CC BY
147
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАТЕРНИОНОВ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Камачкин Александр Михайлович
профессор, д-р физ.-мат. наук, профессор Санкт-Петербургского государственного университета, РФ, г. Санкт-Петербург
E-mail: akamachkin@mail. ru Свиркина Лариса Анатольевна канд. физ.-мат. наук, доцент Санкт-Петербургского государственного
университета, РФ, г. Санкт-Петербург E-mail: lara_a@mail. ru Хитров Геннадий Михайлович доцент, канд. физ.-мат. наук, доцент Санкт-Петербургского государственного университета, РФ, г. Санкт-Петербург
E-mail: chitrow@gmail. com
USAGE OF QUATERNIONS FOR THE DESCRIPTION OF THE
ROTATIONAL MOTION
Alexander Kamachkin
professor, doctor ofphysical and mathematical sciences, professor of St. Petersburg
State University, Russia, St. Petersburg
Larisa Svirkina
candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of St. Petersburg State University, Russia, St. Petersburg
Gennady Khitrov
associate professor, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of St. Petersburg State University, Russia, St. Petersburg
АННОТАЦИЯ
Статья посвящена описанию свойств кватернионов, позволяющих использовать их для описания вращательного движения, как управляемого вращательного движения космических аппаратов, так и в компьютерных играх.
ABSTRACT
The paper is devoted to the description of properties of the quaternions, allowing us to use them for the description of a rotational motion as a controlled rotational motion of spacecrafts, and in computer games.
Ключевые слова: кватернионы; сложение поворотов; вращательное движение; кинематические уравнения.
Keywords: quaternions; addition of turns; rotational motion; kinematic equations.
Введение. Статья посвящена применению кватернионов в уравнениях, определяющих положение одной системы координат относительно другой. В частности, это касается использования кватернионов в уравнениях механики, описывающих вращательное движение твердых тел. Речь идет об описании следствий из геометрической интерпретации кватернионов.
Для облегчения чтения приведем представление кватерниона в виде числа с тремя мнимыми единицами и представление кватерниона в так называемой векторной форме, а также запись произведения двух кватернионов в векторной форме.
Пусть л=i+ili+1j+1=i0+i и m=m0+mi+m2j+m3k = m0+m —
кватернионы или «числа» с тремя мнимыми единицами i, j, к. В записи кватернионов наборы ЦЦ и m0,m,m2,m3 — вещественные числа. Числа
1 и m0 называются скалярными частями кватернионов, а 1 = 11i +12j + 13к и m = mi + mi j + m3k — векторными частями. Умножение кватернионов как чисел с тремя мнимыми единицами производится как обычное умножение «скобки» на «скобку», т. е. как Л-М = (10 +1li + 12j + 13к)(m0 + mi + m2j + m3k) с учетом перемножения мнимых единиц между собой:
ij = - ji = к, jk = -kj = i, ki = -ik = j, i2 = j2 = к2 = -1. Произведение кватернионов в векторной форме имеет вид:
л-м = (10+i)-(m0+m)=i0m0-(i,m)+\m+m1+ixm, где(i,m) и ixm
означают скалярное и векторное произведения 1 на m соответственно. При этом 1 и m могут рассматриваться как векторы трехмерного пространства с декартовой системой координат с ортами i, j,к. Отметим, что 10m0 -(1,m) будет скалярной, а 10m + m01 + ixm — векторной частями произведения Л • М.
Преобразование векторной части кватерниона и геометрическая интерпретация этого преобразования. Пусть 1 — векторная часть
некоторого кватерниона (или чисто векторный кватернион), E = cosy+p siny — некоторый фиксированный кватернион, где p = p1i + p2 j + p3k и
P12 + p22 + p32 = 1. Нетрудно видеть, что модуль кватерниона E равен единице. Действительно,
E • E = (cosy + p siny)^(cosy - p siny) = cos2 y + (p, p )sin2 y =
= cos2y + sin2y = 1.
Рассмотрим функцию f (E,l) = E • 1 • E-1 = E • 1 • E .
