CC BY
17
ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ
Н.М. Пухов, В.Н. Марков, П.П. Исаев
МИРОВОЕ И СПИНОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КИНЕМАТИКИ
Данная статья имеет методологический и методический характер и является I развитием идей сформулированных ранее в [1]. Основной результат, полученный в той статье, заключается в том, что из основных фундаментальных симметрий А физического вакуума как прямое и естественное следствие вытекает релятивистский закон преобразования скоростей
_ У12 + У2з + AV _ 1 _ _ , 1 + -2 V12 -^23 c
(1)
где у - скорость относительного движения 1-го объекта относительно 2-го, у23 - 2-го относительно 3-го, а у - 1-го относительно 3-го.
Иногда релятивистский закон преобразования скоростей (1) называют законом «сложения» скоростей у и у23 по аналогии с классическим правилом сложения скоростей
^3 = У2 +У23 (2)
Однако надо иметь в виду, что оба «закона»
(1) и (2) представляют явления принципиально различного характера и онтологически не сводятся друг к другу. Классический закон сложения скоростей (2) выражает геометрическое «сложение» перемещений классической материальной точки в аффинном евклидовом пространстве £(3). Релятивистский закон преобразования скоростей (1) представляет результат композиции квантово-
релятивистских «состояний движения» и |У23 соответствующих процессам распространения этих объектов в реальном вакууме. Цель этой статьи - показать онтологическое родство между релятивистскими и квантовыми аспектами единой квантово-релятивистской физики. Субстанциональной базой этого единства является физический вакуум, проявляющий квантово-реляти-вистские свойства.
Релятивистский закон преобразования скоростей далее мы будем понимать как закон преобразования особого пространства V3 - простран-
ства реляционных скоростей объектов, распрос траняющихся в вакууме по законом квантово-релятивистской физики. В абстрактном плане такое преобразование будем обозначать
# (У):^(3)
х +У + дУ
x ^ y _ -
1 +1 x-V
c2
(3)
и назовем его бустом1. Совокупность всех таких допустимых преобразований образует особую алгебраическую систему - псевдогруппу релятивистских бустов, которую обозначим символом Boost.
Объединим групповое пространство V<3; и группу Boost, которая в нем действует, согласно (3), в единую алгебро-геометрическую буст-структуру
B = V(3), Boost) (4)
С точки зрения сугубо геометрической (в силу геометрических свойств boost-преобразований) она представляет собой проективную структуру, в которой реализуется проективная модель Кэли-Клейна геометрии Лобачевского.
Тот факт, что B (4) является проективной структурой, позволяет ее реализовать в виде особого (кинематического) пространства Минковс-кого. В проективной геометрии2 любое проективное пространство F<3) можно представить аффинной моделью, размерность пространства в которой увеличивается на единицу. Далее вместо 3-х мерного вектора V е V(3) мы будем использовать однородные проективные координаты L и Т, которые будут определять проективный фактор V в виде отношения
V=L / t , (5)
где L - суть смещение волнового пакета | V^ в физическом вакууме за время T = cAt 3. Это соотношение сопоставляет всякой реляционной скорости V е V<3) кинематическую пару (T,L). В обрат-
© Н.М. Пухов, В.Н. Марков, П.П. Исаев, 2006
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 9, 2006
3
ную сторону правило (5) по заданной скорости V » / _
ного оператора Л [V) в базисе пространства М.
