Об алгебро-геометрических интерпретациях на изоморфных математических моделях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБ АЛГЕБРО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ИНТЕРПРЕТАЦИЯХ НА ИЗОМОРФНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ

®2011 Ярахмедов Г.А.

Дагестанский государственный педагогический университет

Применяя некоторые идеи матричной алгебры для изоморфных моделей, получен простой вывод формулы Грина и даны алгебраические интерпретации основных геометрических объектов и понятий.

Applying some ideas of matrix algebra to isomorphic models, the author of the article obtained the simple derivation of Green’s formula and gave the algebraic interpretations of the basic geometrical objects and concepts.

Ключевые слова: математические модели, изоморфные модели,

грассмановы принципы, вектор, матрица, кватернион, тензор.

Keywords: mathematical models, isomorphic models, grassmanian principles, vector, matrix, quaternion, tensor.

В настоящее время, как известно, математическое моделирование является одним из универсальных компонентов в методологии любой науки и оно позволяет получить информацию об объектах и процессах, недостаточных для исследования экспериментальными методами, а также дает возможность не только количественной оценки, но и, что не менее важно, качественного анализа поведения сложных нелинейных систем (логистические и динамические системы, системы с обратной связью в экологии, химии, биологии И Т.д.).

Очевидно, моделирование

формирует творческое мышление, а динамические модели активизируют познавательную деятельность.

Другими словами, моделирование способствует развитию креативного и когнитивного мышления, а также дает наглядное представление об отношениях между элементами исследуемой структуры. Изучение отношений между элементами (объектами) структуры должно сочетать в себе теоретикомножественный, алгебраический, геометрический, топологический,

логический и алгоритмический подходы. В более общих философских теориях, с учетом перечисленных выше подходов, например, помимо общепризнанных двух моделей Универсума, одна из которых - макромир с классической методологией, а другая - микромир с неклассической методологией,

предпринимаются попытки

построения третьей,

постнеклассической, модели

Универсума, и на этой основе создать постнеклассическую

методологию когнитивной

деятельности.

Ниже на конкретных примерах мы обоснуем целесообразность

применения методов исследования объектов при переходе на изоморфные математические модели.

Пусть на плоскости (х,у) задана простая область в, гомеоморфная кругу. В математическом анализе при некоторых дополнительных условиях на область в площадь такой области определяется формулой

£ = — | хйу - ус!х , (1)

2(£)

которая является частным случаем формулы Грина-Остроградского. Тем не менее эту же формулу легко получить, воспользовавшись

некоторыми свойствами

грассмановых принципов

определителей для плоскости. Эти принципы заключаются в следующем [1. С. 37]:

а) если концы отрезка на оси (ОХ) имеют координаты хь х2, то длина отрезка равна

1

х9 -х, =-■ 1

б) если вершины треугольника АВС, лежащего в плоскости, заданы координатами (хі, уі), (х2, у2), (х3, у3), то его площадь равна

*і Уі 1

£ =

1

Ь2~

'2 У 2 ^ :з Уз 1

Далее вдоль границы (/.) области в выберем положительную ориентацию и перенесем систему координат в точку О . Нетрудно заметить, что значение площади области О от выбора точки О не зависит. В (/.) впишем многоугольник (/.„) так, чтобы ориентации (/.) и (/.„) были согласованы. Вершины многоугольника (/.„) обозначим через А^, А2,...,Ап и разобьем его на

треугольники (О,АЬА2), (0,А2,А3),..., (О,Ап,АО- Тогда координаты вектора

()А1 (х1, у1) совпадают с

координатами вершины Д.(хг.,_уг.) и

половина внешнего произведения

векторов ОД, ОА1+1, т.е. ОА, ОАм

равна

0 0 1

1 1 1 х, Уі

— • х, У, = —

2 1 1 2 хм Ум

хм Уі+

Увеличивая число точек на (/.) и соответственно - число сторон вписанного многоугольника, получим:

х.

