Решение задачи автономной идентификации технических уходов гиростабилизатора Текст научной статьи по специальности «Математика»

Заключение

Рассмотрен способ генерации сигнала расширенной ошибки ni + mi +1 настраиваемых параметров. В то время как в традиционной схеме расширения для обычных, не многосвязных систем их количество равно 2ni, при этом каждая компонента вектора регрессии, а их 2ni -1, проходит через вспомогательные фильтры порядка ni - mi [8]. В данном случае сохранился только один такой фильтр для фильтрации задающего воздействия. Кроме того, имеется возможность уменьшить действие неконтролируемых ограниченных возмущений.

Литература

1. Monopoli R. V. Model reference adaptive control with an

augmented signal // IEEE Trans. on Automat. Contr. 1974. Vol. 19. № 5. P. 474 - 484.

2. Feuer A., Morse A.S. Adaptive control of single-input, singleoutput linear systems // IEEE Trans. on Automat Contr. 1978. Vol. 23. № 4. P. 557 - 569.

3. Narendra K.S., Valavani L.S. Stable adaptive controller design - direct control // IEEE Trans. on Automat Contr. 1978. Vol. 23. № 4. P. 570 - 583.

4. Nikiforov V.O. A stable gradient algorithm of adaptation using an output signal // Jnt. J. Adaptive Control and Signal Processing. 1992. Vol. 6. № 2. P. 265 - 269.

5. Narendra K.S., Lin Y.H., Valavani L.S. Stable adaptive controller design. Part. 2. Proof of stability // IEEE Trans. on Automat Contr. 1980.Vol. 25. № 3. P.440 - 448.

6. Narendra K.S., Annaswany A.M., Singh R.P. A general approach to the stability analysis of adaptive systems // Jnt. J. Contr.1985 Vol. 41. № 1. P. 193 - 216.

Качество решения задачи инерциальной навигации различных видов подвижных объектов (ПО) обеспечивается, в первую очередь, точностью выходных данных инерциальной навигационной системы (ИНС), которая определяется в основном точностью хранения направлений осей базовой инерциальной системы координат [1-4]. Известно, что используемые непосредственно при эксплуатации модели собственных уходов гиростабилизаторов (ГС), определяемые конструктивным исполнением применяемой ИНС, формируются на этапе приемосдаточных испытаний.

7. Morse A.S. Global stability of parameter - adaptive control

systems // IEEE Trans. on Automat. Contr. 1980. Vol. 25. № 3. P. 433 - 438.

8. Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Схемы адаптивного управления с расширенной ошибкой: Обзор //А и Т. 1994. № 9. C. 3 - 22.

9. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб., 2000.

10. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления. СПб., 1999.

11. Фрадков А.Л. Адаптивное управление в сложных системах. М., 1990.

12. Ядыкин И.Б., Шумский В.М., Овсепян Ф.А. Адаптивное управление непрерывными технологическими процессами. М., 1985.

13. Ioannou P.A., Kokotovich P. Adaptive systems with reduced models. Berlin,, 1983.

14. Gavel D.T., Siljak D.D. Decentralized adaptive control: structural conditions for stability // IEEE Trans on Automat. Contr. 1989. Vol. 34. № 3. P. 413 - 426.

15. Ortega P., Herrera A. A solution to the decentralized adaptive control: A new model reference scheme// IEEE Trans on Automat. Contr. 1993. Vol. 38. № 2. P. 1717 -1727.

16. Ioannou P.A. Decentralized adaptive control of interconnected systems // IEEE Trans on Automat. Contr. 1983. Vol. 31. № 4. P. 362 - 367.

17. Миркин Б.М. Адаптивное децентрализованное управление с модельной координацией// А и Т. 1999. № 1. С. 90 - 100.

18. Mirkin B.M. Commentson "Exact Output Trackingin Decentralized Adaptive Control" // IEEE Trans on Automat. Contr. 2003. Vol. 48. № 2. P. 348 - 350.