определяет соответствующую ей пару (Т?, Lfj не однозначно, а только лишь с точностью до произвольного проективного множителя Х^О. Положим
V,
V,
V
— = х, — = у, — = V, (5а)
с с с
тогда релятивистский закон преобразования скоростей запишется в виде
где
У = -
AV:
x+V+AV
1 + X-V ' :X ±(Л/П2
-1
(6) (6а)
Объединим все кинематические пары (Ту, 1у (5) в единое четырехмерное линейное векторное пространство 4-х мерных комплексов
XV = {Tv , Lv) = (T, Lx, Ly, Lz) = { X0, X1, X2 , x)
X L- - M ,
(7) (7а)
которое будем называть пространством Минковс-кого. Подчеркнем, что так определенное пространство М - это пространство кинематического типа,
т.е. пространство кинематических пар (т, Lj. Введение однородных проективных координат
Xo, Xi, X2, X3
) (7), определяемое по правилу
X = Lx /Tx » X - T,Lx)
Ty, Ч
ж: у = Ly / Ty » Y индуцирует гомоморфизм
f :V(2) ^M и порождает представление
(8) (9)
ж, у = Р (х, к)^ у = Л (у7)-х (86)
действия релятивистского закона преобразования скоростей в пространстве Минковского М (7а).
Действительно, преобразование Р (у): V(3) ^ V(3) после проективной «замены переменных» (8) индуцирует однородное линейное преобразование
Л (V):М ^М Л (V): X ^ У
действующее в М по правилу
у, = ]Г Л^ - х^ = Л^ ; Ц,у = 0,1,2,3, (9а)
М=0
(9)
где л^ - л* V) - матричные
Представим векторный параметр V преобразования (9) в виде
V = V - и, где
И = и, - ? + Иу - 7 + и - к , «2 + Иу2 + и2 =1. (10)
С учетом (6) и (8) для матрицы Л (V), определяющей индуцированные преобразования (9) и (9а), мы получаем
Л (V )=1|лЧ| =
V 0 1 2 2
0 а р- nx Р-ny Р-nz
1 Р-nx 1 + А -nxnx А - nxny А - nxnz
2 Р- ny А - nynx 1 + А - nyny А - nynz
2 Р- nz А - nzny А - nzny 1 + А - nznz
где « - -
1
р-
V
' - ; ^ ^(«-1). (11а)
Легко убедиться, что преобразования (9а) с
матрицей коэффициентов Л (V) (11) являются специальными лоренцевыми преобразованиями пространства М или йоо5/-преобразованиями этого пространства. Из (9а) и (11) следует, что boost-преобразования, действующие в пространстве М, оставляют инвариантной и форм-инвариантной следующую квадратичную форму
IIXIIM - T2 - LL = x2-[x2 + x2 + x2 ]. (12)
элементы линеи-
Величину || X ||M далее будем рассматривать как норму 4-е вектора XeMи называть ее лорен-цевоИ нормоИ вектора X.
Если в (11) параметр преобразования удовлетворяет условию | V | < 1, то всевозможные boost-
преобразования л (V): M ^ M, определяемые релятивистским законом (11), образуют псевдогруппу Boost преобразовании этого пространства. Для того чтобы это множество преобразовании включить в настоящую группу его надо дополнить всевозможными пространственными вращениями. Полную группу пространственных вращений мы обозначим символом Rot. Прямое произведение псевдогруппы Boost и группы Rot образует
полную группу преобразований пространства М. Эту группу обычно называют полной группой Лоренца и обозначают символом Lor. Группа Lor -это группа всевозможных линейных преобразований Л: М ^ М , которые сохраняют лоренцеву
норму 11X для любого 4-е вектораХеМ. Последнее определение позволяет дать строгое и точное определение такой математической структуры как линейное, векторное, действительное, «кинематическое» пространство Минковского M. Таким пространством фактически является пара
m = М, Lor), (13)
где Lor - группа автоморфизмов этого пространства, оставляющая инвариантной и форм-инва-риантной лоренцеву норму (12) для любого вектора X из этого пространства.
Обратим внимание на то, что последнее определение не является бессмысленной математической абракадаброй. В алгебро-геометричес-кой структуре M, называемой пространством Минковского, закодированы специфическим образом физические свойства и структура процессов движения материальных объектов в физическом вакууме.
Из определения полной группы Лоренца следует, что для любого Л е Lor должно выполняться условие
(det Л )2 _ 1 и det Л _+1.
