CC BY
20
Подготовка педагога к инновационной деятельности должна осуществляться по
двум направлениям:
- формирование инновационной готовности к восприятию новизны;
- обучение умению действовать по-новому.
Особое значение в организации инновационной деятельности имеет учебно-
познавательная деятельность учащихся и ее управление.
Список литературы
1. Азизходжаева Н. Педагогик технология ва педагогик мадорат. Т.: 2006 62-70 бетлар.
2. Амиров Н.И., Бахридинова Д.М., Келдиёрова М.Г. Необходимость развития креативно-творческих способностей у педагогов ADVANCED SCIENCE: сборник статей VII Международной научно-практической конференции. Пенза: МЦНС «Наука и Просвещение», 2019. С. 177.
3. Рахимов З.Т. Активизация познавательной деятельности и развитие критического мышления студентов в процессе обучения. Научно-методический журнал / Проблемы современной науки и образования. Издательство «Проблемы науки», 2019. № 3 (136). С. 42.
4. Рахимов З.Т., Явкочдиева Д.Э. Педагогическое мастерство и методы педагогического воздействия. Научно-методический журнал - Наука, техника и образование, 2020. № 4 (68). С. 87-88.
5. Рахимов З.Т. Применение технологии сотрудничества в процессе подготовки будущего педагога профессионального образования. Ежемесячный научный журнал «Молодой учёный». Май, 2012. № 5 (40). С. 486.
6. Рахимов З.Т. Способы управления настроением и психическим состоянием педагога в процессе обучения. Издательство «Проблемы науки». Журнал Вестник науки и образования, 2020. № 6 (84). часть 1. С. 67.
7. Рахимов З.Т., Салимова Н.Ш., Келдиёрова М.Г. Обучение будущих учителей профессионального образования к применению интерактивных методов и технологий. Инновационные технологии в науке и образовании: сборник статей XI Международной научно-практической конференции. Пенза: МЦНС «Наука и просвещение», 2019. С. 181.
8. Рахимов З.Т. Педагогическая техника как составная часть педагогического мастерства. Научно-методический журнал Проблемы педагогики, 2020. № 2 (47). С. 90.
9. Фарберман Л. Илгор педагогик технологиялар. Т., 2000. 19 б.
10. Шодмонов Ш., Баубекова Г., Халикова Г. Инновационные методы обучения в экономическом образовании. Т.: Фан, 2003. С. 26.
11. Шамова Т.И. Активизация учения школьников. М.: Педагогика, 1982. 209 с.
12. Эркабоева Н. Янгиланган фикрларнинг модияти ва унинг устувор йуналишлари. // Халк таълими, 2005 йил, 6-сон, 19-20 бетлар.
ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ КВАТЕРНИОНОВ К ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ Айматова Ф.Х.
Айматова Фарида Хуразовна - старший преподаватель, кафедра общественно-гуманитарных и точных наук, Ташкентский государственный экономический университет, г. Ташкент, Республика Узбекистан
Аннотация: в данной статье анализируются комплексные числа и понятие кватернионов, а также рассматриваются четырехмерные гиперкомплексные числа, базисные векторы трехмерного пространства, сложение и произведение двух кватернионов есть кватернион, с помощью комплексных чисел можно решать многие математические задачи, например, уравнения, сопряженность кватернионов, равно наклоненность к ортам.
Ключевые слова: комплексные числа, кватернионы, четырехмерные гиперкомплексные числа, базисные векторы трехмерного пространства, равно наклонность.
Как известно комплексные числа являются обобщением действительных чисел. С помощью комплексных чисел можно решать многие математические задачи, например уравнение х2 + 1 = 0. Обобщением комплексных чисел являются так называемые кватернионы. Они представляют собой четырехмерные гиперкомплексные числа и записываются выражениями следующего вида I + Ъ • ] + с • к, где, a, Ь, сдействительные числа, i, ], k кватернионные единицы обладающие следующими свойствами , ,
]I = — к, к]' = — ¿, ¿к = —] (1 ) . Если интерпретировать i, ], k как базисные векторы трехмерного пространства, то кватернион можно разделить на скалярную часть 5 и векторную v = а•i + Ъ•] + с•k. Тогда (( = 5 + V. Сложение двух кватернионов определяется суммой соответствующих компонент. А произведение двух кватернионов производится при помощи обычных распределительных законов с учетом соотношений (1):
( = (1 • (2 = (Б1 + V1) • (52 + V2)=5^ + + S2V1 — V1V2 +V1XV2
где
Vl X v2 = ( Ъ 1С2 — с^) I + ^а 2 — а1С2 )] + (а^ — Ъ^ ) к.
