CC BY
108
КВАТЕРНИОНЫ КАК ВЕЩЕСТВЕННЫЕ МАТРИЦЫ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА И ИХ РОЛЬ В ОПРЕДЕЛЕНИИ СКАЛЯРНОГО И ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
Свиркина Лариса Анатольевна
канд. физ.-мат. наук, доцент Санкт-Петербургского государственного
университета, РФ, г. Санкт-Петербург E-mail: lara a@mail.ru Хитров Геннадий Михайлович доцент, канд. физ.-мат. наук, доцент Санкт-Петербургского государственного университета, РФ, г. Санкт-Петербург
E-mail: chitro w@gmail. com
QUATERNIONS AS REAL MATRICES OF THE SPECIAL KIND AND THEIR ROLE IN DEFINITION OF SCALAR AND VECTOR PRODUCT OF
VECTORS
Larisa Svirkina
candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of St.
Petersburg State University, Russia, St. Petersburg
Gennady Khitrov
associate professor, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of St. Petersburg State University, Russia, St. Petersburg
АННОТАЦИЯ
Дано современное компактное изложение алгебры кватернионов. Доказаны основные свойства этой алгебраической структуры. Приведена геометрическая интерпретация векторной части кватерниона, благодаря которой кватернионы нашли широкое применение, как в описании управляемых движений космических аппаратов, так и в компьютерных играх.
ABSTRACT
The modern compact treatment of quaternion algebra is presented. The main properties of this algebraic structure are proved. Because of the geometrical interpretation of their imaginary part, quaternions are widely used both in the description of controlled motion of spacecrafts and computer games.
Ключевые слова: матрицы; алгебраические структуры; кватернионы. Keywords: matrices; algebraic structures; quaternions.
Введение. Широкое использование кватернионов в различных областях науки [1, 2, 4, 6] и компьютерных технологиях [5, 7] все настоятельнее требует изучения кватернионов в начальном курсе алгебры. В статье показывается, что матричный подход к введению комплексных чисел может быть использован и для введения кватернионов. При этом большая часть свойств кватернионов вытекает из соответствующих свойств квадратных вещественных матриц. Поскольку некоторые курсы алгебры начинаются с изучения линейных систем и матриц, то кватернионы могут изучаться уже в первом семестре первого курса. По сути, матричному подходу к введению кватернионов и строгому доказательству некоторых основных свойств кватернионов и посвящена данная работа. Более того, статья объясняет, как из кватернионов появились скалярное и векторное произведения векторов трехмерного пространства.
Из соображений разумной экономии в статье не рассматривается история появления и изучения кватернионов, поскольку сегодня ответы на эти вопросы легко найти в Интернете. Отметим только, что существует несколько подходов к объяснению появления и обоснования кватернионов. Например, кватернионы иногда рассматривают как обобщение комплексных чисел, точнее как числа с тремя «мнимыми единицами», с заданными законами перекрестных произведений мнимых единиц и умножений этих единиц самих на себя. Поэтому кватернионы относят к категории так называемых «гиперкомплексных чисел» [3]. При таком подходе к определению кватернионов возникают определенные технические трудности, особенно при доказательстве свойств умножения кватернионов. Гораздо проще определить кватернионы как вещественные квадратные матрицы четвертого порядка специального вида. Так как множество вещественных квадратных матриц относительно операций сложения, умножения и умножения матриц на вещественные числа образуют алгебраическую структуру, называемую алгеброй (кольцо со структурой векторного пространства) над полем вещественных чисел, то, определяя кватернионы как матрицы, мы знаем, что они обладают целым набором свойств, характеризующих алгебру квадратных матриц. Поэтому остается
рассмотреть только специфику кватернионов, вытекающую из специфики определяющих их матриц. Мы предполагаем, что читатель знаком с основами линейной алгебры и знает основные свойства сложения и умножения матриц, поэтому чтение данной статьи не вызовет больших затруднений.
Чтобы показать, что и при «матричном» введении кватернионов, кватернионы остаются обобщением комплексных чисел, сделаем замечание о «матричном» введении комплексных чисел.
Если рассмотреть множество квадратных матриц второго порядка вида 'а - ЬЛ
Ь а
, где а и Ь произвольные вещественные числа, то несложно показать,
что это множество относительно операций сложения и умножения образует поле, изоморфное известному полю комплексных чисел. Причем, с учетом свойств умножения матриц на вещественные числа, мы должны отметить, что в этом случае имеем дело с алгеброй над полем вещественных чисел.