Преобразования Л:М ^М , для которых
det Л _ 1, называются специальными преобразованиями Лоренца. Если для преобразования Л
выполняется условие Л00 > 0, то его называют ор-тохронным. Специальные ортохронные преобразования или собственные преобразования Лоренца, образуют в Lor подгруппу, которую называют собственной группой Лоренца L.
Для нас особый интерес будет представлять математическая структура
m ={М, i), (13а)
которая реализует мировое представление действия фундаментальных физических симметрий A. При традиционном подходе к основаниям релятивистской физики, как правило, за основу берется мировая структура M. Обычно считается, что теоретически ядром релятивистской физики является специальная группа Лоренца. Однако
это далеко не так и к рассмотрению этого вопроса мы и приступаем.
В теории групп Ли, к которым относится и группа L, имеет место следующая теорема:
«Для любой связной группы Ли L, существует единственная (с точностью до изоморфизма), связная и односвязная группа Ь, которая локально изоморфна L».
Группу ~ называют универсальной накрывающей исходной группы L. Существует единственный проектирующий и накрывающий гомоморфизм
П: Ь ^ L . I (14)
Ядром гомоморфизма П является нормальный дискретный делитель группы Ь. Мощность этого делителя называется кратностью накрытия.
Согласно теореме для специальной группы Лоренца Ь из (13а) должна существовать ее универсальная накрывающая Ь. Ниже мы покажем, что для специальной группы Лоренца таковой является группа SL(2;C). В математической терминологии эту группу называют специальной линейной комплексной группой ранга 2. В сущности, она представляет собой совокупность линейных преобразований 2-х мерного комплексного линейного пространства с определителями равными единице. Поскольку она по существу совпадает с Ь (для группы Ь), то далее везде будем обозначать ее символом Ь и называть универсальной группой Лоренца. Таким образом,
SL (2; С) - ~ (15)
Именно эта группа в дальнейшем и будет представлять для нас главный интерес, поскольку является центральной фигурой в релятивистской физике. Пространство фундаментального представления группы Ь из (15) является 2-х мерным комплексным векторным пространством. В контексте рассматриваемых нами проблем это пространство принято называть пространством релятивистских спиноров. Каждый такой «спинор», понимаемый как комплексный вектор, обозначим как ?, а само пространство 2
2Ь. (16)
Если в 2 фиксировать некоторый базис {г1, д2}, то всякий спинор из 2 однозначно представляется в виде следующей линейной комбинации:
? = С1 Ч +С2 -^2, (16а)
где координаты этого вектора С1) (по отношению к фиксированному базису) являются ком-
плексными числами: С1, С2 6 С. По отношению к этому же базису всякое «универсальное преобразование Лоренца», т.е. оператор Л6Г, будет представляться комплексной квадратной матрицей размером 2x2.
Именно по этой причине универсальная группа Лоренца L является комплексной группой Ли комплексной размерности 3. Последнее утверждение означает следующее, существуют три независимых комплексных параметра:
С = (с1,С2,С3), С 6С, =1, 2, 3, такие, что они однозначно параметризуют всякое Л 6 Ь .
В группе Ь, понимаемой как некая определенная операторная структура, существует специальный «базис» (т.е. система образующих):
0 1 0 - г 1 0
; г2 = ; г3 =
1 0 г 0 0 -1
(17)
С использованием системы т из (17) любой
элемент Л (^ )6 Ь может быть представлен в виде следующей операторной экспоненты
Л (с), ехр т- С, (18)
где г-С = С1 -1?1 +С2-г2 + С3 .
Из условия det Л= 1 следует, что группа Ь (как топологическое многообразие) является связным и односвязным подмногообразием в С4 и тем самым для нее выполняется условие теоремы.
Покажем, что Ь действительно 2-х кратно накрывает группу Ь. Фиксируем в 2 некоторый базис (а1, а2). По отношению к этому базису всякий спин-вектор ? бЕ представится 2-х мерным координатным вектором
с2 ],
(19)
где ?* - дуальный (эмитово-сопряженный) объект. Символом (*) далее мы будем обозначать операцию эрмитова сопряжения, а символом (•) операцию комплексного сопряжения.
