CC BY
198
УДК 531.8
ПРЕЕМСТВЕННОСТЬ В РАЗВИТИИ НАУЧНЫХ ЗНАНИЙ: ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ КВАТЕРНИОНОВ ПРИ РЕШЕНИИ ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Н.Н. Голдобин1, Л.А. Голдобина1
1 Сибирский государственный аэрокосмический университет имени акад. М.Ф. Решетнёва (СибГАУ), 660014, г. Красноярск, проспект имени газеты «Красноярскийрабочий», 31;
1 Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики (СПбГУСЭ),
191015, Санкт-Петербург, ул. Кавалергардская, 7, лит. А
В статье приведены результаты анализа применения кватернионов при решении инженернотехнических задач, связанных с динамикой пространственного движения твердого тела.
Ключевые слова: комплексные числа, кватернионы.
CONTINUITY IN THE DEVELOPMENT OF SCIENTIFIC KNOWLEDGE: PRACTICAL APPLICATION OF QUATERNIONS IN SOLVING ENGINEERING PROBLEMS
N.N. Goldobin, Ь.А.ОоЫоЫпа
Siberian State Aerospace University named after academician MF Reshetnev (SibSA U), 660014, Krasnoyarsk, Prospect behalf of the newspaper” Krasnoyarsk Worker ”, 31;
St.-Petersburg state university of service and economy (SPbSUSE), 191015, St.-Petersburg, streetKavalergardsky, 7 A
The results of the analysis of the use of quaternions in solving the technical problems related to the dynamics of the spatial motion of a rigid body.
Keywords: complex numbers and quaternions.
В настоящее время, когда обособилась сфера технических наук, ставшая объектом философско-методологического анализа, вопрос о значении математики для техники трансформировался в проблему математизации технических наук.
С внешней стороны математизация технических наук может быть охарактеризована как последовательное расширение и усложнение применяемых в инженерии математического аппарата и методов. Внутренняя, сущностная сторона математизации технических наук может быть раскрыта на основе исследования функций и роли математики в формировании и функционировании технических теорий и анализа их изменений в процессе развития технических наук.
Если в технических науках создается, обосновывается и исследуется набор методов решения инженерных задач, то главным показателем инженерного искусства является выбор такого математического описания и такой точности проводимых решений, которые были бы адекватны поставленной задаче [1].
Так, к примеру, для решения инженерно-технических задач динамики и управления угловым движением объекта исследования, моделью которого является твердое тело, существует немало математических подходов. Однако сложность проблемы, отсутствие общих анали-
тических решений и трудности численного решения дифференциальных краевых задач, к которым сводятся задачи оптимального управления пространственным движением твердого тела, продолжают оставлять эту проблематику актуальной.
Успех в решении задач динамики и управления пространственным движением твердого тела во многом зависит от выбранной модели его движения. Угловое движение технического объекта, рассматриваемого как твердое тело, может быть описано двумя группами уравнений: динамическими уравнениями Эйлера и кинематическими уравнениями, записанными в тех или иных кинематических параметрах (углах Эйлера-Крылова, направляющих косинусах, параметрах Эйлера (Родрига-
Гамильтона), Кейли-Клейна).
В работах В.Н. Котлякова, В.Н. Бране-ца, И.П. Шмыглевского, ЮН. Челнокова, Д.В. Лебедева, Н.Л. Стрелковой и др. [2 - 8] показано, что использование в качестве кинематических параметров таких невырождающихся параметров как параметры Эйлера повышает эффективность аналитического исследования и численного решения многих задач динамики и управления угловым движением твердого тела. При этом удобным математическим аппаратом оказывается аппарат кватернионов Гамильтона
[9].
Аппарат кватернионов - четырехмерных гиперкомплексных чисел со специальными правилами умножения - даёт возможность в достаточно простой и удобной форме задавать повороты в трёхмерном пространстве, что и обуславливает их применение для описания вращательного движения твердого тела.
Кватернионный способ имеет ряд преимуществ по сравнению с другими способами описания вращательного движения твердого тела. С помощью кватернионов эффективно решаются задачи на определение параметров конечного поворота твердого тела и задачи сложения поворотов. Кинематические уравнения движения твердого тела в кватернионах не вырождаются, как это имеет место при использовании углов Эйлера, и не содержат тригонометрических функций, а число этих уравнений существенно меньше, чем число уравнений в направляющих косинусах (четыре против девяти).
Система кватернионов была впервые опубликована Гамильтоном в 1843 году. Историки науки также обнаружили наброски по этой теме в неопубликованных рукописях Гаусса, относящихся к 1819 - 1820 годам [10].