Делается это следующим образом. Указанная матрица представляется в виде:
а - Ь Ьа
= а
1 0" 0 1
+ Ь
0 -1 10
= аЕ + Ь&, где Е =
10 01
а 1 =
0 -1 10
Поскольку Е1 = 1Е = 1, ЕЕ = Е2 = Е и 11 = г = -Е, то перемножение двучленов коммутативно, т. е. (аЕ + Ь'1\сЕ + Я) = (сЕ + ¿&\сЕ + Ь1).
Следовательно, умножение матриц вида
а
Ь
VЬ а У
коммутативно. Далее, если а
и Ь одновременно не равны нулю, то её определитель отличен от нуля, и, следовательно, для любой ненулевой матрицы указанного вида существует обратная. Теперь уже несложно видеть, что множество матриц указанного вида относительно операции сложения образует коммутативную группу. Без нулевой матрицы упомянутое множество образует коммутативную группу относительно умножения. Операции сложения и умножения матриц связаны
законом дистрибутивности и, следовательно, множество матриц с
вещественными элементами вида
'а - Ь Ь а
образует поле. Это поле изоморфно
полю комплексных чисел С вида а + Ь1, где 12 =-1. Изоморфизм устанавливается естественным взаимно однозначным отображением аЕ + Ь1 в а + Ь1, сохраняющим операции. Поскольку множество матриц указанного вида является алгеброй над полем вещественных чисел, то очевидно, что и поле комплексных чисел С является алгеброй над полем вещественных чисел.
Алгебра кватернионов. Рассмотрим множество вещественных матриц четвертого порядка вида:
А'-
а - Ь с - 6
Ь а 6 с
- с - 6 а Ь
6 -с -Ь а
(1)
где а, Ь, с и 6 вещественные числа. Введя обозначения
Е =
(1 0 0 01 Г 0 -1 0 01 Г 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
, I= , .1-
0 0 1 0 0 0 0 1 -1 0
V 0 0 0 1, V 0 0 -1 0, V 0 -1
Г 0 0 0 -11
0 0 1 0
к=
0 -1 0 0
V 1 0 0 0,
1 о4 0 1 оо 10 0
(2)
мы можем записать произвольную матрицу (1) в виде линейной комбинации матриц: Е, I. У и К. То есть
А =
а Ь
с
- Ь а
- 6 -с
с 6 а
- 6 с Ь а
= аЕ + Ь1 + с] + 6К
(3)
Очевидно, что матрицы Е, I. ] и К линейно независимы, поскольку их ненулевые элементы расположены на разных местах квадратной матрицы четвертого порядка. Поскольку линейные комбинации линейных комбинаций этих матриц будут снова линейными комбинациями этих же матриц, то указанное множество линейных комбинаций, которое в дальнейшем будем обозначать через Н, образует четырехмерное подпространство в 16-мерном пространстве вещественных квадратных матриц 4-го порядка.
Покажем, что множество Н замкнуто относительно операции матричного умножения элементов. Чтобы облегчить себе работу по проверке этого утверждения, рассмотрим блочное разбиение матриц Е, I. ] и К на четыре равных по размеру блока. При этом мы используем введенные ранее обозначения базисных векторов Е и 1 алгебры С. Выпишем блочный вид матриц Е, 1. ] и К:
Е 0 ,0 Е
1--
' I 0 Л 0 -1
, ]
0Е - Е 0
К:
'0 1Л V1
(4)
Сделаем замечание относительно обозначений: здесь через Е обозначается как матрица 4-го, так и матрица 2-го порядка. Поскольку порядок матрицы Е определяется её местом в матричном выражении, то надеемся, что это не приведет к недоразумениям.