По отношению к тому же базису всякое Л 6 Ь представляется квадратной комплексной матрицей размера 2x2:
а = Л11 Ь = Л12 с = Л^ d = Л22
(20)
Матрицы Л будем называть спин-матрицами. В символике Л"ь индексы а и Ь принято называть спинорными индексами. Эти индексы пробегают всего два значения а= 1,2; Ь=1, 2. Для обозначения элементов спин-матриц Л (20) (из определенных технических соображений) будем использовать тройную систему обозначений:
Л11 = а, Л12 = ь, Л2 = с, Л22 = d (а)
а = Х1, Ь = Я2, с = Х3, d = Х4 (р)
(21)
Все Л 6 С, г = 1,2,3,4.
С использованием введенной системы обозначений любая спин-матрица Л 6 Ь изобразится в виде
Л =
а Ь с d
(21а)
где ёе!Л = (а - d-Ь-с) = 1 для всякой Л 6 Ь.
Совокупность (Л,Хг,Х3,Х4), при рассмотрении некоторых вопросов, удобно рассматривать как 4-х мерный координатный комплексный вектор и соответственно:
1 =
а X = [Х X1 Г3 X4],
(22)
где X и х - два дуальных координатных комплексных 4-е вектора.
С пространством 2 и группой его автоморфизмов Ь тесно связана еще одна математическая структура. Забегая вперед, назовем ее пространством Паули и обозначим П.
С алгебраической точки зрения пространство Паули представляет собой алгебру эрмитовых матриц размером 2x2. Эта алгебра в своей модульной подструктуре является 4-х мерным действительным векторным пространством. Фиксируем в П стандартный базис, который задается системой матриц Паули
(23)
1 0 0 1
; ~ =
0 1 1 0
0 - г г 0
1 0 0 -1
По отношению к базису Еп всякий элемент
X 6 П представится в виде следующей линейной комбинации
и 5
0
Еп =
х = х =
(x0 + x3) (x1 - ix2) (x1 + ix2) (x° -x3)
(24)
где x0, x1, x2, x3 е R - суть координаты вектора X в
этом базисе, а i _ V—1 - «мнимая» единица.
Из (24) видно, что для всякого X е П имеет место следующее интересное «метрическое» соотношение
det X - (x0)2 -[(x1)2 + (x2)2 + (x3)2]. (25) Последнее обстоятельство позволяет определить в П скалярное произведение и норму, что превращает его в нормированное линейное векторное пространство. Определим к ЕП дуальный
базис ЕП, задаваемый следующими правилами
ЕП = {e"}; e° =
e„; e =-e„
для а = 1,2,3 (26)
Используя из (26), для всякого X = x^e
найдем сопряженный к нему элемент
X = x^, где xß = xß
(27)
Очевидно, что
X--
(x° - x3)
(27а)
-(x1 - ix2) -(x1 + ix2) (x0 + x3) Перенормируем элемент X из (27а) по правилу
X- = -
1
-•X
det X - (27б)
Легко видеть, что для любого х е П выполняется соотношение
X- X- -1, (28)
где I - единичная 2x2 матрица.
Определим теперь в П скалярное произведение (*)
X * Y _ 1 Spur {X -Y }_ x0y0 - [x1 y1 + x2y2 + x3y3 ] (29) Из этого определения следует, что
||x ||2 = X * X _ 1 Spur {X - X }_ det X . (29а)
Алгебра эрмитовых матриц П с введенной в ней нормой, определяемой соотношением (29а), превращается в нормированную композиционную алгебру, которую принято называть алгеброй релятивистских кватернионов. Та же самая алгебра, но понимаемая только как линейное векторное пространство над полем R со скалярным произведением, определяемым по правилу (29), превращается в нормированное линей-
ное векторное пространство над полем R. Такое пространство и называют пространством Паули.
Пусть л (ь ) - суть группа внутренних автоморфизмов, которая сохраняет норму ||х || (29а) в этом пространстве.
