CC BY
19КИНЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ЗАДАЧ СТАБИЛИЗАЦИИ
А.В.Юрков (yurkov@icape.nw.ru)
Междисциплинарный центр дополнительного профессионального образования Санкт-Петербургского государственного университета
Известно [1], что изменение векторов-столбцов (о^^о^, описывающих
вращательное движение твердого тела и ортов опорных и ориентируемых осей в жестко связанной с телом системе координат Охух , подчинено уравнениям:
воо + ахва = М (1)
& = (о -о)х& (2)
о, =т0хо, (I = 1,2,3), (3) имеющими интегралы движения
=8 (4) о* о, = 81} (I,] = 1,2,3). (5)
Уравнения (1), характеризующие динамику вращательного движения тела, часто называют уравнениями Эйлера, уравнения (2), (3), характеризующие кинематику, - уравнениями Пуассона. В приведенных уравнениях в — матрица тензора инерции тела относительно его центра инерции С (эта матрица постоянна и определенно положительна); М — столбец координат главного момента внешних сил, действующих на тело, относительно точки С; 8 — символ Кронекера (8и = 1, 8^ = 0 при ]).
Пусть в0 - матрица тензора инерции тела относительно точки О; М0 - столбец координат главного момента внешних сил, действующих на тело, относительно точки О; тс -
столбец координат радиус-вектора ОС центра инерции С тела относительно точки О; Г -столбец координат главного вектора внешних сил, действующих на тело; т - масса тела. Тогда, как известно, матрица в и столбецМмогут быть записаны в виде:
в=в0 - т(г*гсЕ3 - г/с), М = М0 - тс хГ . Мы считаем, что М0 = М°у + М°, где М°у - столбец координат главного момента внешних управляющих сил, относительно точки О, а М°в - столбец координат главного момента
внешних возмущающих сил, относительно точки О, которым мы распоряжаться не можем. В расчетном варианте (без погрешностей в информации и теле и действующих на него силах) величины в и Мв = М°в - гс хГ известны точно. При наличии погрешностей в информации о
теле и действующих на него силах мы полагаем, что указанные величины известны с точностью до слагаемых, оценки сверху на норму которых известны. Учитывая сказанное, полагаем, что в уравнениях (1)
в=вр + вп, M = My + Mе, Mв = Mер + Mеп,
где My = M0y - управления, подлежащие выбору; вр, Mep - известные точно величины; врп, Mnn - величины, обусловленные погрешностями. В расчетном варианте вп = 0, Mnn = 0, а в случае, когда имеются погрешности,
||в„| <Ъп, ||Men I * теп , где теп - известные константы. Для определенно положительной матрицы в мы предполагаем известными константы ф и $2 в оценках, которым эта матрица удовлетворяет фЕ3 <в<$2E3, >0) .
Эти константы в расчетном варианте имеют смысл соответственно минимального и максимального главных центральных моментов инерции тела, а в варианте с погрешностями - оценки снизу и сверху для указанных величин (положительные числа).
Если столбцы ot являются известными вектор-функциями времени, имеющими непрерывные и ограниченные производные до второго порядка включительно, то вектор-функция о>а = также известна, непрерывно дифференцируема и ограничена вместе с
производной, а соотношения (3) и (5) тождественно выполнены.
При исследовании системы (1)-(3) удобным оказывается аппарат параметров Родрига-Гамильтона [2], используемых для описания взаимного расположения векторов. Этот аппарат позволяет, в частности, не усложняя структуры подлежащей исследованию системы, сократить число интегралов движения с шести (3) до одного. Параметры Родрига-Гамильтона - будем обозначать их | ,А = (, Ад) - вводятся через элементы конечного
поворота и могут быть определены следующим образом. Пусть e - направляющий орт оси, вокруг которой поворот совершается, а щ - величина угла поворота. Тогда
А = cos—, а = esin—. 2 2
В дальнейшем под параметрами Родрига-Гамильтона будем понимать пару А0, А. Очевидно, что
А2+||А||2 = 1.
Отметим, что как следует из способа введения параметров Родрига-Гамильтона,
параметры Я0 ,Я и -Я0, -Я характеризуют один и тот же конечный поворот и в этом смысле геометрически тождественны.
Триэдрам и о, поставим в соответствие конечный поворот, совмещающий соответствующие им тройки ортов & и о, (1=1,2,3). Для того, чтобы соответствие было однозначным, будем считать, что при указанном конечном повороте вращение триэдра о { осуществляется против часовой стрелки, если смотреть с конца направляющего орта оси вращения, и угол поворота лежит в пределах [0,я]. Выбранному конечному повороту поставим в соответствие параметры Родрига-Гамильтона Я0, Я .