Бурное и чрезвычайно плодотворное развитие комплексного анализа в XIX веке стимулировало у математиков интерес к следующей задаче: найти новый вид чисел, аналогичный по свойствам комплексным, но содержащий не одну, а две мнимые единицы. Предполагалось, что такая модель будет полезна при решении пространственных задач математической физики. Однако работа в этом направлении оказалась безуспешной.
Новый вид чисел содержал не две, как ожидалось, а три мнимые единицы: а + Ы + с/ + йк, где I2 = /2 = к2 = — 1 , Гамильтон назвал эти числа "кватернионами". Позднее Фро-бениус строго доказал (1877 г.) теорему, согласно которой расширить комплексное поле до поля или тела с двумя мнимыми единицами невозможно.
Несмотря на необычные свойства новых чисел (их некоммутативность), эта модель довольно быстро принесла практическую пользу. Максвелл использовал компактную кватерни-онную запись для формулировки своих уравнений электромагнитного поля [11]. Позднее на основе алгебры кватернионов был создан трёхмерный векторный анализ (Гиббс, Хевисайд) [12, 13].
Историческая справка свидетельствует, что математическое творчество Гамильтона, как и его творчество в других областях, началось очень рано. С 1824 по 1825 г.г. он занимается вопросами оптики и аналитической механики. С 1833 г. Гамильтон всё больше и больше углубляется в изучение сущности алгебраического алгоритма. Первое изложение его мыслей по этому вопросу находится в статье «Теория сопряженных функций или алгебраических пар;
с предварительным и элементарным опытом об алгебре, как науке о чистом времени» (18331835 г.г.) [14].
Как видно из названия, "понятие о числе мыслится как нечто, для чего существенным является время, а не пространство, ибо сначала исследуется только идея последовательности". Мысль эта идет от Канта [14], но Гамильтон развивает её дальше. Количественное, пространственное, по представлению Гамильтона, наступает только после введения операции вычитания, благодаря чему делается возможным и измерение. Далее он переходит к рассмотрению комплексных чисел x+i-y; они рассматриваются как пары чисел (x,y), над которыми установлены определенные условные правила действий. Приводятся также общие аксиоматические соображения относительно правил обыкновенного счёта, аналогичные тем, которые были позже установлены Грассманом [14].
Начиная с этой статьи, Гамильтон всё больше занимается проблемой отыскания такой системы комплексных чисел, которая допускала бы полезную геометрическую интерпретацию в пространстве, подобную той, которую имеют комплексные числа x+i-y в плоскости. Поиски в данном направлении и привели Гамильтона к нахождению кватернионов, т.е. к системе особенных четырехчленных комплексных чисел, разработке и распространению которой он себя с этой поры и посвятил.
Теорию этих чисел он изложил в двух трудах: «Лекции о кватернионах» (1853 г.) и «Элементы теории кватернионов» (1866 г., посмертное издание) [15].
Очень скоро кватернионы стали той областью интересов, которая сосредоточила на себе максимальное внимание. Они являлись отдельным предметом, по которому сдавался специальный экзамен, и без которого немыслимо было окончание колледжа. Для самого Гамильтона кватернионы сделались краеугольным камнем его математического кредо, и он насильственно связывал с кватернионами все свои геометрические и прочие работы; такая вера в универсальное назначение теории кватернионов росла по мере того, как вырастала к концу его жизни односторонность его интересов.
Его сочинения носят печать гениальности, и можно сказать, что он далеко опередил своих современников.
Первая из его замечательных работ, озаглавленная сначала «Caustics», была представлена в 1823 году доктору Бринклею, его предшественнику по кафедре, потом, после больших дополнений и разъяснений, напечатана в 1828 году в «Transactions of the Royal Irish Academy» под заглавием «Theory of Systems of Rays». Содержательный мемуар «On a general method in Dynamics», помещенный в «Philosophical Transactions» в 1834 -1835 годах, заключает в себе самые важные открытия по
Преемственность в развитии научных знаний: практическое применение кватернионов
при решении инженерно-технических задач
механике и теории интегрирования систем дифференциальных уравнений, развитые потом Якоби. В этой работе Гамильтон привел систему дифференциальных уравнений (второго порядка) движущейся материальной системы к удвоенному числу дифференциальных уравнений первого порядка, представленных в каноническом виде, и открыл новый метод получения решения этих уравнений, заключающийся в том, что нужно найти полный интеграл некоторого дифференциального уравнения с частными производными первого порядка и тогда искомые решения составятся по некоторым общим формулам без каких бы то ни было интегрирований.
