Формула Эйлера над телом кватернионов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.5

Г.А. Пюкке

Камчатский государственный технический университет, Петропавловск-Камчатский, 683003 e-mail: geopyukke@yandex.ru

ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА НАД ТЕЛОМ КВАТЕРНИОНОВ

Рассмотрено доказательство и выполнены преобразования для получения аналитической формы написания формулы Эйлера на основе множества гиперкомплексных чисел с тремя мнимыми единицами, что открывает новые возможности и расширяет круг инженерных задач, решаемых в различных областях современной технической науки.

Ключевые слова: кватернион, формула Эйлера, векторное произведение, скалярная величина, коммутативность, ассоциативность, тело, алгебра.

G.A. Pyukke (Kamchatka State Technical University, Petropavlovsk-Kamchatski 683003) Euler's formula on the body of quaternion

The proof is considered and transformations to obtain the analytical form of the spelling of Euler's formula are executed on the basis of a set of hypercomplex numbers with three imaginary units. It opens new opportunities and expands a circle of engineering problems decided in different areas of a modern engineering science.

Key words: quaternion, Euler's formula, vector product, scalar size, commutatively, associativity, body, algebra..

DOI: 10.17217/2079-0333-2016-36-19-27

Введение

Значение широко известной в математике формулы Эйлера для теоретических исследований в области различных технических приложений трудно переоценить. Можно назвать множество разделов технической науки, где эта формула уже давно применяется. Достаточно вспомнить, например, «Символьный метод», используемый при анализе и синтезе электрических цепей и являющийся теоретической основой при решении технических задач. Также можно говорить о целом разделе прикладной математики «Операционное исчисление» и целого ряда других задач, связанных с алгебраизацией дифференциальных уравнений. Затрагивается вопрос об общих методиках, а значит значение таких разделов для инженерных технических расчетов достаточно велико.

Все эти исследования, выполненные для технических приложений, широко известны и давно применяются, но все они касаются использования обыкновенных комплексных чисел. Возникает естественный вопрос: «Какие новые возможности открываются при использовании в подобных технических расчетах множества гиперкомплексных чисел, и в частности кватернионов?». Ответить на этот вопрос можно, предварительно получив саму формулу Эйлера для кватернионов.

Утверждения, приведенные в статье, опираются на общеизвестные фундаментальные теоремы, аксиомы и определения современной алгебры, необходимые для раскрытия поставленного вопроса по существу. В частности, основа решения задачи базируется на известной теореме Фробениуса. Немецкий математик Ф.Г. Фробениус показал, что при некоторых естественных предположениях всякое тело или поле, расширяющее поле вещественных чисел R либо совпадает с исходным полем R либо изоморфно полю комплексных чисел C, либо изоморфно телу кватернионов H. Тело кватернионов является единственной конечномерной ассоциативной, но не коммутативной алгеброй без делителей нуля [1]. Исторически сложилось так, что по мере расширения понятия числа, при выполнении математических операций человечество постепенно переходило сначала от натуральных чисел к целым числам, потом от целых чисел к рациональным и иррациональным, объединенным в действительные числа. И каждый раз такое расширение происходило при попытке выполнения обратных операций при вычислениях. Такое расширение произошло и при переходе от понятия действительных чисел к множеству мнимых чисел.

Введение мнимых чисел в алгебре связано с решением квадратных уравнений, когда математика столкнулась с проблемой извлечения корней четной степени из отрицательных чисел. Оказалось, что в поле действительных чисел таких чисел нет.

Чтобы устранить это противоречие, необходимо было расширить понятие о числе и перейти к более общему - множеству комплексных чисел. Например, считать, что уравнение x2 + 1 = 0 все же имеет корень, но этот корень есть число особого рода - мнимое, отличное от обычных вещественных чисел. Однако, добавляя к множеству вещественных чисел мнимое число i, мы обязаны объяснить, как выполняется умножение вещественных чисел на i, сложение их с i, как перемножаются и складываются мнимые числа, и выполнимы ли в этом новом расширенном множестве аксиомы коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности. И пока мы не определим эти действия для «расширенного» множества чисел, мы не имеем достаточных оснований считать мнимую единицу i числом.

Впервые мнимые числа появляются в середине XVI века. В дальнейшем мнимые числа снова и снова появляются при вычислениях, и лишь постепенно, по мере того, как обнаруживается польза от их употребления, они получают всеобщее признание.