E-1- E = (cosy + p siny)-1-(cosy- p siny) =
= {- (p,1)siny + 1cosy + (p x1)siny} - (cosy - p siny) =
= {- (p,1)siny cosy + (1, p )cosy siny + ((p x1), p )sin2 y}+
+ {p(p,1)sin2 y + 1cos2 y + (p x1)siny cosy - (1x p)siny cosy -
-(p x1)x p sin2y}= p(p,1)sin2y+ 1cos2y- 2(1x p )sinycosy +
+ p(p,1)sin2 y - 1(p,p)sin2 y = 2p(p,1)sin2 y - (1 x p)sin2y + 1cos2y = h
Мы видим, что функция f (E,1) сопоставляет векторному кватерниону 1 векторный кватернион h . Отождествляя кватернионы 1 и h с векторами 1 и h соответствующей декартовой системы координат, мы можем в трехмерном векторном пространстве рассматривать функцию f (E,1), сопоставляющую
вектору 1 вектор h по правилу:
f (E,1) = 2p(p,1)sin2 y -(1x p)sin2y + 1cos2y = h,
где p = pi + p2 j + p3k, фиксированный вектор единичной длины
/ 2 2 2 -* \
( pi + p2 + p3 = 1), и угол y — параметры, связанные друг с другом
соотношением E = cosy + psiny, с помощью которых задается функция
f (Е,Я).
Дадим геометрическую интерпретацию функции f (Е,Я). Для этого найдём проекции векторов Я и h на орты ортогональной системы координат: p ,
q = ^—1—г, Яx p, r = ^----г1---гг, p x^x p). Начнем с вектора Я. Чтобы найти
Я p| ||p x^x p )||
указанные проекции, достаточно найти скалярные произведения (p^), (q,Я), (г,Я). Поскольку p и Я заданные векторы, то будем считать, что (p,X) —
известно. Найдем ^,Я): ^,Я) = Ц"—j|i^xp,Я)= 0, т. е. Я лежит в плоскости проходящей через орты p и r. Найдем теперь (r ,Я):
(r,'Я) = у—(!----\\(p x^x p), Я).
||p x^x p )||
Обозначим проекцию вектора Я на ось с ортом r через p, т. е. положим (r,Я) = p, Очевидно, поскольку (q,X) = 0, что проекция вектора Я на плоскость с ортами q и r будет совпадать с проекцией Я на ось с ортом r, т. е. будет равна p. Но эта же проекция будет равна ^x p||, т.е. ^x p|| = p. (Мы
воспользовались здесь определениями скалярного и векторного произведения векторов из аналитической геометрии, откуда следует, что
(ж л
(г,Я) = ||г|| •Щ cosX = |Ц cosX и \\Ax p| = |H^|p|| sin-X =|Ц cosX, где X - угол
V2 У
между векторами r и Я ).
Рисунок 1. Взаимное расположение векторов p, q, r ,1
Найдем теперь скалярные произведения (p, h), (q, h) и (r, h):
(p,h) = (p,2p(p,1)sin2 y-(1xp)sin2y+ 1cos2y) = 2(p,1)sin2 y + + (p,1)cos2y = 2(p,1)sin2 y + (p,1)(cos2 y - sin2 y ) =
= (p,1)(cos2 y + sin2 y) = (p,1),
q h )=l11 II(1x p, h)=
11 x p|| = t,—1—г, (1x p,2 p(p,1)sin2y-(1x p )sin2y+ 1cos2y) =
1x p||
= -r,—1—ту (1x p,1x p )sin2y = -||1x p\\sin2y = -psin2y,
||1 x p||
(r, h) = 7,-r1-rjr (p x(1x p ),2 p(p,1)sin2y-(1x p )sin2y+ 1cos2y) =
||p x(1x p )||
= й---г1--гг; (p x(1x p ),1)cos2y = (r ,1)cos2y = rcos2y
p x(1x p)
Сравним теперь координаты векторов 1 и И в декартовой системе координат с ортами р, д, г:
Я = (p,X)p + (q,Я)q + (r,Я)г = (p,Я)p + p 0)q + (p 4)r, h = (p, h)p + (q, h)q + (r, h)r = (p, Я)p - (p sin 2y )q + (p cos 2y )r
Сравнивая координаты двух указанных векторов, мы видим, что вектор И получен из вектора 1 поворотом последнего на угол 2у вокруг оси с ортом р.
Рисунок 2. Поворот вектора 1 на угол 2у
Отметим, что обычно единичный кватернион Е = е0 + є1і + е2 ] + е3к = е0 + є (кватернион с |Е = 1), используемый в преобразованиях / (Е,1), записывают в
^ Ф ■ Ф Ф
виде Е = £0 +£ = С08~ + р81П2, где С°2 и Р определяются из соотношений:
соф = £0 (0<ф<2п), а р = у1 £ = ,-------- 1 є. Действительно, поскольку
2 \£ +£22 +£з2
ІТ-.І 2 2 2 2 Л
Е = Є0 +£і +£2 +£3 = 1, то при этих предположениях имеем:
2222 2 j *2 j j I 2
Є0 +Є1 +Є2 +Є3 = cos у + sin ^-, где co^ = \ Є0 = Є0, а
j I 2 2 2 Г. 2"
sin— = ^Є1 +Є2 +Єз = д/1 -Є0 .