19. Паршева Е.А., Цыкунов А.М. Адаптивное децентрализованное управление многосвязными объектами // А и Т. 2001. № 2. С. 135 - 148.

г.

В силу длительных сроков эксплуатации ИНС, выработки технического ресурса гироскопов и, как следствие, изменения их технических характеристик эти модели «устаревают», становятся неадекватными реальным уходам ГС [1, 2].

Проведение периодических калибровок ГС осуществляется в настоящее время в специализированных лабораториях с использованием аппаратуры, позволяющей ориентировать ГС определенным образом относительно вектора g с целью выделения следующих трех составляющих скорости уходов ГС: независящих от перегрузки, зависящих от первой степени и от квадрата перегрузки.

Астраханский государственный технический университет 1 ноября 2004

УДК 621

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ АВТОНОМНОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ТЕХНИЧЕСКИХ

УХОДОВ ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА

© 2005 г. И.В. Щербань

Насколько такие испытания ГС необходимы, настолько же они сопряжены с существенными временными и материальными затратами. Естественными этапами при этом являются, например, перевод ПО в нерабочее состояние, съем ГС и доставка его в лабораторию, собственно проведение испытаний и т.д. [1, 2]. Поэтому представляет интерес предлагаемая методика автономной (на борту ПО) идентификации указанных выше составляющих скорости уходов ГС, основанная на использовании концепции обратной задачи теории чувствительности [5]. Использование методики возможно непосредственно перед функциональным применением ПО (непосредственно перед выездом наземных подвижных объектов из мест дислокации, перед выходом морского судна из порта и т.п.).

Постановка задачи

Полиномиальная модель скорости собственных уходов трехстепенного ГС в проекциях на оси гироскопической СК 2 = [со х ю г ю z ]Т имеет вид [1]:

Юх = Гх + uzgх - Uхgz - ит&1 + (kZZ - кхх)+

+кжёх 2 - kхzgz 2 - kzтgхgт + kXYgтgz ; Ю Y = ^ + UzgY - UYgz + uхgх + (kzz - kYY )gY gz +

+kZYgY - kYZ gz + кZXg Y gх - kYхg хg Z ; (1) Ю Z = ГZ + Uхgz - Uzgх + UYgY + (кхх - kZZ ) gхgz + +kXZgZ - kZXgX - kXYgZgY - kZYgYgX ,

где гх, г^ ... , kzz - неизвестные в общем случае коэффициенты.

Проекции вектора земного ускорения g х, Y, z , входящие в (1), определяются по известному в точке местоположения ПО при проведении автономных испытаний ГС ускорению g следующим образом:

имеет вид:

BX g Y

gz

= MИГ (x, t)MАИ (ф г, n З, t)

= M ИГ (x, t )G А (t),

(2)

dx dt

= f (x, t; p),

(3)

где х (хеЯ п) - вектор кинематических параметров ГС (направляющих косинусов, углов Эйлера-Крылова или кватернионных параметров); t - независимая переменная (время); / - известная вектор-функция, удовлетворяющая условию существования и единственности решения (3).

Ориентировать платформу ГС в требуемые фиксированные положения при этом возможно с помощью двигателей стабилизации, расположенных по осям карданового подвеса. Соответственно, начальные условия для уравнения (3) имеют вид:

x(t0) = x0 •

(4)

Для наблюдения эволюции пространственных разворотов платформы ГС можно использовать датчики углов и соответствующие аналого-цифровые преобразователи, преобразующие сигналы измерителей согласно типу используемых при описании модели (3) кинематических параметров. Поэтому модель информационных сигналов наблюдателя г (геЯ т) в рассматриваемом случае представим следующим образом:

= x (t, p )+£,

(5)

где МАИ, МИГ - матрицы переходов от астрономической к инерциальной и от инерциальной к гироскопической

СК; GA = [gN gL gE ]т - тот же вектор в астрономической СК; gN = g |^(cos Q 3t - l)cos2 ф г - cos Q 3t J ; gL = 0,5g(cosQ3t- 1)п2фг; gE =-gsinфгsinQ3t;

Q3 , ф г - геодезическая широта места расположения ПО и угловая скорость вращения Земли соответственно.