г-1

Уі

Ум

Суммируя по всем разбиениям (к), считая уЬ=у!+Ау!,

левая часть равенства (2) при к —юо, / —>оо стремится к площади в области в, а правая часть - к интегралу

X у

ТІ

Х (Ь)

+ с!х у + йу

с,

(3)

= — | (ху + хс1у — ху — ус1х ) = — | ххЗу - ус1х

2 (I) 2 (I)

Итак, площадь в области ограниченной кривой (/.), равна

£ = — | хйу - уёх.

2(Ь)

Таким образом, вывод формулы (3) без ссылки на формулу Грина-стал возможным применению модели площади посредством принципов

Остроградского благодаря алгебраической треугольника грассмановых определителей.

Далее проведем алгеброгеометрический анализ поведения различных математических объектов при переходе на изоморфные модели. Под моделью будем понимать некоторое множество с определенными на нем предикатами. Две модели назовем изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение между элементами множеств, сохраняющее их отношения (операции). Каждому вектору на плоскости (х,у) ставим в соответствие комплексное число х+/у. А вектору в пространстве с координатами (х,у,г) - мнимый

кватернион (кватернион однозначно определяется упорядоченной парой комплексных чисел). При этом длина вектора с координатами х,у равна модулю комплексного числа х+/у, а длина вектора с координатами х,у,х равна норме мнимого кватерниона Р,

\р\ = 4р^р

определяемой как

где

Р - сопряжение кватерниона Р.

Здесь р=хі+уі+гк и р = -хі - у/ - ік . С учетом равенств /2=/=/с2=-1 и /;=¡к= кі —у/=-к}=-ік, имеем

т.е. квадрат совпадает с мнимого

длины вектора квадратом нормы кватерниона.

Вектору а(ах,а2,аъ) ставим в соответствие одностолбцовую матрицу

А =

, комплексному числу г=х+уі -

матрицу А(1) =

X у У х

мнимому

кватерниону Р, определяемому парой комплексных чисел г2, - матрицу

А(р)

где

21, ¿2

комплексные числа, сопряженные числам и г2 соответственно. Для мнимых кватернионов матрица

А(Р) =

(

хг

У + 2І

Л

, где / - мнимая

у + г/ - хг единица, а =х/, г2=у+я. Все

определенные выше отображения являются изоморфными.

Пусть а^а^а^а^), Ъ{Ъ1,Ъ2,Ъъ) -

а\ ^ ГО

векторы, А = а2 . В = ь2 И

соответствующие им

одностолбцовые матрицы. Тогда скалярное произведение векторов

аЪ = ахЪх + а2Ъ2 + аъЪъ совпадает с

произведением матриц

А ■ В =

(Ь1 Ъ2 Ь3) = Ат ■ В =

(а1 а2 аъ)

(ьЛ

ь

\ьи

= а1Ъ1 + а2Ъ2 + аъЪъ

(Знаком Т обозначается транспонирование матриц и равенство А-ВТ=АТ-В записано для одностолбцовых матриц). Пусть на плоскости заданы векторы а(аг,а2),

Ь(Ьг,Ь2) и соответствующие им комплексные числа обозначим а^+а2'1, Ь^+Ь21, а соответствующие им матрицы

ал а2

- аа,

Л

(ъ.

ъ2Л

Тогда

V ^2 ы\ у I _ Л Л I

действительная часть комплексного числа, равного произведению (а! +а2/> (Ь1 -Ь2/)=а1Ь1+а2Ь2+

(а2Ь^-а^Ь2)1, совпадает со скалярным

произведением а-Ь , а мнимая часть со знаком определяет третью координату векторного произведения этих векторов (первые две координаты векторного произведения равны нулю). Если же из координат векторов

а(ал,а2), Ь(Ьг,Ь2) составить

определитель

К

ь.

то он равен

*2 2

ориентированной площади

параллелограмма, построенного на этих векторах, а модуль этого определителя или модуль площади параллелограмма совпадает с длиной

векторного произведения |а2Ъх -агЬ2 \.

Рассмотрим произведение матриц А, В, соответствующих векторам

а(аг,а2), Ь(Ьг,Ь2), или, что то же

самое, комплексным числам аг+а21,

Ьг +Ь2г, а именно:

С =

ЧС21

= А-Вт =

"22

ах а2 - а.