Пусть ортогональные матрицы £ = , , ), X = (о1 ,о2 ,о3), образованы из столбцов координат ортов & и о, в системе координат Оху2, жестко связанной с телом. Наряду с этими матрицами рассмотрим транспонированные матрицы Я* и X* и их представления в виде совокупности столбцов Я* = (&1 ,&2 ,&3), X* = (о1 ,о2 ,о3). Конечный поворот, совмещающий соответствующие столбцам & и о орты при совмещении триэдров & и о, конечным поворотом с параметрами Родрига-Гамильтона Я,Я, можно также
характеризовать параметрами Родрига-Гамильтона. Обозначим эти параметры ¡0 ,!.
Разумеется, параметры Я0 ,Я и ¡0,ц эквивалентны с точки зрения описания взаимного расположения триэдров & и о,. Однако, параметры Я0 ,Я имеют более наглядный геометрический смысл, а параметры ¡0, ¡1, как будет видно в дальнейшем, удобнее с точки зрения алгебраических преобразований. Ниже мы укажем, каким образом связаны столбцы & и о { с параметрами Я,Я и ¡0,1, выпишем эквивалентные уравнениям (2), (3) уравнения, описывающие изменения этих параметров, а также докажем некоторые их свойства, полезные для дальнейшего.
Лемма 1. Матрицы Я и X через параметры Я ,Я и ¡0,1 связаны соотношением
£ = П*( Я ,Я)х = хп( ¡0,1),
(6)
кососимметричная матрица векторного
произведения, имеющая вид
' 0 -¡3 ¡2 ' Г( 1) = 13 0 -1 -¡¡2 ¡1 0 ,
Соотношение (6) имеет место также и для параметров -А0,-А и -/0, -/ и других
удовлетворяющих ему параметров Родрига-Гамильтона нет.
Доказательство. Нетрудно проверить, что для любых двух векторов Г и Г, совмещаемых в результате поворота на угол у вокруг оси с направляющим ортом е, справедливо соотношение
Т-r = e x(Т + r )tg¥
(7)
Пусть р= r -(r,e)e , p' = r -(Т ,e )e . Очевидно, что (r,e) = (T,e) как проекции на ось поворота векторов, совмещаемых в результате этого поворота. В плоскости поворота вектор p' может быть представлен в виде суммы двух векторов - параллельного вектору p и ортогонального ему:
p=pcosy + (e xp)siny (8)
Заменяя векторы p и p' в соотношении (8) их выражениями через Т и Т, найдем
Т = тcosy+(1 - cosy)(Т ,e)e+(exr)siny. Полученное выражение вектора Т подставим в правую часть соотношения (7). В результате имеем
Т -r = (e хr )(1 + cosy)tg¥ + [e x(e xr )]sinytg,
¥
отсюда
- „ ¥
r = r + 2c os —
2
e sin— 2
x r
+ 2
e sin— 2
x
e sin— 2
x r
Следовательно,
Г = [Е3 + 2А0¥(А) + 2^2(А)] г ,
или, учитывая кососимметричность матрицы векторного произведения, 7, = П(А0 ,А)Т. Используя установленное соотношение для каждой из пар si, б{ и , 61, имеем
sl = П*( Ао ,А)аг, sl = П*( / , 0=1,2,3)
Переходя к матричной записи, получим
5 = П*( А0 ,АД, = П'(/0
что и доказывает справедливость соотношения (6).
То, что наряду с параметрами А0 ,А и ц0,/ соотношению (6) удовлетворяют
параметры -А0,-А и -/0,-/, очевидно, поскольку по своему определению матрица П
удовлетворяет соотношению П(¡0 ¡) = П(-¡0, -!) .
Покажем, что других параметров, удовлетворяющих соотношению (6), нет. Для этого достаточно показать, что уравнение
П( ¡0 ¡) = X (9)
где X = Х*Я - ортогональная матрица (X*X = Е3), имеющее решения ±!0,±!, других решений не имеет. В самом деле, пусть ¡0,! - некоторое решение этого уравнения. Если X = Е3 (т.е. £ =Х), то из уравнения (9) с учетом вида матрицы П получаем
¡0 Г( ¡) = г 2( ¡).
