Неэрмитово самосопряженные матрицы над телом кватернионов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского

Серия «Физико-математические науки» Том 23 (62) № 2 (2010), с. 78-91.

УДК 517.968.7

И. И. КАРПЕНКО

НЕЭРМИТОВО САМОСОПРЯЖЕННЫЕ МАТРИЦЫ НАД ТЕЛОМ КВАТЕРНИОНОВ

В работе рассматривается класс матриц, самосопряженных относительно неэрмитовой инволюции в вещественной алгебре кватернионов (а-самосопряженные матрицы). Для этого класса матриц получен аналог разложения Такаги. В качестве приложений доказана теорема о подобии произвольной кватернионной матрицы некоторой а-самосопряженной матрице и рассмотрены свойства конечномерного ква-тернионного модуля с внутренним произведением.

Ключевые слова: кватернион, алгебры с инволюцией, разложение Такаги, внутреннее произведение.

Введение

В комплексном матричном анализе наряду с эрмитовыми матрицами (A* = A) рассматриваются симметричные матрицы (AT = A). И хотя последние встречаются в приложениях значительно реже, однако они всё-таки используются, например, при изучении регулярных аналитических отображений единичного круга в комплексную плоскость. Для комплексных симметрических матриц известен ряд результатов, например, теорема о разложении Такаги [1], согласно которой любая симметричная матрица A £ Mn(C) всегда может быть представлена в виде A = U£UТ, где U — унитарная матрица, £ = diag(ai,..., an)- неотрицательная диагональная матрица, причем столбцы матрицы U образуют множество ортонор-мированных собственных векторов матрицы AA, и соответствующие диагональные элементы матрицы £ являются неотрицательными квадратными корнями из собственных значений матрицы AA, отвечающих этим собственным векторам.

Заметим, что операция транспонирования наряду с операцией эрмитова сопряжения является инволюцией в вещественной алгебре Mn(C).

В кватернионном конечномерном анализе, как правило, рассматривается операция эрмитова сопряжения матриц, порожденная классической инволюцией в алгебре кватернионов. Однако в вещественной алгебре кватернионов Н существуют (с точностью до изоморфизма) ровно две инволюции, и соответственно мы имеем еще одну инволюцию (неэрмитову) в Мп(Н). В настоящей работе рассматриваются классы самосопряженных матриц в алгебре Мп(Н), порожденные неэрмитовой инволюцией. Как оказалось, этот класс матриц является аналогом комплексных симметрических матриц и по аналогии с ними имеет ряд интересных свойств. Упоминание о таком инволютивном преобразовании мы встречаем в работе [2], где косо-самосопряженнные (в неэрмитовом смысле) матрицы рассматриваются в качестве генераторов ортогональной группы. Причем, в этой работе неэрмитова инволюция рассматривается просто как возможная альтернатива для операции транспонирования, у которой в алгебре матриц над телом кватернионов отсутствует антикоммутативность .

1. Инволюции в ВЕЩЕСТВЕННОЙ АЛГЕБРЕ КВАТЕРНИОНОВ Н

Пусть Н — вещественная алгебра размерности 4 с базисом {1, г, 2, к} и правилами умножения

г2 = -1 22 = -1 к2 = -1 г? = к 2 к = г кг = 2 2г = —к к? = -г гк = —2 Элементы такой алгебры называют кватернионами. Для любого кватерниона д € Н существуют единственные до, дъ д2, д3 € ^ такие, что д = до + д^ + д2? + д3к (вещественное представление кватерниона д). Полезна также векторная форма записи кватерниона: д = д0+д, где д = д1г+д2?+д3к — векторная или мнимая часть д (кватернион, совпадающий со своей векторной частью, называется мнимым или векторным).Так, например, векторная форма произведения кватернионов д и р имеет вид

др = доро - (д, д) + род + дод + [д, д ]. (1)

Здесь (■, ■) — обычное скалярное произведение, а [■, ■] — векторное произведение в 3-мерном подпространстве векторных кватернионов М(г, 2, к).