Тогда модель прецессии некорректируемого гиро-стабилизатора, известная с точностью до вектора числовых параметров p

Р = \_rX rY rZ UX UY UZ kXX kXYkXZ kYX kYY kYZ kZXkZY kZZJ ,

где £ t - белый гауссовский шум с нулевым средним и матрицей интенсивностей Б ^(0 8(t-т). Измерения выполняются в текущем времени t е [0, tk ] , так что

имеем вектор фактических измерений г и (0.

Окончательно задачу автономной (на борту ПО) идентификации модели уходов ГС (1) сформулируем далее как задачу идентификации по измерениям (5) детерминированной и известной с точностью до вектора коэффициентовр модели (3), (4).

Решение задачи

В сформулированной задаче идентификации имеем случай непосредственного наблюдения вектора состояния х(^ р), что значительно упрощает ее решение. Оптимальная в смысле метода максимального правдоподобия оценка вектора р определяется при этом из условия минимума следующего квадратичного функционала:

tk

3 (р) = и - х ( р))) ( и - х ( р ))dt. (6)

10

При решении задачи целесообразным является использование результатов предыдущих (заводских, приемо-сдаточных, полигонных и пр.) испытаний ГС. В этом случае значения каждой компоненты вектора р можно представить следующим образом:

р, = р, * +Д р,, ( = 1, 2,..., 15),

где pi * - калибровочные, полученные в результате предыдущих испытаний значения коэффициентов; Api - отклонения реальных значений идентифицируемых коэффициентов от их калибровочных значений. При этом физически обоснованным является предположение о малости отклонений Api , что позволяет представить зависимость вектора состояния x от вектора параметров p следующим образом:

х (t, p) = х (t, p * +Ap).

(7)

dt dx * dp

при p = p *, Mx (t o) = 0;

(9)

где

Ax(z и, x*, t; p *)= z и - x * (t, p *).

Т 1Др = Т 2,

где матрица Грама Т и вектор Т2 определяются как

?к

Т1 = |МхтБ¡=-1Мх & ; Т 2 = ]МхтБ¡=-1Ах &, 10 10 а неравенство det Т1 ф 0 называют условием идентифицируемости. При выполнении этого условия естественным образом определяем искомый вектор вариаций коэффициентов Аpi (i = 1,15):

Далее, следуя [5], построим аппроксимацию

х(, р * +Ар)= х* (, р *) + Мх (Г)Ар , (8)

где М() - матрица чувствительности, являющаяся решением матричного дифференциального уравнения чувствительности

dM д/(х*,Г; р *) д/(х*,/; р *)

х - 4 '-Мх (?) + - у ;

Ap = Y j-1 Y 2

(11)

а х*(/, р*) - расчетный вектор состояния ГС, определяемый путем интегрирования модели (3) при калибровочных значениях коэффициентовр* :

^ = /(х*,г; р *), х*(?о) = хо. (10)

Численные исследования возможных динамических моделей уходов ГС (в зависимости от типа используемых кинематических параметров) показали, что в модель Эйлера-Крылова аппроксимация (7) -(10) вносит существенную методическую погрешность и поэтому недопустима. Например, при уровне значений Ар i порядка 10 % от соответствующих величин р * погрешности аппроксимации углов Эйлера-Крылова при моделировании на временном интервале 1000 с составляли до 3 % от их реальных значений. Однако при использовании модели Родрига-Гамиль-тона [6] при том же уровне значений Ар i погрешности аппроксимации, соответственно, параметров Родрига-Гамильтона составляли не более 0,1 %. Таким образом, при автономной идентификации составляющих скорости уходов ГС на основе предлагаемой методики целесообразно использование модели Родрига-Га-мильтона, в которой аппроксимация (7) - (10) допустима.