Очень образно о мнимых числах отозвался Лейбниц: «Мнимые числа - это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что сочетание бытия с небытием».

Добавляя к множеству вещественных чисел число i, необходимо определить все произведения в • i вещественного числа в на i и все суммы а + в i , которые также необходимо считать числами особого рода и включить в множество чисел дополнительно к вещественным числам и числу i. Полученное при этом множество чисел вида а + в i и соответствует множеству обыкновенных комплексных чисел.

Благодаря Эйлеру в XVIII веке устанавливается фундаментальное значение мнимых чисел в теории функций. В 1748 г. Эйлер выводит свое знаменитое соотношение elx = Cos x + i Sin x, вскрывающее внутреннюю связь тех видов функциональной зависимости, которые содержат мнимую единицу.

В XIX в. появилось логически ясное понимание сущности комплексных чисел, и связано оно, прежде всего, с работами Гаусса, давшего геометрическую интерпретацию и обоснование теории комплексных чисел. Гаусс показал, что в области комплексных чисел остаются в силе все правила алгебры, кроме понятий «больше», «меньше», которые не могут быть сохранены в старой формулировке, так как комплексные числа по самой своей природе не допускают того расположения в ряд (упорядочения) по их величине, которое свойственно действительным числам. Это свойство можно характеризовать как нарушение монотонности, так как само понятие монотонности теряет смысл без упорядоченности.

По мере развития теории комплексных чисел естественно возникал ряд вопросов по дальнейшему расширения понятия числа. В частности, математиков интересовал вопрос, нельзя ли построить другие высшие комплексные числа, с большим числом новых единиц, а не только одной i и целесообразно определить действия над ними. То есть исторически решалась задача перехода к общей теории гиперкомплексных чисел, в рамках которой позднее было показано, что количество «n» комплексных единиц для таких систем гиперкомплексных чисел может быть равно лишь 1 или 3, или 7. При этом в случае n = 3 система обязательно будет не коммутативной, а в случае n = 7 еще и не ассоциативной. При n = 1 система соответствует обыкновенным комплексным числам. В частности, при n = 3 приходим к системе кватернионов [1].

Этот термин введен в науку ирландским математиком XIX в. В.Р. Гамильтоном. Соответственно, все общие рассуждения, применимые к обыкновенным комплексным числам, теперь должны быть проверены на системе кватернионов, чтобы можно было считать их числами. Как видно из названия, кватернионы - это четырехчленные числа. За первую из четырех единиц, из которых составляются кватернионы, принимают обыкновенную вещественную единицу. Три другие единицы обозначают i, j, k. Так что кватернион имеет вид: q = d + ia + jb + kc, где a, b, c, d - действительные параметры. Первую составляющую d, на которую умножается обыкновенная единица, называют скалярной составляющей кватерниона. Совокупность трех остальных членов ia, jb, kc называют его векторной частью.

Сложение кватернионов можно интерпретировать геометрически, а именно, отрезок, соответствующий векторной части кватерниона q, можно разложить по ортам i,j, k на оси координат. Вектор будет иметь проекции a, b, c. Этому вектору приписывают вес, равный скалярной части, то есть d. Вектор q' = d + ia + jb + kc , и этому вектору приписываем вес d. После этого сло-

жение векторов q и q' выполняется по правилу параллелограмма. Полученной равнодействующей приписывается вес, равный сумме весов обоих слагаемых. Как видно, полученный вектор представляет собой кватернион [2]:

q + q' = ^ + d') + ^а + а') + у(Ь + Ь) + к(с + О.

Умножение кватернионов тоже выполнимо по правилам, устанавливающим значения произведений единиц. Первое условие состоит в том, чтобы с первой единицей 1 производились вычисления, как с действительным числом 1, то есть

12 = 1; i • 1= 1- i = /';

У • 1= 1 У = У; k • 1= 1 k = к.

Относительно квадратов единиц i,у, к должно выполняться условие:

,-2 = у2 = к2 = -1.

Относительно произведения единиц ортов /,у, к должно выполняться условие:

у X к = г; к х I = у;

1 х у = к; (1)

к х у = - г;

г х к = - у;

у х г = - к.

То есть для единиц аксиома коммутативности не имеет места. В противном случае нарушается однозначность деления.

Для получения результата составим произведение двух кватернионов:

q = р • q = ^ + ia + ]Ь + кс)(ю + ix + ]у + kz).

