Решение проблемы контроля параметров железнодорожного пути на основе использования инерциальных технологий Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.383

РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ КОНТРОЛЯ ПАРАМЕТРОВ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ПУТИ НА ОСНОВЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Чуб Елена Григорьевна,

ассистент кафедры высшей математики, e-mail: elenachubll@gmail.com, ДГТУ, Ростов-на-Дону

В статье представлена впервые построенная стохастическая модель движения гиростабилизированной платформы, позволяющая решить проблему контроля параметров железнодорожного пути на основе использования высокоточной инерциальной навигационной системы.

Ключевые слова: инерциальная навигационная система, гиростабилизированная платформа, параметры Родрига-Гамильтона

DOI 10.21777/2500-2112-2018-1-56-64

Безопасность движения железнодорожного транспорта в настоящее время тесно связана с внедрением инерциальных технологий. Эффективность методов наблюдения за развитием дефектов пути и прогнозирования их состояния повышается за счет увеличения числа инерциальных элементов и систем, устанавливаемых на путеизмерительных средствах. В путеизмерительной технике наиболее перспективным является использование инерциальных навигационных систем (ИНС), построенных на основе гиростабилизированной платформы. Несмотря на несомненные преимущества таких ИНС при их использовании в составе подвижных измерительных систем актуальной является проблема точности измерений навигационных приборов, работающих в условиях действия внутренних шумов и внешних возмущающих воздействий.

В данной статье представлена полученная впервые стохастическая модель движения гиростаби-лизированной платформы, которая может быть использована в подвижных измерительных системах, обеспечивающих безопасность движения железнодорожного транспорта.

Новая модель позволяет решить проблему контроля параметров железнодорожного пути за счет использования инерциальных технологий.

Преимущества данной модели:

- представление вектора состояния ИНС в параметрах Родрига-Гамильтона в форме «объект-наблюдатель» позволяет сократить приборный состав и упрощает использование современных субоптимальных методов обработки информации и управления в подвижных измерительных системах;

- применение субоптимальных алгоритмов обеспечивает точность более высокого порядка решения задачи начальной ориентации ИНС подвижной измерительной системы в условиях действия возмущений, что улучшает качество определения параметров железнодорожного пути.

Инерциальные технологии при определении параметров рельсового пути

Инерциальные методы применяются при определении таких параметров пути, как:

- ширина рельсовой колеи;

- просадки рельсовых нитей;

- взаимное положение рельсовых нитей по высоте (поперечный уровень);

- рихтовка или стрелы изгиба в плане от несимметричной хорды;

- уклон продольного профиля оси пути;

- перекосы пути на базе ходовой тележки (короткие неровности);

- перекосы пути на базе кузова вагона-лаборатории (длинные неровности);

- кривизна пути в плане.

Развитие инерциальных технологий идет по двум направлениям: использование бескарданных инерциальных навигационных систем (БИНС) и гиростабилизированной платформы (ГСП).

К потенциальным преимуществам БИНС относятся [4]: отсутствие сложной электромеханической системы, уменьшение габаритов, массы и энергопотребления, повышение надежности и ремонтопригодности, сокращение времени начальной выставки, повышение универсальности системы, меньшая стоимость системы, упрощение решения задачи резервирования и контроля работоспособности системы и ее элементов, отсутствие ошибок, обусловленных погрешностями стабилизации гироплат-формы и неточностью изготовления карданова подвеса. В то же время БИНС обладает значительным перечнем недостатков, а именно:

- высокие требования, предъявляемые к точности чувствительного элемента и диапазону изменения измеряемых параметров;

- значительно больший объем вычислений, вызванный необходимостью аналитического моделирования опорной системы координат и преобразования сигналов акселерометров и гироскопов;

- сложность считывания выходных сигналов при большом диапазоне их измерения;

- дополнительные трудности калибровки чувствительного элемента в связи с изменением ориентации их осей чувствительности по отношению к направлению вектора силы тяжести;

- отсутствие совершенных методов начальной ориентации (выставки) и калибровки системы.

Кроме того, при непосредственном креплении чувствительных элементов на путеизмерительном

вагоне-лаборатории они подвергаются более сильным возмущающим воздействиям, чем при установке их на гиростабилизированную платформу (ГСП).

