CC BY
55
Владикавказский математический журнал Апрель-июнь, 2004, Том 6, Выпуск 2
УДК 515.174.5
КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА СКАЛЯРНЫХ КВАТЕРНИОНОВ
А. В. Смирнов
Рассмотрены гиперкомплексные числа образующие четырехмерное пространство полностью скалярных кватернионов. Соответствующая дополнительная алгебра построена в качестве невекторного расширения над полем комплексных чисел. Подобно обычным комплексным числам эта коммутативная алгебра 4-го ранга обладает свойствами деления, сопряжения, извлечения корня и факторизации наряду с прямым аналогом формулы Эйлера. Показано, что вращения представимы в этой алгебре без нарушения коммутативности. Некоторые из непосредственных приложений включают физику пучков, ускорителей и теорию волн.
1. Введение
Обычный кватернион был введен как векторное расширение над полем комплексных чисел [1, 2]. Его векторная часть представляет из себя обобщенную мнимую часть и образует трехмерное кватернион-векторное пространство. Хотя кватернионы и не входят в стандартный математический аппарат, они нашли многочисленные применения в вычислительной математике (например, обработка изображений) и многих областях физики включая специальную теорию относительности и оптику, теории элементарных частиц и астрофизику, теорию поля и механику. Например, в физике пучков заряженных частиц кватернионы весьма эффективны в решении проблемы транспортировки спина [3, 4].
Нередко в аналитических исследованиях и моделях мы сталкиваемся с выражениями, содержащими как комплексные числа, так и (2 х 2)-матрицы. Матричное представление, однако, может иметь и более удобные альтернативы. Квантовая механика, к примеру, может быть элегантно сформулирована с помощью геометрической алгебры. В некоторых других ситуациях более удобно иметь дело с преобразованиями полностью скалярных выражений, чем с традиционными кватернионами — носителями векторных свойств. В общем случае могут встречаться также и комплексные функции. Соответствующие практические случаи включают, например, анализ собственных мод некоторых граничных задач [5, 6], транспортировку пучка заряженных частиц и его динамику в ускорителях [7] и вакуумных электронных приборах [8, 9]. Можно предположить, что пространство псевдоскалярных чисел может неявно включать и элементарные матричные преобразования через расширенные свойства скалярных кватернионов. Это пространство суть объединение двух независимых полей обычных комплексных чисел (ассоциированных, например, с временной и пространственными координатами).
Л. Левин фактически одним из первых применил скалярные гиперкомплексные величины для анализа электромагнитных волн распространяющихся в различных вол-новодных структурах [6]: с диэлектриком и намагниченным ферритом, поверхностной
© 2004 Смирнов А. В.
анизотропией и гофрами. Он ввел феноменологически дополнительную мнимую единицу (см. (1.1)) чтобы различить комплексные числа, отвечающие за различные свойства временной переменной (и/либо продольной фазовой координаты) — с одной стороны, и пространственных (либо поперечных/угловых) переменных — с другой стороны. Соответствующие мнимые единицы образуют коммутативную группу:
г = —1, = —1, I] = р. ф —1 или \/ Г. (1.1)
Используя этот подход, Л. Левин получил компактное скалярное дисперсионное уравнение для нормальных мод с четырехкомпонентными комплексными числами. Дальнейшее развитие этого метода [10, 11] позволило строго охарактеризовать самосогласованную систему, в которой пучок взаимодействует с замедляющей структурой и соленоидальным полем. Было показано [10], что обычный матричный подход дает эквивалентное решение системы дисперсионных уравнений и приводит в конечном итоге к точно тем же значениям инкремента и порогового тока регенеративной поперечной неустойчивости «обрыва пучка». Однако использование скалярных кватернионов значительно упрощает выкладки и дает гораздо более прозрачное физическое решение. Например, коллективная частота г/, найденная алгебраически из единственного гиперкомплексного дисперсионного уравнения, имеет четкий смысл своих компонентов: Квг Ке^г/ — расстройка коллективной частоты по отношению к собственной частоте; 11щ1т^г) — угловая скорость вращения вырожденной коллективной дипольной моды; а ± Ие^й дают инкременты
право- и левополяризованных коллективных мод гиромагнитной неустойчивости. Заметим, что в работе [7] отсутствие дополнительной мнимой единицы привело к некорректному смешиванию между различными степенями свободы и ошибочному результату для порогового тока неустойчивости «обрыва пучка» в присутствии поперечного движения.