Выполняя перемножение почленно, с учетом векторного произведения (1), получим

q = р • q = d ю - ах - Ьу - cz + ^аю + dx + bz - су) + у(Ью + dy + сх - az) + к(сю + dz + ау - Ьх).

Полученный результат представляет собой кватернион.

Произведение двух кватернионов можно выразить через скалярное и векторное произведение векторов. Рассмотрим два кватерниона:

р = d + га + ]Ь + кс = d + X; q = ю + гх + ¡у + кz = ю + ц,

где X = га + ]Ь + кс; ц = 1х + }у + kz - векторные составляющие кватернионов. р • q = d ю -- (X • ц) + г аю + г dx + г bz - г су + у Ью + у dy + у сх - у az + к сю + к dz + к ау - к Ьх = d ю - (X • ц) + + d (гх + уу + kz) + ю(га + р + кс) + г bz - г су + у сх - у az + к ау - к Ьх = d ю - (X • ц) + d ц + ю X + + i(bz - су) -- сх) + к(ау - Ьх) = d ю - (X • ц) + d ц + ю X + X х ц. То есть доказано следующее соотношение:

р • q = d ю - (X • ц) + d ц + ю X + X х ц.

Однако при перемене последовательности перемножения q • р члены Ьг; —су; аг; —сх; ау; —Ьх будут менять свои знаки на противоположные, подтверждая невыполнение аксиомы коммутативности. Но аксиомы ассоциативности и дистрибутивности выполняются, то есть 0' 'к = / а к) ир • ^ + ql) = р q + р ql.

Для доказательства деления кватернионов достаточно показать, что всякому кватерниону р = й + Iа + ]Ь + кс отвечает другой, определенный кватернион q, удовлетворяющий условию

р • q =1. Для доказательства обозначим q = —. Для нахождения q полагаем р • q = 1 + /0 + '0 + к0.

р

Но так как р = й + Iа + ¡Ь + кс, q = ю + 1х + ¡у + кг, то р • q = й ю - ах — Ьу — сг + /(аю + йх + Ье -- СУ) + а(Ью + йу + сх — аг) + к(сю + йг + ау — Ьх) = 1 + /0 + '0 + к0.

Приравнивая составляющие при одинаковых единицах 1, /,к, получим систему уравнений с четырьмя неизвестными ю, у, х, г кватерниона q:

й ю - ах — Ьу — сг = 1, аю + йх + Ьг — су = 0, Ью + йу + сх — аг = 0, сю + йг + ау — Ьх = 0.

Определитель полученной системы является кососимметричным определителем, так как его элементы, симметричные главной диагонали, отличаются только знаком, а все элементы главной диагонали равны между собой. Теория определителей дает формулу для вычисления такого определителя:

й - а - Ь -с

а й -с Ь

Ь с й -а

с - Ь а й

= (а2 + Ь2 + с2 + й2)2 .

Из приведенного соотношения вытекает [3], что определитель всегда отличен от нуля, если

а, Ь, с, й не равны нулю одновременно. То есть обратный кватернион q всегда существует q = — .

р

Соответственно, модуль кватерниона Т можно выразить следующим образом:

тогда

Т = 4а2 + Ь2 + о1 + й2

а Ь с й х =--г; у =--г; г =--г; ю =--7.

Соответственно,

1

q = — =

1

й - /а - ]Ь - кс

й - /а - ]Ь - кс

,2,12, „2

р й + /а + 'Ь + кс (й + /а + 'Ь + кс)(й - /а - 'Ь - кс) а + Ь + с + й

Аналогично вводится понятие сопряженного с р кватерниона р :

р = й — Iа — ¡Ь — кс,

или р • р = Т2 = а2 + Ь2 + с2 + й2 . р • р = Т2 - то есть в этом случае сомножители коммутативны. Решение задачи деления в общем виде выглядит так:

Если р • д = q , то, умножая обе части этого равенства слева на —, получим:

Р

1 1 . 1 ' ~р ■

— р • д = — д или д = — д = ч> р р р т

так как выполняется ассоциативность — (р • д) = (— р) • д = д.

Р Р

Коммутативность при этом не выполняется, и уравнение д • р = д' отличается от первого тем, что имеет, в общем, другое решение [2]: _

1 .Р.

д = д р = д т 2 •

Известное соотношение, доказанное Эйлером для обыкновенных комплексных чисел, можно распространить на множество кватернионов, а полученное аналитическое выражение применять в различных областях технических дисциплин.