Итак, преобразование f (E, Я) = E • Я • E = (є0 + є) • Я • (є0 - є), с |E| = 1, поворачивает вектор Я вокруг оси определяемой вектором є на угол j,
определяемый из условия: соб^ = £0. Очевидно, что эта интерпретация
сохраняет смысл и для предельных случаев Е = 1 и Е = -1. В первом случае не происходит ничего: /(1,1) = 1-1 1 = 1, поскольку р = 0. Во втором случае -/ (-1,1) = (-1)-1-(-1) = 1 происходит поворот на угол 2р (р= 2р) безразлично вокруг какой оси (е = 0).
Предположим, что /(Е, 1) = Е -1 - Е = (е0 + е)-1-(е0 -е) = И . Совершим теперь поворот вектора И вокруг некоторой оси на некоторый угол, определяемые единичным кватернионом М = т0 + Д' + т ] + тф = т0 + т
(М1 = 1). Преобразование можно записать в виде:
/ (М, И) = / (М, / (Е,1)) = М - (Е -1 - Е)- М = (М - Е) -1 - (М-Е) = / (М - Е,1). То есть,
два последовательных поворота вектора 1, определяемых параметрами единичных кватернионов Е и М , равносильны одному повороту, определяемому параметрами (ось и угол) единичного кватерниона М - Е (|М - Е| = |М| - |Е| = 1). Операция замены двух последовательных поворотов одним
поворотом называется сложением поворотов. Понятно, что эту операцию сложения с двух поворотов можно обобщить на произвольное число поворотов.
Кинематические уравнения движения твердого тела в декартовых координатах. При изучении вращательного движения твердого тела, как правило, требуется вычислить его ориентацию, то есть положение системы координат связанной с телом относительно какой-либо другой, чаще всего инерциальной системы координат. Это, так сказать, «полная» ориентация. Иногда требуется знать лишь «частичную» ориентацию, например, направление какой-либо оси в теле относительно выбранного направления в пространстве.
Уравнения, позволяющие определить ориентацию тела в пространстве, называют кинематическими уравнениями. Существует несколько видов кинематических уравнений. Одно из них получается из следующих естественных соображений. Пусть нам задана декартова система координат
ОХлС в инерциальном пространстве и декартова система координат Охуі, связанная с телом. Не нарушая общности рассуждения, будем считать, что центры этих систем координат совпадают. Тогда, как известно, переход от одной системы координат к другой совершается с помощью ортогональной матрицы перехода. То есть, если Я — координатный столбец произвольного вектора в инерциальной системе координат, Я — в системе координат, связанной с телом, £ - матрица перехода от инерциальной системы координат к системе, связанной с телом, то Я = (или Я = 8ТЯ) и = Е. При этом
столбцами матрицы £ служат координатные векторы ортов осей координат инерциальной системы в системе координат, связанной с телом. Поэтому если во все время движения мы будем знать компоненты матрицы £, то тем самым мы и будем знать ориентацию тела.
Для составления кинематических уравнений заметим следующее: пусть si (і = 1,2,3) орт і-той оси координат в инерциальном пространстве, а с —
вектор угловой скорости тела. Тогда в системе координат Охуі для ортов я
будем иметь уравнения [3, с. 410]
я =-ях я(і =1,2,3), (1)
при этом на я и с в равенстве (1) можно смотреть как на координатные векторы в системе координат связанной с телом.
Итак я — есть не что иное, как столбцы матрицы £, тем самым (1) есть система дифференциальных уравнений для определения элементов матрицы £ как функций времени. Система уравнений (1) может быть записана в матричном виде
£=-сх£
(2)
(под векторным произведением вектора с на матрицу £ понимается векторное произведение указанного вектора с на каждый столбец матрицы £).
