ВРАЩЕНИЯ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ И КВАТЕРНИОНЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ф

И

З

И

К

О-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 512.7

Е.В. Кравчук

ВРАЩЕНИЯ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ И КВАТЕРНИОНЫ

В работе рассматриваются свойства кватернионов, их связь с векторами, применение кватернионов для описания поворотов в трехмерном пространстве.

Ключевые слова: комплексные числа, вектор, пространство.

Введение

Комплексные числа допускают векторную геометрическую интерпретацию на плоскости [1]. Поиск трехмерного обобщения компексных чисел привел к построению кватернионной алгебры. Ирландский математик и механик Уильям Роуэн Гамильтон пытался построить гиперкомплексые числовые системы используя упорядоченые тройки вещественных чисел, однако все они содержали делители нуля, то есть в них обязательно присутствовали такие пары чисел а, ¡3, для которых

а Ф 0, 3 Ф 0, а,р= 0. Отказавшись от комутативности ему удалось получить исторически первый пример некомутативной алгебры с делением - алгебру кватернионов. Свои исследования этой числовой системы Гамильтон изложил сначала в работе «О кватернионах, или О новой системе ценности в алгебре» (1844-1850 года), а потом в «Лекции о кватернионах» (1853 год).

Поскольку умножение кватернионов сочетает в себе два вида умножения векторов - скалярное и векторное, они являются хорошим средством для решения некоторых задач геометрии и механики [11]. Основные определения

Пусть Н - четырехмерное вещественное векторное пространство. Базис этого пространства обозначим через е = (1,0,0,0), г = (0,1,0,0), у = (0,0,1,0), к = (0,0,0,1) . Фактически г, у, к являются аналогами комплексной мнимой единицы. Упорядоченные четверки вещественных чисел из Н однозначно представляются в виде: а = а0е + а1/ + а2у' + а3к

и называются кватернионами [5, 8, 9].

Сложение кватернионов покомпонентное:

(а0е + а1/ + а2у' + а3к) + (Ъ0е + Ъг1 + Ъ2у + Ъък) =

= (а + Ь )е + (а + Ь )г+ (а + Ь) У + (а + Ь )к.

Умножение достаточно определить для базиса е, г, у, к :

е2 = е, ег = ге = г, еу = ]е = у, ек = ке = к;

•2 -2 >2

г = у = к = -е;

г] = к, ук = г, кг = у, у = -к, ку = -г, гк = - у.

Его можно распостранить по дистрибутивности на множество всех кватернионов.

© Кравчук Е.В., 2018.

Кватернион е является нейтральным элементом относительно умножения и в дальнейшем будет обозначаться символом 1, а вместо а ■ 1 будем писать просто а. Получаем общепринятую форму записи

кватернионов: а + +щ+ак-

Умножение ассоциативно, но некомутативно, поэтому Н полем не является.

Особенную роль играют кватернионы вида (а0,0,0,0): умножение на них совпадает с умножением кватернионов на вещественные числа. Естественно их отождествить с соответствующими вещественными числами и считать в дальнейшем, что поле вещественных чисел Я содержится в Н.

Также вполне естественно рассматривать произвольный кватернион как сумму двух кватернионов:

а = а0 + (аг + а2]' + а3к);

слагаемое а0 называют обычно действительной (скалярно) частью кватерниона, а ах1 + а2] + аък - его мнимой (векторной) частью.

Полученная таким образом алгебра Н называется алгеброй кватернионов с базисными элементами 1, г, ], к .

Как и в случае комплексных чисел, кватернион 4 = а — Ы — С] — dk называется сопряженным с кватернионом 4 = а + Ыг + С] + dk. Операция сопряжения имеет такие свойства:

Яг + Я2 = Яг + Я2

41 ■ 42 = Я2 ■ д.

Очевидно, сумма сопряженных кватернионов является вещественным числом. Произведение 44 также будет вещественным:

4 ■ 4 = (а + Ыг + С + dk) ■ (а — Ыг — С — dk) = а2 + Ы2 + с2 + d2.

Число 44 называют нормой кватерниона 4. Это неотрицательное вещественное число, которое равно нулю только для нулевого кватерниона. Модулем кватерниона 4 или абсолютным значением

кватерниона 4 называется число = Vа + Ь + С + d ; при этом выполняется равенство

— | |2 4 ■ 4 = 4 .

Для любого кватерниона 4 Ф 0 существует обратный элемент

—, а — Ыг — с] — dk 4 =-

2 , 1.2 , 2 ,2 ' а + Ы + с + d

Для кватернионов произведение зависит от перестановки множителей, поэтому для уравнений:

42х = 4 и Х42 = 4 ,(1)

решение первого назовем левым частным от деления 4 на 42 и обозначим хл, а решение

второго - правым частным Х .

