÍHS= (ít+tJ < ¡7¡i '
Новые параметры B¡
В2 G ТЦМ). c, b,áEFiM) сложным образом выражаются через старые A¡ , А2 G Z¡'(M), a, ah а2 е F(M~). Эти формулы мы приводить не будем. И для общности формы записи решений мы привели их к единому виду с аргументом ct + Ь.
Итак, при m=2 найдены все геодезические кривые и доказано утверждение: Утверждение 4. На фактормногообразии невырожденных аффинорных полей над двумерным компактным многообразием М для спроектированной связности относительно карты сЛ0 в точке [А0] е Tt/F0 , существуют пять семейств геодезических линий следующего вида:
1. s(t)=A0(B1t+B2),
где B¡, В2 G Т^(М), tr B]=tr B2=tr (Bt B2)= tr Bf = 0 , : ItrB¡ < jj^ и V t E Ж
2. s(t)=A0(B¡e ct+b+B2),
где B¡,B2 G 7;'(M), сфО , b E FÍM), tr B¡=tr B2
tr B:2 =0, tr (B: B2) =
tr B:=tr B2=tr (B: B2)=0,
где Bh B2 G 7¡'(M), с фО,
b e F (M),
-trBl=l,-trB¡=\nt<E-&: Il + —M <ïi7i-
le I I [J7t+b]-l ||J|
где Bh B2 ej¡'(M), с ф 0, bsF(M), tr Bj=tr В2=0, tr (Bt B2) =c,
L
< — .
5. sCtí = Ащ{Вг1Я{*Л + Ь] 4- ВД
где В],В2<Е T¡(M), с ф 0, bs F ЗД, tr B¡=tr B2=tr(B!B2)=0, ^trBl = l.-_trB¡ =1+си
t E К : Il -i ce
ces' [tt+b]
1
.
Замечание. При m 1 получается одно семейство геодезических линий для с<0: = Ас (тт^т— 1 )■ которое представляет собой семейство гипербол с общей горизонтальной асимптотой.
Литература
1. Романова Е.М. Многообразие невырожденных аффинорных полей.// Известия вузов. Математика. 2008. № 7, С. 39-44.
2. Hamilton R. S. The invers е function theorem of Nash and Moser // Bull. Amer. Math. Soc., 1982. V. 7. No. 1. Р. 65-222.
3. Michor P. Manifolds of differentiable mappings // Cambridge, Mass., 1980. 158 p.
4. Романова Е.М. Спроектированная линейная связность на многообразии невырожденных аффинорных полей.// Ученые записки КГФЭИ. 2011, Выпуск 21, С. 56-58.
5. Широков П.А. Избранные работы по геометрии // Проективно-евклидовы симметрические пространства. Изд. -во КГУ, Казань. 1966. 431 с.
6. Фомин В.Е., Юльметов Р.Р. Линейные связности и геодезические кривые на многообразиях Фреше. // Известия вузов. Математика. 1995. № 7(398), С.78 - 90.
7. Романова Е.М. Структура локально-симметрического пространства линейной связности на многообразии невырожденных аффинорных полей. // Материалы
31
докладов итоговой практической конференции, Том II. Казань: Изд-во Института экономики и финансов КФУ, 2012, С. 22 -24.
8. Постников М. М. Группы и алгебры Ли. Лекции по геометрии. Семестр V. М.: Наука. 1982. 447 с.
9. Романова Е.М. Семейство геодезических кривых на многообразии невырожденных аффинорных полей // Материалы докладов итоговой практической конференции. Казань: Изд-во Института экономики и финансов КФУ, 2013, С. 316-319.
10. Романова Е.М. Связность Картана и ее геодезические на многообразии невырожденных аффинорных полей // Известия вузов. Математика. 2009. № 5, С. 68 -72.
References
1. Romanova E.M. Mnogoobrazie nevyrozhdennyh affinornyh polej.// Izvestija vuzov. Matematika. 2008. № 7, Pp. 39-44.
2. Hamilton R. S. The inverse function theorem of Nash and Moser // Bull. Amer. Math. Soc., 1982. V. 7. No. 1. Pp. 65-222.
3. Michor P. Manifolds of differentiable mappings // Cambridge, Mass., 1980. 158 p.
4. Romanova E.M. Sproektirovannaja linejnaja svjaznost' na mnogoobrazii nevyrozhdennyh affinornyh polej.// Uchenye zapiski KGFJel. 2011, Vypusk 21, Pp. 56-58.
5. Shirokov P.A. Izbrannye raboty po geometrii // Proektivno-evklidovy simmetricheskie prostranstva. Izd.-vo KGU, Kazan'. 1966. 431 p.
6. Fomin V.E., Jul'metov R.R. Linejnye svjaznosti i geodezicheskie krivye na mnogoobrazijah Freshe. // Izvestija vuzov. Matematika. 1995. № 7(398), Pp. 78- 90.
7. Romanova E.M. Struktura lokal'no-simmetricheskogo prostranstva linejnoj svjaznosti na mnogoobrazii nevyrozhdennyh affinornyh polej. // Materialy dokladov itogovoj prakticheskoj konferencii, Tom II. Kazan': Izd-vo Instituta jekonomiki i finansov KFU, 2012, Pp. 22-24.
8. Postnikov M. M. Gruppy i algebry Li. Lekcii po geometrii. Semestr V. M.: Nauka. 1982. 447 s.
9. Romanova E.M. Semejstvo geodezicheskih krivyh na mnogoobrazii nevyrozhdennyh affinornyh polej. // Materialy dokladov itogovoj prakticheskoj konferencii. Kazan': Izd-vo Instituta jekonomiki i finansov KFU, 2013, Pp. 316-319.
10. Romanova E.M. Svjaznost' Kartana i ee geodezicheskie na mnogoobrazii nevyrozhdennyh affinornyh polej // Izvestija vuzov. Matematika. 2009. № 5, Pp. 68-72.
Автор публикации
Романова Елена Михайловна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры экономико-математического моделирования Института управления, экономики и финансов Казанского (Приволжского) федерального университета.
Author of the publication
Elena M. Romanova - Cand. Sci. (phys.-math.), Associate Professor of the Department of Economic and Mathematical Modeling of the Institute of Management, Economics and Finance of the Kazan (Volga region) Federal University.
Дата поступления 18.04.2017.
