CC BY
50
УДК 512.815.8
ДИСКРЕТНЫЕ СИММЕТРИИ НА ПРОСТРАНСТВАХ ФАКТОР-ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА
В.В. Варламов
An extension of an algebraic description scheme of discrete symmetries is given. The charge conjugation is represented by a pseudoautomorphism of the complex Clifford algebra. A new class of quotient representations of the Lorentz group for physical fields with a breached reflection group is introduced.
Введение
Важность дискретных преобразований пространства-времени общеизвестна, начальные главы практически всех учебников по квантовой теории начинаются с описания дискретных симметрий, а знаменитая СРТ-теорема составляет один из краеугольных камней квантовой теории поля. Кроме того, с зарядовым сопряжением С связано фундаментальное понятие антиматерии. Однако, исторически сложившаяся практика определения дискретных симметрий при помощи анализа релятивиетки-инвариантных уравнений не дает возможности построения полной и последовательной теории дискретных преобразований, прежде всего, на пространствах представлений группы Лоренца и соответственно группы Пуанкаре. В рамках стандартного подхода, исключая хорошо изученный случай спина 1/2 (уравнение Дирака), остается совершенно неясной ситуация с определением дискретных симметрий для полей с высшим спином j > 1/2. Первая попытка выхода из сложившейся ситуации была предпринята Гельфандом, Мин.юсом и Шапиро [2]. В [2] дискретные симметрии представляются внешними инволютивными автоморфизмами группы Лоренца и определяются на пространствах конечномерных представлений этой группы. В последнее время идеи Гельфанда-Минлоеа-Шапиро получили развитие в работах Бухбин-дера, Гитмана и Шелепина [8,12], где дискретные симметрии, представляемые как внешними так и внутренними автоморфизмами, распространяются на пространства представлений группы Пуанкаре.
Другим альтернативным подходом является алгебраическая схема описания дискретных симметрий, предложенная автором в [17, 18], где дискретные симметрии представляются фундаментальными автоморфизмами алгебр Клиффорда. Настоящая статья является дальнейшим развитием этого подхода. Прежде всего, для описания зарядового сопряжения С применяется псевдоавтоморфизм комплексной алгебры Клиффорда, заключающийся в комплеке-
© 2001 В.В. Варламов
E-mail: [email protected]
Сибирский государственный индустриальный университет
ном сопряжении произвольного элемента этой алгебры. Основным преимуществом алгебраической схемы описания дискретных симметрий является возможность использования теории алгебр Клиффорда и связанной с ней теории представлений групп, что позволяет существенно расширить множество конечномерных представлений группы Лоренца посредством введения нового класса фактор-представлений этой группы, соответствующих нечетномерным комплексным алгебрам. Кроме того, это позволяет расширить интерпретацию Вигнера [21,22], вводя фактор-представления группы Лоренца для описания физических полей с нарушенной группой отражений (киральные поля), В заключении статьи соответствующее фактор-представление и непосредственно связанное с ним нейтральное поле Вейля-Хестенса применяется для описания поля нейтрино. Интересный вопрос о связи алгебраической схемы с подходом Гельфанда-Минлоеа-Шапиро и Бухбиндера-Гитмана-Шелепина выходит за рамки данной статьи и будет исследован в последующей работе,
1. Представления группы Лоренца и физические поля
Как известно [5], представления группы Лоренца играют фундаментальную роль в квантовой теории поля. Физические поля, описывающие элементарные частицы, определяются в терминах конечномерных неприводимых представлений группы Лоренца (соответственно группы Пуанкаре), Особо отметим следующий важный факт, имеющий первостепенное значение для последующего исследования, А именно, в согласии с [3] всякое конечномерное неприводимое представление собственной группы Лоренца SL(2; С) эквивалентно некоторому ее спинорному представлению, так что спинорные представления исчерпывают по существу все конечномерные неприводимые представления группы SL(2; С), В настоящее время одним из наиболее многообещающих методов в квантовой теории многих тел является метод Холланда [14], в котором спинор Ф = Sti an r '«... >,Л> '« ''' ея.4п; описывающий многочастичное состояние системы, является элементом тензорного произведения алгебр Паули ® • • • ® С£3j0, где г |. определяют множество евклидовых комплексных тензоров, а образующие тензорного произведения имеют вид:
ец = <Ji ®/® • • -®/, e2i = I®<Ji ® J® • • • ® I, ... eni = J® • • -®/®(Щ, (1)
где Oi - матрицы Паули, Представление образующих (1) изоморфно представлению Брауэра-Вейля [6], в котором алгебра Клиффорда ранга п над полем комплексных чиеел(С„ ~ М2п(С)) рассматривается как n-мерное неприводимое представление группы >7,(2: С) ~ Spin. (1.3). полученное в результате тензорного произведения фундаментальных представлений той же группы. Напомним, что фундаментальное представление группы >7,(2: С) действует в 2мерном комплексном пространстве С2 (пространство 2-спиноров в формализме Ван дер Вардена [19]), ассоциированным с алгеброй Q ~ М2(С), С другой стороны, в силу изоморфизма СД$ ~ Q тензорное произведение СД$ ® • • • ® индуцирует произведение Q ® • • • ® С2, на котором, в свою очередь, действует
группа Брауэра-Уолла /Л Г - ~ Z2 [7,20] (под групповой операцией здесь понимается тензорное произведение двух алгебр С_>). Группа /Л Г • ~ Z2 и связанная с ней периодичность по модулю 2 комплексных алгебр Клиффорда приводят к одному замечательному соотношению для алгебры Дирака, С4 ~ СД © СД т,е, алгебра Дирака изоморфна тензорному произведению двух алгебр Паули.