Видно, что произведение двух кватернионов есть кватернион. Важной особенностью введенной операции умножения является некоммутативность.
Кватернион называется сопряженным по отношению
кватерниона (( = 5 + а^1 + Ъ^] + с^к. Непосредственно можно вычислить, что = I (I 2 = 52 + а 2 + Ъ 2 + с2. Для каждого ненулевого кватерниона существует обратный. Обратным по отношению кватерниону называется кватернион обладающий свойством . Обратный находится подобно
комплексным числам по формуле 1 = Для кватернионов имеет место
следующее утверждение.
Утверждение. Модуль произведения двух кватернионов равен произведению модулей сомножителей.
Из этого утверждения вытекает следующее алгебраическое тождество ^ + а±2 + Ъ2 + с12)(522 + а22 + Ь2 2 + с22) = (5^2 + ага2 + ЪгЪ2 + сгс2)2 + (51а2 + Ксг ~ - С1Й2)2 + (^Ьг + агс2 - Ь^ - сга2)2 + (б^ - ахЬ2 + Ь±а2 -с1б22.
Наиболее естественным способом, описывающим повороты в трехмерном пространстве, является использование операторов преобразования и соответствующих матриц. Однако использование кватернионов позволяет дать более простую форму этого поворота. Представление трехмерных вращений при помощи кватернионов удобно тем, что кватернион определяет непосредственно его геометрические характеристики: ось вращения и угол поворота. При обычном описании вращения при помощи матриц для определения оси вращения и угла поворота необходимо проделать некоторые вычисления, а при использовании кватернионов он находится естественным образом.
Обозначим: - поворот вокруг оси, со направленной с единичным вектором
v на угол <р. Тогда поворот R (v, ) можно представить кватернионом <2 = с оs — +
■ Ч> 1
vs i n — с модулем, равным 1.
В качестве примера рассмотрим последовательное применение двух поворотов: 1) поворот на 9 0 вокруг вектора /с, 2) поворот на 9 0 вокруг вектора у. Это преобразование можно представить в виде произведения двух кватернионов и . Тогда
ч 1 1 1 1
Q,Q2 = (cos45 + jsin45 )(cos45 + fcsin45 )=-+ у ■-+■-+i ■i ¿+; + /cV3 i+; + /c
= —H--—---= cos60 H--——sin60
2 V3 2
ri + / + к
-,120
= R
л/з
В результате этих двух поворотов получим поворот на 1 2 0 вокруг оси, равнонаклоненной к ортам I, ], k, причем нетрудно убедиться, что перемена порядка вращений 1 приведет к иному кватерниону.
В общем случае произведение вращает вектор на угол вокруг
единичного вектора V, где <2 = с о б ^ + го т
Также кватернионные модели и методы позволяет успешно решать проблемы регуляризации (устранения особенностей) дифференциальных уравнений движения, строить аналитические решения ряда нелинейных задач механики и управления движением, построение которых с помощью других моделей и методов является проблематичным; повышает эффективность численного решения ряда задач ориентации, навигации и управления движением.
Кватернион — гиперкомплексное число вида а = ао + ад + а^2 + а^3 = о, + а„, где о,, аь а2, а3 — действительные числа, называемые элементами или компонентами кватерниона; ^ — векторные мнимые единицы Гамильтона; о,, о — скалярная и векторная части кватерниона. Параболический бикватернион — гиперкомплексное число вида А = Ао + А^ + А^2 + А^3 = Ао + Ау, AJ = а, + sа0J , ) = 0, 1, 2, 3, s2 = 0, где а, , а0J — действительные числа, s — множитель (символ) Клиффорда (скалярная дуальная единица); AJ — компоненты бикватерниона (дуальные числа); А0, Ау — скалярная и винтовая части бикватерниона. Кватернионам соответствуют
кватернионные матрицы двух видов:
(а0 —а1—а2 — а3\ / а0 —а1—а2 —а3\
а0 -а3 а2 \ _ / аг а0 а3 -а2
«2 «з «о - «1 I , п = I «2 - «з «о «1
аъ а2 а± а0 / \ аъ а2 -аг а0.
а бикватернионам — бикватернионные матрицы М(А) и N(А) аналогичной структуры. « о.
Список литературы
1. ФадеевД.К. // Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984. 416 с.
2. Побегайло А.П. // Применение кватернионов в компьютерной геометрии и графике. Минск: БГУ, 2010. 216 с.
3. Камачкин А.М., Свиркина Л.А., Хитров Г.М. // Использование кватернионов для описания вращательного движения. Естественные и математические науки в современном мире/ сб. ст. по материалам XV междунар.науч.-практ.конф. № 2 (14) Новосибирск: изд. «СибАК», 2014. Стр. 88-114.