Учитывая (7), (8), запишем функционал (6) в виде:

3(р) = | (Ах( и, х*, Р; р *)-Мх(ОАр)т х

? 0

хБ(Ах(и,х*,р *)-Мх(?)Ар) dí,

Так как сформулированная задача идентификации относится к классу обратных задач динамики и является некорректно поставленной [4, 5], то в некоторых случаях (например, при большой интенсивности помех в канале наблюдений) может быть нарушено условие идентифицируемости. В этом случае поиск вектора Ар будем осуществлять следующим образом.

Учитывая близость калибровочных значений коэффициентов р i * и их вариаций Ар i в рассматриваемой задаче, например в отличие от [5], построение регуляризирующего оператора, в принципе, возможно. Но, с другой стороны, использование концепции обратной задачи динамики о близости искомой оценки х(/, р*+Ар) к назначенной расчетной х*(/, р*), т.е. минимизация невязки ||х*р*)-хр* +Ар))б -1,

обусловленной возникшими в ходе измерений отклонениями коэффициентов от их калибровочных значений, физически некорректна. Поэтому отсутствует и возможность сужения множества допустимых решений и, таким образом, возможность обеспечения устойчивости измерений к возмущающим факторам.

Исходя из изложенного, воспользуемся иным способом. Так как

Y j=

B

det Y,

где В - матрица, составленная из соответствующих алгебраических дополнений элементов матрицы Т1 , то для поиска псевдорешения Ар в задаче идентификации вектора вариаций коэффициентов Ар будем использовать следующий оператор:

Y j-1 =■

B

П ({Mx} ,{Mx} j=1 v

Из необходимого условия наличия экстремума последнего получаем следующее алгебраическое уравнение [5]:

где {М} - векторы чувствительности. Тогда:

Ар = Т ! -1Т 2.

В [5] показано, что оператор Т 2-1 всегда является непрерывным и справедливы следующие неравенства:

Ар < Ар,

||Ар - Ар || <

det Т

/и ((} ,{M. } - ^

I-1

V

где "Утт - наименьшее собственное значение матрицы Это позволяет в случае, если det Т1 = 0 и решение в соответствии с (11) не может быть определено, построить следующий итерационный алгоритм поиска искомых оценок Ар, :

Арг = £Ар

k=1

(k)

( = 1,15),

где N - количество шагов (итераций) до выполнения условия останова цикла

Ц z и - Х (, р * +Ар{k))) D^-1 {z и - Х {(, р * +Ар{k))) ) <S

12

где х ((, р * +Ар(к)) - вектор состояния ГС, опреде-

ляемый для к-го шага расчета псевдорешения Ар 8 - заданная точность решения задачи.

(k) .

Алгоритм автономной идентификации модели уходов Родрига-Гамильтона

Модель Родрига-Гамильтона уходов ГС имеет вид [6]

§ = (М а^г),

ML =

¡1 12 I з

I о -1 з 12

-и

I з I о

12 ¡1 I о

где вектор состояния ГС Ь = [/0 11 12 13 ]т; /0, ..., 13 -

параметры Родрига-Гамильтона.

Представим параметризованную модель (1) угловой скорости уходов ГС в гироскопической СК

= [юх ют ю2]т в векторной форме следующим

образом:

Ö (L, t; р) = Mg (L, t) р,

(13)

где

I - единичная 3x3 матрица, а составляющие вектора земного ускорения ОГ = [х gY Яг ]т определяются согласно (2), причем матрица направляющих косинусов МИГ в параметрах Родрига-Гамильтона для рассматриваемого случая равна

Миг (L, t) =

1-2((22 +1з2) 2(l2 +1olз) 2((lз -lо/2) 2((l 2 -1 ol з) 1-2 (( +1 з2) 2 ((2l з +1 oh) 2((lз +1ol2) 2((2lз -1o/1 ) 1-2((12 +122)

Тогда модель уходов ГС (12) в форме, адекватной представлению (3), имеет вид:

dL

dt = 1Мl (Lt)Mg {L,t)р .

