CC BY
44
Энергетические характеристики помехоустойчивости КО описываются следующими соотношениями [3]:
VA/KT
I
i+
J= g Sn KTs-TsoiWA/n / А/к1 ; g Sn =
аП = kToNmA/n, kTo _ 4-10-21 Вт/Гц;
PL •
а2;
где итт - среднеквадратичная погрешность при точном оценивании временного сдвига огибающей НС Si(t); £рк - отношение сигнал/помеха по напряжению на выходе РК; gф2 - отношение сигнал/помеха по напряжению на выходе ПФ Ф21 и Ф22; А/к2 - полоса пропускания ПФ Ф21 и Ф22; А/ш - шумовая полоса КСЗ в замкнутом состоянии; игпд - среднеквадратичная погрешность оценивания ПД.
А/к! = А/ф1/«к; А/ф! > А/д,
где gф1 - отношение сигнал/помеха по напряжению на выходе КФУ; g2 - отношение сигнал/помеха по мощности на входе АП; Р.2 - мощность НС Si(f) на входе АП; и2 - дисперсия помехи п(/) на входе АП;
А/, Ыш - ширина рабочего частотного диапазона и коэффициент шума линейного тракта приемника (ЛТП) АП; А/к1 - полоса пропускания ПФ Ф2; пк -количество каналов в МО; А/д - диапазон изменения доплеровских смещений излучений различных КА СРНС «Навстар».
В КО после обнаружения НС (т.е. после принятия
гипотезы Н.) осуществляется грубое оценивание т.; г
по номеру поискового пространства по временному сдвигу с погрешностью ит = Тэ/4 и грубое оценивание
л
/д; г по номеру канала МО с погрешностью и/ =
= А/к1/2. В случае приема НС Si(t) на фоне квазибелого шума п(() основные характеристики КСЗ в установившемся режиме описываются следующими соотношениями [5, 7]:
аТт T3/gpK; gpK
_ g2^A/k2 / A/m •
V1+2g
g22 _ gsn^l A/n / A/K2 ;
Литература
1. Соловьев Ю.А. Системы спутниковой навигации. М.: Эко-Трендз, 2000.
2. Волынкин А.И., Кудрявцев И.В., Мищенко И.Н. и др. Аппаратура потребителей СРНС «Навстар». // Зарубежная радиоэлектроника. 1983. № 4,5.
3. Дятлов А.П., Володин А.В., Дятлов П.А. Радиоподавление
канала обнаружения навигационных сигналов в аппаратуре потребителя СРНС «Навстар» // Тр. VIII МНТК, «Радиолокация, навигация, связь». Воронеж, 2001.
4. Дятлов А.П., Володин А.В., Дятлов П.А. Радиоподавление
канала слежения за частотой навигационных сигналов в аппаратуре потребителя СРНС «Навстар» // Тр. IX МНТК «Радиолокация, навигация, связь». Воронеж, 2003.
5. Дятлов А.П., Володин А.В., Дятлов П.А. Радиоподавление
канала слежения за задержкой навигационных сигналов в аппаратуре потребителя СРНС «Навстар» // Радиотехника. 2004. № 8.
6. Савинков А.Ю., Фурсов С.В., Зимовец К.А. и др. Определение координат мобильного абонента в городских условиях. Мобильные системы. 2003. № 10.
7.Спилкер Дж. Цифровая спутниковая связь. М., 1979.
8. Дятлов А.П., Дятлов П.А., Кульбикаян БХ. Корреляци-
онно-фильтровая обработка ФМ сигналов на фоне аддитивной смеси квазибелого шума и сигналоподобных помех // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естест. науки. 2004. № 4.
Ростовский государственный университет путей сообщения
25 июня 2004 г.