Множество комплексных чисел С можно рассматривать как вещественную подалгебру в Н: С = К(1, г). Вложение С в Н позволяет получить комплексное (или сим-плектическое) представление кватернионов. А именно, если д = до + д1г + д2? + д3к, то д = (до + д1г) + (д2 + дзг)2 = ¿1 + ¿22, где ¿1, ¿2 € С.

Линейный оператор 3, действующий в вещественной алгебре Н, называется инволюцией в Н, если выполняются условия:

(1) з2 = I;

(2) 3(рд) = 3(д)3(р) (Ур,д € Н).

Примером такой инволюции служит операция сопряжения в Н:

7 = <о - <1« - <72.7 - <7зк.

При этом << = ^3=0 Модуль |<| кватерниона < определяется равенством |<| = (<<)1/2, превращая таким образом Н в нормированную алгебру с делением. Действительно, нетрудно видеть, что

<7-1 = 1Г1/2<.

Следовательно, инволюция алгебры Н дополнительно удовлетворяет равенству

3 (1) = 1.

Заметим, что в отличие от комплексного случая тождественное отображение в М-алгебре Н уже не является инволюцией в силу некоммутативности этой алгебры. Выясним, существуют ли другие инволюции в Н помимо приведенной выше операции сопряжения.

Так как всякая инволюция однозначно определяется своим действием на базисные векторы, положим

3 (1) = 1, 3 («) = и, 3 (.) = V, 3 (к) = ад.

Так как «2 = -1, то и2 = -1, откуда следует, что Ие и = 0, т.е. и — чисто мнимый кватернион, причем |и| = 1. Аналогично,

Ие V = Ие ад = 0, |V| = |ад| = 1.

Кроме того, действуя оператором 3 на равенство . = -получим vu = - ади. Следовательно, с учетом формулы (1) имеем:

-^,и) + ^,и] = (и, V) - [и, V],

откуда следует, что (и, V) = 0.

Обратимся теперь к кватерниону ад. Так как к = то

ад = vu = -(V, и) + [V, и] = [V, и].

Следовательно, вещественная часть кватерниона ад равна нулю, и векторы и, v,ад образуют левую ортогональную тройку в М3. Пусть и = (и1,и2,и3), V = ад = (ад1,ад2,ад3). Тогда матрица оператора 3 в базисе {1,«,.,к} имеет вид :

"1 0 0 0 "

0 и1 v1 ад1

3 — .

0 и2 V2 ад2

0 и3 Vз ад3

Очевидно, что

det 3 = det

и1

^2 ^2 "Ш2 из из адз

= (и, -и,ад) = ([и, и], ад) = -(ад, ад) = -1.

Так как столбцы матрицы 3 образуют ортонормированную систему, то 3 — ортогональная матрица. Кроме того, 32 = I, поэтому собственные значения матрицы 3 удовлетворяют равенству Л2 = 1. Следовательно, Л = ±1. Ортогональность матрицы 3 и вещественность ее спектра означают, что матрица 3 вещественно подобна диагональной матрице, на диагонали которой стоят ±1. Так как det 3 = -1, то возможны два варианта:

(1) 31 = diag{1,-1,-1, -1};

(2) 32 = diag{1,1, -1,1} (с точностью до расположения -1).

Таким образом, в вещественной алгебре Н (с точностью до изоморфизма) существует ровно две инволюции 31 и 32, для кватерниона д = до + д1г + д2? + дзк определяемые равенствами:

31 (д) = до - д1г - д2? - дзк, 32(д) = до + д1г - д2? + дзк.

Очевидно, что первая инволюция есть ни что иное, как введенная выше операция сопряжения: 31 (д) = д. Для второй инволюции примем обозначение 32(д) = д. Для указанных инволюций справедливо соотношение:

Т = -Я?. (2)

Интересно отметить, что композиция этих инволюций дает автоморфизм алгебры Н:

дс := Т = д = -2д?.