Отсюда, поскольку ¡0 + |Ц|2 = 1, найдем, что ¡ = 0 , ¡0 =±1. Таким образом, в этом случае наше утверждение верно. Если ортогональная матрица X не является единичной, то ее собственные числа (1 и ±1) различны. Поскольку, как легко проверить, П(¡0,!)!=!, для любого решения уравнения (9) имеем X! = ! . Значит в рассматриваемом случае векторы и ! коллинеарны как собственные векторы матрицы X, отвечающие одному и тому же некратному собственному числу. Следовательно, = а! , где а - некоторая константа. Для ее определения из соотношения (9) вычтем такое же, но для параметров ¡0 , ¡'. В результате получим
(а^ - ¡0 Г¡) + (1 - а2 )¥2 (¡) = 0. Матрицы Г(¡) и Г2 (¡) являются линейно независимыми, и ¡Ф 0 поскольку в рассматриваемом случае X Ф Е3. Поэтому последнее соотношение дает а2 -1, ¡0 =а~1l0. Следовательно, ¡0 =±¡0, !' = ±!, т.е. как и в предыдущем случае, других решений уравнение (9) не имеет. Лемма доказана.
Лемма 2. Параметры ¡0 ^ связаны с параметрами Я0 ,Я либо соотношениями
¡0 = Я0 ¡ = -Х*Я, либо соотношениями ¡0 = Я0 ¡= Х*Я.
Доказательство. В соответствии с леммой 1 связь параметров ¡0 ^ и Я ,Я определяется соотношением
£ = П*( Я ,^^Х = ХП( ¡0 ¡). Отсюда, учитывая ортогональность матрицы X, имеем
П(¡0 ¡) = X*П*(Я0,Я^ = Е3 + 2Я) [£*Е(Я)X] + 2X*F2(Я^.
Легко проверить, что для произвольных векторов а и Ь верно соотношение
E * [a x b ] = (E*a) x (E*b) . Следовательно,
П(м0 ,м) = E3 - 2Я0F (-E*X) + 2F2(-E*X) = П(A0, -E *A)
Последнее уравнение обращается в тождество, если м0 =Я0 ,m = -E*X или м0 =Я0 ,m=E*X. Других решений данное уравнение, как установлено при доказательстве леммы 1, не имеет. Лемма доказана.
Лемма 3. Имеют место равенства
Ils -ъ\\2 = 4( M;2+ MÏ h
(S -Oif(Sj -oj) = -4m1mj
для i, j, k = 1,2,3; i Ф j Ф k Ф i.
Доказательство. Рассмотрим матрицу X = (S -E) (S -E). Элементы этой матрицы имеют вид Xj = (si -ai)*(sj -oj). С другой стороны с использованием леммы 1 имеем
X = [En|,M)-E]* [П^М-E] = 4F2(m)[F2(m)- M0E] (10)
Заметим, что так как
mx[mxe] = м(M*e)-(m*m)e3 =(мм* -M2E3)ei, где ei - i-й столбец матрицы E3, то
F2(M) = MM* -M|2E3.
Очевидно также, что F(M)M = 0 и м0 + ||м||2 = 1. С учетом сказанного из соотношения (10) получим
X = -4F2(m) = 4(|И2 E3-mm*) . (11)
Сравнивая последнее представление матрицы X с указанным в начале доказательства, устанавливаем справедливость утверждения леммы. Следствие. Справедливо равенство
ZI S 1 = 81 Ml!.
i=1
Доказательство этого соотношения очевидно.
Лемма 4. Если выполнены соотношения (3), то уравнения (2) эквивалентны уравнениям
• 1 / / /\ • 1 / / Л /^Ч
M =—(M0Ern +mXE ю ), м0 = -~mE ю (12)
и уравнениям
Я = 1 (Я0(-Ях() + юохЯ, Я0 =-1 Яо , (13)
где (о =Ю-Ю6 +(, в смысле задаваемого соотношением (6) взаимно однозначного соответствия между решениями уравнений (2) и парами решений ¡0^ и -¡0,-l уравнений (12) и парами решений Я0 ,Я и -Я0, -Я уравнений (13) соответственно. Доказательство. Из представления £ = XП(¡0 ¡) имеем £ =:ЁП( ¡0 ¡) + XП (¡0 ¡). Вместе с тем из уравнений, описывающих поведение ортов & и о,, следует
£ = -о)£ = Г(оо )£ - Г(()£, X = Г(оо ^.
Поэтому
П(¡0¡) = ()£ = -Г()П(¡0¡).
