CC BY
201
УДК 519.95:378.14
Кватернионы и октавы
А. В. Клюшин
Национальный исследовательский университет «МИЭТ»
Автор анализирует изложение темы «Кватернионы и октавы» в курсе дискретной математики и обосновывает важность этих понятий для современного мировоззрения. Краткое описание истории открытия кватернионов и октав и методическое разъяснение определений и свойств кватернионов, октав и связанных с ними понятий дает возможность автору обсудить технику поворота пространства с помощью кватернионов. Доказывается формула для октав о том, что модуль произведения равен произведению модулей. Приводятся теоремы, подчеркивающие уникальность кватернионов и октав в классе всех алгебр над полем действительных чисел.
Ключевые слова: кватернионы; октавы; дискретная математика.
Понятие «кватернионы» нечасто употребляется в курсах дискретной математики для студентов вузов и в курсах математики вообще. Между тем наличие таких числовых систем, как кватернионы и октавы, имеет большое значение для формирования современного естественно-научного мировоззрения. Без открытия кватернионов в 1843 г. было бы невозможным создание четырехмерного пространства-времени Мин-ковского. С помощью кватернионов можно более просто и естественно изложить многие эффекты общей и специальной теории относительности [1], сформулировать законы классической электродинамики и квантовой механики [2]. Особенную важность сегодня приобретает вопрос о размерности нашего мира. Попытки создания единой теории поля приводят к необходимости рассматривать пространства большего числа измерений в сравнении с трехмерным физическим миром. Модели пяти-и шестимерного пространства предложены Т. Калуцей и О. Клейном вскоре
после опубликования эпохальных статей А. Эйнштейна. Затем исследовались различные варианты размерностей, вплоть до 10-мерной, но наибольшее распространение в данный момент получили модели, рассматривающие восьмимерное пространство. И здесь важную роль играют октавы. Использование октав в построении различных моделей рассматривается, например, в работах Е. И. Кубышкина [3; 4].
Давно известно, что с помощью комплексных чисел легко осуществлять поворот плоскости. Поворот на угол ф выполняется умножением на комплексное число cos ф + i sin ф. Например, чтобы повернуть точку A(2;1) на плоскости на угол 30°, достаточно умножить два комплексных числа
(2 + Oil3 + ]-
i = V3
1
V3\,
21 + 1 + ^ Г
Значит, точка A перешла в точку
. 1 V3 a V3 -т;1 + T
© Клюшин А. В.
Клюшин А. В.
Хотелось бы иметь такой же простой механизм для пространства. Этой задачей заинтересовался У. Гамильтон. В 1835 г., в возрасте 30 лет, он научился работать с комплексными числами как с парами действительных чисел. Вдохновленный этой связью между С и двумерной геометрией, он в течение многих лет пытался изобрести большую алгебру, которая играла бы аналогичную роль в трехмерной геометрии. 16 октября 1843 г., направляясь с женой вдоль Королевского канала на заседание Королевской ирландской академии в Дублине, он совершил свое эпохальное открытие: «Можно сказать, я здесь и сейчас почувствовал, как электрическая цепь мысли замкнулась, а засверкавшие искры оказались фундаментальными соотношениями
р = ^ = £1 _ I • у • £ _ 1,
представленными именно в том виде, в каком я их с тех пор использовал» [5, с. 4].
Вскоре после этого Дж. Т. Грейвз, товарищ Гамильтона по колледжу, открыл еще одну уникальную алгебру — алгебру октав, восьмимерную алгебру над полем действительных чисел. История открытия кватернионов и октав хорошо изложена у Дж. Х. Конвея и Д. А. Смита [6].
Кватернионы — это выражения вида ш = a + Ы + у + dk, где a, Ь, c, d е Ж. Их можно интерпретировать как четырехмерные векторы над Ж. Множество кватернионов обозначается Н в честь Гамильтона. Символы ±1, ±', ±у, ±k образуют группу, которая называется группой кватернионов и обозначается 08. Умножение в этой группе определяется следующим образом: умножение на ±1 обычное. Символы у, k перемножаются по следующим правилам: /2 = у2 = к2 = —1; у = к, у = —к, jk = ', ку = —'', Ш = у, ik = —у.