Если кватернион д представлен своим симплектическим разложением д = ¿1+^2?, где ¿1, ¿2 € С, то

д = ¿1 - ¿2?, д = ¿1 - ¿22, дс = ¿1 + ¿22.

2. Инволюции и автоморфизмы в вещественной алгебре Мп(Н)

Рассмотренные выше отображения вещественной алгебры Н порождают вещественные линейные отображения в правом Н-модуле Мтхп(Н). Пусть А € Мтхп(Н), А = ||а^||. Вводя следующие обозначения:

А = ||а5£|, А = ||д*||,

определим операции (а) и (*) над матрицами из Мтхп(Н) следующим образом:

А* := А т; Аа := А т.

Нетрудно показать, что отображения (а) и (*) являются М-линейными в Мтхп(Н), и, кроме того, для матриц подходящих размерностей

(АВ)* = В*А*, (АВ)а = ВаАа.

Таким образом, отображения (а) и (*) являются инволюциями вещественной алгебры Мп(Н), причем

Аа = - 3А*3, (3)

где 3 = Е., Е — единичная матрица. Инволюцию (*) называют, как правило, эрмитовой. Поэтому инволюцию (а) мы будем называть неэрмитовой.

Автоморфизм < ^ <с порождает Н-линейное отображение в в правом Н-модуле Мтхп(Н) :

АС = ||а^У.

Для такого отображения уже имеем (АВ)С = АСВС, что, в частности, означает, что (с) — автоморфизм алгебры Мп(Н). Кроме того,

(Аа)* = (А*)а = Ас. (4)

3. а-САМОСОПРЯЖЕННЫЕ МАТРИЦЫ

Пусть А = ||а^|| е Мп(Н). Матрицу А назовем а-самосопряженной, если А = Аа. Ввиду равенства (3) а-самосопряженная матрица А удовлетворяет условию:

А* = -3А3.

Лемма 1. Если матрица А е Мп(Н) является а-самосопряженной, то собственные значения матрицы ААС неотрицательны. Причем для каждого собственного значения а существует вектор V е Нп такой, что

Avc = vа.

Доказательство. Пусть А — а-самосопряженная матрица из Мп(Н). Так как А = Аа, то Ас = А = (Аа)* = А*. Следовательно, матрица ААС является самосопряженной неотрицательной матрицей с неотрицательными собственными значениями.

Пусть х е Нп — собственный вектор матрицы ААС, соответствующий собственному значению а2. Возможны две ситуации:

(1) векторы Ахс и х линейно зависимы;

(2) векторы Ахс и х линейно независимы.

В первом случае существует такой кватернион <, что Ахс = х<. Применяя операцию сопряжения (с), имеем Асх = хс<с, откуда

ААсх = Ахс<с = х<<с.

Следовательно, <<с = а2.

Во втором случае для любого д € Н вектор у = Ахс+хд отличен от нуля. Выберем д таким образом, чтобы выполнялось равенство ддс = ст2. Тогда

Аус = А(Асх + хсдс) = хст2 + Ахсдс = хддс + Ахсдс = удс.

Таким образом, мы доказали, что всегда существует вектор г € Нп \ {0} и р € Н

с 2 такие, что ррс = ст2, и

Azc = ¿р. (5)

Не нарушая общности рассуждений, можно считать, что р = ст. Действительно, умножая справа равенство (5) на ис, и € Н, |и| = 1, получим

А^и)с = (¿и)(йрис).

Здесь за счет выбора кватерниона и мы можем добиться равенства ирис = ст. □

Теорема 1. Если матрица А € Мп(Н) является а-самосопряженной, то она допускает разложение вида:

а = и £и",

где и — унитарная матрица, столбцы которой образуют множество ортонор-мированных собственных векторов матрицы ААс, £ — неотрицательная диагональная матрица, диагональные элементы которой являются неотрицательными квадратными корнями из собственных значений матрицы ААс, соответствующих этим собственным векторам.