агпд _ с ат
УДК 531.383
ПРИМЕНЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ РОДРИГА - ГАМИЛЬТОНА ДЛЯ ОЦЕНИВАНИЯ СТОХАСТИЧЕСКОГО ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ КОМПЛЕКСИРОВАННОЙ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ ПОДВИЖНОГО ОБЪЕКТА ПРИ НАЛИЧИИ ПОМЕХ
© 2004 г. В.А. Погорелов, К.Ю. Яковлев, В.В. Рыжов
Эффективность управления автономными высокоскоростными подвижными объектами (ПО) во многом определяется точностью работы бортового информационно-измерительного комплекса (ИК), который может быть построен с использованием гироста-билизированной платформы (ГСП), или бесплатформенной навигационной системы (БНС) [1 - 3].
Измерительные комплексы, содержащие в своем составе ГСП, в силу их высокой стоимости, находят применение только в ИК уникальных ПО, системы управления которых предъявляют высокие требования к точности определения параметров движения [2]. В то же время низкая стоимость БНС делает привлекательным их применение в широком классе ПО [2].
Однако ошибки измерений недорогих БНС увеличиваются пропорционально квадрату времени движения ПО, и при отсутствии дополнительной информации о параметрах его движения достигают недопустимо больших значений [3]. Таким образом, возникает задача коррекции показаний БНС. Она может быть осуществлена либо с помощью неинерциальных датчиков (баровысотомера (БВМ), указателя воздушной скорости и др.), либо от внешних навигационных систем, например, спутниковых (СНС) [4]. Очевидно, что применение СНС (имеющих требуемую точность определения параметров движения) в качестве системы коррекции приводит к потере автономности ПО, в то время как применение в ИК неинерциальных датчиков (имеющих значительно меньшую по сравнению с СНС точность) позволяет ее сохранить, что особенно важно для объектов, функционирующих в аварийных режимах эксплуатации и ПО военного назначения.
Высокая эффективность комплексирования показаний неинерциальных датчиков с показаниями БНС достигается в случае синтеза стохастического вектора состояния навигационной системы ПО в форме близкой к линейной. При этом любые допущения о характере движения ПО и распределении помех измерений приводят к значительному снижению точности навигации. Разрешить указанное противоречие оказывается возможным, если использовать параметры Родрига -Гамильтона для синтеза стохастического вектора состояния БНС. Преимущества использования параметров Родрига - Гамильтона широко раскрыты в [5]. Поэтому подчеркнем лишь то, что их применение позволяет синтезировать вектор состояния БНС в форме, близкой к линейной, а алгоритмы навигации, построенные на их основе, легко реализуются в бортовых вычислительных комплексах современных ПО.
Рассмотрим далее один из возможных способов использования параметров Родрига - Гамильтона для синтеза стохастического вектора состояния комплек-сированной навигационной системы ПО.
Введем в рассмотрение следующие правые системы координат (СК) [5]:
- инерциальную СК (ИСК) с началом в центре Земли,
- гринвичскую СК (ГрСК),
- сопровождающую СК (ССК) 0ХУ2, начало которой совпадает с центром масс ПО, а плоскость 0ХУ относительно оси 2 не вращается, т.е. юг = 0 ,
- приборную СК (ПСК) 0ху2, оси которой направлены по соответствующим осям чувствительности приборов, входящих в состав измерительного комплекса ПО.
Считаем, что в состав ИК входят три акселерометра, три датчика угловой скорости (ДУС), оси измерения которых ортогональны и совпадают с соответствующими осями ПСК, и БВМ, удовлетворяющий заданным требованиям по точности измерения в предполагаемом режиме функционирования объекта.
В качестве модели шумов измерений чувствительных элементов НС примем белый гауссовский шум (БГШ). Такой подход не накладывает принципи-
альных ограничении на решение поставленной задачи, поскольку, при необходимости, путем расширения вектора состояния за счет введения формирующих фильтров оказывается возможным получить из БГШ процесс с требуемым законом распределения.
Для синтеза вектора состояния БНС необходимо определить через его переменные текущую ориентацию ССК относительно ПСК. Для этого предварительно рассмотрим текущую ориентацию ПСК и ССК относительно ИСК.