С конечномерными представлениями группы SL(2; С) тесно связано понятие физического поля. В согласии е интерпретацией Вигнера [21] элементарная частица описывается некоторым неприводимым конечномерным представлением группы Пуанкаре, Двукратное накрытие группы Пуанкаре изоморфно по. (упрямому произведению SL(2; С) © Г(4), или Spin. (1.3) © Т(4), где Г(4) -подгруппа четырехмерных трансляций. Пусть ф(х) - физическое поле, тогда при преобразовании (о, Л) группы Пуанкаре поле ф(х) преобразуется по следующему правилу
ф'ти(х) = - о)), (2)
V
где а, Е Г(4), о Е SL(2; С), Л - преобразование Лоренца, а Э(а) - представление группы SL(2; С) в некотором пространстве представления S2/b+r (епинпроетран-стве). Поскольку группа Т(4) абелева, то все ее представления одномерны. Таким образом, все конечномерные представления группы Пуанкаре, по существу, эквивалентны представлениям ©(о-) группы SL(2; С), Если представление ©(о-) приводимо, то спинпространство S2k+r разлагается в прямую сумму неприводимых подпространств, т,е, можно выбрать в S2/b+r такой базис, в котором все матрицы ©(о-) примут «ящичный» вид. Тогда поле ф(х) сводится к некоторому числу полей, соответствующих полученным неприводимым представлениям группы SL(2; С), каждое из которых преобразуется независимо от остальных, и можно считать ф(х) набором полей более простого строения с меньшим числом компонент. Эти более простые поля, очевидно, соответствуют неприводимым представлениям !Э(<т). Как известно [2, 3, 5], полная система неприводимых представлений группы SL(2; С) реализуется в пространстве Svm^^ С S2/=+r симметрических спинтензоров, размерность которого равна (А; +l)(r +1), Представление группы SL(2; С) такими спинтензорами неприводимо и обозначается символом '(ег). где 2j = к, 2j' = г и числа j и j'. задающие спин, являются целыми или полуцелыми. Тогда поле ф(х), преобразующееся по формуле (2), является, в общем случае, полем типа Все поля сводятся, таким образом,
к полям этого типа, математическое описание которых требует знания матриц представлений Юш>)( о). В физике, как правило, используются следующие два типа полей: 1
1) Поле типа (j, 0), Структура данного поля(или поля (0,j')) описывается представлением (а) (ЗУ0’-7 ^(а)), которое реализуется в пространстве Syrn^^ С S2к (Sym(0jJ.) С S2r), При этом, с полем типа (j, 0) (соответственно (0,/)) ассоциирована алгебра ~ Q ® Q ® • • • ® Q (соотв, Сг~Сг © С2 ® • • • ® Сг)-Тривиальный случай j = 0 соответствует скалярному полю Паули-Вайскопфа, описывающему скалярные частицы. Далее, при j = j' = 1/2 имеем поле Вейля, описывающее нейтрино. При этом антинейтрино описывается фундаменталь-
ным представлением зД1/2’0)^ = о группы SL(2; С) и связанной е этим представлением алгеброй С2. Соответственно, нейтрино описывается сопряженным
представлением зД0’1/2)^ и алгеброй Сг- В связи е этим, можно сказать, что поле нейтрино является, в некотором смысле, наиболее фундаментальным физическим полем, т.е. своего рода основным строительным кирпичом, из которого посредством прямой суммы или тензорного произведения строятся все остальные физические поля,
2) Поле типа (j, 0)® (0, j). Структура данного поля допускает пространственное отражение и, таким образом, описывается удвоенным представлением группы SL(2; С), Представление 33 ^ ф 3^°’^ реализуется в пространстве Svm^^ С S2-2k. Алгеброй Клиффорда, ассоциированной с этим представлением является
произведение Q^® С 2fc~ С2®С2®"-®С2®С2®С2®-"®С2- В простейшем
случае, при j = 1/2 получим биспинорное (электрон-позитронное) поле Дира*
ка (1/2,0) ф (0,1/2) с алгеброй Q® Сг~ Q- При j = 1 имеем поле Максвелла
(1.0) ф (0,1) с алгеброй С4® С4~ С2 ®Сг® С2 ® Сг; ПРИ этом электромагнитное
*
поле задается комплексными линейными комбинациями F = Е — /Н. F= Е—/Н. Уравнения Максвелла в спинорном виде впервые были записаны Уленбеком и Лапортом в 1931г. [16]. Кроме того, алгебра, ассоциированная с полем Максвелла является тензорным произведением алгебр С_>. соответствующих нейтринным полям, В связи с этим интересно вспомнить нейтринную теорию света, предложенную Иорданом в 1928г, [15], в которой электромагнитное поле строится из двух полей нейтрино (см, также статью Двоеглазова [9] о нейтринной теории света и имеющуюся там обширную литературу по этой тематике).