Доказательство. Пусть А — а-самосопряженная матрица из Мп(Н), ст2,ст|,...,стп (ст^ > 0) — собственные значения матрицы ААс. Согласно лемме 1 мы можем утверждать, что существует вектор х 1 € Нп \ {0} такой, что

АхЦ = х 1ст1. (6)

Дополним вектор х до ортонормированного базиса в Нп : х , х2, . . . , хп и обозначим через У унитарную матрицу, столбцы которой совпадают с векторами этого базиса. Действуя на равенство УУ* = Е операцией ("), с учетом формулы (4) получим:

(У*)"^ = усуа = Е.

Заметим также, что (Vе)" = У*, (У*)" = Vе и, следовательно, матрица у*Аус является а-самосопряженной. В силу равенства (6) имеем:

У*Аус =

ст 0

0 А( ^

где матрица А(1) также а-самосопряженная. Применяя этот процесс редукции к матрице А(1) и ее преемникам самое большее п - 1 раз, получим в результате равенство:

" а1 ... 0

1 ...У^Ате ...*£_ 1 = '

0

а„

= Е.

Полагая и = ... Уп-1, получаем:

и *Аис = Е.

Умножая это равенство справа на иа и слева на и, окончательно получим:

А = и Еиа.

□

В качестве примера а-самосопряженной матрицы рассмотрим матрицу 5 =

^(Е + «В), где

В=

0 0

1

1 0

00

Отметим ряд достаточно очевидных свойств матрицы 5:

1) 5Т = 5;

2) 5 = 5;

3) 5а = 5.

Так как В2 = Е, то 5*5 = 1 (Е + «В)(Е - «В) = Е. Отсюда следует, что 5 = 5-1. Отметим также, что * = 5*5 = Е. Таким образом, матрица 5 является не только а-самосопряженной, но еще и нормальной матрицей.

Пусть 3к(Л) — жорданов блок порядка к > 2, 3к(Л) = АЕ + №, где Л е С и

N =

0

1 0

Очевидно, что

В№В =

0 1

= №

0

1

0

при этом (ВЖВ)Т = N или (ВЖВ)° = N. Так как

В Ж =

0 0 0 0

ЖВ =

0 1 ... 0

то (ВЖ)° = ВЖ, (N5)° = ЖВ. Следовательно,

0 0

1

БЗ(Л)Б-1 = БЗ(Л)Б = ^(Е + ¿В)(ЛЕ + Ж)(Е - ¿В) =

= ЛЕ + 1/2(Ж + ВЖВ) + ¿/2(ВЖ - ЖВ).

В полученном равенстве все три слагаемых есть а-самосопряженные матрицы. Таким образом, жорданов блок 3(Л) подобен а-самосопряженной матрице.

Теорема 2. Каждая матрица А е МП(Н) подобна некоторой а-самосопряженной матрице.

Доказательство. Пусть матрица А е МП(Н). Известно, (см., напр., [3]), что каждая квадратная матрица над алгеброй Н подобна комплексной жордановой нормальной форме

3 = Зщ (А1) ® (Л2) ® ... ® Зщ (Лв),

где Зщ (Л4) е Мга(С), £ = М.

Если ввести в рассмотрение матрицы Бщ = ^(Е + ¿В) е Мщ(С) для п > 2, Бщ = [1] для п = 1, и обозначить

Б = БП1 ® Бга2 ® ... ® Бгов ,

то

Б3Б 1 = Бп1 Зга1 (Л1)Б?та1 ® ... ® Бга3 (Л8)Бпв .