Оказывается, что группа л (Ь ) индуцирована действием Ь : Z ^ Z и механизм этого индуцирования мы раскроем чуть позднее.
Строго говоря, пространством Паули надо называть структуру:
П = (П; ж £)) . (30)
Это пространство интересно тем, что оно является изометрической моделью пространства Минковского (13а). Эта изометрия
ж: M ^ П (31)
определяется весьма простым отображением
базиса EM = {eM} пространства Минковского в базис ЕП = {ê^} пространства Паули
ж : e, ^ ê, (31а)
причем
ж:X = x% ^X = x^, (31б)
так что координатные величины справа и слева
(в X и в X) тождественно совпадают. При этих условиях
XY = \X = ж (X№ = ж (Y)], (31е)
что и доказывает: «отображение Паули является изометрией». Наличие изометрии показывает, что пространства Ми П суть различные модели одной и той же алгебро-геометрической структуры. Если выразить последнюю мысль более просто, то в сущности она утверждает, что пространства Ми П ничем принципиально не отличаются друг от друга.
В подобном случае в абстрактной высшей алгебре говорят: алгебро-геометрические структуры Ми П изоморфны, их отличие состоит только в способе описания (представления) этой базовой (исходной) структуры. Однако, изменение способа описания структуры весьма существенно с точки зрения выявления некоторых содержательных моментов. Так, например, 4-х мерное пространство Минковского Мне позволяет выявить спи-норную структуру квантово-релятивистской кинематики. Пространство же Паули П для этих целей как бы специально и приспособлено.
Реализовав в Мбазис в виде системы матриц Паули, мы по существу внесли в него дополнительную алгебраическую структуру - структуру алгебры релятивистских кватернионов, которая естественно согласована с метрической структурой пространства М Из проведенного нами рассмотрения легко усматривается следующая цепочка гомоморфизмов (т.е. структурных соответствий между различными формами представления одной и той же математической структуры): . . р * ~
|х)^Х-х ^X . (32)
Представление квантово-релятивистских состояний движения материальных объектов в физическом вакууме посредством релятивистских кватернионов позволяет приблизиться к осуществлению онтологического синтеза квантовой и релятивистской «сторон» процесса движения объектов в вакууме. Последнее обстоятельство собственно и позволяет построить накрывающий гомоморфизм:
ж : Ь ^ Ь, (32а)
который назовем гомоморфизмом Паули.
Итак, пусть группа Ь стандартно действует в 2. Выясним, какие преобразования она индуцирует в П. С этой целью рассмотрим в П так называемый изотропный конус: /5о(П)сП. Это подмногообразие в П определяется условиями
Ы (п) = |X еП | 11X ||2 = 01.
(33)
Оказывается, что всякий элемент из этого множества однозначно представляется в виде тензорного произведения двух релятивистских спиноров 5 и 5 *, а именно
X = 5 ® 5 =
С2
с'с1 с'с2 с2С С2С2
(33а)
При этом (как легко убедится) всякий изо-спи-
нор X (33а) при Л: £ ^ £ индуцированным образом должен будет преобразовываться по правилу:
ж (Л): X ^ Х' = Л- Х-Л*. (34)
Поскольку все подмножество йо(П) является системой образующих для всего пространства П,
то индуцированный закон преобразования ж (Л) (34) по «линейности» переносится на все пространство П. Последний факт означает, что всякое спин-преобразование Л е Ь , канонически действуя в 2, индуцирует преобразование
ж (Л): П^П, (35)
действующее во всем пространстве Паули по правилу (34). Такие преобразования, реализующиеся в пространстве П в соответствии с (34), будем называть индуцированными преобразованиями Паули. Они образуют группу, которую назовем индуцированной группой Паули Ьп. Группа Ьп изоморфна группе Ь. С другой стороны, поскольку
всякое преобразование ж (Л) сохраняет в П и норму и скалярное произведение, то очевидно, что такие преобразования являются автоморфизмами пространства П. Поскольку же м = П, то группа автоморфизмов пространства П локально будет изоморфна группе Ь. Таким образом
1ос _ 1ос _
Ь = Ьп, Ьп= Ь и Ь = Ь , (35а)
т.е. действительно группа Ь локально изоморфна группе Ь! Это очень важное обстоятельство, поскольку из приведенной выше теоремы следует, что если такой изоморфизм существует, то он единственен. Итак, в абстрактно-теоретическом плане, мы доказали, что группа Ь действительно является универсальной накрывающей группы Ь. Ниже мы покажем, что Ь накрывает Ь двукратно.