Использование в составе измерительных комплексов навигационных систем на основе гироста-билизированной платформы обеспечивает наличие следующих преимуществ:

- высокоточную начальную ориентацию ИНС подвижной измерительной системы;

- обеспечение решения задачи навигации подвижной измерительной системы в условиях значительных перегрузок;

- обеспечение для чувствительных элементов, размещенных на ГСП, точность измерений на 2-3 порядка выше по сравнению с чувствительными элементами, расположенными непосредственно на подвижной измерительной системе;

- использование вычислителей с меньшей производительностью, а за счет этого более стойких к внешним возмущениям.

Анализ этих направлений показывает, что для путеизмерительной техники наиболее перспективным является использование инерциальных навигационных систем, построенных на основе гиро-стабилизированной платформы.

Построение модели движения гиростабилизированной платформы

Из них наиболее обоснованной теоретически и проработанной экспериментально является модель скорости ухода, полиноминально зависящая от ускорений [1, 5]

СОух = И - ^ gy + иу gz - их gx + ( Кгг - Куу ) ^ gy + Ку g2y - Куг g2z +

+К гх g х gу - Кху g х g г + ^ .

Однако ее непосредственное применение для определения ориентации навигационной системы не позволяет проанализировать изменения во времени скорости дрейфа ГСП в зависимости от перегрузок, что необходимо в ряде практически важных случаев.

Для решения этой задачи введем в рассмотрение следующие правые системы координат (рисунок 1) [1]:

ОПС- невращающуюся (инерциальную) правую СК (ИСК) I;

ОЫЬЕ - астрономическую правую СК (АСК) Т, связанную с Землей, начало которой совпадает с центром подвеса платформы;

ОХУ2 - гироскопическую правую СК (ГСК) 7, связанную с платформой;

Ох у г. - правую СК, связанную с / -м гироблоком платформы, имеющим кинетический момент И. (рисунок 2).

Для большей наглядности анализа движения некорректируемой платформы положим, что в начальный момент времени соответствующие орты первых трех СК совпадают (рисунок 1) - как показа-

Рисунок 1 — Исходная ориентация систем координат

Рисунок 2 — К определению уходов гироблоков

но далее, это не вносит принципиальных изменений в построение модели движения гиростабилизиро-ванной платформы.

Движение платформы (изменение ее текущей ориентации) будем рассматривать в ИСК. Т.к. положение астрономического трехгранника в ИСК для произвольного момента времени может быть точно определено (Земля вращается с постоянной скоростью 7,29 х 10-5рад/с, широта места расположения ГСП ф известна, в начальный момент времени орты трехгранников совпадают), то, зная текущую ориентацию платформы в ИСК, определить ее положение в АСК не представляет никаких трудностей [3].

Используем при описании модели движения некорректируемой платформы следующие допущения, не влияющие принципиально на ход последующих построений:

- расположение гироскопов на платформе ортогональное (рисунок 3);

- скорость собственного ухода каждого гироблока ю , (рисунок 3) описывается трехмерным полиномом второй степени от ускорений

Ъ - ёу, + иу, ё,, - иХ. ёХ1 +(kZlZl - ky¡y¡ ) ё,, ёу, + (1)

+у I ёу, ky¡ II ё2 + kz1 х ёУ1ё х, ky¡ Х1 ё х1 ё, ,

где ёХ1, ёУ1, ё2 - ускорения, направленные по соответствующим осям системы координат, связанной с ,-м гироблоком (м/с2); / = 1, 2, 3;

Я. - составляющая скорости ухода ,-го гироблока, не зависящая от ускорения (рад/с); и , и , и- коэффициенты влияния на уход ускорений, направленных по соответствующим осям Ох у 2, в первой степени (рад/схg); kI¡I¡, ky¡y¡, kz¡y¡, ky¡z¡, kI¡X¡, ky¡x¡ - коэффициенты влияния на уход ускорений во второй степени (рад/схё2); ё - ускорение земного тяготения;

- движение платформы в ИСК описывается поворотом первого рода (рисунок 3).

Рисунок 3 - Вращение гироскопического трехгранника в ИСК направленных по осям связанной с ним системы координат Принципиально важно отметить, что степень полинома от ускорений не оказывает принципиального влияния на дальнейшее построение и вид динамической модели движения некорректируемой платформы. Это делает возможным использование более полного учета эффекта влияния ускорений на скорость ухода за счет повышения порядка полинома вида (1), позволяя построить модель скорости собственного ухода с заданной точностью.