Для приведенной формы записи легко сформировать правые части уравнений (9), (10), интегрируемых при начальных условиях Ь *(,0) = Ь0, Мх(,0) = 0 совместно. Так, соответствующие члены уравнения (9) будут иметь вид:

L

dL

1

дМ L dL

® М р * +М L -

ЭМГ

\

dL

М Ö + М L '

дМг

dL

(14)

L=2 м l (l*, t )Mg (l*, t)

(12) матриц [7];

р* ; <g> - знак блочного

0 -ю x -ю Y -ю z

Ю x 0 ю z -ю Y

ю Y -ю z 0 ю x

Ю z ю Y -ю x 0

M ö =

а уравнение (10) - вид

]Т * 1

— = {Мь (Ь*,,)Ме (Ь*,,)р *.

Кроме того, используя аппарат матричной алгебры [7], леммы и утверждения, его расширяющие [8],

- gz - gY gx

Mg = I gx - gz gY

gz gY - gx

gz'

0

-gxgz 0

0

" gzgY 0

0

gx gYgx - gx 2

~g xg Y gxgz gY2 gYgz ~g x g Y - gxgz

модель (13) можно представить в несколько иной форме:

Й = г +МивГ + вГт <8> МквГ,

где г, Ми, Мк - вектор 3x1, матрица 3x3 и блочная матрица (3х3)х3 соответственно, составленные из вектора коэффициентов р (приведены в Приложении). Тогда второе слагаемое в уравнении (14) можно представить в виде [10]:

дМ^ ( двГ „ ^ т « двГ

где

B =

dGr

dl 0

-8 MkGT

dGr dl 1

-8 MkGT

dGr dl 3

-8 MkGT

dL

M L —— 88 p* = M L | M —— + B + G Гт 88 Mk

dL

dL

матрица 3x4, что значительно упрощает алгоритм, так как при этом требуется определение лишь совершенно простых матриц частных производных дв Г/дЬ и

дв Гт/дЬ .

Упрощенная блок-схема алгоритма автономной идентификации составляющих скорости уходов ГС ПО представлена на рис. 1.

ГС

ДС ГБ ДУ

а Т а

ДС ГБ ДУ

ß Р ß

ДС ГБ ДУ

Y В Y

> i

Цд

,Са

UACß

,ДСу

ЦАП

ДУа

=и

^ß =и

ДУу

КПУ

1

| 11и

1

1 7 и 1 l2

1

1 ; и 1

L(to)=Lo

Откл. системы коррекц ии

Разгон ГМ ГБ

ГМ разогнаны

Вкл. системы коррекции при

ПЗУ

ОЗУ

р

е ме

из

и

о

ат с О

Блок приведения ГС в исходное положение

to

вкл счетчик

ка

loH(t)

llH(t)

l2H(t)

lsH(t)

ALZ, L*, t;p*);

Проверка условия

Определение Ap из (11)

Итерационный алгоритм поиска Др

3

p=p*+Ap

Счетчик времени относительного

Вкл. -выкл. алгоритма

Бортовая ЦВМ

/|VL*(t,p*), Mx(t)

Формирование правых частей уравнений

(9), (10);

совместное их интегрирование

Расчет

gN (ф г , ^ З , t), g L (ф г , ^ З , t), g e (ф г , ^ З , t)

Блок

идентификаций

. / 4, фг, Qз, g, p*, d Gг/dL, d G//ÖL v у ■ ■ ■ ■ p = p\f

ПЗУ

Рис. 1. Блок-схема алгоритма автономной идентификации составляющих скорости уходов ГС