Так как умножение линейных комбинаций сводится к умножению и сложению коэффициентов (чисел) и умножению образующих этих линейных комбинаций между собой, то сосредоточимся вначале на этих действиях. Поскольку умножение и сложение вещественных чисел — известные операции,
то уделим основное внимание умножению образующих между собой. В силу свойств единичной матрицы имеем: ЕЕ = Е, Е1 = 1Е = 1, Е,7 = 7Е = 7, ЕК = КЕ = К. При вычислении попарных произведений 17, 71, 1К, К1, 7К, К7,11, 77, КК удобно воспользоваться блочным представлением матриц 1, 7, К. Опуская несложные вычисления, выпишем полученные результаты: 17 = -71 = К, 7К = - К7 = 1, К1 = - 1К = 7,12 = 72 = К2 =-Е. С учетом этих равенств теперь несложно выписать произведение двух произвольных линейных комбинаций из Н. Ориентируясь на дальнейшее, выпишем произвольные линейные комбинации в виде: А = 10Е+11+ 127 + 1К и В = т Е + +т 7 + т3 К. Перемножая эти линейные комбинации, получим:
А ■ в=(10 Е+11+12 7+1К )(т0 Е++т 7+т К)= = (1т - 1т, - 1т -1т)Е+1+1т,+1т- 1т^)1+ + (1т2+1т - 1т+1т )7+(1тъ+1т+1т - 1т )к (5)
Итак, показано, что результат операция умножения элементов из Н, является элементом из Н. То есть операция умножения в Н замкнута. Поскольку проверка свойств дистрибутивности не представляет труда и доказано, что эти свойства выполняются, то можно утверждать, что Н является кольцом. Из свойств умножения матриц следует, что это кольцо ассоциативное и с единицей. Из свойств попарных произведений 17, 71, 1К, К1, 7К, К7, следует, что это кольцо некоммутативное. Рассмотрим еще одно свойство умножения элементов из Н. Именно, найдем произведение
ААТ = (1 Е+11+17+1 К)(1 Е+11+17+1 К)т = = (1 Е+11+127+1К)(1 Е-11 -17-1 К) = (Л02 +12 +122 +12 )Е (6)
Отсюда следует, что для ненулевого элемента из Н (очевидно, что элемент из Н равен 0 тогда и только тогда, когда 10 =1=1 =13 = 0) существует
обратный элемент. Так для ненулевого элемента А = Л0Е + Л1+ Л2У + Л3К обратным будет элемент
А-1 =(Л Е+Л1+Л У+Лз К )-1 =Лг-Лг-1Лг-Лг (Л Е-Л I-Л У-Л К).
Л0 + л + Л2 + Л3
То есть,
А л2+Л2+л22+л32 А (7)
Из (6) следует, что |ААТ| = | А ■ \АТ\ = | А2 = (Л02 + Л2 + Л2 + Л' )4. Откуда
А=(л2+л12+л22+л32 )2 (8)
Сравнивая теперь (7) с формулой для обратной матрицы к матрице А
А"1 = л А, А
где: А — присоединенная (союзная) матрица к матрице А, получим, что
А = (л2 +л2 +л2 +л2 )АТ (9)
Назовем величину Л]Л02 +Л + Л +Л32, равную арифметическому значению корня, модулем элемента (матрицы) А из Н. Будем обозначать модуль элемента (матрицы) А как ||А|, т. е. положим ||А|| = . Используя обозначение
модуля, мы можем переписать формулу (6) в виде: ААТ =||А|2 • Е. Из (5) и (6) теперь следует, что
||АЩ|2 • Е = (АВ)(АВ)Т = (АВ)(ВТАТ )= А(ВВТ )АТ = ААТ\Щ\2 =||А|2||Щ\2 • Е.
Откуда следует, что ||АЩ| = ||А|| |Щ|, т. е. модуль произведения двух
элементов из Н равен произведению модулей этих элементов. Соотношение для квадратов модулей, записанное в развернутом виде и в обратном порядке, носит название тождества Эйлера. То есть,
/л2 л 2 л 2 л 2 и 2 2 2 2 \ / л л л л \2
ц, +^2 +1 ат +т +т нлт-м) +
+ (10^1 + лд) + ^3 - )2 + (10^2 + лд) - л^3 + м )2 +
+ (10^3 + М + ^2 - )2 (10)
тождество Эйлера.
Определение. Ассоциативное кольцо с единицей, у которого для каждого ненулевого элемента существует обратный, называется телом.
Из определений тела и поля следует, что каждое поле является телом. Однако пример тела Н показывает, что не каждое тело является полем.
Выше нами показано, что Н является алгеброй, в которой кольцо имеет структуру тела. Как и в случае с алгеброй С для алгебры Н в практике нашло применение не матричное выражение элементов этой алгебры, а изоморфное отображение этой алгебры в «числа вида» 10 + 111+ 12j + 13к, которые называются кватернионами. То есть каждому элементу А = Л0 Е +11+ 12 ] + 1К алгебры Н мы сопоставляем кватернион Л = 10 +1+12j + 13к. Единицы 1, j, к — называются (по аналогии с комплексными числами) мнимыми единицами. Часть кватерниона — число 10, по аналогии с комплексными числами, можно было бы называть вещественной
частью кватерниона, а упорядоченную тройку (Щ) — мнимой частью кватерниона. Однако это неудобно, поскольку приходится отрывать уже три коэффициента от мнимых единиц. При делении кватерниона на части, за частями закрепились совсем другие названия, оправданные дальнейшей интерпретацией. Так число 1 называется скалярной частью кватерниона, а часть кватерниона 1 = 1 + 1 j + 13к называется векторной частью кватерниона.