Коммутативная алгебра для соответствующих гиперкомплексных чисел была введена в [10] для приложений физики пучков и ускорителей. Она была определена как замкнутое обобщение над различными г- и ^'-полями комплексных чисел, которые образуют коммутативную алгебру 4-го ранга с делением и основными атрибутами обычных комплексных чисел. В этой статье мы приводим основные свойства и простейшее аналитическое продолжение. Мы подразумеваем эквивалентными такие термины как: «четырехкомпонентное число», «гиперкомплексное число» и «скалярный кватернион».
2. Элементарные свойства коммутативной алгебры четырехкомпонентных чисел
Выпишем четырехкомпонентное комплексное число, которое выглядит здесь идентичным обычному кватерниону:
а = ao+ia1+ ]а2 + (2.1)
где компоненты ао, щ, аз вещественны; г, j — независимые мнимые единицы, и г?' — составная мнимая единица.
Мы рассматриваем в данной работе гиперкомплексные числа (1.1), (2.1) как обладающие коммутативностью и ассоциативностью, дистрибутивностью и замкнутостью по отношению к умножению и делению.
В частности, произведение двух простых комплексных чисел из различных г- и пространств образует скалярный кватернион:
(а + %Ь) ■ (с + ]6) = а0 + %а\ + ,]а2 + Ца3,
(2.2)
где ао = ас, а\ = be, a<i = ad, аз = bd.
Можно рассматривать пространства обычных комплексных чисел как двухмерные проекции пространства гиперкомплексных чисел. Поэтому естественно переопределить операторы реальной и мнимой частей следующим образом:
Re¿ а = ао + jo¿2, Im¿ а = ot\ + jas, (2.3)
где индексы i и j обозначают соответствующее пространство-проекцию как область действия соответствующей операции.
Рассмотрим теперь матрицы Паули
о i \ . /о —i Л . /10
= 1 1 о;' а2 = \1 о )■' аз - V о -1
как операторы действующие, например, только в ^'-пространстве. Тогда, полагая, что а
^ 3г I. мы можем перейти к нашему псевдоскалярному пространству используя следующие правила подстановки:
<71 а —за*3, &2а ——а, о%а ^ а*3, (2.4)
т. е. матричные операторы могут быть представлены формально как —j(•)*3, &2 -1, и ->• (■)*■?.
Подобно алгебре спиновых матриц из (2.4) мы имеем аналогичные соотношения: 01<7203<74 а = <71(72 Й = ~ЗОъЩ 0"2<7з Й = 7\Щ (тфх Й = -_7<72 Й.
Отличие заключается в том, что операторы (2.4) коммутативны в псевдоскалярном пространстве. Таким образом, произвольный матричный (2 х 2)-оператор II в ^'-пространстве может быть представлен, например, в таком виде:
II = рЁ- ¿{Хаг + ра2 + иаъ) -+р + зц + (\- >)(■)*3,
Где Ё — единичная (2 х 2)-матрица, р2 + Л2 + р2 + V2 = с^ II, а р, А, р, V — вещественные числа, описывающие связанный с ^'-пространством оператор II.
Чтобы обобщить действие матричного (2 х 2)-оператора вместе с соответствующим представлением вращений на все (г, ^')-гиперпространство мы можем заменить формально комплексную единицу на i в II и <72 (т. е. <72 —г]):
II = рЕ — г(Л<71 + р&2 + г/<7з) —р + зр — (г?А + ш) (■)*■?. (2.5)
Если и унимодулярная матрица и р2 + А2 + р2 + V2 = 1, то (2.5) представляет вращения в четырехмерном (г, ^-пространстве.
Перед тем, как перейти к определению полной длины в этом гиперпространстве, определим частичный детерминант в каждом из пространств-проекций:
с^ а = (Квгй)2 + (1п1гй)2 = й ■ а1* = |й|2 = «ц + а\ — «2 — «1 + 2^'(аоа2 + а\а$). (2.6)
(2.7)
Из правила коммутативности (1.1) и определений (2.1), (2.3), (2.6) вытекают следующие очевидные тождества:
a ■ b = b ■ a,
Re¿Reja = RejRe¿a = ao = Re¿ja = Rej¿a = Rea, Im¿Reja = Rejlm¿a = щ,
Im¿Inija = Inijlm¿a = a3 = 1шца = Irriga = Ima,
(a*T = a*1*3 = a*3*1 = (^Г = «o " «v, - i«i + '>,„
á + á*1 = 2Re¿a, á — á*1 = 2¿Im¿Reja + 2jRe¿InijRe¿a, (a + a*1*1) + C.C.i = (a + a*1*1) + C.C.j = 4Re¿ReJa = 4Rea,
I I9|2 h . o 12
det¿detja= ||a|j|¿ = \ \a\i\- = detj det¿ a.