Рассмотрим экспоненциальную функцию от кватерниона:

^дф _ ^-яо+%+.№ +кдз)ф

где ф - переменная. Так как д0 - скалярная составляющая кватерниона и действительное число, то оно коммутируется с базисной единицей и остальными мнимыми единицами. Экспоненту можно представить так:

Рассматривая алгебраическое представление экспоненты от кватерниона, определим коэффициенты Аоо (ф), А (ф), А 2 (ф), Аз (ф):

е(+к%)ф = Ао (ф) + А (ф) + ]А2 (ф) + кАз (ф). (2)

Далее необходимо взять производную по ф и получить следующее равенство:

(д + + кдз) е( +кЧз) = Ао' (ф) + А (ф) + А (ф) + кАз' (ф). Или, подставляя вместо е((+-'д2+кЧз)) ее значение

Ао (ф) + А (ф) + ]А2 (ф) + кАз (ф),

получим:

(д + уд2 + кдз)[ Ао (ф) + А (ф) + 7А2 (ф) + кАз (ф)] = Ао (ф) + А (ф) + А (ф) + кАз' (ф).

Раскрывая скобки, получим:

/дДо (ф) + г2д^А1 (ф) + удА (ф) + /к д^Аз (ф) + ^Ао (ф) + р д2А1 (ф) + /д2А2 (ф) + Д д2Аз (ф) + + к дзАо (ф) + кг дА (ф) + крд^2 (ф) + к2 дАз (ф) = Ао' (ф) + г А1' (ф) + А (ф) + кАз' (ф).

/дА (ф) - д^А: (ф) + кдА (ф) -рдА (ф) + р^Ао (ф) - кд2Ах (ф) - д2А2 _(ф) + г д2Аз (ф) + к дзАо (ф) + +рдзА (ф) - /дА (ф) - д^з (ф) = Ао' (ф) + /А 1 (ф) + А (ф) + кАз' (ф).

- дА (ф) - д2А2 (ф) - дзАз (ф) + /дИо (ф) + / д2Аз (ф) - /дзА (ф) -уд^з (ф) + рд2Ао (ф) + +рдзА (ф) + кдА (ф) - кд2Ах (ф) + к дзАо (ф) = Ао' (ф) + /А 1 (ф) + А (ф) + кАз' (ф).

Приравнивая коэффициенты при одноименных единицах, получим:

Ао (ф) = - дА (ф) - д2А2 (ф) - дзАз (ф), А1 (ф) = д^Ао (ф) + д2Аз (ф) - д^2 (ф), А2' (ф) = - д^Аз (ф) + д2Ао (ф) + дА (ф) , (*)

Аз (ф) = дА (ф) - д2А1 (ф) + д^о (ф).

Продифференцируем систему (*) по ф:

А0 (ф) = - ql4l (ф) - q2^2 (ф) - qзАз (ф),

А: (ф) = qlАo (ф) + q2Аз (ф) - qзА2 (ф),

Аг' (ф) = - qlАз (ф) + q2Аo' (ф) + (ф), (**)

Аз (ф) = q^А2 (ф) - q2Аl (ф) + qзАo (ф).

Подставим в систему (**) выражения для А1 (ф); А2 (ф); Аз (ф) из (*), получим: А0 (ф) = - ql[qlАo (ф) + q2Аз (ф) - q^2 (ф)] - q2[- qlАз (ф) + q2Аo (ф) + q^l (ф)] - qз[qlА2 (ф) -

- q2Аl (ф) + q3Аo (ф)] = - ql2 А0 (ф) - ql q2 Аз (ф) + ql qз А2 (ф) - q22 А0 (ф) + ql q2 Аз (ф) - q2 qз А1 (ф) -

- qз2 А0 (ф) + q2 qз А1 (ф) - ql qз А2 (ф) = (- ql2 - q22 - qз2) А0 (ф) - первое уравнение. Далее для второго уравнения имеем: А: (ф) = q1[- q1А1 (ф) - q2А2 (ф) - q3А3 (ф)] + q2 ^А2 (ф) -

- q2Аl (ф) + qзАo (ф)] - qз [- qlАз (ф) + q2Аo (ф) + qзАl (ф)] = - ql2 А1 (ф) - ql q2 А2 (ф) + ql qз Аз (ф) -

2 2 2 2 2

- q2 А1 (ф) + ql q2 А2 (ф) - q2 qз А0 (ф) - qз А1 (ф) + q2 qз А0 (ф) - ql qз Аз (ф) = (- ql - q2 - qз ) А1 (ф)

- второе уравнение.

