CC BY
23ЗАДАЧИ СТАБИЛИЗАЦИИ ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЙ УПРАВЛЯЕМЫХ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
А.В.Юрков (yurkov@icape.nw.ru)
Междисциплинарный центр дополнительного профессионального образования Санкт-Петербургского государственного университета
В настоящей работе в систематизированном виде даны постановки задач стабилизации программных движений управляемых динамических систем, математические модели которых суть либо уравнения Лагранжа второго рода, весьма удобные при анализе динамических систем, подчиненных голономным нестационарным связям, в частности, электромеханических систем, либо системы дифференциальных уравнений типа уравнений Эйлера-Пуассона, которые часто используются при изучении вращательного движения твердого тела. В ряде практически важных случаев, например, в случае твердого тела с маховиками и гироскопами, оказывается полезным использование как тех, так и других уравнений: первых - для описания движения вращающихся масс относительно носителя, а вторых - для описания вращательного движения носителя [18, 25] .
Как известно, имеются различные подходы к самому понятию стабилизации движения [2, 6-8, 11-13, 20-23]. В самом общем виде оно может рассматриваться как обеспечение устойчивости программного движения в том или ином смысле. Например, в классической постановке [2] при управлениях непрерывного типа под стабилизацией понимается обеспечение экспоненциальной устойчивости программного движения.
Автор данной статьи придерживается следующей общей постановки задачи стабилизации [24, 25], которая в дальнейшем будет конкретизирована применительно к указанным классам управляемых динамических систем. Пусть имеется управляемая система, состояние которой в каждый момент времени полностью определяется вектором фазовых переменных х. Такими переменными могут быть, например, обобщенные координаты и обобщенные скорости. Под движением системы при данном управлении будем понимать решение х = х^,х0,t0)системы уравнений, описывающих ее поведение (х0 - начальное
состояние системы). В случае, когда в качестве фазовых переменных выбраны обобщенные координаты и обобщенные скорости q, ¿1, движение системы будет характеризоваться
парой (¿,q), где q = ¿^,¿0,¿0, t0)- соответствующее начальному состоянию (¿0,¿0) решение
системы уравнений Лагранжа второго рода, замкнутой выбранным управлением.
Пусть хр ^) обозначает программное движение системы. Это движение может быть
задано явно как некоторая вектор-функция времени. Однако в практических задачах чаще
программное движение определяется неявно посредством ряда предъявляемых к нему требований и для нахождения функции хр ^) требуется решить самостоятельную, порой
достаточно сложную, задачу [19].
Пусть 08 обозначает заданную ограниченную окрестность начальной точки программного движения, например, шар радиуса 8 с центром в точке хр (^0): 08 = {х :||х - хр (¿0)|| < 8} ; 0£ - заданную ограниченную £ -трубку программного
движения, например, 0£ = {х :||х - хр (¿0)|| <£, I е Я + }; и - вектор управлений, которыми мы
можем воздействовать на систему. Обычно предполагается, что размерность вектора управлений не больше размерности фазового вектора.
Задача стабилизации программного движения управляемой системы состоит в выборе управлений, при которых любые движения системы, начинающееся в окрестности 08 программного движения, за ограниченное время попадают в окрестность 0£ этого
движения и в дальнейшем там остаются. Другими словами, в данной формулировке задача состоит в выборе закона управления, обеспечивающего за ограниченное время требуемую точность выполнения системой программного движения для любых начальных состояний из заданного множества. Управления, которые решают сформулированную задачу, называют стабилизирующими.
Стабилизирующие управления могут конструироваться как непрерывные функции времени и измеряемых характеристик движения. Вместе с тем, в силу конструктивных особенностей составляющих систему управления частей - измерительных устройств, командных устройств и исполнительных органов - информация между ними может передаваться в дискретные моменты времени и в дискретном виде, а исполнительные органы могут реализовывать управления, принимающие значения из некоторых фиксированных дискретных множеств. Таким образом, во многих практически важных ситуациях закон управления, реализуемый конкретными исполнительными устройствами, не может быть адекватно описан при помощи моделей непрерывного типа. Отсюда возникает необходимость исследования различного рода дискретных моделей управления, в частности, дискретные по уровню управления.