Если ввести в рассмотрение кососимметричную матрицу ^, построенную из координат с1,с2,с3 вектора с в системе координат, связанной с телом следующим образом:
' 0 — с3 С2
^ = с3 0 — с
V -С2 с 0
то матричные соотношения (2) можно записать так:
£ = -0£ (3)
Полученная система кинематических уравнений в форме (1) (или, что то же самое, в форме (2) или (3)) не всегда удобна, так как она имеет размерность равную девяти. С другой стороны эти девять величин связаны шестью независимыми соотношениями 88т = Е. Следовательно, положение тела определяется всего тремя независимыми параметрами. Поэтому представляют интерес системы кинематических, независимых уравнений, которые имеют меньшую размерность. Наименьшая размерность равна трем и связана она, например, с углами Эйлера. Кинематические уравнения базирующиеся на использовании углов Эйлера сугубо нелинейные. Поэтому представляют интерес уравнения обладающие свойствами уравнения (3), но имеющие меньшую размерность.
Кинематические уравнения в параметрах Родрига-Гамильтона. Известно, что для твердого тела, имеющего неподвижную точку, переход от одного положения к другому можно совершить с помощью поворота вокруг некоторой оси на вполне определенный угол, скажем р, в одном направлении, и на угол 2р-р в противоположном направлении вращения. Достигают
ясности в этом вопросе, как известно, выбором направляющего вектора оси вращения р и договоренности о выборе положительного направления вращения, то есть вращения против часовой стрелки, если смотреть с конца направляющего вектора. При указанных условиях задание орта р и угла поворота р однозначно определяет положение тела.
В теории конечных поворотов и в механике принято вместо р и р рассматривать следующие величины:
10 и координаты Щ вектора 1 в какой либо правой декартовой
системе координат называют параметрами Родрига-Гамильтона [8, с. 104]. Параметры связаны очевидным соотношением:
и, по сути, являются компонентами «единичного кватерниона»
1-0 0 р ■ р Е = 1 1 = соб— + р Б1П—.
0 2 2
Орт оси поворота р и угол поворота р выражаются через эти параметры следующим образом:
л2 л2 л2 л2 -|
1 +1 +1 +1 = 1,
(4)
р = 2агссоБ10
и если 10 ф ±1, то
1
р=
Если Д0 ^±1, то это соответствует случаю поворота вокруг произвольной оси на углы равные нулю, либо кратные 2л радиан. (В этом случае из соотношения (4) следует, что Д = 0 и что ось поворота не определена; или начальное и конечное положения тела совпадают.)
Таким образом, параметры Родрига-Гамильтона однозначно определяют конечное положение тела.
Замечание 1: Обратим внимание, однако, на следующее: если конечное положение характеризуется значениями параметров Родрига-Г амильтона
1 = «0Д = а1,12 = a2,13 = a3 , (5)
то тоже положение тела характеризуется и значениями параметров
Д = -аД = -аД = -аД = -а. (6)
Действительно, пусть положение тела характеризуется значениями параметров (5), которым соответствует орт р и угол поворота j. Но то же положение характеризуется также ортом - p и углом 2л-j и, следовательно, учитывая что
2л-j j . 2л - j . j
cos----- = -cos , sin------ = sin ,
2 2 2 2
значениями параметров (6).
Рассмотрим вновь два положения твердого тела, точнее два положения правой декартовой системы координат, связанной с ним. Два положения системы координат можно рассматривать как две системы координат OXhZ и Oxyz. Пусть S матрица перехода от системы OXhZ к Oxyz. Матрица S
полностью определяет как ось поворота, так и угол поворота и, следовательно, параметры Родрига-Г амильтона.
Чтобы яснее представлять как ось и угол определяются через элементы матрицы £, напомним некоторые ее свойства:
Матрица £ — ортогональная матрица, то есть = Е. Далее, так как рассматриваемая декартова система координат правая, то £1 х £2 = £3 и (£1 х £2, £3) = 1, откуда следует, что ёй £ = 1.
Из ортогональности и вещественности матрицы £ следует, что она имеет характеристические корни (числа) по модулю равные единице, и если имеет комплексное характеристическое число, то имеет и комплексное сопряженное к нему. Матрица £ — матрица нечетного (третьего) порядка и, следовательно, имеет, по крайней мере, одно вещественное характеристическое число. Из того, что определитель матрицы £ равен произведению его характеристических чисел, и равен единице, следует, что, по крайней мере, одно характеристическое число матрицы £ равно единице. Отсюда следует, что характеристические числа т1,т2,т3 матрицы £ можно представить в виде:
Из теории канонической структуры нормальных операторов и их матриц следует, что существуют такие ненулевые вещественные вектора а, Ь и с, что
Т1 = 1,т2 = СОБр + IБШ р, Т3 = СОБр- I Бтр, 12 =-1.