Взаимная текущая ориентация ПСК относительно ИСК описывается известной системой кинематических уравнений [6]
х = 2 ф[х]ю ; (1
*1(0) = V х 2 (0) = х 20, Хз (0) = Хз0, х 4 (0) = х 40,
где ю = [юх ю7 mZ ] - вектор абсолютной угловой скорости ССК, проекции которого на оси ССК равны: ю^ = юХ0; ю7 = ю7() +Q cos ф ; fflZ = ^ sinф,
х = [х1 х2 хз х4 ] - вектор параметров Родрига -
— х 2 —хз —х 4
Гамильтона [6], Ф(Х) =
Xj Х 4 — Х з — X 4 Xj X 2 X з —X 2 Xj
кватер-
нионная матрица; ф - широта центра масс ПО, которая может быть выражена через параметры Родрига - Гамильтона следующим образом: ф = (-1)к агс8т2(Х1Х3 +Х0Х2) + кп, к = 0,^; ^ -скорость вращения Земли.
В свою очередь текущая ориентация трехгранника ПСК I относительно ИСК описывается вектором
ц = [ ц 2 ц3 ц4 ], записанным в параметрах Родри-га - Гамильтона:
М = -2 Ф(мОюp ;
Mi (0) = Min, М 2 (0) = М 20, Мз (0) = Мз0, М 4 (0) = М 40
(2)
где Ф(м) =
= [
— М 2 — Мз — М 4 М1 М 4 — М 3
— М 4 М1 М 2
М 3 — М 2 М1
кватернионная матри-
ца, ® p = L®x % ю z
- вектор абсолютной угловой
скорости вращения приборного трехгранника, который может быть получен по показаниям
= [ ] Г ДУС = юр + Wd, откуда
Юр = - Wd, (3)
где Wd = [[ Wy Wz ] - вектор аддитивных помех
измерения ДУСов, который может быть представлен в виде белого гауссовского вектор-шума (БГШ) с нулевым средним и матрицей интенсивностей Dd .
С учетом (3) угловое движение БНС (2) может быть представлено в векторном виде:
А = 1 Ф[А]( - W).
(4)
Для окончательного синтеза вектора состояния навигационной системы ПО необходимо представить в замкнутой форме правые части системы уравнений (1). Для этого первоначально рассмотрим возможность представления в форме Ланжевена проекций угловой скорости ССК юХд, ют0 , которое позволило
бы записать в дальнейшем уравнения вектора состояния НС в замкнутой форме.
Учтем, что проекции угловой скорости юХо, ют0
связаны с проекциями линейной скорости объекта Ух, Ут на соответствующие оси сопровождающей СК линейными соотношениями:
Ух = -®70 (г + к), Ут = юх0 (г + к), (5)
где г - радиус Земли, к - высота объекта над уровнем моря, которая может быть получена по показаниям БВМ
(6)
где Щк - помеха измерения, описываемая в общем случае стохастическим нелинейным дифференциальным уравнением не ниже 2-го порядка:
^ = /ко (г, Щ, , /) + Д (г, Wк, , Ы к1 ;
1Ук = = /к2 (г, Щк, , t) + /кз (г, Щк, , ^ к2, (7)
/к -, / = 0,3 - известные нелинейные функции, опре-
Ч = h + Wh:
деляемые типом прибора; Ъh =
Ъ h
Ъ h2
нормирован-
ный белый гауссовский вектор-шум.