Для решения уравнения (1) используем тот же прием, что и в случае комплексных чисел. Получим 1 — 1 — хл = Г~2■ 42 ■ 41- и Х = ГТ■ 41 ■ 42-

Ы 421

Связь кватернионов со скалярным и векторным умножением

Мнимую часть кватерниона а = а + (хг + у] + гк) можно рассматривать как трехмерный

р Р Р р Р Р р вектор Г = хг + у] + гк, где г, ], к - единичные базисные векторы.

Сложение скалярных и векторных частей кватерниона происходит независимо. Произведение скалярных кватернионов - скалярный кватернион. В том случае, когда 4 = а - скалярный кватернион, а 42 = г - векторный кватернион, их произведение 44 = а(хг + у] + гк) = (ах)г + (ау)] + (аг)к будет векторным кватернионом, и операция умножения совпадает с умножением соответствующего кватерниону вектора р на вещественное число а .

Рассмотрим детально умножение векторных кватернионов:

= + ух] + 2хк,

42 = Х21 + У2] + к

Для них 4 42 = -(Х1 Х2 + У1У2 + ) + (У - У2 У - (Х1 - Х2 )] + (Х1 У2 - У Х2 )к , или используя определители:

qq = -(х2 + y^ + z2) +

f У Z • i - X1 Z1 • j + X1 У1

V У2 Z2 X2 Z2 X2 У 2

• k

.(2)

р р р р

Если отождествить векторный кватернион 4 = XI + У + гк с вектором г = XI + У] + 1к , то из последней формулы вытекает, что скалярная часть произведения кватернионов 44г равна скалярному

произведению

r р)

соответствующих векторов

р и р со знаком минус. Векторная часть

произведения 44г - это векторное произведение [ Г, Г ] тех же векторов р и р, записанное через

координаты. Получаем общую формулу для умножения кватернионов 4 = 4 + р и 4 = 4 + р:

4142 = (а1 ■ а2 - (р, р» + (а1 ■ р + а2 ■ р + [ р, р]) .(3) Геометрический смысл умножения произвольного кватерниона на векторный Поскольку умножение кватернионов соединяет в себе два вида умножения векторов, скалярное и векторное, кватернионы являются хорошим средством для решения некоторых задач геометрии и механики.

Пусть 4 = а + Ы + с] + йк - произвольный кватернион, модуль которого равен 1, то есть а2 + Ы2 + с2 + й2 = 1. Запишем 4 = а + 4, где д' - вектор Ы + с] + йк . Поскольку |а| + 4'| = 1,

существует такой угол <р, что a = oos<, q = sin<. Очевидно, q = q • p, где p -соответствующий вектор единичной длинны. Тогда q = cos< + p • sin<.

В таком виде представляется любой кватернион с модулем 1.

Умножим кватернион q на некоторый векторный кватернион v, при этом ограничимся случаем, когда вектор v перпендикулярный к p . Получим:

q • v = (oos< + p • sin<)v = vcos< + p • v • sin< .

Поскольку p и v - перпендикулярны, действительная часть произведения p • v равна нулю, а векторная - произведению [p, v], то есть вектору длинной |p| • |v| • sin — = |v| , перпендикулярному к

обеим векторам p и v, с ориентацией относительно p и v такой же, как у вектора к относительно i и

j. Обозначим этот вектор через ~ . Можно считать, что ~ получен из вектора v при помощи поворота

—

вокруг вектора p на угол —. Таким образом, q • v = voos< + ~ sin< .

Заметим, что вектор qv получается из вектора v поворотом вектора q на угол <р вокруг оси, определяемой вектором p. Следовательно, если p - некоторый нормированый вектор, а v -произвольный вектор, перпендикулярный к p, то умножение v слева на кватернион q = oos< + psin < осуществляет поворот вектора v вокруг оси p на угол <р.

Этот факт можно рассматривать как геометрический смысл умножения слева на кватернион q; недостатком такой интерпретации является то, что вектор v выбирается не произвольный, а перпендикулярный к p .

Представление произвольного поворота в пространстве с помощью кватернионов

Можно записать в кватернионной форме и поворот вокруг оси p любого вектора v , если вместо

умножения вектора v на q слева рассмотреть более сложную операцию - умножение v слева на q , а

справа на обратный кватернион q 1. Тогда получаем произведение q • v • q 1, где q 1 - такой

—1 i -i кватернион, что q • q = i . Легко видеть, что q = cosp — psin p . Действительно,

(cosp + psinp) • (cosp — psinp) = cos2 p — p2 sin2 p = cos2 p + sin2 p = i.

Покажемо, что вектор q • v • q 1 получается из v поворотом вокруг оси p на угол 2p. Пусть сначала v перпендикулярный к p . В этом случае имеем

q • v • q—1 = q • v(cosp — p sinp) = qv cosp — (qv) p sinp.

Но qv - это снова вектор, перпендикулярный к p, поэтому (qv)p = —p(qv). Кватернион p(qv) , как показано ранее, является вектором, полученым из qv при помощи поворота вокруг оси p

п ~ — i ~ .

на угол —. Обозначим его, как и ранее, через qv. Отсюда имеем qvq = qv cosp + qv sinp.