Дискретные по уровню управления являются кусочно-постоянными функциями. В зависимости от того, по какому закону осуществляется переключение с одного дискретного значения управления на другое, дискретные по уровню управления подразделяются на шаговые, релейные, импульсные и другие.
Под шаговым будем понимать такое управление, компоненты которого могут принимать лишь заданные дискретные значения (будем называть их уровнями). Для простоты будем полагать, что уровни кратны некоторым положительным числам к, задающим величину шага дискретности для 1-й компоненты управления. Шаговое управление иш определим по некоторому непрерывному управлению и. Пусть щ,и2,...,ип -
компоненты управления и (будем называть его базовым), ^ - моменты времени, когда
„ . „ N
осуществляется изменение значений 1-й компоненты ишг управления иш, ишг - значение компоненты иш после М-го переключения с уровня на уровень, а и°ш - значение этой компоненты до первого переключения. Значения иШ зададим рекуррентными формулами иШ,г = п.к, иШ„ = иШ- + Ъмяпп(и\ М - иШ~1),
шг г г? Ш1 шг г о \ шг / 5
где пг - целые числа, удовлетворяющие следующим неравенствам:
(иг[к -1 /2 < п < (иг[_0)/Иг +1 /2 Моменты времени ^ зададим как моменты нарушения неравенств
иМ- - иг < к /2 + Аг (32)
где А - некоторые положительные числа. Тогда
I и°шг ПРи t е t1 ), и = <
шг \ N + г^М .М +1\
[ишг ПРи t ^^г , t i )
(г = 1,2,... п; N = 1,2,3,...) Отметим, что наличие констант Аг в неравенствах (32) гарантирует на любом множестве
Я + х П (П - ограниченное подмножество фазового пространства) отделение от нуля интервала времени между соседними переключениями и, как следствие, выполнение условий существования и единственности решений задачи Коши для замкнутой системы. Для задания шагового управления необходимо указать базовое управление и числа кг, Аг. Релейным управлением будем называть управление вида
ирл = Kф(a),
где К = diagк2,...,кп)- диагональная пхп - матрица, элементы которой суть кусочно-постоянные функции измеряемых характеристик движения; < = (<1,<2,...,<п)* - вектор управляющих сигналов; ф(<) - вектор-функция, компоненты ф (<) которой определяются соотношениями
ф <г ) = ) при \<г I ^ 1г ,
(г (Ог ^ < 1 при < 1г ,
где ^ - неотрицательные числа. Интервал [—^, ^ ] называют «зоной нечувствительности»
релейного управления. Вне этой зоны функции р известны точно, а внутри нее - лишь с
точностью до оценок. Этим требованиям удовлетворяют различные релейные функции, встречающиеся в литературе (см., например, [13, с. 15], [3, 5, 6, 9, 23]). Для задания релейного управления необходимо указать функции к{, управляющие сигналы о{ и числа ^ .
Импульсное управление характеризуется тем, что его компоненты являются кусочно-постоянными функциями и могут иметь ненулевую абсолютную величину лишь на некоторых промежутках времени, которые будем называть промежутками импульса. Знаки компонент управления и их амплитуды задаются в момент начала импульса и не изменяются на промежутке импульса. Импульсное управление определим формулой
ии = Кр($,о), (33)
где К, о - те же матрица и вектор, что и в определении релейного управления, а р^,о) -вектор-функция, компоненты ^, о{) которой задаются формулами
(г 0,Ог ) =
Рг Ои ) При I е[^ , ^ +Т ]
ч-к (34)
0 при I е [^ +Т, tN+1 ]
Здесь р - кусочно-постоянные функции, ^ - момент начала #-го импульса по г-й компоненте управления, причем ^ = t0 (t0 - начальный момент времени), тг - длительность импульсов г-й компоненты управления; г = 1,2,...,п N = 1,2,3... Относительно временных промежутков [^, ^+1 ], фигурирующих в определении импульсного управления, предполагается, что ^+1 — ^ > Т , где Т - заданные положительные константы. Для задания импульсного управления необходимо указать функции р, к{, управляющие сигналы о{,
^ т'
моменты времени ti и числа тг, Т .