Отметим два важных обстоятельства, возникающих в связи с рассмотренными выше неприводимыми представлениями группы SL(2; С) и ассоциированными с этими представлениями алгебрами Клиффорда, Первое обстоятельство связано с интерпретацией Вигнера, А именно, связь конечномерных представлений группы SL(2; С) с комплексными алгебрами Клиффорда позволяет существенно расширить интерпретацию Вигнера в плане использования теории клиффордовых алгебр при изучении пространственно-временных (а также и внутренних) симметрий элементарных частиц. Второе обстоятельство связано со спином. Обычно, алгебра Клиффорда ассоциируется с полуцелым спином, соответствующим фермионным полям, так называемым «полям материи», в то время как поля с целым спином (бозонные поля) выводятся за рамки алгебраического описания. Однако, данная несимметричная ситуация ничем не оправдана, поскольку поля с целым спином имеют естественное описание в рамках епин-
тензорных представлений четного ранга группы Лоренца и ассоциированных
*
с этими представлениями алгебр вида Сгй® С2fc, где к - четно (пример поля Максвелла), К этому следует добавить, что обобщение вопроса о связи спина со статистикой в рамках клиффордовой статистики было недавно предложено Финкелыптейном и сотрудниками [10,11].
2. Псевдоавтоморфизм ЛдДи зарядовое сопряжение
Поскольку все физические поля, так или иначе, определяются в рамках неприводимых конечномерных представлений группы SL(2; С), то определение дискретных симметрий (пространственного отражения Р, обращения времени Т и комбинации РТ) на пространства представлений группы Лоренца имеет первостепенное значение,
В недавней статье [17] показано, что инверсия пространства Р, обращение времени Т и их комбинация РТ соответствуют фундаментальным автоморфизмам А —>■ А* (инволюция) ,А —>• А (обращение) и Л 4 А* (сопряжение) алгебры Клиффорда С£. Более того, существует изоморфизм между дискретной подгруппой {1, Р, Т, РТ} - 7/j-, : 7/j-, (Р2 = Т2 = (РТ)2 = 1, РТ = ТР) ортогональной группы 0(p,q) и группой автоморфизмов Aut(С£) = {Мд, ~ ,*}:
(3)
Далее, в случае Р2 = Т2 = (РТ)2 = ±1 и РТ = ^ТР имеет место изоморфизм между группой {1, Р,Т, РТ} и группой автоморфизмов Aut(С£) = {I, W, Е, С}, Спинорные представления фундаментальных автоморфизмов алгебр С„ были впервые получены Рашевским в 1955г, [4]: 1) Инволюция: А* = WAW-1, где W -матрица автоморфизма * (матричное представление максимального базисного элемента ш); 2) Обращение: А = ЕАТЕ где Е - матрица антиавтоморфизма ~, удовлетворяющая условиям SiE — ЕSJ = 0 и Ет = ( —I)-^ Е, здесь Si = д(щ) - матричные представления образующих алгебры С£р 3) Сопряжение: А* = САТС !, Где С = EWT - матрица антиавтоморфизма *, удовлетворяющая условиям С£т + SjQ = 0 и Ст = (— 1) 2 С, Например, для алге-
бры Дирака С4 в каноническом " -базисе существует стандартное представление Р = То and Т = 7i73 [1], следовательно, (1, Р, Т, РТ} = (1, д0,7Щ3,7о717з}-С другой стороны, группа автоморфизмов алгебры С4 для 7-базиса имеет вид Aut(C4) = {I, W, Е, С} = {1,7о71727з, 717з,7о72}- В [17] показывается, что (1, Р, Г. РТ} = (1,7о, 7i7з, 7о71Тз} — Aut(Ci) ~ '£\. где 7L | - комплексная группа с сигнатурой (+, —, —).