Подставляя в левую часть последнего соотношения выражение для матрицы П(¡0 ¡) через параметры Родрига-Гамильтона и вводя обозначение а = '¿*ы , получим
¡¡0 Г( 1) + ¡0 Г( ¡& ) - Г( ¡& )Г( 1) - Г( ¡)Г( ) =1 Г( а)П( ¡0 ¡) (14)
Умножив матричное уравнение (14) справа на столбец l, с учетом равенств Г(!)! = 0 и П(¡0 ,!)! = ! найдем, что
¡0( ¡& х!)-¡х( А х!) = 1aх! (15)
Умножив уравнение (15) векторно на l слева и заметив, что
¡х(¡1 х!) = ¡¡||Ц2 -¡(¡1 *!), получим еще одно соотношение
Ц|2 (¡1 х!) + !0 [¡х(й х!)] = 1 [¡х(ахl)] (16)
Прибавляя к соотношению (16) соотношение (15), умноженное на ¡0, и учитывая, что ¡0 + И2 = 1 , получим
** =1 (¡0а + ¡х а) ^ Отсюда
¡1 = 1 (¡0а + ¡ха + аl). (17)
где а - подлежащий определению параметр.
Для того, чтобы определить значение параметра а, подставим выражение (17) для вектора ¡1 в уравнение (14) и преобразуем его. Левая часть уравнения (14) преобразуется следующим образом:
¡0 Г( ¡) + ¡0 Г( ) - Г( )Г( 1) - Г( ¡)Г( ) =
ЙГ^) + ^[¡Г^) - 2¥2 (¡)] + 1 ¡0 [[х а) - Р (а)¥ (¡) - Р^Ща)] (18) 2 ^ р(а) - р( ¡)р( ¡х а) - р( ¡х а)р( ¡)]
Заметим, что
Р(¡)Г(а) = aи - (¡*а)Е3,
Г( а)Г( ¡) = ¡а - ( ¡а)Е3, (19)
Р(¡ха) = al* -¡а*
С помощью этих представлений легко установить, что последние два слагаемых в (18) преобразуются следующим образом:
Г( ¡х а ) - Г( а )Р( l) - Г( l )Р(а ) = -2Р(а )Р( l)
¡02Р(а) - Г( ¡)Р( ¡х а) - Г( ¡х а)Г( ¡) = ¡02Р(а) + la*F( ¡) + F(a)ll *
Следовательно, левая часть уравнения (1 4) преобразуется к виду:
¡0 Р( 1) + 2 а [¡0 Р( l) - 2Р2 ( ¡)] - ¡0 р( а)Р( l) + 2 [¡02 Р( а) + ¡а*Р( ¡) + Р( а)^*
Для правой же части уравнения (14), учитывая представление П(¡0¡) = (¡02 -|Ы|2)Е3 -2l0F(¡) + 2ll*, очевидным образом получим:
2¡)= 2[¡оР(а) - ЦЦ2 Р(а) - 2^Р(а)Р(¡) + 2F(a)ll* ] .
После подстановки найденных выражений в уравнение (1 4) и переноса всех членов в левую часть будем иметь:
¡0Р( 1) + 2а[¡0Р(¡) -2Р2(¡)]+2 Р(а)(|Ц2 Е3 -¡¡*) + ¡а*Р(¡)
Поскольку |Ц2 Е3 -¡¡* = -Р2 (¡) и, учитывая соотношения (19),
¡а*Р(l) -Р(а)Р2(l) = (¡*а)Р(¡), окончательно имеем
(¡0 +1 ¡*а+1 а¡0 )Р( ¡)-аР2 (¡) = 0.
= 0.
Матрицы ¥(/) и ¥2 (/) линейно независимы, поэтому из последнего соотношения заключаем, что а = 0 и, следовательно,
1 * 1 /0 = -—/а, I =— (10а + /ха).
Последние соотношения суть ни что иное, как уравнения (12), поскольку по нашему обозначению а = Ъ*ы . Для того, чтобы получить уравнения (13), достаточно воспользоваться соотношениями /0 = А0, / = -Ъ*А, подставив их в (12). Переход от
уравнений (12) или (13) к уравнениям (2) может быть осуществлен повторением сделанных выше рассуждений в обратном порядке.
Доказательство леммы завершим замечанием, что характер устанавливаемого соотношением (6) соответствия между решениями уравнений (2) и (12), (13) определяется утверждениями леммы 1 .
ЛИТЕРАТУРА
1. Лурье А.И. Аналитическая механика. М., 1961, 824 с.
2. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М., 1973, 320 с.
3. Смирнов Е.Я., Павликов В.Ю., Щербаков П.П., Юрков А.В. Управление движением механических систем. Л., ЛГУ, 1985, 316 с.