Выражение справа является вектором, полученным из qv при помощи поворота вокруг p на угол p. Если учесть, что сам вектор qv получен из v при помощи такого же поворота, то оказывается, что

qvq 1 получается из v поворотом вокруг p на угол 2p.

Перед тем, как рассмотреть общий случай, заметим: если вектор v коллинеарный к p (то есть

1 ч —1 —1

v = Ap ), то, очевидно, qv = vq и qvq = vqq = v .

Пусть теперь v - произвольный вектор. Запишем его в виде суммы двух слагаемых: v = vx + v2, где v - вектор перпендикулярный к p , а v2 - коллинеарный к p . Тогда

qvq 1 = qvq 1 + qv2q— = qvq 1 + v2.

Отсюда вытекает, что вектор v¡ поворачивается на угол 2p вокруг p, а слагаемое v2 остается неизменным. В результате вектор v поворачивается вокруг p на угол 2p.

Таким образом, при повороте вокруг оси p на угол 2p произвольный вектор v переходит в

qvq — , где q = cosp + p sinp.

Задача о сложении поворотов

Рассмотрим задачу о сложении поворотов в пространстве.

Пусть сначала осуществеляется поворот на угол 2p вокруг некоторой оси, заданой при помощи единичного вектора p; потом выполняется следующий поворот - на угол 2p2 вокруг оси, заданой единичным вектором p . Получаем некоторый новый поворот - результат последовательного выполнения двух даных поворотов. Нужно найти ось и величину угла поворота, полученного в результате выполнения двух последовательных поворотов.

При первом повороте произвольный вектор v переходит, как уже доказано, в вектор

v1 = q1 • vq1 1, где q = cosp + p1 sinp . При втором повороте v переходит в v2 = q2v1q— = q2 (q1vq—1 )q—1 = (A q1 )v(q2 q1)—1. Заметим, что (q2 q1)—1 = q-1q-1, так как (qq ) • (q: q2 ) = 1. В результате последовательного выполнения двух поворотов вектор v переходит в вектор v = (q q )v(q q ) 1 . Таким образом, в результате последоватального выполнения двух поворотов, соответствующим кватернионам q и q , получается третий поворот, соответствующий кватерниону q q .

Вычислить кватернион q q не составляет труда. Запишем q q в виде qq = cos^+p sín^ ,(4)

где p - вектор единичной длинны. Тогда полученый в результате поворот - это поворот вокруг оси p на угол .

п

Пример. Пусть первый поворот осуществляется вокруг оси Ox на угол —, а второй - вокруг оси

2

^ ж ж .. ж

Oy на тот же угол —. Первому повороту соответствует кватернион q = COS— +i sin — = (1 +i),

а второму - кватернион q =~2 ^ + j ^. Тогда:

Я ■ q = ^(1 + j) ■ (1 + i) = ^(1 + i + j~k) .

Для представления этого кватерниона в виде (4), заметим, что его действительная часть равна

1 ж

— = cos—. Исходя из этого, запишем:

2 3

ж

д2 ■ q = cos- +

T3(i+J~k ]

ж

sin —;

3

таким образом, полученый в результате поворот совершается вокруг вектора р = -1 (/ + ] — к)

л/3

2ж

на угол-.

3

Заключение

Геометрическая интерпретация умножения произвольного кватерниона на векторный кватернион позволяет представить произвольный поворот в пространстве при помощи кватернионов. Этот подход применяется в задаче о сложении поворотов.

Библиографический список

1.Арнольд В.И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов. - М.: МЦНМО, 2002. - 40 с.

2. Арнольд В.И. Теоретическая арифметика. - М.: Учпедгиз, 1938. - 480 с.

3.Ван дер Вандер Б. Л. Алгебра. - М.: Наука, 1976. - 648 с.

4. Джон Х., Конвей Д., Смит А. О кватернионах и октавах, об их геометрии, арифметике и симметрии. - М.: МЦНМО, 2009. - 184 с.

5.Калужнин Л. А. Введение в общую алгебру. - М.: Наука, 1973. - 448 с.

6.Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. - М.: Наука, 1973. - 144 с.

7. Мищенко А.С., Соловьев Ю.П. Кватернионы // Квант. - М.: Наука, 1983. - №9. - С. 10-15.

8.Понтрягин Л.С. Обобщение чисел // Квант. - М.: Наука, 1985. - №2. - С. 6-22.

9.Понтрягин Л.С. Обобщение чисел. - М.: Наука, 1986. - 120 с.

10. Чеботарев Н. Г. Введение в теорию алгебр. - М.: Гос. изд. тех.-теорет. лит-ры, 1949. - 88 с.

11. Яглом И.М. Комплексные числа и их применение в геометрии. - М.: Физматгиз, 1963. - 192 с.

КРАВЧУК ЕЛЕНА ВЛАДИМИРОВНА - студент, Восточноевропейский национальный университет имени Леси Украинки, Украина.