Приведенные до сих пор правила и соотношения описывают простое скалярное объединение — суперпозицию двух полей комплексных чисел. Эти соотношения могут оказаться полезными для некоторых типичных задач за счет приведения к удобной алгебраической форме (например, в теориях волноводов [6], кильватерных полей [5], поляри-метрии и аналитическом представлении магнитостатических полей [12]). Однако, чтобы построить полную алгебру гиперкомплексного пространства, она должна быть замкнута по отношению к операциям умножения и деления, возведения в степень и извлечения корня.
Для этого мы постулируем дополнительные к (1.1) правила:
ij = ji ф± 1, %■ ij = -j, ji ■ j = -i, i2j2 = (ji)2 = 1. (2.8)
Остальные свойства скалярных кватернионов и соответствующие функциональные аналитические продолжения могут быть выведены из (1.1, 2.8) подобно теории обычных комплексных чисел. Например, нетрудно видеть, что:
1 /ij = ij; VI = ±1, ±ij-, ij = exp(±(¿ + j)n/2), (2.9)
т. е. в этой алгебре 4-го ранга квадратный корень имеет четыре значения.
Другой пример — правило умножения гиперкомплексных чисел а и b = /3q + г/3\ + j[32 +
ij[З3:
а • b = ао/Зо + а3/33 - щД - аф2 + '¿(щ/Зо + «оА - аф3 - а2@з)
+ Í(«2/3o + ao/32 - «зА - ai/Зз) + ij{a3ft0 + a2A + аф2 + aoA)-
3. Сопряжение и абсолютное значение, деление и гиперполюса
Определим полное сопряжение как расширение, построенное на частичных сопряжениях :
а* = а*4а*3а*4*3. (3.1)
Приведем здесь дополнительно несколько полезных тождеств и неравенств для сопряженных чисел и их компонент:
а + а*4а*^ + а= 4Re¿ Reja,
ан*Ч = al + aj + + 2ij(a3a3 - агщ), (3.2)
а + аф 2Re а, а + а* ф 2Re а.
Естественный способ определить полный детерминант (определитель) через частичные детерминанты (2.6):
det а = deti detj а = |= ää*lä*^ä*1*^ = а ■ а*
= (CÜQ + ai ~ а2 ~ аз)2 + 4(аоа2 + щ а3)2. (3.3)
Можно заметить, что определитель (3.3) может обращаться в нуль для некоторых ненулевых компонент ап. Мы будем называть соответствующие числа полюсами (гиперполюсами или гипернулями). Мы имеем дело с таким полюсом, например, когда |ао| = |аз| ф О при щ = а.2 = 0, либо когда |ai| = |ск21 ф 0 при ао = = 0.
В отличие от частичных детерминантов, полные детерминанты вещественны и неотрицательны. Поэтому мы определяем абсолютную величину (или норму) скалярного кватерниона через арифметический корень 4-го порядка:
|й| = N(a) = \/ det а = = (3.4)
Заметим, что числа 1 ±ij имеют нулевую норму (или гипердлину). Как мы увидим ниже, числа 27г(г± j) и 7г(г± j) являются гиперпериодами для гиперболических функций сЬ(ж), sh(5) и th(5), ctg h{x) так же, как 2ж{1 ±ij) и 7г(1 ±ij) являются гиперпериодами для тригонометрических функций cos(i), sin(5) и tg(£), ctg(i) соответственно.
Полный детерминант, введенный выше, можно использовать непосредственно для отыскания обратной величины гиперкомплексного числа с ненулевой нормой:
а"1 = I = (3.5)
а det а
Можно получить (3.5) и через последовательные преобразования в пространствах-проекциях, применяя соответствующие правила, приведенные выше:
1 _ а« _ а*4 а« ■ (сш**)*>
а |а|2 а ■ а*г аа*г ■ (аа*г)*з аа*га*за*г*з |а|4
Обращенные гипернули можно интерпретировать как гипербесконечности ¿^-алгебры.
4. Формула Эйлера, факторизация и извлечение корня
Перед тем как определить извлечение корня для произвольного скалярного кватерниона рассмотрим два частных случая.
Первый случай относится к произведению двух комплексных чисел а + гЬ и с + ](1 принадлежащих к %- и ^'-пространствам соответственно (см. (2.2)). Для такого гиперчисла мы имеем ада3 = а^ах, т. е. соответствующая (2 х 2)-матрица, составленная из его компонентов ао, щ, щ, аз, вырождена.