На основании проведенных выше рассуждений последняя матрица есть прямая сумма а-самосопряженных матриц, и, следовательно, сама является а-самосопряженной. □

Следовательно, каждый класс подобия в Мп(Н) содержит а-самосопряженную матрицу, каждому линейному оператору в Нп соответствует а-самосопряженное представление в некотором базисе. Из этого результата, в частности, следует, что спектр и жорданова форма а-самосопряженных матриц не имеют никакой специфики.

Другой вывод из приведенного выше результата заключается в том, что каждая матрица "диагонализуема"в некотором смысле.

Следствие 1. Для всякой матрицы А е МП(Н) найдутся такие невырожденная матрица Т и унитарная матрица и, что матрица (Ти)-1А(Тис) будет диагональной матрицей с неотрицательными элементами на главной диагонали.

0

1

0

Доказательство. Согласно теореме 2

А = ТВТ-1, где Ва = В. Тогда согласно теореме 1

В = и Еиа,

где и — унитарная матрица, Е — неотрицательная диагональная матрица. Следовательно,

А = Ти Еи аТ-1. (7)

Так как и-1 = и * и (иа)-1 = (и-1)а = (и *)а = ис, то равенство (7) можно переписать следующим образом:

А = Ти Е(Тис)-1,

откуда (Ти)-1А(Тис) = Е. □

4. Внутреннее произведение в Н-модулях

Полученные результаты находят применение в исследовании Н-модулей со специальным внутренним произведением. Так, отображение (а) позволяет ввести внутреннее произведение на правом Н-модуле Нп: для х = (хг), у = (уг)

п

[х,у] := уах = ^ уахг.

г=1

Такое внутреннее произведение обладает следующими свойствами:

1. [х,у]а = [у, х];

2. [х + у,г] = [х,г] + [у,г];

3. [х, у + г] = [х, у] + [х,г];

4. [хд,у] = [х,у]д (Уд е Н);

5. [х, уд] = да[х,у] (Уд е Н).

Заметим, что относительно данного внутреннего произведения справедливо равенство

[Ах, у] = [х, Аау].

В правом Н-модуле Нп всегда можно ввести классическое скалярное произведение, которое определяется как

п

(х,у) := угхг. г=1

Поэтому с помощью равенства (2) легко установить связь между внутренним и скалярным произведениями:

[х, у] = - .(3х,у),

где 3 = Е^', Е — единичная матрица. Отметим, что линейный оператор 3 является антиинволюцией в Нп:

3 * = -3о, 32 = —I.

Векторы ж, у назовем 3-ортогональными (ж[ ± ]у), если [ж, у] = 0. Подмодули Н^Н2 модуля Н назовем 3-ортогональными подмодулями, если для любых ж € Яь у € Н2 : [ж, у] = 0. 3-ортогональным дополнением к подмодулю Н1 в модуле Н называется множество вида:

Н1±] = {ж € Н | [ж, у] = 0,Уу € Я1}.

Множество Н0 = Н1 П н1±] назовем изотропной частью подмодуля Н1. Если изотропная часть подмодуля Я1 равна {0}, то такой подмодуль называется невырожденным.

Так, сам модуль Н является невырожденным. Действительно, если предположить, что [ж, у] = 0, Уу € Н, то, как следствие, (3ж,у) = 0, Уу € Н, откуда 3ж = 0 и ж = 0.

Определение 1. Н-подмодуль Я1 в Н назовем проекционно полным, если имеет место равенство:

Н1[+]Н1±] = Я.

Пусть Я1 — Н-подмодуль в Н, Р1 — ортопроектор на Н1, Р2 — ортопроектор на

НК

Теорема 3. (Первый критерий проекционной полноты подмодуля.) Н-подмодуль Я1 является проекционно полным в Н тогда и только тогда, когда Я1 удовлетворяет условию Р13Н1 = Н1.

Доказательство. Необходимость. Пусть Н-подмодуль Я1 удовлетворяет условию

Р13Н1 = Я1.