Полагая для ясности последующих построений гироблоки идентичными и, исходя из выражений (1) и рисунка 3, представим далее проекции абсолютной угловой скорости собственного ухода платформы трехосного гиростабилизатора на оси ГСК ш ш ш в виде, аналогичном (1):

ю = К - иг+ ихgz + иуgy + (£22 - kxx) gzgx+kzxg2x - kxzg2z - £2уgxgy+kxygygz,

у = Ку - иzgy + иу gz - ^gx + (kzz - £уу ) gy gz + £2у g2y - £у2g2 + £аgy gx - kyxgxgz ■ = К - и,gz + и'zgx - иу gу + (kxx - к* ) gxgz + kxzg2Z - g2X - kxy gzgУ + £у gУ gx

ю

(2)

где gx, g, gx - проекции ускорений на оси гироскопической системы координат, Я. - составляющие скорости ухода, не зависящие от перегрузок, и., ку (/, у = x, у, z ) - коэффициенты полинома скорости ухода, определяющие зависимость от ускорений в первой и второй степенях, соответственно.

Для удобства последующего вывода уравнений состояния некорректируемой платформы представим уравнения (2) в векторной форме:

ю = Я + ^ + gТ Ке ,

где К- блочная матрица;

б - знак блочного умножения;

g = их gу g z )Т, Я = (Я Яу Я. )Т, и =

-и и

и

-и -и и

x ^ у

-и -и

К =

k

zx О

k - k V ZZ XX

- к

2у О

О

xy

- к

К 2 =

xz)

и

О

, К =

5 К

К

О

- £

xy

к к к - £ zx zy zz уу

О О

- к

yz

К =

- к 0 к - к

хх гг

- к 0 0

¿У

0 -к - к

ух

хг

Для построения модели движения некорректируемой платформы необходимо определить через ее переменные текущую ориентацию ГСК относительно АСК. Для этого используют различные параметры, например, углы Эйлера-Крылова [5] и параметры Родрига-Гамильтона [5, 6]. Среди всех кинематических параметров особое место занимают параметры Родрига-Гамильтона. В отличие от углов Эйлера-Крылова эти параметры не вырождаются при любом положении твердого тела, они линейны, при их использовании отпадает необходимость в тригонометрических операциях, неизбежных при использовании углов Эйлера-Крылова. Все это значительно упрощает алгоритмы численного интегрирования кинематических уравнений [2].

В отечественной литературе аппарат параметров Родрига-Гамильтона впервые был применен в кинематике систем инерциальной навигации в работе [1], дальнейшие исследования были проведены в работах [2, 4]. Вместе с тем использование этих параметров для решения задачи ориентации некорректируемой платформы изучено в настоящее время недостаточно. В частности исследовалась возможность применения параметров Родрига-Гамильтона для решения задачи калибровки коэффициентов модели дрейфа некорректируемой ГСП. Но полученные результаты лежат в области построения детерминированных моделей вектора состояния некорректируемой платформы, которые, во-первых, не учитывают случайный характер возмущений, присутствующих в каналах измерений акселерометров, во-вторых, случайные изменения вектора g, обусловленные внутренними и внешними факторами и, в-третьих, априорно неопределенные сейсмические возмущения постоянно присутствующие на Земле и также носящие случайный характер.

Учитывая изложенные выше недостатки разработанных моделей, построим стохастический вектор состояния некорректируемой платформы с использованием параметров Родрига-Гамильтона в форме «объект-наблюдатель».

Взаимная текущая ориентация ГСК и ИСК может быть описана системой кинематических урав-

нений

/ • \

т 0 т

т,

ут з,

-т1

т0 т3

-т

2

т

-т

т

т

- тъ

т2 -т

т

л

¿у.

(3)

0

где т = (т0 да1 т2 тъ) - параметры Родрига-Гамильтона,

или в векторно-матричной форме

т = — Ф(т )(0,

2 v '

(4)

- т1 -т2 - т3

т0 -т3 т2

т3 т0 - т1

-т2 т1 т0

где Ф(да):

Текущую ориентацию АСК относительно ИСК также определяет вектор в параметрах Родрига-Гамильтона / = (/0 / /2 13 )Т , компоненты которого для рассматриваемого случая могут быть определены как

/

ф . ф . ф . ф со8 / = р Бт — Ц = т Бт— Ц = п Бт — 2 1 2 2 2 3 2

(5)

где р, т, п — направляющие косинусы.