°\ °2

\Ь2 ьі )

а2Ьх + ахЬ2 а2Ь2 + агЬг у

С11 =С22 =аА+а2Ь2

Тогда со скалярным векторов

совпадет произведением

а Л , а

с21 = -с12 = агЪ2 - а2Ъг - с третьей координатой векторного

произведения этих векторов. Другими словами, скалярное произведение векторов совпадет с половиной следа матрицы С, т.е.

агЬг + а2Ъ2 = 5рС = -^5р А-Вт .

(След матрицы - сумма элементов в главной диагонали матрицы:

8рС = си +с22).

Пусть р = axi + a2j + а3к ,

q = bli + b2j + Ь3к - мнимые кватерниона, соответствующие

векторам a(aj,a2,a3), b{bl,b2,b3) в

пространстве. Определяя

произведение кватернионов р и

q = -Ьг i - b2j - b3k , получим:

р - q = (aj + a2j + a3k) ■ {-bxi - b2j - b3k) = агЬг + a2b2 + a3b3 + (a3b2 - a2b3)i +

(a1b3 - a3bl )j + (а2Ьг - агЬ2 )k.

Таким образом, действительная часть кватерниона p-q совпадает со скалярным произведением векторов а,Ь , а мнимая часть, со знаком, определяет координаты векторного произведения векторов в

пространстве, т.е.

(4)

[а,Ь\аг1 - а1Ъ3, агЪ2 -

Очевидно, с учетом равенства (4), векторное произведение векторов а,Ь можно задать также равенством

[a, b]=

(с > Li Г<1 1 о а2л

с := С2 = аъ 0 - ах

— а2 ах 0,

(5)

/Ь1 (а2Ь3 - а3Ь2

Ь2 = а3Ь1 - а1Ь3 Ь3) уа1Ь2-а2Ь1

Для трех векторов а,Ь,с пространства из определения

смешанного произведения векторов и равенства (5) следует:

( 0 -ъ3

Ат - В-С = (аг 3 2 ÚF 3 ^ Ъ3 0

1-* 2 ^1

ах Ъх С1

Ь2 — а2Ъ1) с3 — а2 Ъ2 С2

а3 Ъ3 С3

О

-ьл

\съ J

= (іа2Ь3 -аъЬ2)с1 -

Итак, смешанное произведение векторов совпадает с произведением соответствующих матриц, и оно совпадает с ориентированным объемом параллелепипеда,

построенного на этих векторах. Легко также заметить, что квадрат

I г>12

кватерниона равен определителю матрицы

Í

А(р) =

XI

Л

y + zi

У У + zi -xi J

Следует отметить, что если столбцам матрицы соответствуют векторы, т.е. тензоры типа (1,0), то строки можно интерпретировать как ковекторы (или линейные формы на векторах, или линейные

функционалы), т.е. тензоры типа (0,1). Тогда тензорному

произведению вектора и ковектора соответствует тензор типа (1,1), т.е. линейный оператор, которому в

некоторой системе координат соответствует матрица.

Более того, в общем случае, отождествляя линейное

пространство матриц М порядка п с линейным пространством векторов размерности п2 в М, определяется скалярное произведение

<А,В>=5р А-Вт , (6)

где А = ^

я/V

)]ё..

г У

в=т.ь;

г.У г.У

матрицы, элементы которых равны нулю, кроме одного, равного единице и расположенного в /-той строке и _/-м столбце, 1 <і,і<п. Тогда

<А,В>=8р а/ Ц. (7)

Таким образом, идеи матричных представлений геометрических

объектов и понятий на изоморфных моделях актуальны с точки зрения их дальнейших обобщений в тензорном анализе, с одной стороны, и практического применения в

дискретной математике,

математической информатике и

интеллектуальных информационных системах, с другой стороны.

Примечания

1. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. М. : Наука, 1987. 416 с. 2. Ярахмедов Г. А. Об алгебраической интерпретации геометрических понятий // Мат-лы Международной конференции «Мухтаровские чтения». Махачкала : ДГТУ, 2010. С. 153-156. 3. Ярахмедов Г. А. Об изоморфных моделях в формировании комплексного мышления при обучении математике в вузе // Мат-лы Международной научно-практической конференции. Дербент, 2010. С. 413-416.

Статья поступила в редакцию 11.11.2010 г.