(7)
Ба = а, Б (Ь + С) = (соБр + / Бтр)(Ь + С),
(8)
Причем
||Ь|| = ||с||, (Ь, с) = (а, Ь) = (а, с) = 0 .
(9)
Из (8) и (9) видно, что, не нарушая общности, можно считать вектора а, Ь и с ортами правой декартовой системы координат О^лС' • (Если это не так, то система а, с, Ь будет правой, либо, заменив вектор а на (- а), что не отразится на равенствах (8), получим правую тройку (- а),Ь, с.)
Построим матрицу Т из векторов а, Ь, с так, что Т = (а,Ь,с). Матрица Т будет матрицей перехода от системы координат О%'л'С' к ОХлС •
Преобразование, определяемое матрицей Б, переводит систему О%'л'С' в новое положение, скажем, Ох у 2 . Очевидно, что Т будет также матрицей перехода от системы Оху 2 к Оху2.
Матрица перехода Б от системы О^л'С' к Оху 2 будет задавать то же преобразование, что и матрица Б. Рассмотрим цепочку переходов
Оху 2 -—— Оху2 -—— ОХлС —— ОХл'С,
видим, что Б = ТТБТ. Найдем явный вид матрицы Б , для чего выпишем вначале следствие из формулы (8):
\Sb = b cos j- c sin j I Sc = b sin j + c cos j
(S’)
Затем вычислим произведение ST, используя формулы (8) и (8’), получим ST = S (a, b, c) = (Sa, Sb, Sc) = (a, b cos j - c sin j, b sin j + c cos j) =
(a,
f 1 0 0 Л f 1 0 0 'N
) 0 cos j sin j =T 0 cos j sin j
10 - sin j cos j; V 0 - sin j cos jy
Теперь подставляя произведение ST в выражение S = TtST
Б = ТТБТ =
Ґ1 0 0 л
0 СОБф БІПф
0 - БІПф СОБф
(10)
Из вида матрицы £ следует, что она задает преобразование поворота на угол р вокруг первой координатной оси, то есть вокруг оси с ортом а. (Если а,
с, Ь образуют правую тройку векторов, то берем Т = (а, с, Ь) и получаем £ , которая будет транспонированной к выписанной выше, и рассматриваемое преобразование будет поворотом вокруг оси с ортом а на угол 2р - р, или на угол р вокруг оси с ортом (- а)). Следовательно, ось поворота задается собственным вектором матрицы £ отвечающим собственному числу равному единице.
Укажем простые способы нахождения собственного вектора d матрицы £, соответствующего собственному числу равному единице ^ — не обязательно нормированный).
Из равенств £Т£ = Е и 8d = d следует, что 8Td = d. Из равенств же 8d = d и 8Td = d следует, что d является решением системы
(БТ - Б ^ = 0 (11)
с кососимметричной матрицей коэффициентов равной Бт - Б .
Если Бт - Б Ф 0 (то есть Б несимметричная матрица), то ненулевое
решение системы (11) будет собственным вектором матрицы Б,
соответствующим собственному числу, равному единице.
Действительно, так как ортогональная несимметричная матрица
обязательно имеет комплексные характеристические корни, то собственные вектора матриц Б и Б2, отвечающих собственному числу равному единице, образуют одномерные подпространства, которые, очевидно, совпадают.
Домножив (11) слева на Б, убедимся, что ненулевое решение этой системы является собственным вектором матрицы Б2 и, следовательно, матрицы Б, отвечающим собственному числу равному единице.
Для отыскания же решения системы (11) заметим, что если дана ненулевая
' 0 -7 а
кососимметрическая матрица вида 7 0 -а , то вектор ь
V -ь а 0 , V г,
собственным вектором этой матрицы, отвечающим нулевому собственному числу.
Таким образом, если £ — несимметричная матрица, то в качестве вектора d можно взять вектор
d =
СО - ^32
^31 - ^13
V ^12 - ^21 )
(12)
Если же £ симметричная, то она либо имеет собственные числа равные (-1), и тогда их два (определитель матрицы £ равен единице), либо не имеет, и
тогда £ = Е, в любом случае £2 = Е.
В случае симметрической матрицы £ не совпадающей с Е, у матрицы £ только три элемента отличны от нуля, которые равны либо +1, либо -1. При этом есть как +1, так и минус 1, поскольку £ Ф Е и ёй £ = 1. В этом случае, для любой конкретной матрицы £, вектор d находится весьма просто.
Заметим, что преобразование с симметричной матрицей £, имеющей собственные числа равные (-1), будет вращением на угол р или - р вокруг собственного вектора соответствующего собственному числу равному единице.