В общем случае, пространством конечномерного представления группы
SL(2; С) является спинпространство S2k+г, или минимальный левый идеал ал*
гебры СД® С2г- Следовательно, фундаментальные автоморфизмы алгебры *
СД® С2г, заданные в спинорном представлении, в силу изоморфизма (3) индуцируют дискретные преобразования на пространствах представлений (спинпространствах) группы Лоренца, Выделение минимального левого идеала комплексной алгебры С„ ~ С2 ® СД ® • • • ® СД индуцирует пространство конеч-
1 р т РТ
1 1 р т РТ
р р 1 РТ т
т т РТ 1 р
РТ РТ т р 1
Id ★ — ★
Id Id ★ ~ *
★ ★ Id * —
— — * Id ★
* * — ★ Id
номерного представления группы SL(2; С), Кроме того, е каждой алгеброй С„ ассоциировано комплексное векторное пространство С”, Пусть n = р + q, тогда операция выделения вещественного подпространства Rp,l? в пространстве С” лежит в основе определения дискретного преобразования, известного в физике как зарядовое сопряжение С. Действительно, пусть {еь ,,, ,е„} - ортобазие в пространстве С”, е2 = 1, Первыер векторов этого базиса оставим без изменения, а оставшиеся q векторов умножим на г, так что они станут мнимоединичными. Полученный базис
{®1, ■ ■ ■ ; ■ ■ ■ ; i^p+q} (4)
позволяет выделить Ш.1'-'1 в С”, А именно, за векторы Ш.1'-'1 следует принять те векторы С”, которые разлагаются по базису (4) с вещественными коэффициентами, Таким образом, получаем вещественное векторное пространство Rp,l?, снабженное, в общем случае, невырожденной квадратичной формой
Q(x) = х( + х2 +... + х2- х2+1 - х2+2 - ... - x2+q,
где |., xp+q - координаты вектора х в базисе (4), Далее, составляя базисные элементы, разложение которых по образующим еь ..., ер, iep+1,..., iep+q обладает вещественными коэффициентами, мы видим, что выделение Rp',/ в С” вызывает выделение вещественной подалгебры С1РЛ в С„. Следовательно, любой элемент А (г С„ можно однозначно представить в виде
А = А\ + iAcii
где А|. A-j (г Ctp.q. Отображение
А у А= А\ 1А2 (5)
переводит алгебру С„ в себя взаимно однозначно и с сохранением операций сложения и умножения элементов А; операция умножения элемента на число переходит в операцию умножения на комплексно-сопряженное число. Всякое отображение С„ на себя, обладающее перечисленными свойствами, называется псевдоавтоморфизмом. Таким образом, выделение Rp,l? в С” индуцирует в С„ псевдоавтоморфизм А —>• А [4],
Рассмотрим спинорное представление псевдоавтоморфизма А —>• А алгебры Сп при п = 0 (mod 2), В спинорном представлении каждый элемент А Е Сп будет представлен некоторой матрицей А, а псевдоавтоморфизм (5) примет вид псевдоавтоморфизма полной матричной алгебры М2п/г
А —у А,
С другой стороны, преобразование, при котором каждая матрица А заменяется комплексно-сопряженной, А —у А, также является псевдоавтоморфизмом алгебры М2п/г. Последовательное выполнение двух псевдоавтоморфизмов А —у А и А А. А А А. приводит к внутреннему автоморфизму А —у А полной матричной алгебры М2„/г, или
А = ПАП-1
(6)
где П - матрица пеевдоавтоморфизма Л —У Л в спинорном представлении. Достаточным условием для определения пеевдоавтоморфизма Л —У Л является выбор матрицы П таким образом, чтобы преобразование А —у ПАП-1 переводило в себя матрицы £ъ ... ,£р, i£p+i,..., i£p+q, образующие спинбазис вещественной подалгебры С£РФ т.е.
Д—5>Д = ПДП ' (г = 1,... ,р + q). (7)
Теорема 1. Пусть С„ - комплексная алгебра Клиффорда при п = 0 (mod 2) и пусть С£РЛ С С„ - подалгебра с вещественным кольцом деления К ~ R при р — q = 0, 2 (mod 8) и кватернионным кольцом К ~ Н при р ^ q = 4,6 (mod 8), п = р + q. Тогда в спинорном, представлении алгебры Сп матрица П пеевдоавтоморфизма Л —У Л в зависимости от структуры колец делений вещественной подалгебры С£РЛ им,ест следующее строение:
1) К ~ R, р ^ q = 0,2 (mod 8).
Матрица П для, любого спинорного представления над кольцом К ~ R пропорциональна, единичной матрице.
2) К ~ Н, р — q = 4, 6 (mod 8).
П = £ai£a,1 •••£аа при о = 0 (mod 2) и П = £р1£р2 ■■■£(% при 6=1 (mod 2), где а, матриц £а, и b матриц £ps образуют базис спинорного представления алгебры С£РЛ над кольцом К~Н, а, + b = р + q, 0 < t Д а, 0 < s Д 6. При, этом,
ПП = I при а, 6 = 0,1 (mod 4),
ПП = —I при о, 6 = 2,3 (mod 4),
где I - единичная матрица.
Доказательство.
1) К ~ R.
Поскольку для типов р — q = 0,2 (mod 8) имеет место изоморфизм С£р,я ~ IV^p+g (R) (теорема Веддербарна-Артина), то все матрицы Д спинбазиса алгебры
С£РЛ вещественны и Д = Д. Следовательно, в этом случае уеловие(7) запишется
Д —у Д = ИДИ
откуда ДП = ПД, Таким образом, для алгебр С£РЛ типов p^q = 0, 2 (mod 8) матрица П пеевдоавтоморфизма Л —У Л коммутирует со всеми матрицами Д, Легко видеть, что такой матрицей может быть только единичная матрица, II ~ I.
2) К ~ Н,
В свою очередь, для кватернионных типов p^q = 4, 6 (mod 8) имеет место изоморфизм С£РЛ — М2£+£(Н), Следовательно, среди матриц спинбазиса алгебры
С£р,я встречаются матрицы Д, для которых Д, = —Д,. Пусть о - число комплексных матриц, тогда спинбазис разбивается на два подмножества, в первом подмножестве {£at = —£at содержатся комплексные матрицы, 0 < t Д о, во втором
подмножестве {£ps = ЕрД содержатся вещественные матрицы, 0 < s ^ p + q^a. В соответствии со структурой епинбазиеа алгебры Ctv,q ~ M^p+g (Н) условие (7) запишется следующим образом
Eat —> -Zat = TlSatU-\ £ps —у £ps = ШрД-1.