Для определения искомых выражений проекций Ух и Ут обратимся к основному уравнению инерци-альной навигации [7, с.403]
a = I/ + (2Q, +ю0) V - g,
(8)
где а - ускорение, измеряемое акселерометрами в ССК, ю0 = [соXo a¡Y о] - вектор угловой скорости ССК, обусловленные движением ПО относительно Земли, V = [X VY VZ ] - вектор скорости центра масс ПО
относительно Земли, Qз = [о Q cos в' Q sin в'] -вектор угловой скорости вращения Земли в ССК,
g=
0 Q2(r + h)cos©'sin©' - Q2(r + h) cos2 ©' -
вектор ускорения силы тяжести, g0 = g(Я, ф, к) -гравитационное ускорение, в наиболее общем случае рассматриваемое как функция g 0 = g 0(к, ф, г) высоты к и широты ф , аппроксимируемая конечным рядом Лежандра.
Стохастическое выражение для вектора ускорения а может быть получено из выражения вектора выходных сигналов акселерометров 2а = [ 22 г3 ] в
следующем виде: 2а = а + Ща = Са + Ща или, учитывая, что Ст = С-1, в виде
а = Ст (га - Ща), (9)
где С[ц, X] =£>[ц]Вт[Х] - матрица направляющих косинусов в параметрах Родрига - Гамильтона, определяющая ориентацию ПСК относительно ССК, -матрица поворота 2-го рода в параметрах Родрига -Гамильтона [6], определяющая ориентацию ПСК относительно ИСК,
D[] =
1 - 2(А2 + А2) 2(^2 + АоАз) 2(^3 - А0А2) 2(^1^2 - АоАз) 1 - 2(Ai + Аз) 2(А2Аз +А0А1) 2(А,Аз + А0А2) 2(А2Аз - А0А1) 1 - 2(Ai + А2)
В=В[ ц ] - матрица 2-го рода в параметрах Родрига -Гамильтона, определяющая ориентацию ССК относительно ИСК, Ща = [[ Щ2 Щ3 ] - вектор помех акселерометров, который в общем случае может быть описан БГШ с нулевым математическим ожиданием и известной матрицей интенсивностей Ба .
Из первого и второго уравнений системы (8), с учетом (6) и (9), а также сделанных допущений об ориентации осей ССК получим стохастические выражения для Ух и Ут :
Ух = С(1) (га - Ща )+ 2^ -- (х + Ух (г + - Щк )-1) (г?к - /к0 - /к11к1) + gх;
^т = С(2)(га - Ща )- 2^гУх +
+ (х - Ут (г + ^ - Щк)-1)к - /к0 - /к1 ^) + gт (10)
где для компактного представления стохастического вектора состояния ПО через С^ (/ = 1,2) обозначена
/-я строка матрицы С .
Объединяя в единую систему уравнения (1), (4), (7) и (10), в окончательном виде получим стохастический вектор состояния БНС:
0
X = 1 Ф[Х]
(r + Zh - Wh )-
Vx
Vy
Zh fhn fh ^h
Q cos©' Q sin ©'
(X = 2 ФМ(( - Wd);
í>x = C0)( - W(a))+ 2QzVy - (2Qy + Vx(r + Zh - Wh}-1)x
x (zZh - fho)+^x + (y + К (r + Zh - Wh )ч ) ^; Vy = C(2)(a - Wa)-2QzVx + ( - Vy(r + Zh - Wh)-1)x x Z - fho) + & -(x - Vy (r + Zh - Wh )-1)) wWht = fho (Zh, Wh W, t) + fhi(Zh, Wh, Wht, t)^hi; Wh = fh2(Zh,Wh,Wht,t) + fh3(Zh,Wh,Wht,t)^h2 . Или в каноническом виде
Y = F(Y, t) + Fo(Y, t)Z ,
(11)
+
где 7 = [ Fx VrWhiWh2 - , Z = [[ W ^ -F (Y, t) =
" Vx " ' 0 1
(r + Zh - Wh )-1 Vy + Q cos 0'
Zh - fh0 Q sin 0'
2
-
C(1) + 2%Vy - ( + Vx (r + Zh - Wh r ) - fh0) + gx C(2)Za - 2&zVx + ( - Vy (r + Zh - Wh )-1) - fh0) + gY
fh0(Z ,Wh ,Wht, t) fh2(Z,WhW,t)
Fo(Y, t) =
" 1 1 0j"2" ф3<Х)[г + Zh - Wh ]-1 fh1 1 + 2Q sin 0' ¡0 1
1 П - Ф(Ц)|0
0 ¡C0)j [ + Vx [r + Zh - Wh ]-1 — 0
0 C(2) j [x + Vy [r + Zh - Wh\-1 - fh2 |0
0 f ! 0
_ 0 ; fh2
По окончании синтеза стохастических уравнений вектора состояния БНС в виде (11) с целью возможности последующего использования методов оптимальной фильтрации необходимо получить, следуя работе [7], уравнение наблюдения за вектором У, т.е. аналитическую модель информационно-измерительного сигнала, явно зависящую от одного или нескольких компонентов вектора У и позволяющую построить его апостериорную плотность в соответствии с известными в теории фильтрации подходами.