Приведенная выше формулировка задачи стабилизации дана в работе [13] и рассматривалась в дальнейшем в работах [14-18]. Эта постановка имеет ряд важных, в первую очередь с точки зрения практики, достоинств: не предполагается малость начальной и целевой окрестностей программного движения - они могут быть любыми наперед заданными ограниченными; не требуется обеспечить полезное, но вместе с тем весьма жесткое свойство экспоненциальной устойчивости; не требуется даже, чтобы программное движение при допустимых управлениях было физически реализуемо, т. е. чтобы оно было решением замкнутой системы при каком-либо из допустимых управлений - важно, чтобы
система совершала достаточно близкие к программному движения. Конечно, для того, чтобы задача стабилизации имела смысл, программное движение должно быть реализуемо при каком-то управлении - возможно не являющемся допустимым.
Принятая постановка задачи стабилизации допускает без каких-либо существенных изменений изучение случаев, когда в информации о параметрах системы и действующих на нее силах имеются некоторые (не обязательно малые) погрешности, когда есть ограничения на фазовые переменные, структуру и компоненты управления. Последнее обстоятельство важно и с чисто теоретической точки зрения, поскольку позволяет с единых позиций подойти к ранее весьма разнородным задачам стабилизации, например, непрерывной и релейной (см.[2]), которые укладываются в нашу постановку как частные случаи.
Необходимо вместе с тем отметить, что, несмотря на хорошую приспосабливаемость к нуждам практики, рассматриваемая нами постановка задачи все-таки остается абстрактной математической. Прежде всего это связано с рассмотрением бесконечного промежутка времени функционирования системы и не вполне определенного, а лишь ограниченного времени перехода из окрестности в окрестность программного движения. Кроме того, на практике окрестности программного движения задаются не для вектора фазового состояния, а для каждой из его компонент в отдельности, что требует использования не произвольной, а подходящим образом выбранной нормы.
Удовлетворение указанных, а также других важных в прикладном отношении требований (например, выбор наилучших в некотором смысле стабилизирующих управлений) можно рассматривать как следующую задачу, один из подходов к решению которой состоит в построении зависящих от параметров стабилизирующих управлений и направленном их переборе.
В решении сформулированной задачи стабилизации плодотворным оказывается использование прямого метода Ляпунова, когда с помощью подходящим образом выбранных функций оценивается поведение решений исследуемых динамических систем, замкнутых конструируемыми управлениями. Для систем общего вида, как известно, нет универсальных способов построения функций Ляпунова1. Более того, оказывается, что по ряду причин (например, простота реализации синтезируемого закона управления) задачу стабилизации программных движений для электромеханических систем или твердого тела с вращающимися массами целесообразно решать с учетом специфики используемых для их
1 Некоторые соображения, касающиеся различных способов построения функций Ляпунова, можно найти в работах [1, 2, 8, 13].
описания математических моделей: уравнений Лагранжа второго рода или уравнений Эйлера-Пуассона, и доступной измерению информации о движении системы. В связи с этим сформулируем задачи стабилизации программных движений для каждой из названных динамических систем, а также опишем формальным образом важные в прикладном отношении классы управлений (шаговые, релейные, импульсные), с помощью которых названные задачи решаются.
Уравнения Лагранжа второго рода имеют вид [4]
дТ
—дТ=0, (9)
дд
дд
где д = (д1, д2,..., дп)* - вектор-столбец обобщенных координат дi; 0 - вектор-столбец
обобщенных сил, действующих на систему; Т - кинетическая энергия системы.
Известно, что кинетическая энергия системы есть некоторая функция аргументов t, д, д, причем компоненты вектора д входят в Т со степенью не выше второй. В соответствии с этим запишем кинетическую энергию в виде суммы трех однородных относительно компонент вектора д слагаемых: Т = Т0 + Т + Т2 , где Т0, Т, Т имеют вид
Т0 = д); Т = Н *д; Т2 = 2 в в =в{и д) (10)
Мы будем полагать, что Т0, Н, в суть непрерывно дифференцируемые скалярная, векторная и матричная функции аргументов t и д, ограниченные вместе со своими частными производными в области Я + хБ , где Б - любое ограниченное подмножество пространства Яп, а матрица в, кроме того, имеет ограниченную обратную матрицу, удовлетворяя оценкам с положительными константами ф и ф2 (ф < ф2)
ФхЕп <в<ф2Еп (11)
Будем считать, что вектор обобщенных сил состоит из двух слагаемых: вектора управляющих сил 0у, который мы будем выбирать, исходя из определенных соображений, и
вектора возмущающих сил , которым мы распоряжаться не можем, т.е. 0 = 0у + .