Откуда
£а(П = — П£1;. £ 1,11 = П £ps. (8)
Таким образом, для кватернионных типов р — q = 4, 6 (mod 8) матрица П псевдоавтоморфизма Л —У Л антикоммутирует с комплексной частью епинбазиеа алгебры С1РЛ и коммутирует с вещественной частью того же епинбазиеа. Из (8) следует, что строение матрицы П будет аналогично строению матриц Е и С соответственно антиавтоморфизмов А —У Л и А —У А* (см, теорему 4 в [18]), т.е. матрица П псевдоавтоморфизма А —У А алгебры СД является произведением только комплексных матриц или только вещественных матриц.
Итак, пусть 0 < a < р — q п пусть П = £ai£a,2 ■ ■ • £Ua - матрица псевдоавтоморфизма А —У А, тогда условия перестановочности матрицы П с матрицами £ps вещественной части епинбазиеа (0 < s ^ р + g - а) и с матрицами £at комплексной части (0 < t ^ о) имеют вид
ika = мгад (9)
L1L'at = (-1 Дго(аг)£а1£а2 ■ ■ ■ £П! , сД,, , • • •£ ^OLa 5
£ П L'atL1 = Д\Д1о(щ)£а1£а2 ■ ■ ■ Eat^Eat+i ' • •£ °«а5 (10)
т.е, при о = 0 (mod 2) П коммутирует с вещественной частью епинбазиеа и антикоммутирует с комплексной частью. Соответственно, при о = 1 (mod 2) П антикоммутирует с вещественной частью и коммутирует с комплексной. Далее, пусть П = £рг£р2 ‘ “ £pP+q-a ~ произведение вещественных матриц епинбазиеа, тогда
П£А = (-Г-“Д(А)Д^щД,Д+щД+га,
£/дП = {-l)s~l<y{Ps)Zp1£p2---£ps_1£ps+1---£pv+q_a, (и)
n£at = Д1у+ч-а£аД, (12)
т.е, при р + q — а = 0 (mod 2) матрица П антикоммутирует с вещественной частью епинбазиеа и коммутирует с комплексной частью. Соответственно, при p+q^a = 1 (mod 2) П коммутирует с вещественной частью и антикоммутирует с комплексной частью.
Сравнение условий (9) (10) с условием (8) показывает, что матрица П = £а\£а2''' £аа может существовать только при о = 0 (mod 2), т.е, П является произведением четного числа комплексных матриц £at:. В свою очередь, сравнение условий (11)—(12) с (8 показывает, что матрица П = £рг£р2 • • •£р + может существовать только при р + q — а = 1 (mod 2), т.е, в этом случае П является произведением нечетного числа вещественных матриц £ps,
Подсчитаем теперь ПП, Пусть П = £[у£р2 • • • £р + - произведение нечет-
ного (р + q — а) числа вещественных матриц. Поскольку для всех £ps = £ps, то П = П и ПП = 112. Следовательно,
ПП = (£fh£fh ■ ■ ■ S^q_af = . I. (13)
Далее, пусть П = £,,,£,,.. ■ ■ ■ Д,„ - произведение четного числа комплексных матриц, Тогда £,,. = —£at и П = (— 1)" 11 = П, поскольку о = 0 (mod 2), Следовательно,
ПП = {£ai£a, • • • £aaf = (-1)^ • I. (14)
Пусть р + q — a = b - число вещественных матриц £ps спинбазиса алгебры С1РФ тогда р + q = a + b, а поскольку р + q всегда четное число для кватернионных типов р — q = 4, 6 (mod 8), то о и Ь одновременно четные или нечетные числа. Таким образом, из (13) и (14) следует
^ _ | I, если о, 6 = 0,1 (mod 4),
1 —1, если о, 6= 2,3 (mod 4),
что и доказывает теорему, ■
Таким образом, выделение в Сп подалгебры С1РЛ с вещественным кольцом К ~ R, р ^ q = 0,2 (mod 8), соответствует физическим полям, описывающим истинно нейтральные частицы, такие как фотон и нейтральные мезоны (•7Г0, р°, р°, и>°, (р°, К0). В свою очередь, подалгебры Civ.q с кольцом К ~ Н, р — q = 4, 6 (mod 8) соответствуют заряженным или нейтральным полям,
3. Фактор-представления группы Лоренца
Из первого комплексного типа п = 0 (mod 2) строятся все физические поля, используемые в квантовой теории поля и связанные с ними представления
группы SL(2; С): (СД), ® (Qfe® Сгй)- В то время как вто-
рой комплексный тип n = 1 (mod 2) практически никогда не использовался в физике, В согласии с [17] имеет место изоморфизм £СД ~ ХМ2*. Следовательно, спинпространство eS2k, индуцируемое фактор-алгеброй £СД, является пространством фактор-представления х1)^’0Цо) группы SL(2; С), Аналогично,
фактор-представление хЗУ0’-7 ■'(о-) реализуется в пространстве eS2r, индуциру-
*
емом фактор-алгеброй £ С2г- В общем случае, имеем фактор-представление
x£)(jj')((T), задаваемое тензорным произведением £СД ® £ £.2г. Таким образом, комплексному типу п = 1 (mod 2) соответствует полная система неприводимых конечномерных фактор-представлений х \о) собственной группы Лоренца SL(2; С), Следовательно, до сих пор в физике использовалась только одна половина (п = 0 (mod 2)) всех возможных конечномерных представлений группы Лоренца, Структура фактор-представлений и ее связь с дискретными симметриями дается следующей теоремой.