С учетом свойств антиинволюции 3 для любого ж € Н имеет место представление: ж = 3ж0, ж0 € Н. Кроме того, ж0 = ж1 + ж2, 3ж1 € Н1, ж2 € Н^. Так как по условию ж1 = Р^ж^, ж1 € Н1, то

ж = 3 3ж1 + ж2) = 3 ((I — Р2)3ж1 + ж2) = —ж1 + 3 (—Р23ж1 + ж2) = —ж1 + 3ж'2,

где ж1 € Н1, ж'2 € Н", 3ж'2 € Н1±]. Полученное разложение доказывает равенство

Я = Н1[+]я1±].

Достаточность. Обратно, пусть подмодуль Н1 проекционно полный в Н. Тогда для любого ж € Н1

3ж = ж1 + ж2, ж1 € Н1, ж2 € Н1±]. (8)

Принимая во внимание свойства антиинволюции 3, х2 = 3x2 е Н-. Действуя на равенство (8) оператором — 3, имеем:

х = —3х1 — х'2,

откуда под действием оператора Р1 получим:

х1 = —Р13х1 = Р3 (—х1),

что доказывает справедливость равенства Р3Н = Н1. □

Определим матрицу Грама О системы векторов /1, /2,..., /т из Н относительно внутреннего произведения [■, ■] :

/ [/1,/1 ] [/2, /1] ... [/т,/1 ] \

О = [/1, /2 ] [/2,/2] ... [/т,/2 ]

\[/1, /т] [/2, /т] ... [/т /т])

Лемма 2. Матрица Грама О линейно независимой системы векторов /1 ,/2,...,/т является обратимой тогда и только тогда, когда подмодуль Н1 = Ыпн(/ь /2,..., /т) является невырожденным.

Доказательство. Допустим, что Н0 = {0}. Тогда найдется х е Н1\{0} такой, что х[±]Н1. При этом х = ^т=1 /х*. Обозначим

0 = ([//, [/2,/*],..., [/т,/* ]),* = 1,Ш.

Тогда

= ([/1,х], [/2, х], . . . , [/т,х]) = 0.

I

Следовательно, строки матрицы О е Мт(Н) линейно зависимы. Для обоснования необратимости матрицы О обратимся к ее симплектическому образу О5. Если О =

(О ^ _О2 \

также линейно

О2 О1

зависимы. В этом случае det О5 = 0, и матрица О5 является необратимой. Тогда матрица О также необратима.

Обратно, если матрица О необратима, то аналогичными рассуждениями можно показать, что строки матрицы О линейно зависимы, откуда следует существование ненулевого вектора х в Н1 П . □

Доказанная лемма позволяет получить еще один критерий проекционной полно-

ты.

Теорема 4. (Второй критерий проекционной полноты подмодуля.) Подмодуль Н1 является проекционно полным в Н тогда и только тогда, когда подмодуль Н1 — невырожденный.

Доказательство. Пусть dim Hi = m, /1, /2,..., /m _ ортонормированный базис в

Я1. Тогда / = X]/гаг + д, где д е Я^. Следовательно, а„ = (/ /„) = / /„].

Таким образом,

т

А/ = Е /г//].

r=1

Пусть y g Hi. Рассмотрим уравнение

Pi Jx = y (9)

и выясним, при каком условии оно имеет решение в Я1. Пусть х = 3=1 /гХ, тогда

rr

Р1 Зх = / )х = ^Е /г [/г, /г ]х = Е /г Е [/г, /г ]х.

г 4=1г=1 г=1 г=1

Так как у е Я1, то у = ^3=1 /г. Следовательно, задача о разрешимости уравнения (9) в Я1 сводится к разрешимости системы линейных уравнений:

т

]хг = Уг, г = 1Тш. (10)

4=1

Очевидно, система линейных уравнений (10) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда матрица Грама О обратима. Согласно лемме 2 это условие равносильно невырожденности подмодуля Я1. □

В Н-модуле Нп с внутренним произведением [■, ■] имеет место аналог процесса ортогонализации Грама-Шмидта.