Далее для третьего уравнения имеем: А2 (ф) = q2[- q^Аl (ф) - q2А2 (ф) - qзАз (ф)] - ql[qзАo (ф) - q2Аl (ф) + q^А2 (ф)] + qз[qlАo (ф) + + q2Аз (ф) - qзА2 (ф)] = - ql2 А2 (ф) + ql q2 А1 (ф) - ql qз А0 (ф) - q22 А2 (ф) - ql q2 А1 (ф) - q2 qз Аз (ф) -

- qз2 А2 (ф) + q2 qз Аз (ф) + ql qз А0 (ф) = (- ql2 - q22 - qз2) А2 (ф) - третье уравнение.

Далее для четвертого уравнения имеем: Аз (ф) = qз [- qlАl (ф) - q2А2 (ф) - qзАз (ф)] - q2 [q^Аo (ф) + q2Аз (ф) - q^2 (ф)] + ql [- qlАз (ф) + + q2Аo (ф) + qзАl (ф)] = - ql qз А1 (ф) - q2 qз А2 (ф) - qз2 Аз (ф) - ql q2 А0 (ф) - q22 Аз (ф) + q2 qз А2 (ф) + + ql q2 А0 (ф) - ql2Аз (ф) + ql qз А1 (ф) = (- ql2 - q22 - qз2) Аз (ф) - четвертое уравнение. Получили систему:

А0'' (ф) = (- ql2 - q22 - qз2) А0 (ф), А1 ' (ф) = (- ql2 - q22 - qз2) А1 (ф), А2'' (ф) = (- ql2 - q22 - qз2) А2 (ф), Аз'' (ф) = (- ql2 - q22 - qз2) Аз (ф)

или

(ql2 + q22 + qз2) А0 (ф) = 0,

йф

й2 А(ф) , !„2 ~ 2 . 2\

Оф2

+ (qi + ^22 + ^32) ах (ф) = 0,

(qi2 + q22 + q32) А2 (ф) = 0,

аф

(qi2+q22+q32) Аз (ф)=о.

аф

Решая систему однородных дифференциальных уравнений, получим:

к2 + (qi2 + q22 + q32) = 0; к = ^ + q22 + q¡ i; h = -Jq[+q¡+q¡ i; Ао (ф) = Ci Cos д/q2 + q22 + q32 ф + C2 Sin д/q2 + q22 + q32 ф.

Начальные условия: ф = 0; А0 (ф) = А0 (0) = Cos 0 = 1; аАо(ф) = о.

аф

<аЦ,(ф) _ _ 17,7,7

dq>

Отсюда:

д/q2 + q22 + q22 Ci Sin д/q2 + q22 + q22 ф + д/q2 + q22 + q22 C2 Cos д/q2 + q22 + q22 ф = 0. Ci Cos д/q2 + q22 + q22 ф + C2 Sin д/qf + q22 + q22 ф = 1;

o = V^i2 + q2 + q2 C2,

1 = Ci; C2 = 0.

Л (ф) = Cos д/q2 + q22 + q22 ф.

Далее:

Ai (ф) = Ci Cos д/q2 + q22 + q22 ф + C2 Sin д/qf + q22 + q22 ф.

Начальные условия: ф = 0; а, (ф) = а, (0) = Sin 0 = 0; ^(ф) = qb

dф

Ci Cos ^[qf+q[+ql ф + C2 Sin ^qf + q\ + q32 ф = 0,

¡qi + q2 + q2 ф + C2 Sin A/qi + q2 + q2 ф

/qi2 + q\ + q22 ф + Vi

=-Vqi2 + q\ + q22 Ci Sin Vqi + q22 + q22 ф + -A2 + q22 + q22 C2 Cos -A2 + q22 + q22 ф = qi.

dф

Ci Cos 0 = 0; Ci = 0,

qi = д/q2 + q22 + q22 C2 Cos0; C2 = qi

V2 2 2 qi + q2 + q2

Отсюда:

Ai (ф) = q' Sin Vqi2 + q¡ + q2 ф.

V2 2 2 qi + q2 + q2

Далее:

A2 (ф) = Ci Cos д/qj2 + q22 + q22 ф + C2 Sin ^/qf + q22 + q22 ф.