Теорема 2. Пусть А—У А, А А*, А А - автоморфизмы нечетномерной комплексной алгебры Клиффорда C„+i типа п + 1 = 1,3 (mod 4), соответствующие дискретным, преобразованиям, С, Р, Т (зарядовое сопряжение, инверсия прост'ранства, обращение времени), и пусть еСп - фактор-алгебра, получающаяся в результате гомоморфного отображения е : C„+i —У СД. Тогда, структура, фактор-представлений группы Лоренца, определяемая, строением, фактор-алгебр еСп, подразделяется, в зависимости от спина j, на, следующие шесть классов:
I)1®!;!'» : {Т,с~ц,
j - целое (п = 0 (mod 4)) 2) х (а) : {Т, С},
3 )х®1т(а) : {Т,СР},
4 )хЭр)(^) : {РТ,С},
j - полуцелое (п = 2 (mod А)) 5) х Э^0) (а) : {РТ, CP ~ IP, СТ ~ IT},
6)хэ20)(а) : {РТ, CP, СТ}.
Соответственно для полей вида (j, 0) ф (0,j) существуют следующие шесть классов:
где class = {ai, а2, b, с, еф, d2}.
Доказательство. Структура фактор-алгебры £С„ зависит от переноса автоморфизмов А —ь А?, А -у- А, А —ь А*, А ^ А алгебры C„+i под действием гомоморфизма е на подалгебру С„. Действие гомоморфизма е определяется следующим образом:
6 : А^ A еизА? —у А^ А А^, где А1, А2 е Сп, ш = е12...п+ъ а
{1, если п А 1 = 1 (mod 4),
/. если п А 1 = 3 (mod 4);
так что (еш)2 = 1. При этом еш —у 1 и фактор-алгебра имеет вид
£С„ ~ C„+i/ Кег с,
где Кегб = {А1 — ей А1} - ядро гомоморфизма е.
Для переноса антиавтоморфизма А —У А из C„+i в С„ необходимо, чтобы
ш = еиз. (15)
Действительно, поскольку под действием гомоморфизма е элементы 1 и еш одинаково отображаются в единицу, то и преобразованные элементы 1 и еш также должны отображаться в 1, но 1 = 1 —У 1, а еш = Аеш —У ±1 в силу
~ . "(д-1)
и) = (—1) 2 и:, откуда
со =
U),
—и),
если п А 1 = 1 (mod 4); если п А 1 = 3 (mod 4).
tie)
Следовательно, под действием гомоморфизма е антиавтоморфизм А —>■ А переносится из С„+1 в С„ только при п = 0 (mod 4),
В свою очередь, для переноса автоморфизма А —>• А* необходимо выполнение условия (еш)* = еш. Однако, поскольку элемент оо нечетен и оо* = ( —1 )”+1ш, то имеем всегда
оо* = -00. (17)
Таким образом, автоморфизм А -Д А* никогда не переносится из C„+i в С„, Далее, для переноса антиавтоморфизма А —>• А* из C„+i в С„ необходимо, чтобы _________
(еш)* = £00. (18)
Легко видеть, что условие (18) удовлетворяется только при n + 1 = 3 (mod 4), поскольку в этом случае из второго равенства (16) и (17) имеем
(еш)* = еш* = —еоо* = еш.
Следовательно, под действием гомоморфизма е антиавтоморфизм А —>• А* переносится из С„+1 в С„ только при п = 2 (mod 4),
Пусть n + 1 = р + q. Определяя в C„+i базис {су.... ,ер, iep+1,,,,, iep+q}, выделим вещественную подалгебру С1РЛ, где при р — q = 3,7 (mod 8) имеет место комплексное кольцо деления К ~ С, а при р — q = 1 (mod 8) и р — q = 5 (mod 8) соответственно двойное вещественное кольцо I ~ 1§1 и двойное кватернионное кольцо К ~ НфН, Произведение еiе-_> • • -epiep+1 • • • iep+q = iqoo e C„+i задает максимальный базисный элемент вещественной подалгебры С1РЛ, при этом (i'Ko) = iqoo, т.е. (—i)qoo = iqoo, откуда
ш = (—1)^ш, (19)
При q - четном, из (19) имеем ш = ш и, следовательно, псевдоавтоморфизм А —>• А переносится при q = 2 (mod 2), а поскольку р + q - нечетное число, то всегда р = 1 (mod 2), Более подробно, при n + 1 = 3 (mod 4) псевдоавтоморфизм А —>• А переносится из C„+i в СД, если вещественная подалгебра С1РЛ обладает комплексным кольцом К~С, р ^ q = 3,7 (mod 8), и не переносится (ш = —оо, q = 1 (mod 2), р = 0 (mod 2)) в случае подалгебр С1РЛ с двойными кольцами 1~1®1иК~ВфВ, р — q = 1,5 (mod 8), В свою очередь, при п + 1 = 1 (mod 4) псевдоавтоморфизм А —>• А переносится из C„+i в С„, если подалгебра С1РЛ имеет тип р — q = 1,5 (mod 8), и не переносится в случае подалгебр С1РЛ с р — q = 3,7 (mod 8), Кроме того, в силу (17) при n + 1 = 3 (mod 4) с р — q = 1,5 (mod 8) и при п + 1 = 1 (mod 4) с р — q = 3, 7 (mod 8), псевдоавтоморфизм А —>• А*, являющийся композицией псевдоавтоморфизма А -Ф А и автоморфизма А —>• А*, переносится из C„+i в С„, поскольку
Ш* = 00.