Лемма 3. Пусть заданы векторы ж1,ж2,... , хт е Нп, т < п. Тогда существуют векторы у1, у2,..., ут е Нп такие, что

Ыпн(у1,... ,ут) = Ь1пн(ж1,... , хт),

причем [yt,ys] = 0, t = s, [yt, yt] = 1, если t < r, и [yt, yt] = 1, если t > r. Здесь r = rankXaX, а X = ||ж1 x2 ...xk||.

Доказательство. Рассмотрим а-самосопряженную матрицу ХаХ. Согласно теореме 1

хах = и £иа,

где и — унитарная матрица, £ = diag{ст1, о2,..., , 0,..., 0}, > 0, £ = 1, г. Пусть Б = diag{■УстГ,..., ^от, 1,1,..., 1}, /г = diag{1,..., 1,0, 0,..., 0}.

г

Тогда XаХ = (иБ)1г(иБ)а, где иБ — невырожденная матрица. Введем обозначение 5 := (иБ)а. В этом случае ХаХ = 5а/г5 и (5а)-1ХаХ5-1 = /г,

или (Х£ 1 = /г. Таким образом, матрица 1 =

уь у2,..., ут — требуемая система векторов. Отсюда

/1 У2 .. .Ут||, где

[xi x2 . . . xm] = [yl У2 ... ym]S,

где S =

T T

s2

T

ST = (stl,st2,...,stfc ).

Пусть а = х1а1 + ... + хтат, а = (а1, а2,..., ат)т. Тогда а = а) + а) + ... + ук (в^ а),

откуда

Ьтн (у1,... ,Ут) С Ътн(х1,... , хт). Обратное включение доказывается аналогично.

Выводы

D

В работе приведено обоснование использования неэрмитовой инволюции в алгебре матриц над телом кватернионов. Получен аналог разложения Такаги для класса a-самосопряженных матриц. В качестве приложения рассмотрены свойства конечномерного кватернионного модуля с внутренним произведением.

Список литературы

[1] Хорн З., Джонсон Ч. Матричный анализ. - Москва: Мир, 1989. - 655 C.

[2] De Leo S. Hypercomplex Group Theory. - arXiv:physics/9703033 vi 31 Mar.1997 - P.1-18.

[3] De Leo S., Scolarici G., Solombino L. Quaternionic eigenvalue problem // J.Math. Phys. Bd.43. - 2002. - Vol.11. - P.5815-5829.

[4] Березин А.В., Курочкин Ю.А., Толкачев Е.А. Кватернионы в релятивистской физике. - М.: Едиториал УРСС. - 2003. - 200 с.

Карпенко I.I. Неерм1тово самоспряжеш матриц над тшом кватершошв

У роботг розглядаеться клас матриць, самоспряжених щодо неермгто-eoï гнволюцп в дгйснгй алгебрг кватернгонов (а-самоспряженг матрицг). Для цього класу матриць отриманий аналог розкладу Такаги. Як застосу-вання доведено теорему про подгбнгсть довгльноï кватернгонноï матрицг деякой а-самоспряженгй матрицг та дослгдженг властивостг скгнченно-вимгрного кватернгонного модуля гз внутргшнгм добутком.

Ключов1 слова: кватершон, алгебри i3 шволющей, розклад Такаги, внутр1шнш добуток.

Karpenko I.I. Non-Hermitian self-adjoint quaternionic matrixes

In this paper there considered matrices which are self-adjoint concerning the non-Hermitian involution in the real algebra of quaternions (a- self-adjoint matrices). Analog of Takagi decomposition for this matrix class is received. As applications the theorem about similarity of any quaternionic matrix and some a-self-adjoint matrix is proved and properties of the finite-dimensional quaternionic module with the inner product are investigated.

Keywords: quaternion, involution algebra, Takagi decomposition, inner product.