Выразим теперь параметры Родрига-Гамильтона через элементы матрицы £. Для этого заметим, что поворот тела на один и тот же угол, вокруг одной и той же оси, в одном и том же направлении описывают различные наборы параметров Родрига-Г амильтона, в зависимости от выбора системы координат,
относительно которой определяются координаты орта оси поворота. Так, если начальное и конечное положение тела описываются системами координат ОХлС и Охуі, то параметры Родрига-Гамильтона будут следующие:
, ф . ф , . ф , ф 1 = ео^,1 = а1Біп2^,Л2 = а^туД = а3Бт^-,
где а1, а2, а3— координаты орта оси поворота в указанных системах.
Если же начальное и конечное положение тела описывается системами ОХл'С' и Ох у 2 , то параметры примут следующие значения:
Здесь орт оси поворота в[ в указанных системах будет такой: в[ = (1,0,0).
Вектора 1 = е1 б1п Ф и 1 = а ^пф связаны очевидным соотношением:
1 = Тт1, поскольку 1 - координатный вектор в системе координат О^г/С, а 1
— координатный вектор в системе координат О^л'С'. Аналогичным соотношением и по тем же соображениям связаны векторы d и d , т. е. d = Tтd,
где d построен по матрице £ таким же образом, как d по матрице £.
Используя (10) и (12) получаем, что
d =
А2БІПфЛ
0
0
У
Отсюда уже легко получается
4101 = d
(13)
Из известного факта теории матриц, что сумма собственных чисел матрицы Б равна spurS = Е я» следует, что
Е я» =1 + 2с08 ^, или Ч2 = Е Я +1. (14)
Формулы (13) и (14), расписанные покоординатно, и дают выражение параметров Родрига-Г амильтона через элементы матрицы Б в случае, если она несимметричная.
4102 = Е я.. +1
0 гг
4ЛЛ Я23 Я32
411 = я — я
0 2 31 13
411 = я — я
0 3 12 21
(15)
Замечание 2. Формулы (15) справедливы и в том случае, когда Б симметричная матрица. Однако, в этом случае из них нельзя получить выражений для 11,12,13, если Б не совпадает с Е.
Замечание 3. Как и в замечании 1, при выражении 10 из (14) знак перед квадратным корнем можно брать любой.
Если матрица Б симметричная и не совпадает с единичной, то выражение для параметров Родрига-Гамильтона имеет следующий вид
1 = 0,1 = й, (16)
где й нормированный собственный вектор, отвечающий собственному числу равному единице.
Если Б = Е, то эти параметры следующие:
10 =±1,1 = о
(17)
Найдем теперь выражения элементов матрицы S через параметры Родрига-Гамильтона. Для этого кроме соотношений (15), которых явно недостаточно,
рассмотрим так же при 1Ф 0 следующие соотношения: S1 = 1 или
вытекающие из него:
(s. ,1) = 1 (. = 1,2,3), (1S)
(1x е. ,1x st ) = cos j(l-102 -12), (. = 1,2,3) (19)
(соотношения (1S) и (19) обращаются при 1 = 0 в тождество).
Соотношение (19) получено из наглядного геометрического соображения, что вектор 1 x s., ортогональный к вектору 1 и .-тому орту системы координат
Oxhz при повороте вокруг оси с направляющим вектором 1 на угол j перейдет в вектор ортогональный к 1 и .-тому орту системы Oxyz. Слева в (19) стоит скалярное произведение двух векторов одинаковой длины (один получен из другого поворотом вокруг заданной оси). Как известно скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов (в нашем случае квадрату длины) на косинус угла между этими векторами (выражение справа). Осталось убедиться, что квадрат длины вектора 1x е. т. е. выражение
(1 x е., 1 x е.) будет равно 1 -102 -12. Действительно,
(1x е. ,1x е) = (1Ле,, е. )-е.(1, ei)) = (1,Л) — А2 = 1 - 1о2
Теперь из соотношений (1S) и (19) легко находятся s11, s22, s33. Действительно, (19) в развернутом виде дает:
Так как соб^ = 2соБу — 1 = 2102 — 1 и (1,1) = 1 —102, то (19) в развернутом виде дает: левая часть -
(1 X £. , 1 X * )= (1, * Х(1 Х в' ))= (1, 1(* , ^ )— в (Я , 1 )) =
= (1,1)(Я» , в. )—(1, в. )(* ,1)=(1,1)Яг, — 12
правая часть — С0Бф(1 —102 — 12 )=(2102 —1^1 —102 — 12). Подставляя их и приравнивая, получаем:
(1 — 12 >„ — 1 = (21; —1)(1 —1 1) (19’)
Из (19’) получаем:
я =12^11-^^+^ = 2^, + 21» —!
