CC BY
15
Анисимова Э.С. ассистент
кафедра информатики и дискретной математики
Елабужский институт Казанский (Приволжский) Федеральный Университет
Россия, г. Елабуга ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ И КВАТЕРНИОНОВ
Аннотация. Комплексные числа описывают движения евклидовой плоскости, одному вращению трёхмерного пространства соответствует два кватерниона, различие которых (физики назвали это явление спином) связано со свойствами группы преобразований. В данной статье описаны основные факты классической теории комплексных чисел и кватернионов.
Ключевые слова: комплексное число, евклидова плоскость, кватернион.
Теории комплексных чисел, кватернионов относятся к небольшому числу фундаментальных частей геометрии, имеющих наиболее важные приложения в физике.
Рассмотрим на евклидовой плоскости систему ортонормированных координат. Точка плоскости представляется в виде a+bi.
Умножение на комплексное число z, такое что lzl= 1 является поворотом плоскости на угол, равный arg z.
Новый вид чисел был обнаружен ирландским математиком Уильямом Гамильтоном в 1843 году, и он содержал не две, как ожидалось, а три мнимые единицы. Гамильтон назвал эти числа кватернионами.
Памятная табличка на мосту Брум Бридж в Дублине гласит: «Здесь на прогулке, 16 октября 1843 года, во вспышке гения, сэр Уильям Роуэн Гамильтон открыл формулу перемножения кватернионов».
Кватернион - это вектор 4-мерного вещественного пространства с базисом 1, i, j, k (которые называются базисными кватернионами): a+bi+cj+dk. Число а называется вещественной частью (скаляром), а трехмерный вектор v=bi+cj+dk - мнимой частью кватерниона. Слово «вектор» впервые появилось именно в этой теории.
ijk=-L _
Сопряженным к кватерниону q=a+v называется кватернион q = а ~ v.
ту q • q = а2 + ||v||2 > 0
Квадратом нормы кватерниона q называется число 11 11 .
Пусть дан кватернион с нормой единица,
+ Ы=i
q=a+v, ii^H .
а2 + IVII2 = 1 т- а = cos^ \\v\\ = sin®
Ii Ii Естественно принять: а cos^ iiii ^, т.е.
q = cos^ +sin^-v, где v' - орт оси. Вектор трехмерного пространства v имеет норму единица.
В качестве Ф для построения кватерниона, описывающего поворот на угол 9 вокруг оси , нужно выбрать половину угла поворота, ф = 9 ^,
9 9
С0Б — + Бт —
12 ) 12 )
V.
Из-за двойки вращение определяет кватернион неоднозначно. Одному и тому же повороту отвечают два кватерниона (различающиеся знаком). Все кватернионы нормы 1 образуют сферу S в Я4.
При отождествлении в одну точку каждой пары противоположных точек сферы Sn в евклидовом пространстве Rn+1 из сферы получается п-мерное гладкое многообразие, которое называется вещественным п-мерным проективным пространством и обозначается через ИР11.
псииши'мьм' Т1г|ни гЛ
Гк'ГкопрчтуулА.-нчгная» прямая ЯР'
С
ио^усф^за к|)|ф"><няя плоскость К
ойраз окргетноств
-жпати|м (ПОС-* СК-1ГИПППИЯ)
-»2
Пример. Проективная плоскость ЯР получается из аффинной 2 1 плоскости Я добавлением «бесконечно-удалённой прямой» ЯР ,
содержащей по одной бесконечно-удалённой точке на каждой прямой аффинной плоскости. Чтобы всё это ясно увидеть, можно начать, отождествляя противоположные точки не со всей сферы S , а лишь с замкнутой полусферы S2 (скажем, южнее экватора). Тогда склеивать придётся только каждую точку А экватора с противоположной, -А, а открытая строго южная полусфера при склеивании не пострадает.
Из этой же конструкции видно, что окрестность бесконечно удалённой прямой на проективной плоскости ЯР диффеоморфна ленте Мебиуса, вследствие чего проективная плоскость ЯР не ориентируема, в отличие от КР3 - ориентируемого трехмерного проективного пространства. Его можно представить как совокупность поворотов на всевозможные углы, 0<в<л, вокруг всевозможных осей, заданных всеми векторами ® единичной сферы.
Совокупность всех таких вращений можно описать как шар радиуса п в трехмерном евклидовом пространстве.
Поверхность, образованная комплексными решениями уравнения
2 I 2 _ л
х у = , включая «бесконечно удаленные», оказывается сферой Римана, Б2=СР\
Для других многочленов Н(х,у) получились бы другие поверхности Н=0, которые могут и не быть сферами. Например, уравнение
у2 = х3 — х + Е
«эллиптической кривой» у задает при почти всех Е поверхность
тора S1xS1, называемого также «сферой с одной ручкой».
-5
При замене показателя 3 в х более высоким показателем 2g+1 получается в качестве римановой поверхности сфера с g ручками. Число g называется родом поверхности.
Весь набор связных замкнутых гладких ориентируемых поверхностей исчерпывается сферами с g ручками (g = 0, 1, 2, ...).
Использованные источники:
1. Ansimova E.S. Fractals and digital steganography // Сборник научных трудов SWorld. - Выпуск 1. Том 6. - Одесса, 2014. - ЦИТ:114-575. - С. 69-71.
2. Анисимова Э.С. Сжатие изображений с помощью квадратичных кривых Безье // Естественные и математические науки в современном мире / Сборник статей по материалам XIV международной научно-практической конференции. №1 (13). Новосибирск: Изд. "СибАК", 2014. - С. 42-46.
3. Анисимова Э.С. Формирование математической компетентности студентов психолого-педагогического направления // Сборник научных трудов SWorld. - Выпуск 4. Том 19. - Одесса, 2013. - ЦИТ:413-0295. - С. 5658.
4. Анисимова Э.С. Фрактальное кодирование изображений // Сборник научных трудов SWorld. - Выпуск 3. Том 4. - Одесса, 2013. - ЦИТ:313-0589. - С. 79-81.
5. Анисимова Э.С. Определение кредитоспособности физического лица в аналитическом пакете Deductor (BaseGroup) // Сборник научных трудов Sworld, 2014. - Т. 23. № 2. С. - 78-81.
6. Филипов А.Ф., Анисимова Э.С. Калькулятор для работы с комплексными числами // Сборник научных трудов Sworld, 2014. - Т. 29. №2. - С. 47-50.
7. Тимофеев Д.С., Анисимова Э.С. Разработка электронного образовательного ресурса на площадке «Тулпар» системы дистанционного обучения КФУ// Сборник научных трудов Sworld, 2014. - Т.7. №2. -С.80-83.
8. Анисимова Э.С. Идентификация онлайн-подписи с помощью оконного преобразования Фурье и радиального базиса // Компьютерные исследования и моделирование, 2014. - Т. 6. № 3. - С. 357-364.
9. Анисимова Э.С. Идентификация подписи с использованием радиального базиса // Фундаментальные исследования, 2014. № 9-6. - С. 1185-1189.
Антонова Н.А., к.п.н.
доцент СФ БашГУ
Республика Башкортостан, г. Стерлитамак ОРГАНИЗАЦИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ МАГИСТРАНТОВ
ПО ИНОСТРАННОМУ ЯЗЫКУ
В Федеральном государственном образовательном стандарте третьего поколения знание иностранного языка является частью общей компетенции выпускника магистратуры по различным направлениям подготовки.