Соответствие между группами Ь и Ь мы будем называть гомоморфизмом Паули. Построим этот гомоморфизм явным образом. Пусть
*: _ ^ Ь (35а)
искомый гомоморфизм Паули.
Из (34) видно, что преобразование ж (Л)е Ьп
линейно по координатам {хм} X, что дает нам право написать
X=Л1 X *; = 0,1,2,3, (36)
где Л^ - матричные элементы матрицы Л е Ь. В силу функциональной зависимости между Л и Л е _ ясно, что всякий элемент матрицы
II Л'' II = Л должен как-то зависеть от элементов
(а, Ь, с, d) матрицы Л =
а Ь с d
. Найдем эту зави-
симость Лу = Л* (а, Ь, с, d) = ? Так как X= Л»Х" и
X'
то имеем
(х'° - х'3) (У1 - ix'2) (х'1 + ix'1) (х'° + х'3)
(37)
(л+л) (л - ^)
(л' + л) (л: -л3„)
. (38)
X' = лУХг, где л, -С другой стороны
Х' = л-Х-л* = , где л, ~-л*. (39)
Приравнивая л„хи и луху из (38) и (39), получаем систему матричных уравнений
л„ =лу; V = 0,1,2,3, (40)
разрешая которые относительно л1, мы и найдем функции л (а, Ь, с, d).
Вычисления показывают, что элементы лму матрицы л представляются в виде билинейных
эрмитовых форм от векторов X и X* из (22)
XI = - Г -X.
V 2 V
(41)
В (41) % - суть структурные матрицы, определяющие гомоморфизм Паули. Эти матрицы вычисляются по следующему правилу
X* - ~* ® е..
(42)
где символом ® обозначено кронекеровское произведение базисных матриц, определяемых условиями
-. (43)
Для пояснения определенных выше правил
вычисления л^ , вычислим матричный элемент
А1,, как функцию элементов (а, Ь, с, Ф)
л3 =1X*- Х3 -X (41а),
где
Л ~1 Х3 = е
0 0 ! 1 0
0 1 с 1 0 0 0 0 -1
1 0 0 -1 1 0 | 0 0
0 -1 0 0
(44)
Естественно, что все матрицы Х^ имеют размер 4x4. Эти матрицы и становятся «метрическими тензорами» соответствующих эрмитовых форм
л3 = -X*-Х3-X = 1 (ас -ьф + са-фь). (45) Аналогичным образом вычисляются все остальные элементы матриц л = || л^ ||, где л^ рассматриваются как функции матричных элемен-
тов соответствующей матрицы л и
тт: л ^ лл (а, Ь, с, Ф). (46)
Обратим внимание на то, что именно формулы (41) и (42) определяют гомоморфизм Паули в явном виде. Используя эти формулы можно определить все матричные элементы
л^ (ц,у = 0,1,2,3), как функции комплексных параметров (а,Ь,с,Ф). Результаты таких вычислений приведены в таблице.
Поскольку л по отношению к соответствующей л (л) из (41) является как бы «корнем квадратным» из л, то легко видеть, что Ь накрывает Ь
двукратно, т.е. Кег (тг)={+/2,-/2} является дискретной группой второго порядка, содержащей
лишь два элемента + /2 и - /2.