1 0 2 0 .
1—1
Полагая . = 1,2,3 распишем последние соотношения подробно:
= 21,2 +1 — 1
*22 - '210 + 1 — 1
*33 = 210 +1 — 1
Для определения остальных элементов матрицы Б поступим следующим образом. Разрешим соотношение (Бг + Б )1 = 21 относительно я + я}1,
. Ф I = 1,2,3;. = 1,2,3. Учитывая выражения для , получим:
Є12 + Є21
411
\ "2
Є 23 + Є32 4И
Є31 + Є13
4Ц
Теперь из (15) и (20) совсем просто получить выражения дляs..
I Ф у;I = 1,2,3;у = 1,2,3.
Итак
( s Л11 Є12 s і>13
5 = Є21 2 2 3 2 =
Є32 е °33 у
(2102 + 2Д2 -1 211 + 211 211 - 211 Л
211 - 211 2102 + 2122 -1 211 + 211 211 + 211 211 - 211 2102 + 212 -1
(21)
Соотношения (3), (4), (15), (21) позволяют, наконец, получить искомые кинематические уравнения в параметрах Родрига-Гамильтона. Для этого продифференцируем (15) в силу системы (3), затем исключим с помощью (15) и (21) элементыs.J(/,у = 1,2,3) в полученных соотношениях. В итоге получим
дифференциальные уравнения, разрешив которые относительно 10,1,12,13, приведем их к искомым кинематическим уравнениям.
Итак, берем первое уравнение системы (15) , получим:
ЧЛ = Е = —((— *^21Я3 + *^31Я2 ) + (*^12Я3 — ^32Я1 ) + (_ *^31Я2 + ^23Я1 )) =
= -(^3 41013 + С02 41012 + Я 41Л )
Откуда
10 =- 1 (Ц\ + ^1 +М )
Далее берем второе уравнение системы (15) , имеем:
Используя (21) и (22) получим далее
4101 = 2(1 + 2(11 + 2(11 + (У3 (21012 - 211) + ( (- 2Д12 - 21013) +
+ ( (4102 + 2122 + 2132 - 2)
Откуда
1 = 2 ((А - (213 + (312 ) (23)
Совершенно аналогично получаем:
2
1 = 2 ((3^0 +(211 -(Л ) (25)
Соотношения (22), (23), (24), (25) и есть искомые кинематические уравнения. Используя векторную форму записи, эти соотношения записываются более компактно:
2
Уравнения (26) задают кинематику движения системы Оху2 относительно ОХ7!С в координатах системы Охуі.
Поменяв ролями системы ОХ^іС и Охуі, мы получим точно такие же по форме уравнения движения системы ОХ^С относительно Охуі в координатах системы ОХлС . Пусть 10,1 -параметры Родрига-Гамильтона, характеризующие переход системы Охуі в ОХ^С, и (-координатный вектор угловой скорости вращения О7С относительно Охуі в системе О7С. Тогда искомые уравнения будут иметь вид:
ох
Если учесть, что 10 =1,1 =-1,ю = -Бтд, (10,1,д— те же, что в
уравнении (26)) и ввести обозначение Бта=д, то есть д = -д, то в этих обозначениях получим:
1 =--
02
1 = --
- о х1)
(27)
д -координатный в системе ОХлС вектор, соответствующий вектору угловой скорости системы Оху2 относительно ОХлС .
Системы (26) и (27) в расписанном покоординатном виде обычно приводятся во многих руководствах по аналитической механике [4, с. 618— 619] (см. также [1]). Некоторое преимущество кинематических уравнений в форме (26) по сравнению с (3) очевидно, то есть употребление параметров
Родрига-Гамильтона вполне оправдано. Покажем также, что знание параметров Родрига-Гамильтона, характеризующих переход системы ОХлС в Оху2 позволяет также просто определять конечное положение любого вектора, как и значение матрицы перехода от ОХлС в Оху2. Кроме того, если мы совершаем переход системы ОХлС в Оху2 через промежуточную систему Ох'у 2 , то есть
Оху2 -—— Оху 2 -—— ОХлС (28)
где 51, 52 — соответствующие матрицы перехода, то знание параметров т0,М,т,т3 перехода ОХлС в Оху 2 и п0,п,п2,п3 перехода Оху 2 в Оху2, позволяет так же просто, если еще не проще, определить параметры ЦЦ перехода ОХлС в Оху2 как и матрицу перехода 5 от ОХлС к Оху2 через 51,52.