Отметим, что этот простой случай соответствует матричному (2 х 2)-оператору (либо вращению), примененному к «плоскому» вектору (т. е. обычному комплексному числу) принадлежащему к ¿-пространству = 0). Действительно, из (3.3, 2.2) мы имеем
|а| = \/с?й + а{ + а| + а| = л/а2с2 + Ь2с2 + а2сР + Ь2сР, а из (2.5): II —р — %у + — г? А, полагая кватернион {ац, щ, «2, аз} пропорциональным {р, — V, р, — Л}.
Очевидно, что в этом случае корень п-го порядка извлекается тривиально:
а/й = у/{a + ib) ■ (с + jcf) = >/|й[ехр [(¿arctg Ь/а + j arctg d/c + 2ж{Ы + lj))/n], (4.1)
где k, I = {0,1,... , n — 1} натуральные числа.
Таким образом, период экспоненциальной функции в нашем гиперпространстве есть 2ж(Ы + Ij). В общем случае это дает п2 значений для у/й.
Другой интересный случай есть гиперкомплексное число, представленное лишь двумя компонентами: А = а + ijd. Из (2.8) и разложения Тейлора можно получить основную формулу экспоненциального представления такого числа:
ехр(ijtp) = ch<p + ij sh<p. (4.2)
При \d/a\ ф 1 имеет место следующее представление:
А = а + ijd = la2 — d2I exp (ij arcth — ). (4.3)
V aJ
Заметим, что число arcth d/a вещественно при \d/a\ < 1, в противном случае оно комплексно либо в г-, либо в j-пространстве. Существует и дополнительное, «симметричное» представление в (г, ^-пространстве при \d/a\ > 1:
А = + г^а) = гЛа — <1 \ ехр arcth -J = \а — <1 \ ехр ^(г + j) — + г^ arcth —
(4.4)
Мы использовали в (4.4) следующее гиперкомплексное представление:
7Г 1
агсШ х —> — (г + Л — + arcth —, (4.5)
|ж|>1 2 х
которое есть гиперрасширение известной формулы ап^ х = | sgn х — аг^ ^. Таким образом, область значений обратного гиперболического тангенса расширена в пространство скалярных кватернионов.
Используя (4.3) мы можем извлечь корень из простого двухкомпонентного кватерниона В = А2 = Ь + ijc:
у/Ё = ехр + + агсШ ^^ (4 6)
где \с/Ь\ ф 1 и к, I = {0,1,... , п — 1}.
Предположив, что В = А2, можно провести проверочное сравнение для А = а + г]<1 и у/ё. Подставляя в (4.6) Ь = а2 + с(2 ж с = 2ad мы имеем:
= ±|а2-(¿2| ■ ^сЬ^+ где = агсШ ) "
Простые преобразования гиперболических функций в (4.7) дают:
где различные комбинации знаков дают восемь значений для радикала
у/1. Однако только четыре из них линейно независимы в смысле (2.9), в то время как остальные получены путем умножения на ¿7.
В общем случае, когда \А\ ф 0, мы можем обобщить формулу Эйлера следующим образом:
А = а + ib + je + ijd = ехр(ао + ia\ + jai + ija-¿) = exp(ô), (4.9)
где соотношение между А и ô может быть найдено из системы:
Ьдг = sin ai cos ai chas ~ cos ai sin ai sha3,
ao = ln
A
сдг = cos ai sin ai сЬаз — sin ai eos ai sha3, (4-Ю)
(¿jv = sin ai sin ai сЬаз,
где Ьдг = Ь/I-^Ij cn = c/l^-l и dw = d/\A\ являются нормализованными компонентами.
Подобно трехмерному вращению, представленному обычным кватернионом [1], (4.9)-(4.10) представляют вращение ai, ai, аз в псевдоскалярном гиперпространстве. Вырожденный случай (2.2), (4.1) можно интерпретировать по аналогии с подвесом Кардана (когда аз = 0 в (4.9)).
Заметим, что в отличие от обычных комплексных чисел и случаев (2.2), (2.5), (4.1), нормализованные компоненты Ьдг, едг, djy в общем случае могут изменяться по всей вещественной области от —оо до +оо.
Можно привести (4.10) к алгебраической системе двух неизвестных tgai и tgai:
í tg2 ai - tg2 ai = (b% - c*N) (1 + tg2 ai) (l + tg2 a2) , \ bN tg2 ai tg ai + cN tg ai tg2 ax = dN (tg2 ax - tg2 a2)
и
аз = ln(sin(ai + a2) Дсдт + &лг))- (4.12)
Система (4.11) может быть решена в явном виде, однако полученные нами выражения символьными методами оказались чрезвычайно громоздкими, чтобы привести их здесь.