На множестве кватернионов определены равенство (два кватерниона равны, когда равны их скалярные и векторные части), сложение, умножение на вещественные числа и умножение кватернионов. Перемножение кватернионов выражается в перемножении и сложении коэффициентов (вещественных чисел ЦДД) и перемножении мнимых единиц, подчиненных правилам:
)' = - ji = к, jk = -к) = 1, к1 = -Iк = j, / = j2 = к2 = -1. Причем перемножение
осуществляется так, как учили в школе перемножать скобку на скобку, но с учетом свойств перемножения мнимых единиц. При этом подразумевается, что вещественные числа коммутируют (перестановочны) как между собой, так и с мнимыми единицами. Очевидно, с учетом сказанного о сложении и произведении кватернионов, что отображение А = Л0Е + Я11+ 12У + 1К в Л = 10 +1+1) + 13к не только взаимнооднозначно, но и сохраняет операции. Следовательно, это отображение является изоморфизмом.
Очевидно, что для кватернионов имеем полный аналог формулы (5):
л ■ м = (1+1+1+1к )(т++т)+тк)= = (1т> - 1т - 1т - 1>т) ■+(1т+1т+1Мз - >'+
+ (1т+1т - 1т+1т))+(1т+1т+1т - 1т к (11)
Как и для комплексных чисел, для кватернионов вводится понятие сопряженного кватерниона. Кватернион Л = 10 -1 -12) - 13к = 10 -1 будем
называть сопряженным кватерниону Л = Л0 +1+ Л2 j + Л3к = Л0 + Л. Очевидно, что сопряженным сумме кватернионов Л и М будет сумма сопряженных, т.е.
Л + М = Л + М . Сопряженным произведению - будет произведение
сопряженных, взятых в обратном порядке, т.е. ЛМ = МЛ (напоминаем связь сопряжения с транспонированием матриц).
Для кватерниона, как и для комплексного числа, вводится понятие модуля.
Именно, величина ^Л02 + д2 + л22 + л32 называется модулем кватерниона Л = Л0 + Л2j+ Л3к. Модуль кватерниона Л будем обозначать, как |Л|.
Несложно непосредственно посчитать (или сослаться на соответствующую связь с матрицами), что
л-л = (л + Лii+Л2 j+Л3к)(л0 - Лi - Л2 j - л3k) = л02 + Л2 + л22 + ЛЛ = Л . Теперь, как и для соответствующих матриц, доказывается тождество Эйлера (10), и утверждение, что модуль произведения кватернионов равен произведению их модулей, т.е. |Л ■ М| = |Л| ■ |М|.
Обратным для кватерниона Л Ф 0 будет кватернион Л-1 = —Л.
ЛЛ
В дальнейшем, через H мы будем обозначать уже не четырехмерное подпространство вещественных квадратных матриц четвертого порядка специального (указанного выше) вида, а множество кватернионов. Это позволит нам сохранить в памяти связь кватернионов с матрицами и при необходимости пользоваться ею.
Трехмерное подпространство И четырехмерного пространства И. Рассмотрим множество линейных комбинаций с вещественными коэффициентами вида Л1i +Л2j+Л3к = Ле И. Обозначим это множество через
И. Очевидно, что И образует трехмерное подпространство в И, поэтому элементы этого подпространства, будем называть векторами. Введем в И операцию умножения векторов, определяемую правилом: для любых Л,^е И положим
Яхт = —(Я-т-т-Я),
(12)
где: Я-ц— операция умножения в Н. Из (11) следует, что Яхте Н. Действительно, положив в (11) Я0 = т0 = 0, получим:
Я- т = (Я+Я+Як Хт'+тк)=-(Ят+Ят+Ят)+
+ (Ят- ЯМ2+(-Ят+М)]+(Ят - Ят)к т-я = +т'+тк )ЯЯ'+Я+Язк)=-(М+М+М)+ + (М №зЯ2+ (-М+МЬ'+ (М-т2Я1)к
Следовательно,
Яхц=2 (Я-т-ц-Я)=(Я2т - Яът2 >'+(- Ят + Язт) у+(Ят - Ят )к=
1 ] к Я Я2 Яз
т т т
, т.е. Яхте Н.