Программное движение для системы (9) определим как пару (г,г), где г = г^)-заданная п-мерная вектор-функция времени. Мы будем считать, что это ограниченная дважды кусочно непрерывно дифференцируемая функция.
Окрестности 08 и 0£ программного движения (г, Г) системы (9) определим следующими формулами:
С, = {{ И):||И - г (ОН <8?, ||И - Г(0|| <8, }, С£={{ И): | - Г (/0)1 <ед, ||и - Г(0|| <ед }, где 8д, 8И, ед, еИзаданные константы 0 <ед < 8д, 0 < £4 < 8д .
Таким образом, для системы (9) задача стабилизации программного движения (г, Г) состоит в выборе вектора Qy, при котором любые решения этой системы, начинающиеся в множестве , за ограниченное время попадают в множество и в дальнейшем его не покидают.
Если ввести новые обобщенные координаты по правилу х = q - г (/), X = q - Г(/), то структура уравнений (9) в силу линейности оператора предложенной замены не изменится. В результате указанной замены изучение поведения решений системы (9) в окрестности программного движения (г, Г) сводится к изучению поведения решений преобразованной системы в окрестности программного движения (г (/) = 0, Г (/) = 0) . Таким образом, не умаляя общности, можно считать, что начальная и конечная окрестности программного движения для системы (9) заданы формулами
С8={{ И): И <8д, И ^ }, СЕ={{ q):\\q\\ <ед, И <е. }, (12)
В случае, когда параметры исследуемой системы (9) известны с погрешностями, будем полагать, что величины в, Н, Т0, Qв имеют вид
в=вр+вп, н=нр+нп т=тр+тп, Qв = аер+аеп (13)
Здесь нижним индексом р помечены расчетные (т.е. известные точно) величины, а нижним индексом п - погрешности, на которые истинные величины отличаются от расчетных.
Сформулированную задачу стабилизации удается конструктивно решить с использованием метода функций Ляпунова [], если считать, что нам известны верхние оценки величин Qn Нп, Qвn и их частных производных первого порядка, а для матрицы в,
кроме того, - положительные константы Я и Я2 , оценивающие ее собственные числа:
ЯЕ <в<$2Еп .
Уравнения Эйлера, описывающие динамику вращательного движения твердого тела в жестко связанной с ним системе координат Охуг, имеют вид
в(Ь + юхв(0= М. (14)
В этих уравнениях в - матрица тензора инерции тела относительно его центра инерции С (эта матрица постоянна и определенно положительна); (О - столбец координат вектора ю
угловой скорости тела относительно инерциального пространства; М - столбец координат главного момента внешних сил, действующих на тело, относительно точки С.
Кинематика вращательного движения твердого тела описывается посредством уравнений, определяющих в системе координат 0ху2 движение тройки некомпланарных ортов ^ (г = 1,2,3) инерциального пространства:
^г = (( — (О) х sl (г = 1,2,3). (15)
Здесь si - координатные представления векторов ^ в системе координат 0ху2, а ( -столбец координат вектора (Об угловой скорости триэдра (т.е. тройки ортов) ^ относительно инерциального пространства. Уравнения (12) обычно называют уравнениями Пуассона. Эти уравнения имеют шесть интегралов движения. Если ^ суть взаимно ортогональные орты, образующие правую тройку, указанные интегралы имеют вид
=8, (( где 8 ^ - символ Кронекера (8Ц = 1, 8 ^ = 0 при г Ф ]) .
Задача стабилизации вращательного движения твердого тела состоит в выборе управлений (в данном случае находящейся в нашем распоряжении составляющей Му
момента внешних сил М, приложенных к телу), обеспечивающих за ограниченное время требуемую точность выполнения программного вращения тела по отношению к инерциальному пространству.
Интересуясь вращательным движением тела, конкретизировать характер поступательного движения мы не будем.