Итак, гомоморфизм Паули ж : Ь ^ Ь позволяет явно для всякой л е Ь (по правилам (41) и (42))
Таблица
Структурная таблица, представляющая действие гомоморфизма Паули ж : л ^ л (л)
X— (Х^, Х2, Х3, Х4); Х - а, Х1 - Ь, Х3 - с, Х4 - Ф.
л (л ) = 1В (X); = 0,1,2,3; л (Х) =
К к
Х3 Х4
+ ^2^2 + ^3^3 + А4А4 А А2 + ^2 А + А3А4 + А4 А3 г(\А2 -А2\+ А.3А4 -ААЪ) А1А1 - ^2^2 + А3 А3 - А 4 А 4
А^ А-3 + ^2^4 + А-3 А + А4А2 А^А 4 + ^2^3 + А3А2 + А 4 Ац г {АА4 - А2Аъ + АъА2 - А4 Ац) А1А3 - Я2Я4 + А3А1 - Я4Я2
1 (- А1А-3 - ^2^4 + А А + А4А2 ) г (- А1А4 - А2А3 + А3А2 + А4А1) АА4 - А2А3 - А3А2 + А4 А г (-А1 А-3 + ^2^4 + М - А4А2 )
А А1 + ^2^2 - АА - А4 А4 АА2 + ^2 А - А3А4 - А4А3 г (А1А2 - ^2 Ац - А3А4 + ^4^3) А1А1 - ^2^2 - А3А3 + А 4 А 4
в (!)=
V
И
построить Л = ж (Л). Интересно получить правило, которое для всякой Л е Ь позволяло бы найти
ей соответствующую Л = ж 1 (Л ).
Подобная задача оказывается намного более
сложной, чем построение Л = ж (Л). Однако здесь имеется одна возможность, которая позволяет разрешить и обратную задачу спинорного представления. Любое преобразование Лоренца Л: М ^ М всегда однозначно можно разложить в произведение «чистого» буста В и «чистой» ротации Я, т.е.
Л = В - Я. (47)
Оказывается, что соответствие Паули
я: Ь ^ Ь (48)
прослеживается для бустов и ротаций в «ту» и «другую» стороны конструктивно и однозначно.
Используя формулу (18) для представления любой эрмитовой матрицы, можно показать [3, с. 117], что всякий буст в спинорном представлении будет выражаться следующим релятивистским кватернионом (49) где V = V-п ;
п = пх ■ 1 + пу ■ ] + п2 ■ к , а г = 1/^1-V2 , 1 + V ,
р = yj 1 - V . Подстановка элементов спин-матрицы (49) в формулы, представленные таблицей, позволяет восстановить буст-матрицу (11), представляющую boost-преобразование в мировом представлении, по элементам буст-матрицы (49) Аналогичные действия позволяют для любой
«чистой» ротации R (р, n) e Rot построить ее спи-
норное представление R (р, П)e SL (2, C). Здесь
ф = р-n параметр rot-преобразования: n - направление оси около которой совершается вращение, а ф - угол, на который совершается поворот (50).
Любая ротация (т.е. пространственное вращение) в спинорном представлении по отношению
к фиксированному базису реализуется унитарным гамильтоновым кватернионом типа (50).
В линейной алгебре доказывается [4, с. 372],
что любая спин-матрица AeSL(2,C) = L однозначно разлагается в произведение эрмитовой матрицы (релятивистский кватернион) В
с det В = 1 и унитарной матрицы (гамильтонов
кватернион) Яе SU (2), так что для всякой A e L имеет место разложение
A = В - Я, (51)
что и заканчивает построение обратного отображения ж -1: L — L .
Итак, мы построили цепочку соответствий (гомоморфизмов) Boost -—Lor -- SL (2, C), которая позволяет связать релятивистский закон преобразования скоростей (1) со спинорной структурой физического вакуума.
Спинорное представление релятивистской кинематики позволяет установить онтологическую связь и зависимость релятивистской и квантовой граней единой квантово-релятивистской физической реальности. В частности, из этого синтеза естественным образом возникает теоретический конструкт, который называют «волной де Бройля». Это глубокая и далеко идущая тема, но выходящая за рамки этой статьи.