Используя третье уравнение системы (8) и выражения проекций параметров движения в ССК через выходные сигналы измерителей и их помех, получим уравнение наблюдения за вектором состояния У:
Z3 = C- (Zh - fh2 - ( - Vx (R + Zh - Wh)-1) V
C33
+ (x + Vy (R + Zh - Wh)-1 )Vy - gz - fh3lh2)-
C31 C32 C33 C33
W
W2
W3
- 1/C33A3 l h2-
Или в каноническом виде
Z 3 = H (Y, t) + H 0 (Y, t)
Wa
(12)
где H0 =
C31 C32 1 C33 C33
1/C33f*
н(У, /) = -С- (¿к - /н - (у - (Я + - wh)-1)х
С33
х (X + Уу (Я + - Wh)-1) - - /h3 ).
Для иллюстрации возможности практического использования такого подхода было рассмотрено численное моделирование движения БНС совместно с текущей оценкой навигационных параметров на временном интервале 0 - 10000 с при шаге /=0,001 с.
Значения характеристик помех измерительного комплекса выбирались в соответствии с существующими в настоящее время ДУС, БВМ и акселерометрами.
Оценка вектора состояния У производилась на основе использования обобщенного фильтра Калмана [9, с.187], выбор которого был обусловлен близостью синтезированного вектора состояния БНС к линейной форме, а следовательно, адекватностью гауссовской аппроксимации апостериорной плотности вероятно -сти стохастического вектора состояния исследуемой БНС.
По окончании временного интервала моделирования максимальные ошибки оценивания переменных вектора состояния составили: по вертикальной составляющей скорости движения ПО - 2 %, по высоте - 6 %, по углам ориентации - 0,1 %, по угловой скорости - 0,03 %.
Таким образом, полученные результаты свидетельствуют о возможности эффективного практического использования предложенного подхода в реальных навигационных системах автономных ПО.
Литература
1. Петров Б.С. Вопросы теории инерциальных навигационных систем. М., 2003.
2. Ривкин С.С., Берман З.М., Окон И.М. Определение пара-
метров ориентации объекта бесплатформенной инерци-альной системой. СПб., 1996.
3. Разоренов Г.Н., Бахрамов Э.А., Титов Ю.Ф. Системы управления летательными аппаратами. М., 2003.
4. Интегрированные инерциально-спутниковые системы навигации: Сб. статей и докл. / Под. редакцией В.Г. Пе-шехонова СПб., 2001.
5. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М., 1976.
6. Онищенко С.М. Применение гиперкомплексных чисел в теории инерциальной навигации. Автономные системы. Киев, 1983.
7. Командно-измерительные приборы / Под. ред. Б.И. Назарова. М., 1975.
8. Хуторцев В. В., Соколов С.В., Шевчук П.С. Современные
принципы управления и фильтрации в стохастических системах. М., 2001.
9. Справочник по теории автоматического управления / Под. ред. А.А. Красовского М., 1987.
Ростовский военный институт ракетных войск
24 марта 2004 г.
1
l
h
2