Далее, в силу второго равенства (16) при п+1 = 3 (mod 4) с p — q =1,5 (mod 8)
из C„+i в Сп переносится псевдоантиавтоморфизм А А, являющийся композицией псевдоавтоморфизма А —>• А и антиавтоморфизма А —>• А, поскольку
00 = 00.
Найденные выше условия для переноса фундаментальных автоморфизмов алгебры С„+1 на ее подалгебру С„ под действием гомоморфизма е позволяют явным образом определить структуру фактор-алгебр £С„,
1) Фактор-алгебра €€Г1, п = 0 (mod 4),
Как было показано выше, в случае п + 1 = 1 (mod 4) из C„+i в С„ переносятся антиавтоморфизм Л —>• Л, псевдоавтоморфизм А —>■ Л, если подалгебра С£РЛ С С„+1 обладает двойными кольцами К ~ 1®1, К ~ НфН (р - q= 1,5 (mod 8)), а также псевдоавтоморфизм А —>• А*, если подалгебра С£РЛ имеет комплексное кольцо К~С(р^ц = 3,7 (mod 8)), Легко видеть, что в зависимости от типа подалгебры С£РуЯ, структура фактор-алгебр £С„ данного типа подразделяется на два существенно различных класса:
a) Класс фактор-алгебр £С„, содержащий антиавтоморфизм А —>• А и псевдоавтоморфизм А —>• А. Очевидно, что в зависимости от кольца деления подалгебры С£РЛ С C„+i, данный класс подразделяется еще на два подкласса:
01) £С„ с А —>• А, А —>■ А при С£РЛ с кольцом К ~ 1 ф 1, р ^ q = 1 (mod 8),
02) £С„ с А —>• А, А —>■ А при С£р.яс кольцом К ~ I ® I, р ^ q = 5 (mod 8),
b) Класс фактор-алгебр £С„, содержащий антиавтоморфизм А —>• А и псевдоавтоморфизм А —>• А*, если подалгебра С£РЛ С C„+i имеет кольцо К ~ С, р — q = 3, 7 (mod 8),
2) Фактор-алгебра €€ri, n = 2 (mod 4),
В случае n+1 = 3 (mod 4) из C„+i в C„ переносятся антиавтоморфизм А —>• Л*, псевдоавтоморфизм Л —>• Л, если подалгебра С£РЛ С C„+i обладает комплексным кольцом К~С(р^ц = 3,7 (mod 8)); псевдоавтоморфизм Л —>• Л* и
псевдоантиавтоморфизм Л —>• Л, если подалгебра имеет двойные кольца К ~ R©R, К ~ Н®Н (p^q= 1,5 (mod 8)), В зависимости от типа С£РЛ С C„+i фактор-алгебры ' С„ данного типа подразделяются на следующие два класса:
c) Класс фактор-алгебр £С„, содержащий антиавтоморфизм Л —>• Л* и псевдоавтоморфизм Л —S Л, если подалгебра С£РЛ имеет кольцо К ~ С, р ^ q = 3,7 (mod 8).
d) Класс фактор-алгебр £С„, содержащий антиавтоморфизм Л —>• Л*, псевдоавтоморфизм Л —>• Л* и псевдоантиавтоморфизм Л —>• Л. При этом, в зависимости от структуры колец делений подалгебры С£РФ различаются два подкласса:
Ф ) £С„ с ЛЛ*, Л —У Л* и Л —У А при С£РЛ с кольцом К ~ R ф R, р ^ q = 1 (mod 8).
с/2) £С„ с Л-^ Л*, Л —У Л* и Л -> Л при С£РЛ с кольцом К ~ i ф I, р ^ q = 5 (mod 8).