Начальные условия: ф = 0; А2 (ф) = А2 (0) = Sin 0 = 0; dA2(^ = q2,

dф

Ci Cos Jqf+ql+ql ф + C2 Sin -Jq^ + q\ + q32 ф = 0,

¡qi + q2 + q2 ф + C2 Sin + q2 + q2 ф

^^г^=-Vqi2 + q¡ + q2 Ci Sin Vqf + q22 + q2 ф + A2 + q22 + q2 C2 Cos + q22 + q2 ф = q2, dф

Ci Cos 0 = 0; Ci = 0,

q2 = Jq2 + q22 + q22 C2 Cos0; C2 =

V2 2 2 qi + q2 + q2

Отсюда:

Далее:

A2 (ф) = q2 Sin д/q! + q2 + q2 ф.

V2 2 2 qi + q2 + q2

Аэ (ф) = Ci Cos д/q,2 + q22 + q22 ф + C2 Sin ^/qf + q22 + q22 ф.

Начальные условия: ф = 0; А3 (ф) = А3 (0) = Sin 0 = 0; (ф) = q3

аф

сх Cos Vq2 + q\ + ql ф + c2 Sin Vq2 + q\ + ql ф = 0,

аф

qx + q2 + q3 ф + С 2 Sin ^qi + q2 + q3 ф : д/qj2 + q22 + q3 Ci Sin + q22 + q32 ф + ^ + q22 + q32 С2 Cos + q22 + q32 ф = q3,

Ci Cos 0 = 0; Ci = 0, q3 = д/qj2 + q22 + q32 С2 Cos0; С- = q3

V2 2 2 qi + q2 + q3

Отсюда:

А3 (ф) = q3 Sin ^qi + q¡ + q¡ ф.

V2 2 2 Я + Я2 + Яз

Итак, решив уравнения при соответствующих начальных условиях, имеем:

Л (ф) = Cos д/q2 + q22 + q32 ф,

Ах (ф) = qi Sin

1 "> "> Vх

V2 2 2 qi + q2 + q3

Iqi + q2 + q3 Ф,

а2 (ф) = q2 sin vtf + q2 + q3 ф,

V2 2 2 qi + q2 + q3

А3 (ф) = q3 Sin Vqi2 + q¡ + q3 ф.

V2 2 2 qi + q2 + q3

Подставив найденные решения в соотношение (2), получим аналог формулы Эйлера для кватернионов:

е +т +к?3)ф = cos + q2 + q32 ф + i qi Sin Vq,2 + q2 + q32 Ф + j q

V 2 2 2 x 2 3 / 2 2 2 qi + q2 + q3 v^ + q2 + q3

Sin ^Jqf+ql+ql ф + k q3 Sin + q\ + q32 ф =

vqi+q22+q32

cos Vqi2+q2 + q3 ф + [i . 2 q\ 2 + j , 2 q\ 2 + k , 2 q32 2 ] •

vqi + q2 + q3 vqi + q2 + q3 vqi + q2 + q3

ф.

Sin Vq2 + q2 + q32 Ф = Cos + q2 + q32 Ф + iqi + jq2 + kq3 Sin Vq2 + q¡ + q32

+ ^ + ^

Таким образом, аналог формулы Эйлера для кватернионов запишется в виде:

! е ^ +jq2+kq3)^ = Cos ф + iqi+jg2,+kq3 Si^vq^i Ф. ¡

i V^i + q + q

Следовательно, если кватернион рассматривается в качестве аргумента элементарной функции, то он может быть представлен как условное комплексное число:

Полученная аналитическая форма написания формулы Эйлера на основе множества гиперкомплексных чисел с тремя мнимыми единицами открывает новые возможности и расширяет круг инженерных задач, решаемых в различных областях современной технической науки.

1. Конвей Дж., Смит Д.А. О кватернионах и октавах, об их геометрии, арифметике и сим-метриях. - М.: МЦНМО, 2009. - 184 с.

2. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. - М.: Наука, 1987. - 432 с.

3. Яглом И.М. Комплексные числа и их применение в геометрии. - М.: Наука, 1963. -

Пюкке Георгий Александрович - Камчатский государственный технический университет; 683003, Россия, Петропавловск-Камчатский; доктор технических наук; доцент; профессор кафедры систем управления; geopyukke@yandex.ru

Pyukke Georgij Aleksandrovich - Kamchatka State Technical University; Petropavlovsk-Kamchatski Russia, 683003; Doctor of Technical Sciences; Associate Professor; Professor of Control Systems Chair; geopyukke@yandex.ru

Литература

192 с.

Информация об авторе Information about author