Примечания
1 Буст от английского boost, что означает прибавление (движения), разгонка, ускорение.
2 По поводу различных аспектов проективной геометрии, а также введения однородных проективных координат см., например [2].
3 Далее будем использовать так называемые безразмерные скорости, которые получаются из обычных скоростей путем деление последних на релятивистскую постоянную С.
В (V, n )=(± 1)-£-
[(« + Р) + (а-Р)щ]\ (a-P)(nx - ту) («-P)(nx + iny) ¡"[(а + Р) - (а-Р) nZ]
(49)
R (р, n) = (+1)-
cos — +1- sm—-n,
sin 2(ny + inx)
-sin--(ny - inx)
V ■ ■ Ф cos — -1 -sm—-n,
(50)
2
2
2
2
Библиографический список
1. Пухов Н.М., Марков В.Н., Исаев П. П. Закон движения релятивистских частиц как следствие проявления и действия фундаментальных физических симметрий вакуума // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова.
2. Берже М. Геометрия. Т. 1. - М.: Мир, 1984.
3. БоголюбовН.Н., ЛогуновА.А., ОксакА.И., Тодоров И. Т. Общие принципы квантовой теории поля. - М.: Наука, 1987.
4. ПостниковМ.М. Линейная алгебра. - М.: Наука, 1986.
В.С. Секованов, В.С. Забара
О ВЫЧИСЛЕНИИ УНИВЕРСАЛЬНОЙ КОНСТАНТЫ ФЕЙГЕНБАУМА МЕТОДОМ НЬЮТОНА
Преамбула. В данной статье рассматривается алгоритм Ньютона для нахождения универсальной константы Фейгенбаума и результат сравнивается с вычислением данной константы по алгоритму, связанному с символической динамикой.
К к правило известны две универсальные константы. Это число л, равное отношению длины окружности к диаметру и число е, являющееся пределом последова-
ные производные их, иу, и х„ у' существуют, то существует и производная сложной функции ^фф,фф), которая вычисляется по формуле:
тельности:
1 +1
(1)
. Однако существуют и дру-
гие замечательные константы. Одна из них была открыта в 1978 году Митчеллом Фейгенбаумом.
Опишем алгоритм ее вычисления с помощью метода Ньютона. Альтернативный алгоритм нахождения данной константы изложен в [2].
Пусть мы имеем функцию и=Дх,у). Причем каждая из переменных х,у в свою очередь является функцией от переменной t на некотором промежутке: х=ф(у=ф(^. Если непрерывны част-
Фи ди Фх ди Фу Ф1 дх Ф1 ду Ф1 Рассмотрим отображение Дх,а)=а-х-(1-х), ае(0;4], где переменная х является функцией от а: х=х(а). По формуле (1) имеем:
f da
df dx df da dx da da da df
df dx df dx da da
То есть = а- (1 - 2- х) - х'а + х - (1 - х) .
Фа
При нахождении универсальной константы Фейгенбаума нас будут интересовать сверхустойчивые орбиты периода 2п, п=0, 1, 2, ...
т
с
f0=0.5 fd0=0 i1=2An
т
1=1,11,1
ai(a,i; аО=а
т
f1=a*f0*(1-f0) fd 1 =f0*(1 -f0)+a(1 -2fO)*fdO ffi=f1 fd0=fd1
J
Л
-><¿=1,1000,^-
f=func(i,a0) a1=a0-f/df a0=a1 -1-
df=fd 1 return f1
I
конец
а)
return f ' 1 '
^^ конец ^^
б)
Рис.
n
TT"
sigma=4 a1=2 a2=lH^grt(5)
a3=ai(a2+(a2-a1 )/sigma,i) sigma=(a2-a1 )/(a3-a2) a1=a2 a2=a3
I-
/ sigma /
1
с конец >
в)
n
© В.С. Секованов, В.С. Забара, 2006
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 9, 2006
11