Для кватернионов, так же как и для комплексных чисел, имеется операция сопряжения. Если дан кватернион
ш = a + bi + cj + dk, то сопряженным к нему называется кватернион ш = a — bi — — cj — dk.
Непосредственно проверяется, что ш • ш = a2 + b2 + c2 + d2. Это действительное число. В основе алгебры комплексных чисел лежит равенство
(a2 + b2)(c2 + d2) = (ac - bd)2 + (ad + bc)2,
благодаря чему \zl • z2| = |zj • |z2|. Произведение чисел, представимых в виде суммы двух квадратов, также представимо в виде суммы двух квадратов. Аналогичное равенство справедливо и для четырех квадратов. Известна теорема Гурвица о том, что подобные равенства справедливы для числа квадратов n = 1, 2, 4, 8, и только для них! Благодаря этому, для кватернионов также справедливо равенство
|ш1 • ш2| = |ш1| • |ш2|.
Техника поворота пространства с помощью кватернионов состоит в следующем: для того чтобы повернуть вектор х на угол 2ф вокруг оси, задаваемой вектором и, нужно сначала нормировать вектор и: v = u/|u|, сформировать кватернион ш = cos ф + v sin ф и осуществить преобразование х ^ ш-1хш.
Для построения алгебры октав можно рассмотреть выражения вида ш1 + ш2е, где е — новый символ. Сложение и умножение на действительное число a определяется обычным образом.
Умножение в алгебре октав задается равенством
(ш1 + ш2е)(ш3 + ш4е) =
= (ш1ш3 - ш4ш2) + (ш4ш1 + ш2ш3)е.
Закон дистрибутивности выполняется, однако умножение не только не коммутативно, но и не ассоциативно.
Значимость алгебры кватернионов и октав подчеркивается теоремой Фробениуса [7]: тело кватернионов является единственной конечномерной,
Рационализм и иррационализм в жизни, философии, науке: материалы научно-практической конференции (2)
действительной, ассоциативной, но не коммутативной алгеброй без делителей нуля.
Алгебра октав является единственной конечномерной, действительной, альтернативной, но не ассоциативной алгеброй без делителей нуля.
Литература
1. Сазанов А. А. Четырехмерный мир Мин-ковского. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 224 с.: ил. (Проблемы науки и технического прогресса).
2. Березин А. В., Курочкин Ю. А., Толкачев Е. А.
Кватернионы в релятивистской физике. 2-е изд., испр. М.: Едиториал УРСС, 2003. 198 с.: ил.
3. Кубышкин Е. И. Нелинейная алгебра пространства-времени. М.: URSS: Либроком, 2009. 301 с.: ил. (Relata refero).
4. Кубышкин Е. И. Октавы и наш восьмимерный мир: модель пространства-времени на основе алгебры октав. M.: URSS: Либроком, 2013. 255 с.: ил. (Relata refero).
5. Гордеев В. Н. Кватернионы и трехмерная геометрия. Электрон. дан. Киев, 2012. 60 с. || Техническая библиотека [Электронный ресурс]. URL: http:||techlibrary.ru|b|2k1p 1r1e1f1f1c_2j.2v. _2s1c1a1t1f1r1o1j1p1o2c_1j_1t1r1f1w1n1f1r1o1a2 g_1d1f1p1n1f1t1r1j2g._2012.pdf (дата обращения: 06.05.2016).
6. Конвей Дж. Х., Смит Д. А. О кватернионах и октавах, об их геометрии, арифметике и сим-метриях. M.: Изд-во MЦHMО, 2009. 183 с.: ил.
7. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. 2-е изд. M.: Наука: Физматлит, 1973. 399 с.
Клюшин Александр Викторович — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики № 2 (BM-2) M^T. E-mail: AVKlyushin@mail.ru