Начнем с последнего утверждения.
Из (28) видно, что:
5 = 5 • 5 (29)
Выразим элементы матриц 51,52 через соответствующие параметры по формулам (21). Тогда из (29) видно, что элементы матрицы 5 будут
алгебраическими выражениями от т,пу0,} = 0,1,2,3). Эти выражения, после
упрощений на основе соотношения (4), подставим в (15). Тогда для параметров 10,1,12,13 получим следующие решения:
1 =тп -тп тп2 -тп 1=тп +тп +тп3 -тп
<
12 = тп 2 -тп +тп
1 =тп +^3п0 +тп -тп
Другое решение (см. замечание 3) получится, если все правые части системы (30) взять с обратным знаком. Соотношения (30) в векторной форме можно записать следующим образом:
1 =ту -(т,у) л=m0n+n0m+mхn
(31)
Решение (30) (или (31), что, то же самое), а так же уравнения (26), (27) можно записать в еще более простом виде, если использовать кватернионы.
Вернемся к формулам (30), предварительно сопоставив набору параметров т0,т,т2,т кватернион М = т0 + + т27 + №3к = т + т, набору параметров
у0,у,у2,у3 кватернион Н = у0 +у и параметрам Л,ЛУ,Л2,ЛЪ— кватернион Л = 10 +1. Из формул (30) или (31) непосредственно следует, что
Вернемся к кинематическим уравнениям (26) и дополним их динамическими уравнениями вращательного движения твердого тела в системе координат, связанной с телом, и центр которой находится в центре инерции тела [3, с. 410]
где: 0 — тензор инерции твердого тела,
о — угловая скорость,
М — момент внешних сил приложенных к телу. Объединяя (32) и (26) получим систему уравнений
Л = МН.
0( +ох0о = М,
(32)
0(+ох0о=М
1=- 2 ((,1) (33)
1=-
ч.
полностью описывающую вращательное движение твердого тела. Система уравнений (33) удобна в том смысле, что позволяет строить для неё достаточно простые функции Ляпунова. Момент М в уравнениях (33), рассматриваемый как управляющий, можно выбирать в силу функций Ляпунова таким образом, чтобы он решал, например, задачу полной ориентации твердого тела (см., например [10]).
Заключение. Использование кватернионов в задачах ориентации и управления вращательным движением твердого тела, позволяет
усовершенствовать результаты работ [2, 5, 6] на базе уравнений (26).
В последнее время кватернионы находят все большее применение в компьютерных технологиях (см. например [7, 9, 11]).
Список литературы:
1. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973. — 320 с.
2. Ермолин В.С., Жабко А.П., Камачкин А.М., Овсянников Д.А. Школа В.И. Зубова по теории устойчивости и теории динамических и механических систем // Труды СВМО. — 2005. — Т. 7. — № 1. — С. 426—432.
3. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. — 496 с.
4. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М.: Наука, 1976. — 672 с.
5. Камачкин А.М. Методы оценки точности позиционирования грузовой платформы при ограниченных возмущениях // Автоматизация морских
- (о10 - сох1)
2
судов и технологических процессов в судостроении. ВНТО им. акад. А.Н. Крылова. Л.: Судостроение. — 1989. — Вып. 478. — С. 15—22.
6. Камачкин А.М., Шамберов В.Н. Метод декомпозиции в многомерных нелинейных динамических системах // Вестник ВГУ. Сер.: Системный анализ и информационные технологии. — 2012. — Вып. 1. — С. 47—55.
7. Кватернионы в геометрии, механике, релятивистской физике, теории поля
// fizteh.ru: информационный портал [Электронный ресурс] — Режим доступа. — иКЬ: http://www.fizteh.ru/02-07-90327/index/qwat/ (дата
обращения 25.01.2014).
8. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961. — 826 с.
9. Побегайло А.П. Применение кватернионов в компьютерной графике. Минск: БГУ, 2010. — 216 с.
10. Хитров Г.М. Применение второго метода Ляпунова к решению задачи ориентации твердого тела // Дифференциальные и интегральные уравнения: межвуз. сб., Горький: ГГУ, 1981. — С. 152—155.
11. Цисарж В.В., Марусик Р.И. Математические методы компьютерной графики: учебное пособие. К.: Факт, 2004. — 466 с.