Таким образом, имеем 6 различных классов фактор-алгебр ' С„. Далее, в согласии с [17] автоморфизм Л —У А* соответствует пространственному отражению
Р, антиавтоморфизмы А -4- А и А -4- А* задают соответственно обращение времени Т и полное отражение РТ, а псевдоавтоморфизм А -4 А соответствует зарядовому сопряжению С. Учитывая эту связь, лежащую в основе алгебраической схемы описания дискретных симметрий, а также принимая во внимание тот факт, что с каждой фактор-алгеброй £С„ ассоциировано некоторое факторпредставление собственной группы Лоренца SL(2; С), мы приходим к утверждению теоремы, ■
4. Фактор-представление \ Х)|(,л/2)((т) и поле нейтрино
Анализируя фактор-представления группы Лоренца, приведенные в теореме 2, мы видим, что для описания нейтринного поля подходит только представление класса с при j = 1/2, допускающее полное отражение РТ и зарядовое сопряжение С (четность Р не определена). Действительно, первые три класса a|. </■> и b исключаются, поскольку j - целое, В свою очередь, каждый из классов di и d,2 допускает преобразование СТ, которое в согласии с СРТ-теоремой, эквивалентно пространственному отражению Р, являющемуся, как известно, запрещенной операцией для нейтринного поля. Итак, спину j = 1/2 еоответ-ствует алгебра Сз, являющаяся простейшей алгеброй типа п + 1 = 3 (mod 4), В согласии с теоремой 2 под действием гомоморфизма е : Сз -4 СД на подалгебру С2 переносятся антиавтоморфизм А -4 *4* и псевдоавтоморфизм Л-эА При этом, вещественная подалгебра СЗДо С Сз имеет комплексное кольцо К ~ С, р ^ q = 3 (mod 8), и, следовательно, матрица П псевдоавтоморфизма А -4 А не является единичной, что в согласии с теоремой 1 соответствует заряженным иди нейтральным полям. Далее, в силу изоморфизма С2 — ОДо ~ ОД3 (ОД3 -алгебра пространства-времени) спинорное поле фактор-представления х З^0,17,2^ выражается через поле Дирака-Хестенса ф(х) е С£3,0 [13]. Поскольку ф Е ОД3,
то действие антиавтоморфизмов Л 4 Л и Л 4 А* на поле ф(х) эквивалентны, С другой стороны, в согласии с интерпретацией Фейнмана-Штюкельберга обращение времени для кирального поля эквивалентно зарядовому сопряжению (обращенные во времени частицы являются античастицами). Следовательно, нейтральное спинорное поле ф(х) Е Х31^0,1/,Д описывающее нейтрино, для которого С ~ Т, является СР-инвариантным и удовлетворяет уравнению Вейля-Хестенса дф(х)721 = 0, Соответственно, поле антинейтрино ф(х) Е х удовлетворяет уравнению
дф(х)721 = 0 —У 114г(./•)''-л II 1 = О,
Литература
1. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика,. М.: Наука, 1989.
2. Гельфанд II.M.. Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы Лоренца, их применения. М.: Физматлит, 1958.
3. Наймарк М.А. Линейные представления, группы Лоренца. М.: Физматлит, 1958.
4. Рашевский П.К. Теория спиноров // Успехи мат. Наук. 1955. Т.10. №2. С.3-110.
5. Румер Ю.Б., Фет А.И. Теория групп и квантованные поля. М.: Наука, 1977.
6. Brauer R., Weyl Н. Spinors in п dimensions // Amer. J. Math. 1935. V.57. P.425-449.
7. Budinich P., Trautman A., The Spinorial Chessboard. Springer, Berlin, 1988.
8. Buchbinder I.L., Gitman D.M., Shelepin A.L., Discrete symmetries as automorphisms of proper Poincare group j j preprint hep-th/0010035 (2000).
9. Dvoeglazov V.V. Speculations on the Neutrino Theory of Light, // Annales de la Fondation de Louis de Brogle. 1999. V.24. №1—4. P.111-128.
10. Finkelstein D., Galiautdinov A. Clifford statistics j j preprint hep-th/0005039 (2000).
11. Baugh J., Finkelstein D.R., Galiautdinov A., Sailer H., Clifford algebra as quantum language // preprint hep-th/0009086 (2000).
12. Gitman D.M., Shelepin A.L. Fields on the Poincare Group: Arbitrary Spin Description and Relativistic Wave Equations j j preprint hep-th/0003146 (2000); Int. J. Theor. Phvs. (to appear).
13. Hestenes D. Real spinor fields // J. Math. Phvs. 1967. V.8. P.798-808.
14. Holland P.R. Causal interpretation of a system, of the two spin-1/2 particles j j Phvs. Rep. 1988. V.169. P.293-327.
15. Jordan P. Egreb. Exakt. Naturw. 1928. V.7. P.158.
16. Laport O., Uhlenbeck G.E. Application of spinor analysis to the Maxwell and Dirac equations // Phvs. Rev. 1931. V.37. P.1380-1397.
17. Varlamov V.V. Fundamental Au,t,om,orph,i,sm,s of Clifford Algebras and an Extension of Dqbrowski Pin Groups j j Hadronic Journal. 1999. V.22. P.497-535.
18. Varlamov V.V. Discrete Symmetries and Clifford Algebras j j Int. J. Theor. Phvs. 2001. V.40. №4. P.167-203.
19. Van der Waerden B.L. Spinoranalyse ii Nachr. d. Ces. d. Wiss. Gottingen. 1929. P.100-109.
20. Wall C.T.C Graded Brauer Groups // J. reine und angew. Math. 1964. V.213. P.187199.
21. Wigner E.P. On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group // Ann. Math. 1939. V.40. P.149-204.
22. Wigner E.P. Unitary Representations of the Inhomogeneous Lorentz Group Including Reflections in Group Theoretical Concepts and Methods in Elementary Particle Physics. Ed. F. Giirsey Gordon k, Breach, New York, 1964.