В силу того, что триэдр Т АСК вращается относительно триэдра I ИСК вокруг оси Мира со скоростью 0.З, направляющие косинусы равны

р = ео^, т = sin 0, п = о . Следовательно, уравнения (5) можно записать в несколько ином виде

о Л

l0 = cos —- , I = cos ф sin —-, l2 = sin ф sin —-, 1з = 0. (6)

o 2 i y 2 2 Y 2

Для получения замкнутой системы уравнений движения НП определим во времени проекции вектор ускорений g на оси ГСК при известных проекциях вектора G на оси АСК. Из матричного описания вращений следует, что

—-у

g = D(m)V(l)T G,

(7)

где V(l) =

(2l¡ + 2l12 -1 2lil2

2ll

0 2

2lA

-2l l

0 2

2l02 + 2l22 -1 2l0l1

-2loli

2ll -1

— матрица конечного поворота трехгранника АСК от-

носительно ИСК, записанная в параметрах Родрига-Гамильтона;

/22 Л

2m0 + 2m1 -1 2m1m2 + 2m0m3 2m1m3 - 2m0m2

D (m ) =

2m1m2 - 2m0m3

2m2 + 2m2 -1 2m2m3 + 2m0m1

v2m1m3 + 2m0m2 2m2m3 - 2m0m1

2m02 + 2m32 -1

матрица конечного поворота

трехгранника ГСК относительно ИСК, также записанная в параметрах Родрига-Гамильтона.

Совокупность уравнений (4), (6), (7) представляет собой описание модели движения некорректируемой платформы на произвольных интервалах времени при полиноминальной зависимости скорости собственного ухода платформы от ускорений. Объединяя (4), (6), (7) в единую систему имеем:

т = 1 ф(т)(Л + UD (шУт (/) G + (D (да^Т (/)G) ® D (да^Т (/)G). (8)

Для построения стохастической модели некорректируемой платформы, учтем случайный характер возмущений. Тогда уравнение (8) примет вид

m = — 2

+ — 2

1 Ф^)(R + UD (m)VT (l)G + (D (m)VT (l)G f ® D (m)VT (l)G)+ (9)

20(m)(uD(m)VT (l)„ + 2(D(m)VT (l)G)T .D(m)VT (l)„ + „).

где

В каноническом виде уравнение (9) имеет вид

m = F(m,t) + i?0 (m,t)£,

1 /

F (

(m, í) = 1Ф (m) (R + UD (m) VT (l) GA + (D (m) VT (l) GA )T ® D (m) VT (l) GA), F0 (m,í) = - Ф(m)(uD(m)VT (l) + 2(D(m)VT (l)GA ) ®D(m)VT (l)) ¡ Ф(m)

(10)

По окончании синтеза уравнений вектора состояния в виде (10) с целью возможности последующего синтеза апостериорной плотности распределения необходимо получить уравнение наблюдателя в параметрах Родрига-Гамильтона.

(8, * (^* (^ *

8у = D (т)У (1 )Т GL = С (т, 1) GL

V 8 2 V ^ у

где С(т,I) = D(т)У(I) .

Последнее выражение преобразуется к виду

(С Л

8.•

С1 С

С

V 3/

■т-

/ *\

V V

(11)

где V* = (212 + 211 -1) GN + 2lll2GL - Щ£Е ; V* = 21^ + (21(2 + 212 -1) GL + 2ДОе ; V* = 2^ - 2^ +(212 -1) GE;

/ * ту* + т^* - тУ* * (т1 v12 + т2 V* + т^* * ( 0 * ( 0 *

С0 = 2 тзУ + т0 ^ + т^* , С1 = 2 т2у* , С2 = 2 , С* = 2

т^ V 2 1 - mlv2 +т* у у mзv2 , У mзv2 у У mзv2 у

Обозначим через [ и V соответственно векторы [ =

С> С

С

V 3

и V =

/ *\

V

3

В качестве сигнала измерений также будем использовать показания акселерометров 2,, расположенных на некорректируемой платформе. С учетом модели выходных сигналов акселерометров представим уравнение наблюдателя в виде

1 а = Ч ' т - V + Ка ,

или

1 а + V = Ч ■ т + Жа.

Вводя обозначения

1 = 1 а + V = Ч ■ т + Жа , запишем уравнения наблюдателя в каноническом виде

1 = т + Жа. (12)

Следует отметить некоторые преимущества построенной модели. Во-первых, уравнение (10) не имеет особых точек, присутствующих у модели в параметрах Эйлера-Крылова, при построении модели наблюдателя не применялась линеаризация матрицы D, определяющей ориентацию ГСК относительно АСК, что существенно уменьшает погрешность вычислений.