Чтобы обеспечить в (4.12) sin(ai + а2)/(сдг + Ьдг) > 0, можно всегда выбрать подходящие решения (4.11) в виде ai 2 + кт благодаря периодичности тангенса. При Ъ = —с формально мы имеем особенность в (4.12). Однако эта особенность устранима путем комплексного сопряжения (4.9)^(4.12) (в i- или j-пространстве) и применения сопряжения снова (в том же пространстве) к результату, полученному в правой части.
Для извлечения корня можно предложить и другой способ разложения скалярного кватерниона (2.2) на сомножители:
ao + ¿ai + jai + ija3 = (а + ib) ■ (с + jd) ■ (e + ijf), (4.13)
где a, b, c, d, e, / вещественны. Положим в (4.13) для простоты, что ao = 1 = а = с = е. Тогда (4.13) приводит к следующей алгебраической системе:
a3 = bd( 1 - bdf) + f,
а2 = d( 1 - bdf) - bf, (4.14)
ai = b( 1 - bdf) - df.
Решения {b,d,f} системы (4.14) выражаются в явном виде гораздо более компактно, чем решение системы (4.11). Можно показать, что решения (4.14) существуют всегда и они вещественны. Для одного из решений существует особенность (например, при ai + СК1СК3 = 0), которая является устранимой. Таким образом, скалярный ненулевой (|а| ф 0) кватернион представим элементарными (комплексными) сомножителями и из него можно извлечь корень в соответствии с (4.13), (4.9), либо (4.1) или (4.6).
5. Обсуждение
Следующими шагами в разработке скалярных кватернионов могут стать гиперкомплексные функции, их дифференцирование и интегрирование, конформные отображения и аналитические продолжения функций комплексного переменного с расширением в рассмотренное здесь гиперпространство. Мы называем это пространство псевдоскалярным, так как оно сочетает представление вращений со свойствами комплексных чисел. Поэтому можно ожидать дальнейшего развития и новых приложений этой ¿j-алгебры, особенно в физике пучков, лазеров, плазмы, высоких энергий, а также космологии.
6. Благодарности
Автор выражает свою признательность проф. Г. В. Воскресенскому за критические обсуждения работы [10].
Литература
1. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике / Пер. с англ. под общ. ред. И. Г. Арамановича.—М.: Наука, 1974.-832 с.
2. Hamaker J. P. Understanding radio polarimetry // Astron. Astrophys. Suppl. Ser.—2000.—V. 143.— P. 515-534; http://aanda.u-strasbg.fr:2002/ articles/aas/ps/2000/09/hl201.ps.gz
3. Hoffstaetter G. H. Successive approximations for charged particle motion // In arXiv:physics / 0006008.— Jun 2000.—V. 1, № 5.
4. Heinemann К., Hoffstatter G. H. Official DESY Report // In Physical Review E, 54.-1996, 4240; 96-078.
5. Smirnov A. V. in Nuclear Instruments and Methods in Physics Research, NIM A, 469 (1) (2001) 21
6. Левин Л. Теория волноводов / Пер. с англ. под ред. Вольмана В. И.—М.: Радио и связь, 1981.—312 р.
7. Бурштейн Э. Л., Воскресенский Г. В. Ускорители электронов с интенсивными пучками.—М.: Атом-издат, 1973.—192 с.
8. Вайнштейн Л. А., Солнцев В. А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике.—М.: Советское радио, 1970.—400 с.
9. Вайнштейн Л. А., Вакман Д. Е. Разделение частот в теории колебаний и волн.—М.: Наука, 1983.— 288 с.
10. Смирнов А. В. Исследование эффектов взаимодействия пучка с полями основной и несимметричных волн в неоднородных секциях ЛУЭ на бегущей волне: Дис. ... канд. физ.-мат. наук.—Москва: Московский инженерно-физический институт, 1985.—171 с.
11. Smirnov А. V., Yu D. in Proc. of Particle Accelerator Conf. (PAC2001), IL., Chicago, 18-22 June (2001) 2293
12. Smirnov A. V. in Proc. of Particle Accelerator Conference (PAC'97), Vancouver, B.C., Canada, 12-16 May (1997) 894; Nucl. Instrum. and Meth. NIM A349 (1994)295
Статья поступила 15 декабря 2003 г.
Смирнов Алексей Владимирович, к. ф.-м. н. DULY Research Inc., Rancho Palos Verdes, CA 90275, USA; E-mail: alexei sav@mail.ru