Гамильтону же принадлежит введение в механику особого наглядного приёма изображения изменений величин и направлений скорости точки, совершающей какое-либо прямо -или криволинейное движение.
В 1840-е годы английская школа математиков упорно пыталась найти расширение поля комплексных чисел с несколькими мнимыми единицами. Только много позже было доказано, что такое расширение не может быть полем - оно либо некоммутативно, либо не ассоциативно, либо содержит делители нуля. Первым добился успеха Гамильтон - открыл кватернионы, некоммутативную числовую
структуру с тремя мнимыми единицами. Следующие 20 лет он посвятил их подробному исследованию и приложениям.
В ходе исследований Гамильтон попутно ввёл понятие векторного поля и создал основы векторного анализа. Он ввел векторное произведение, предложил оператор набла. На основе работ Гамильтона Гиббс и Хэвисайд завершили систему векторного анализа.
Интересно отметить, что оба главных открытия Гамильтона - новая формулировка механики и кватернионы - сыграли существенную роль в XX веке при возникновении квантовой механики, причем эта роль была не случайна. Во всяком случае, механику Гамильтон сознательно сформулировал в виде классического (коротковолнового) предела волновой теории (аналогично тому, как в его время геометрическая оптика была осознана как коротковолновый предел волновой оптики).
Кватернионы имеют ряд практических преимуществ по сравнению с другими способами описания вращательного движения твердого тела. С помощью кватернионов эффективно решаются задачи на определение параметров конечного поворота твердого тела и задачи сложения поворотов. Кинематические уравнения движения твёрдого тела в кватернионах не вырождаются, как в углах Эйлера, и не содержат тригонометрических функций, а число этих уравнений существенно меньше, чем число уравнений в направляющих косинусах (четыре против девяти).
С применением теории кватернионов решаются задачи определения ориентации и управления угловым движением твёрдого тела, которые играют важную роль в создании систем управления подвижными объектами. Так, например, управление угловым положением необходимо для обеспечения нормальной работы различного рода оборудования фотоаппаратов и телевизионных установок, оси визирования которых, должны направляться на наблюдаемые объекты; для работы солнечных батарей, плоскости приемных элементов которых должны быть перпендикулярны направлению солнечных лучей, и антенн направленного излучения и приема радиотехнических устройств.
Решению задач определения ориентации и управления угловым движением твёрдого тела или космического аппарата, рассматриваемого как твёрдое тело, посвящено большое количество работ, как в российских, так и в зарубежных изданиях. Но сложность решаемых здесь задач, связанная, в основном, с отсутствием общих аналитических решений дифференциальных уравнений углового движения и высокими требованиями, предъявляемыми к точности и эффективности алгоритмов численного решения, продолжает оставлять эту проблему актуальной [16].
Для описания поворота тела вокруг оси независимо от совершенного им вращения по другим осям автором статьи [17] был разработан алгоритм с использованием аппарата кватернионов - четырехмерных гиперкомплекс-ных чисел со специальными правилами умножения.
Как было сказано выше, кватернион представляет собой гиперкомплексное число вида:
q = а + bi + cj + dk, (1)
где: a, b, c, d - некоторые действительные числа, i, j, k - некоторые вектора, модуль которых равен V—1. Согласно выражению (1) кватернион можно разделить на две части: скалярную и векторную. Векторная, или чисто мнимая часть определяет вектор, относительно которого происходит вращение, а скалярная характеризует угол поворота.
Если (w, x, y, z) - координаты вращения, согласно прежнему описанию, тогда кватернион q можно определить как
q = w + xi + yj + zk = w +
(х, у, z) = cos + и sin ф , (2)
где и - единичный вектор. Таким образом, произведение qvq$% вращает вектор v на угол а вокруг оси и. Вращение происходит по часовой стрелке, если рассматривать вращение по направлению вектора и.
Вращение на кватернионы можно объединить, перемножив их. Таким образом, вращения на кватернионы p и q равно
pqv(pq)~% = pqvq~%p~%, (5)
что то же самое, что и вращение на q, а затем на p.
Пусть u - это единичный вектор (ось вращения). Кватернион задан выражением
q=cos(|) + u sin (2). (6)
Тогда
' —1 v' = qvq 1 =
(cos (2) + U sin (2)) v (cos (2) — U sin (2)).
(7)
вращает вектор v на угол а вокруг оси u.
Получившийся результат является формулой вращения на угол а вокруг оси u.