Перейдем к геометрической интерпретации подпространства Н. Для этого отождествим мнимые единицы 1, ],к с ортами декартовой системы координат 1, ], к (правая тройка). Тогда линейной комбинации мнимых единиц Я11+ Я2 j + Язк = Я будет соответствовать линейная комбинация ортов Я11+ Я2 j + Язк = Я, т.е. вектор. Таким образом, каждому кватерниону Я11+Я2 j + Язк = Я е Н мы сопоставляем вектор Я11 + Я2 j + Язк = Я. Далее, поскольку 1, j, к е Н, то, используя введенное в (12) обозначение для произведения элементов из Н, получим 1 х j = -j х 1 = к, j х к = -к х j = 1, к х 1 = -1 х к = j.
Не впадая в противоречие с определением произведения Яхт для кватернионов из Н, введем векторное произведение векторов Яхт в трехмерном пространстве с декартовой системой координат и ортами 1, 7, к, задав векторное произведение формулой:
Яхт =
1 7 к
Я Я2 Я3
т т тз
= ят - Ят +(- ятз + Ят )у+(Ят^ - Ят )к (13)
Из (13) для ортов 1, 7, к декартовой системы координат следует: 1 х у = -у х 1 = к, 7 х к = -к х 7 = 1, к х 1 = -1 х к = 7.
Перечислим теперь свойства векторного произведения, вытекающие из этого определения.
Во-первых, векторное произведение замкнуто на множестве векторов (очевидным образом следует из определения).
Во-вторых, выполняются свойства дистрибутивности. Действительно,
1 7к 1 7 к 1 7 к
Ях(т+у)= Я Я2 Я3 = Я1 Я2 Я3 + Я Я2 Я
т, + 71 т2 + 72 тг + 73 т1 т2 т3 71 72 73
= Ях т+ Ях7,
1 7к 1 7 к 1 7 к
(Я+т)ху= Я+т, Я2 + т2 Я3 + т3 = Я Я2 Я + т1 т2 т3
71 72 73 71 72 73 71 72 73
= Яху + тху.
Таким образом, трехмерное вещественное пространство векторов относительно операций сложения и векторного умножения векторов образует структуру кольца.
Это кольцо не ассоциативное. Например, поскольку (1 х j )х j = к х j = -1, а 1 х (j X j) = 1 х 0 = 0, то (1 х j )х j ф 1 х ^ х j).
Это кольцо не коммутативное, ибо Яхц = -/х 1, и в нём нет «единицы».
Мы не будем заниматься дальнейшей геометрической интерпретацией векторного произведения векторов, поскольку это предмет аналитической геометрии, где векторное произведение изучается более детально.
Отметим ещё одно умножение элементов из Н и соответствующее ему умножение трехмерных векторов. Для чего рассмотрим произведение в Н, заданное формулой (правилом):
(1,т)=-2 (1т+м1)=1т +Лгт +1тз
где А,те Н, а 1т — умножение кватернионов в Н. Соответствующее произведение векторов 1 = 1+ 12 j + 13к и /т = М + М2 j + т3к задаётся формулой (Л,№) = 1№ + 1м2 +1т3 и называется скалярным произведением векторов.
Перечислим некоторые свойства скалярного произведения векторов, вытекающие из его определения:
1. (а1 + т, /) = (а1 + Ьт )/ + (а1 + т. )/ + (1 + РМз )/ =
а(1к +12/2 + 1Уз )+Р(№Г1 +тУг + №З7З ) = а(1, у)+Р(т, г)
(линейность по первому аргументу), здесь а,р — вещественные числа, а 1,т,7 — трехмерные вектора;
2. (Л,т) = (т,Л) (симметричность);
3. (1,1) > 0, причем (1,1) = 0 тогда и только тогда, когда 1 = 0.
Используя обозначения скалярного и векторного произведения векторов,
покажем, как в этих обозначениях выглядит (выражается) произведение кватернионов. Пусть 10 +11+ 12j + 13к = 10 + 1 и /и0 + М + М2j + М3к = т0 + М два кватерниона, где 1 и т -векторные части этих кватернионов. Тогда
(Л0+Л)- (т+т)=Лт- (Л,т)+Лт+тЛ+Лхт
Как видим эта запись произведения гораздо проще, чем соответствующая запись (11). При этом Л0т0 -(Л,т) - скалярная часть кватерниона-произведения, а Лт + т0Л + Л х т - векторная часть кватерниона-произведения.
