CC BY
29
ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ КВАТЕРНИОНОВ К ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ
ЗАДАЧАМ Айматова Ф.Х.1, Ташатова Н.А.2
1Айматова Фарида Хуразовна - старший преподаватель, кафедра общественно-гуманитарных и точных наук, Ташкентский государственный экономический университет; Ташатова Насиба Алланазаровна - магистрант, Узбекский государственный университет мировых языков, г. Ташкент, Республика Узбекистан
Аннотация: в данной статье анализируются комплексные числа и понятие кватернионов, а также рассматриваются четырехмерные гиперкомплексные числа, базисные векторы трехмерного пространства, что сложение и произведение двух кватернионов есть кватернион, с помощью комплексных чисел можно решать многие математические задачи, например уравнения, сопряженность кватернионов, равнонаклоненность к ортам. А также, свойства кватернионов. Ключевые слова: комплексные числа, кватернионы, четырехмерные гиперкомплексные числа, базисные векторы трехмерного пространства, сопряженность, равнонаклонность, орты, свойства орт.
FEATURES OF APPLICATION OF QUATERNIONS TO GEOMETRIC PROBLEMS
Aymatova F.Kh.1, Tashatova N.A.2
1Aymatova Farida Khurazovna - Senior Lecturer, DEPARTMENT OF SOCIAL-HUMANITARIAN AND EXACT SCIENCES, TASHKENT STATE UNIVERSITY OF ECONOMICS; 2Tashatova Nasiba Allanazarovna - Master, UZBEK STATE UNIVERSITY OF WORLD LANGUAGES, TASHKENT, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
Abstract: this article analyzes complex numbers and the concept of quaternions, and also considers four-dimensional hypercomplex numbers, basis vectors of three-dimensional space, that the addition and product of two quaternions is a quaternion, using complex numbers you can solve many mathematical problems, for example, equations, conjugacy of quaternions, equal inclination to orts . And also, the properties of quaternions. Keywords: complex numbers, quaternions, four-dimensional hypercomplex numbers, basis vectors of three-dimensional space, conjugacy, equidistant, unit vectors, properties of ort.
УДК 511.11
Как известно комплексные числа являются обобщением действительных чисел. С помощью комплексных чисел можно решать многие математические задачи, например уравнение х2 + 1 = 0. Обобщением комплексных чисел являются так называемые кватернионы. Они представляют собой четырехмерные гиперкомплексные числа и записываются выражениями следующего вида
Q = s + a^i + b^j + c^k где, a, b, cдействительные числа, i, j, k кватернионные единицы обладающие следующими свойствами i2 = j2 = к2 = -1,ij = к, jk = i, ki = j, ji = —к, kj = —i, ik = —j (1)
Если интерпретировать i, j, k как базисные векторы трехмерного пространства, то кватернион можно разделить на скалярную часть s и векторную v = a^i + b^j + c^k. Тогда Q = s + v. Сложение двух кватернионов определяется суммой соответствующих компонент. А произведение двух кватернионов производится при помощи обычных распределительных законов с учетом соотношений (1): Q = Ql^ Q2 = (Sl+ Vi) • (S2 + V2)=SiS2 + S1V2 + S2V1 — V1V2 +V1XV2 где v1v2 = a1a2 + b1b2 + c1c2
V1XV2 = (biC2 — Cib2)i + (Cia2 — aiC2)j + (a.ib2 — b^k.
Видно, что произведение двух кватернионов есть кватернион. Важной особенностью введенной операции умножения является некоммутативность.
Кватернион Q = s — (а • i + b • j + с • к) называется сопряженным по отношению кватерниона Q = s + a^i + b^j + c^k. Непосредственно можно вычислить, что QQ = IQI2 = s2 + а2 + Ь2 + с2. Для каждого ненулевого кватерниона существует обратный. Обратным по отношению кватерниону Q называется кватернион Q-1 обладающий свойством QQ-1 = Q-1Q = 1.
Обратный находится подобно комплексным числам по формуле Q-1 =
Для кватернионов имеет место следующее утверждение.
Утверждение. Модуль произведения двух кватернионов равен произведению модулей сомножителей.