Применяя данную формулу для описания вращения тела относительно всех координатных осей, был получен общий алгоритм вращения тела в пространстве:
qxvqx
(cos (f) +i sln (f ^v (cos (Ї+)— i sln (2+));
(S)
—1
qyvqy
(cos(“f)+-'sln(?))v (cos(?)—
jSin ay2; (9)
—1
qzvqz 1 =
(cos (-2l)+k sln (-2l)) v (cos(f) —
ksm.z?; (10)
v'= q*qyqzvqz—1qy—1q*—1, (11)
где выражения (S - 10) определяют вращение заданного вектора относительно осей X, Y, Z опорной системы координат соответственно. Выражение (11) определяет поворот вектора v одновременно относительно трех осей опорной системы координат.
В результате преобразований были получены координаты смещенных узлов рефлектора в системе координат параболоида.
Метод кватернионов также позволяет решать и другие подобные прикладные задачи, которые широко используются в навигации, геодезии, небесной механике, компьютерной графике, робототехнике, молекулярной динамике.
Литература
1. Архимандрит Симоненко О. Д. Математика и технические науки: Из истории развития технических наук. // http://www.portal-slovo.ru.
2. Зелепукина О. В. Кватернионное решение задач динамики и управления угловым движением осесимметричного космического аппарата. // Диссертация на соискание ученой степени к.т.н. - Саратов, 2004. - 175 с.
3. Кошляков В.Н. Параметры Родрига-Гамильтона и их приложения в механике твердого тела/ В.Н. Кошляков. Киев: Изд-во ин-та мат. АН Украины, 1994. - 176с.
4. Бранец В.Н. Применение кватернионов в задачах управления положением твердого тела / В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский // Изв. АН СССР. МТТ. 1972. - №4. - С. 24-31.
5. Бранец В.Н. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела / В. Н. Бранец, И. П. Шмыглевский. М.: Наука, 1973. - 320 с.
6. Лебедев Д.В. К управлению трехосной ориентацией твердого тела при наличии ограничений на параметры управления / Д.В. Лебедев // ПММ. -1981. Т. 45. - Вып. 3. - С. 545-551.
7. Челноков Ю.Н. Кватернионы и связанные с ними преобразования в динамике симметричного твердого тела. Ч. 2 / Ю.Н. Челноков // Изв. РАН. МТТ. 1998. - № 5. - С. 3-18.
8. Стрелкова Н.А. Об оптимальной переориентации твердого тела / Н.А. Стрелкова // Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы Пермь. - 1990. - С. 115-133.
9. Гамильтон У. Р. Избранные труды: Оптика. Динамика. Кватернионы. - М.: Наука, 1994. - 560 с.
10. Бурбаки Н. Архитектура математики. Очерки по истории математики. - М.: Иностранная литература, 1963. - с. 68.
11. А.Н. Крылов. Отзыв о работах академика П.П. Лазарева // Воспоминания и очерки. - М.: Изд. АН СССР, 1956. - С. 417.
12. Франкфурт У. И., Френк А. М. Джозайя Виллард Гиббс. - М.: Наука, 1964. - 279 с.
13. Применко Л.А. Математические идеи О. Хевисайда // Из истории развития физикоматематических наук. - Киев, 1981. - С. 37-44.
14. Ф. Клейн. Лекции о развитии математики в XIX столетии. Часть 1. - Москва - Ленинград: Объед. научн.-техн. лит., изд-во НКТИ СССР, 1937. - 438 с.
15. А.П. Ефремов. Кватернионы: алгебра, геометрия и физические теории. // Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, № 1, 2004. - С. 111-127.
16. Бирюков В.Г. Задачи определения ориентации и управления угловым движением твердого тела (космического аппарата). // Автореферат на соискание ученой степени к. ф.-м. наук. - Саратов, 2005. - 20 с.
17. Голдобин Н.Н. Применение теории кватернионов при обработке результатов расчета температурных деформаций рефлектора. // Молодежь. Техника. Космос: труды IV Общероссийской молодежной науч.-техн. конф./ Балт. гос. техн. ун-т. - СПб.; 2012. - С/ 45-48. (Библиотека журнала «ВОЕНМЕХ. Вестник БГТУ», № 15).
1 Голдобин Николай Николаевич — СибГАУ, даел.: 8(39197) 403-66. E-mail: [email protected];
1 Голдобина Любовь Александровна - доктор технических наук, профессор, профессор кафедры «Техническая механика», СПбГУСЭ, тел.: (812) 677 59 64, e-mail: [email protected]