Вернемся вновь к векторному произведению векторов. Пусть а, Ь и с -трехмерные вектора, т.е. а = а1У + а2j + а3к, Ь = Ь^ + Ь2j + Ь3к, с = с1У + с2j + с3к.
Рассмотрим векторное произведение а х (Ьх с):
j
а1 а2 а3
= ^а2Ь\с2 - а2Ь2с - азЬ,^ + а3Ь1с3) +
а х(Ь х с ) =
Ь2с3 - Ь3с2 Ь3с1 - Ь1с3 Ь1с2 - Ь2 с + 7(а3Ь2с3 - а3Ь3с2 - а1Ь1с2 + а1Ь2с1 )+ к(а1Ь3с1 - а1Ь1с3 - ^3 + ^2 ) = = Ь1 (а2с2 + азс3 )-(а2Ь2 + а3Ь3 )+ jЬ2 (а^С1 + а3 с3 )-^2 (а1Ь1 + ^Ь3 ) +
+ кЬ3 (ас + а2с2)-кс3 (а1Ь1 + а2Ь2 ) = Ь (а1с1 + а2с2 + азс3)-щ (а1Ь1 + а2Ь2 + а3Ь3) +
+ Ж (аА + а2с2 + азсз )- Ж (аА + а2Ь2 + а3Ь3 )+ кЬ3 (а1с1 + а2с2 + а3 с3 Ь
- кс3 (а2Ь + а2Ь2 + а3Ь3) = (2*Ь: + jЬ2 + кЬ3 )(а1с1 + а2с2 + а3с3) -
(с + jc2 + кс3 )(а1Ь1 + а2Ь2 + а3Ь3) = Ь(а, с) - с(а, Ь).
Все проделанные выкладки достаточно очевидны, кроме, возможно, добавления в соответствующем равенстве к двум соседним слагаемым с противоположными знаками одного и того же слагаемого с противоположными знаками. Так к слагаемым Ь (а2с2 + а3с3) и - с (а2Ь2 + а3Ь3) мы добавили слагаемое ia1Ь1c1 и слагаемое - ia1Ь1c1 и т. д., в итоге получили
с1 + а2с2 + а3с3 )- К (а1Ь1 + а2Ь2 + а3Ь3 ) и т. д.
Пропуская теперь выкладки, запишем результат:
а х (Ь х с) = Ь(а, с) - с(а, Ь).
Используя полученную формулу, теперь легко можно доказать тождество Якоби
а х(Ь х с) + Ь х(с х а)+ с х(а х Ь) = 0.
Действительно,
а х(Ьх с) + Ьх (сх а) + сх(а х Ь) = Ь(а, с) - с(а, Ь) + с(Ь, а) - а(Ь, с) + а(с, Ь) -- Ь(с, а) = а{(с, Ь) - (Ь, с)} + Ь{(а, с) - (с, а)} + с{(Ь, а) - (а, Ь)} = 0.
Заключение. Отметим, что в данной статье мы ограничились доказательством алгебраических свойств кватернионов и лишь частично затронули их геометрические свойства, показав как из кватернионов появляется векторное и скалярное произведения векторов. В следующей статье мы покажем, как с помощью кватернионов решается такая сложная задача как «сложение поворотов» в трехмерном пространстве, и как это используется в механике управляемого движения.
Список литературы:
1. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973. — 320 с.
2. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М.: Наука, 1976. — 672 с.
3. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. М.: Наука, 1973. — 144 с.
4. Кватернионы в геометрии, механике, релятивистской физике, теории поля // fizteh.ru: информационный портал [Электронный ресурс] — Режим
доступа. — URL: http://www.fizteh.ru/02-07-90327/index/qwat/ (дата обращения 25.01.2014).
5. Побегайло А.П. Применение кватернионов в компьютерной графике. Минск: БГУ, 2010. — 216 с.
6. Хитров Г.М. Применение второго метода Ляпунова к решению задачи ориентации твердого тела // Дифференциальные и интегральные уравнения: межвуз. сб., Горький: ГГУ, 1981. — С. 152—155.
7. Цисарж В.В., Марусик Р.И. Математические методы компьютерной графики: учебное пособие. К.: Факт, 2004. — 466 с.