Из этого утверждения вытекает следующее алгебраическое тождество
+ а±2 + Ъ2 + сг2)(522 + а22 + Ъ22 + С22) = (б^ + агй2 + Ь^ + с^У + (б^ + Ь^ а^ - с^У + 0^2 + а^ - Ъ^ - с^У + ^2 - а±Ъ2 + Ь^ - с^У.
Наиболее естественным способом, описывающим повороты в трехмерном пространстве, является использование операторов преобразования и соответствующих матриц. Однако использование кватернионов позволяет дать более простую форму этого поворота. Представление трехмерных вращений при помощи кватернионов удобно тем, что кватернион определяет непосредственно его геометрические характеристики: ось вращения и угол поворота. При обычном описании вращения при помощи матриц для определения оси вращения и угла поворота необходимо проделать некоторые вычисления, а при использовании кватернионов он находится естественным образом.
Обозначим: И(у,<р)- поворот вокруг оси, со направленной с единичным вектором V на угол (р. Тогда поворот Я(у,ф) можно представить кватернионом Q = соб^ + убЫ^ с модулем, равным 1.
В качестве примера рассмотрим последовательное применение двух поворотов: 1) поворот на 90° вокруг вектора к, 2) поворот на 90° вокруг вектора ]. Это преобразование можно представить в виде произведения двух кватернионов
Qí = соб45° + ¡бЫ45°и = соб45° + кБт45°. Тогда
, ,1 11 1 1 1+] + к Л
= (со545° + ]бЫ45°)(соб45° + кБт45°) = - + }■-+■- +г ■- = - + ■
i + i + k = cos60° +--=.— sin60° = R
S3
2 1 2 2 2 2 2
i+j + k ---,120°
S3
В результате этих двух поворотов получим поворот на 120° вокруг оси, равнонаклоненной к ортам i, j, к, причем нетрудно убедиться, что перемена порядка вращений Q2 ^приведет к иному кватерниону.
В общем случае произведение QwQ-1вращает вектор w на угол <р вокруг единичного вектора у,
Qrn . т
= COS— + vsin—.
22
Также кватернионные модели и методы позволяет успешно решать проблемы регуляризации (устранения особенностей) дифференциальных уравнений движения, строить аналитические решения ряда нелинейных задач механики и управления движением, построение которых с помощью других моделей и методов является проблематичным; повышает эффективность численного решения ряда задач ориентации, навигации и управления движением.
Кватернион — гиперкомплексное число вида а = ао + aiii + a2i2 + аз1э = ao + av, где ao, ai, a2, аз — действительные числа, называемые элементами или компонентами кватерниона; ii, i2, i3 — векторные мнимые единицы Гамильтона; ao, av — скалярная и векторная части кватерниона. Параболический бикватернион — гиперкомплексное число вида A = Ao + Aiii + A2i2 + A3i3 = Ao + Av, Aj = otj + sa°j , j = 0, i, 2, 3, S2 = 0, где aj , aoj — действительные числа, s — множитель (символ) Клиффорда (скалярная дуальная единица); Aj — компоненты бикватерниона (дуальные числа); Ao, Av — скалярная и винтовая части бикватерниона. Кватернионам соответствуют кватернионные матрицы двух видов: /ао -ai-a2 -аэ\ / ao -ai-a2 -аэ\
_ ai ао -а3 Ъ \ ^ ао а3 -а2
т(а) = \а.2 аз ао -ai ), п(а) = \ а2 -аз ао ai \ аз а2 ai ао J \ аз а2 -ai ао.
а бикватернионам — бикватернионные матрицы М(А) и N(A) аналогичной структуры. ао.
Список литературы /References
1. ФадеевД.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984. 416 с.
2. Побегайло А.П. Применение кватернионов в компьютерной геометрии и графике. Минск: БГУ, 2010. 216 с.
3. Камачкин А.М., Свиркина Л.А., Хитров Г.М. Использование кватернионов для описания вращательного движения. В Е 86 Естественные и математические науки в современном мире / сб. ст. по материалам XV междунар. науч.-практ. конф. № 2 (14) Новосибирск: изд. «СибАК», 2014. Стр. 88-ii4..
4. Челноков Ю.Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твердого тела и их приложения. Геометрия и кинематика движения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 512 с.