и

l

o

t

На рисунке жирными стрелками обозначены потоки данных, тонкими - команды, а двойными - аналоговые сигналы. В исходное положение платформа ГС выставляется по командам бортовой ЦВМ двигателями стабилизации (ДС) при неразогнанных гиро-моторах гироблоков (ГМ ГБ). Сигналы с датчиков углов (ДУ), пропорциональные углам пространственных разворотов платформы, преобразуются в аналого-цифровых кодовых преобразователях углов (КПУ) в цифровые коды - параметры Родрига - Гамильтона 10 и (}), ... 13 и (0. После выставки платформы ГС в требуемое фиксированное положение и разгона ГМ система коррекции (СК) отключается и в течение заданного временного интервала t е [[ 0, ] производится

считывание набора данных измерений 10 и (О, ... 13 и (t) в оперативное запоминающее устройство (ОЗУ). По окончании съема информации выполняется идентификация вариаций коэффициентов Ар I и формируется модель вектора коэффициентов при соответствующих составляющих скорости уходов ГС р, которая при дальнейших автономных испытаниях ГС будет использоваться как калибровочная р*.

Проводились испытания штатного трехстепенного ГС. При этом ГС устанавливался на неподвижном основании и, параллельно со сформированной методикой идентификации, выполнялись и его штатные калибровки с использованием высокоточной оптической аппаратуры. Было установлено, что точность идентификации составляющих скорости уходов ГС на основе сформированной методики, в сравнении со штатной, ниже. Это определяется, прежде всего, погрешностями приемо-преобразующего тракта в канале измерений, неточностью модели измерителя (5). Однако относительные погрешности оценивания составляющих скорости при этом не превышали 5 %.

Заключение

Подобные результаты позволяют сделать вывод о возможности проведения автономных, на борту ПО и с использованием только бортовой аппаратуры ПО, калибровок ГС на основе синтезированной методики с незначительной, в сравнении с традиционной методикой испытаний их в специализированных лабораториях, потерей точности.

Приложение

Используя леммы и утверждения матричной алгебры, вектор угловой скорости уходов ГС в гироскопической СК = [со х ю г ю г ] (1) можно представить в векторной форме следующим образом:

Q = r + MUG r +G Гт ®MkGr ,

U z U Y -UX '

где r = [rX rY rz ]т; Mu = u X u z -UY

U z Uy U X _

(Mk ) - kZX -kZY 0

Mk = (Mk ) 2 ; (Mk) = 0 0 kXY

(Mk )з k ZZ - kXX 0 -k XZ _

(Mk )2 =

0 0 -kYX

ZX kZY kZZ - kYY

0 0 -kYZ _

(Mk )з =

-k2 -k

ZY

0 0

-k

XY

kXX kZZ

XZ

Литература

1. Ригяи У., Холлистер У., Денхард У. Теория, проектирование и испытание гироскопов. М., 1972.

2. Анучин О.Н., Емельянцев Г.И. Интегрированные системы

ориентации и навигации для морских подвижных объектов. СПб, 1999.

3. Соколов С.В., Щербань И.В. Оптимальное автономное оценивание навигационных параметров спускаемого космического аппарата // Космические исследования. 1997. Т. 35, № 2. С. 172-177.

4. Соколов С.В., Щербань И.В. Метод идентификации модели уходов гиростабилизатора при финитных наблюдениях его пространственной ориентации // Изв. вузов. Приборостроение. 2003. № 12. С. 37-42.

5. Розенвассер Е.Н., Юсупов Р.М. Чувствительность систем управления. М., 1981.

6. Онищенко С.М. Применение гиперкомплексных чисел в теории инерциальной навигации. Автономные системы. Киев, 1983.

7. Чернов А.А., Ястребов В.Д. Метод оценки возмущений в алгоритмах решения навигационных задач // Космические исследования. 1984. Т. 22. № 3. С. 537-542.

8. Щербань И.В. Использование математического аппарата исследования многомерных систем для синтеза оптимального управления // Автоматика и вычислительная техника. 1999. № 5. С. 10 - 18.

Ростовский военный институт ракетных войск

2 ноября 2004 г