В задаче стабилизации вращательного движения твердого тела рассматриваются два типа программных движений. На движениях первого типа требуется, чтобы заданным образом вращались связанные с телом три некомпланарные оси, а на движениях второго типа - одна ось. Определим названные программные движения. Пусть У2, У3- тройка ортов
в инерциальном пространстве, вращающаяся с угловой скоростью (Об относительно этого пространства, а о1,о2,о3- тройка ортов в теле, совместимая с тройкой ^,У2,У3 и вращающаяся с угловой скоростью ОО относительно тела. Движение тела, на котором ^ = О'г (г = 1,2,3), назовем программным движением 1. Движение тела, на котором ^ =ог и триэдр ог вращается относительно триэдра с угловой скоростью в<1, где в - заданная скалярная величина, назовем программным движением 2. Орты Уг можно трактовать как векторы, задающие направления на некоторые физические ориентиры, например, звезды, планеты и т.п., а орты ог - как направляющие векторы осей приборов, измеряющих
отклонения от направлений на эти ориентиры. Не умаляя общности, будем считать, что Э и (г = 1,2,3) суть правые тройки взаимно ортогональных ортов.
Для того, чтобы формализовать задачи трехосной и одноосной стабилизации вращательного движения твердого тела, введем ряд обозначений. Пусть О&С, Оэ1э2э3, Оа1а2а3 - правые декартовы системы координат с началом в заданной (расчетной) точке О тела, причем О ¿,п С поступательно движется относительно инерциального пространства, оси системы координат Os1s2s3 определяются направляющими ортами Э,Э2,Э3, а оси системы координат Оа1а2а3 - направляющими ортами а1,а2,а3.
Наряду с векторами как геометрическими объектами будем рассматривать их координатные представления (столбцы) во введенных системах координат. Для обозначения координатных столбцов будем использовать те же символы, что и для соответствующих векторов, но без знака « ». При этом отсутствие в обозначении координатного столбца верхнего дополнительного индекса э, а или и будет означать, что этот столбец является координатным представлением одноименного вектора в системе координат Охуг. Например, координатные столбцы ,аг (а представляют векторы ,аг (а в системе
координат Охуг. Наличие в обозначении столбца верхнего индекса э или а означает, что этот столбец является координатным представлением одноименного вектора в системе координат Оэ1э2э3 или Оа1а2а3 соответственно. Например, векторам 5)б, Э, Э2, Э3 в системе координат Оэ1э2э3 соответствуют столбцы координат
"1" " 0" "0"
( = ( 2 , ээ = 0 , э2 = 1 , = 0
( _ 0 0 1
Векторам (оэ ,а1 ,а2,а3 в системе координат Оа1а2а3 соответствуют столбцы координат
"(а1 ' " 1 " " 0" " 0"
= (а 2 , а1 = 0 а , а 2 = 1 а , а3 = 0
(а 3 _ 0 0 1
Если координатный столбец снабжен верхним индексом и, то это означает, что этот столбец является координатным представлением одноименного вектора в инерциальной системе координат О^пС . Например, столбцы , э'и, э"3 представляют векторы Э , Э2, Э3 в системе координат О^пС .
Обозначим £ и Е матрицы перехода от систем координат Оэ1 э2 э3 и Оа1 а2а3 соответственно к системе координат Охуг, а и £а и £и - матрицы перехода от
системы координат Osx s2s3 к системам координат Of1 f2f 3 и O^nC соответственно. Очевидно, что S = (sl5 s2, S3), Е = (f^,^), S = X*S = (sf, s2*, sf), S" = (s", s2u, s^ ) -матрицы, образованные из координатных столбцов st, fi, sf, s" (i = 1,2,3) соответственно.
С помощью введенных обозначений опишем информацию о движении тела и ортов s ,fi, которую мы будем предполагать имеющейся при решении задач стабилизации
вращательного движения твердого тела. Будем считать, что столбцы s", fi являются известными вектор-функциями времени, имеющими непрерывные и ограниченные производные до второго порядка включительно. В этих условиях столбцы (off и (ûI
являются непрерывно дифференцируемыми и ограниченными вместе со своими производными вектор-функциями времени. Они могут быть легко вычислены по информации о столбцах f и s" соответственно. Мы будем считать, что эти вычисления
произведены, так что (ûf и ( - известные функции времени. Относительно фигурирующей в определении программного движения 2 скалярной величины ß будем полагать, что она является заданной непрерывно дифференцируемой и ограниченной вместе со своей производной функцией времени.