Численный эксперимент

Для иллюстрации возможности практического использования модели (10) в реальных ИНС было проведено численное моделирование движения НП на временном интервале 0 - 10000 с при шаге <<Eqn095.wmf>> с при следующих выбранных начальных условиях:

т0 = 0,702, т1 = 0,429, т2 = 0,172, т3 = 0,542.

Угловое движение ГСП моделировалось полиномом второго порядка (1), коэффициенты которого были выбраны в соответствие с достигнутым уровнем точного приборостроения и задавались следующими значениями:

ДХ=1(Г6 (м/с2); i?v =1,2-10~6 (м/с2); Rz= 1,1-10-7 (м/с2); U х= 1,1-10-7 (рад/c-g);

Uy= 0,8-10-7 (рад/c-g); Uz = 0,5 • 1СГ7 (рад/c-g); kxx= 1ДЗ-10"8 (рад/c-g2), k^ =1,25-10"8

(рад/c-g2), kz:= 1,37-10"8 (рад/c-g2), £ху=1Д5-10~8 (рад/c-g2), кух =1,33-10"8 (рад/c-g2),

к,х =1,4-10"8 (рад/c-g2), кх, =1,12-10~8 (рад/c-g2), =1,35-1 о 8 (рад/c-g2),

k7V =1,41-10~8 (рад/c-g2). ^

Параметры вектора l были заданы для широты Ф = ^ . Для этой же точки были определены значений ускорения силы тяжести в АСК gL = 9,818, gN = 7,35 • 10- , gE = -0,013.

Коэффициенты передачи акселерометров определялись равными 1, переходные процессы - реальное время их 0,003 с. - не учитывались ввиду выбранной величины интервала съема измерений, равной h.

Анализ результатов моделирования показывает, что предложенный метод может найти эффективное применение в ИНС, функционирующих в течение длительного времени и не имеющих ограничений на углы прокачки. В качестве примера можно привести платформу AIRS. Также результаты исследования могут быть распространены на гиростабилизаторы, имеющие четвертую рамку подвеса и широко используемые в настоящее время в ИНС различного типа подвижных объектов.

Полученная дифференциальная модель движения некорректируемой платформы (10) позволяет решить сразу целый комплекс практических задач:

- определить изменение во времени непосредственно углов ухода ГСП в ИСК при полиноминальной зависимости скорости ухода от ускорений;

- проанализировать параметрическую зависимость углов ухода ГСП от коэффициентов влияния на уход ускорений по осям ГСП;

- построить различные аппроксимирующие дифференциальные или функциональные временные зависимости углов ухода ГСП, позволяющие существенно сократить объем вычислительных затрат при калибровках и испытаниях платформы, стохастическом оценивании ее текущего состояния и т.п.

Построенная новая модель движения, позволяющая решить проблему контроля параметров железнодорожного пути, может найти широкое применение в современных автоматизированных средствах диагностики состояния железнодорожного полотна, обеспечивающих безопасность движения железнодорожного транспорта.

Список литературы

1. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. - М.: Наука, 1976. - 672 с.

2. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. -М.: Наука, 1979. - 320 с.

3. Ригли У., Денхард У., Холлистер У. Теория, проектирование и испытание гироскопов. - М.: Мир, 1972. - 416 с.

4. Соколов С.В., Половинчук Н.Я. Теоретические основы синтеза автономных помехоустойчивых бесплатформенных навигационных систем: Монография. - МО РФ, 1998. - 340 с.

5. Клодина Т.В., Погорелое В.А., Чуб Е.Г. Инерциальные информационно-измерительные комплексы. Некорректируемая гиростабилизируемая платформа. - Berlin: Изд-во LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, 2012. - 116 с.

6. Погорелое В.А., Чуб Е.Г., Яковлев К.Ю. Модель движения некорректируемой гиростабилизирован-ной платформы в параметрах Родрига-Гамильтона // Известия вузов. Авиационная техника. - 2012. -№3. - С. 69-72.

SOLVING THE PROBLEM OF CHECKING THE PARAMETERS OF THE RAILWAY ON THE

BASIS OF USE INERTIAL TECHNOLOGIES

Chub E.G.,

Assistant of the department of higher mathematics, e-mail: elenachubll@gmail.com, Don State Technical Univerrsity, Rostov-on-Don

The article presents the first constructed stochastic model of the motion of a gyrostabilized platform that allows solving the problem ofrail track parameters control based on the use of a high-precision inertial navigation system. Keywords: inertial navigation system; gyrostabilized platform, Rodrig-Hamilton parameters