Будем считать также доступными измерению проекции ортов Ji на орты fi , т.е.
элементы матрицы Sf , и проекции на оси системы координат Oxyz вектора ( угловой скорости тела относительно инерциального пространства, т.е. столбец (. Как видно из приведенных описаний, для механической системы, представляющей собой вращающееся твердое тело, мы считаем доступными измерению характеристики движения, которые нельзя рассматривать как обобщенные координаты и скорости. Это является одной из причин, по которой использование для описания движения этой системы уравнений Эйлера-Пуассона, а не уравнений Лагранжа второго рода, является предпочтительным.
Учитывая характер доступной информации, задачу стабилизации вращательного движения твердого тела целесообразно формулировать в терминах координатных столбцов системы координат Oxyz. Программное движение 1 в этой системе координат определяется равенствами si = fi (i = 1,2,3) или, что равносильно, матричным равенством
S =Х. (17)
Пусть (p1 - координатный столбец вектора угловой скорости тела относительно
инерциального пространства на программном движении 1. Очевидно, что (p1 =(s при si = fi (i = 1,2,3) . Учитывая введенные обозначения, столбцы (ûs и (ûpl можно представить в виде
ю, = Srn's, a^Erf, (18)
Ю = X(< -Ю). (19)
Формулами (17), (19) программное движение 1 определено однозначно, поскольку в соответствии с сказанным выше X = X(t), of0 = (t), su = su (t) - известные функции времени.
Программное движение 2 в системе координат Oxyz определяется равенством s1 = C1. Ясно, что при совпадении первых ортов триэдров si и Ci остальные находятся в одной плоскости и, следовательно, связаны соотношениями
s2 = с2 cosa + c3 sina, s3 = c2 sina + c3 cosa, где a - угол между соответствующими парами ортов s2,c2 и s3,c3. Величина a должна удовлетворять дифференциальному уравнению a = —в , так как на программном движении 2 триэдр si вращается относительно триэдра Ci с угловой скоростью —в<У1. Поскольку по
условию в - известная функция времени, величина a определяется формулой
t
a = (t, t0,a0) = a0 — |вСФГ, (20)
t0
где a0 - параметр. Таким образом, угловое положение тела по отношению к инерциальному пространству на программном движении 2 с точностью до параметра a0 определяется равенством
'1 0 0
S =Xr(a), r(a) = SC
0 cosa —sina 0 sina cosa
(21)
Обозначим (Ор2 координатный столбец вектора угловой скорости тела относительно инерциального пространства на программном движении 2. Легко убедиться, что ((р2 =( -(а+ ва1 при э1 = а1, т.е. с учетом соотношений (18), (21)
(р 2 =Е[г(«К-К] + а (22)
Следовательно, вектор-функция (Ор2 определяется с точностью до параметра а0. Таким
образом, программное движение 2 определено неоднозначно, так что имеется однопараметрическое семейство программных движений 2.
Множество вектор-функций (Ор2, определяемых формулами (20)-(22) при всех
а0 е Я1, будем в дальнейшем обозначать О 2. В рассматриваемом нами случае множество
О 2 ограничено, поскольку ограниченными по условию являются функции ( ),( ^), ).
s =C
Будем считать, что известны точные верхние границы норм вектор-функций <^),( ^) и модуля функции в^), которые обозначим через ((и в соответственно. Определим окрестности программного движения 1 формулами 0< = {<^,,^ : ||° — оЦ < 8o, Щ — О|| < 8, г =12,3} (23)
0£ ={о, ^, V ( — юр1\\ <£а, |Ц —о || <£, г = 1,2,3, t е Я+} (24)
Для того, чтобы ввести аналогичные окрестности для программного движения 2, определим расстояние р(о,О 2) от произвольного столбца <( до множества О 2, полагая
Р(О,Ор2) = п \<° — °р2||.
С помощью введенной метрики окрестности программного движения 2 определим равенствами
0< ={<, ^, 52, : р(< Ор2) <8<, — < < 8|} (25)
02е = {<(, 52, ^3: р(о, Ор2) < о о, |К —<11 <£, t е Я+} (26)
В соотношениях (23)-(26) о <,£<,< 1 ,< - заданные константы (0 < £< < оО, 0 <£г < ог) .
После сделанных предварительных рассуждений задача трехосной стабилизации вращательного движения твердого тела формулируется следующим образом. Указать приложенный к телу внешний управляющий момент Му , при котором любые движения
тела, начинающиеся в множестве 08, за ограниченное время попадают в множество 0£ и в дальнейшем его не покидают.
Задача одноосной стабилизации вращательного движения твердого тела формулируется аналогично с заменой множеств 081 и 0£1 на 082 и 0£2 соответственно.
Отметим сразу, что решение задачи одноосной стабилизации может быть сведено к решению задачи трехосной стабилизации. Для этого достаточно, зафиксировав какое-либо значение а0 параметра а0, рассмотреть задачу стабилизации программного движения, определяемого равенством £ = Х, где X = ХГ(а^,^,а0)). Это эквивалентно тому, что в задаче трехосной стабилизации вместо триэдра ог рассматривается некоторый триэдр Ог ((<<, О2,03) = Х), вращающийся относительно тела с угловой скоростью <ОО =<<— в<\.
Вместе с тем задача одноосной стабилизации вращательного движения твердого тела имеет некоторую специфику, поэтому мы будем решать ее без сведения к задаче трехосной стабилизации.
В прикладных задачах часто предполагается, что вектор М в уравнениях (14) представляет собой сумму вектора управлений Му и вектора возмущений Мв, которым мы
распоряжаться не можем, т.е. М = Му + Мв. В условиях, когда имеются погрешности в
информации о тензоре инерции тела и действующих на него возмущающих силах, полагают, что матрица в и вектор Мв известны с точностью до ограниченных слагаемых, оценки сверху на нормы которых известны, т.е.
в=вр +вп, Мв = Мвр + Меп, (27)
где нижним индексом р снабжены расчетные (известные точно) величины, а нижним индексом п - величины, обусловленные погрешностями, для которых предполагаются известными оценки сверху по норме:
||вп|| <$п, 1К11 < Шт. (28)
Кроме того, как и выше, считается, что в оценках
фЕ3 < в < Е3, (29)
которым удовлетворяет определенно-положительная матрица в, величины ф ,$2 -известные положительные константы (теперь эти константы имеют смысл оценок снизу и сверху соответственно на минимальный и максимальный моменты инерции тензора в ).
Во многих практически важных задачах требуется стабилизировать лишь часть компонент вектора фазовых переменных. Другие компоненты стабилизировать не нужно, однако они должны удовлетворять некоторым ограничениям, диктуемым физической природой рассматриваемой системы. Так, при управлении вращательным движением твердого тела с помощью маховиков и гироскопов стабилизации подлежат переменные (О и si, характеризующие угловую скорость и угловое положение носителя относительно инерциального пространства. При этом по конструктивным причинам скорости вращения маховиков относительно носителя не могут быть произвольно большими, а гирокамеры гироскопов не могут, вообще говоря, поворачиваться на произвольный угол. Пусть п1 -
вектор х1 образован компонентами фазового вектора х, которые требуется стабилизировать, а п2-вектор х2 - прочими его компонентами. Обозначим через и1, и2 векторы, образованные компонентами вектора и, соответствующими компонентами векторов х1, х2. Не умаляя общности, будем считать, что стабилизации подлежат первые п1 компонент вектора х, так что х* = (х1*, х2*), и* = (и1*,и2*).
В рассматриваемой задаче программным движением управляемой системы назовем достаточно гладкую вектор-функцию х[р ^) размерности п1. Введем в рассмотрение окрестности программного движения
088 ={ :||х1 — хр(0||<8(1)}, 0£ = { :||х1 — хр(0|<£(1),tе Я+} и множества
082) = {х2:||х>|| <8(2)}, 0£ = {х2:||х2|| <£(2), I е Я+}
(8( 1 ),£( 1) - заданные константы, 0 <£( 1) < 8( 1), у = 1,2).
Задача стабилизации движения управляемой системы по части переменных состоит в выборе управлений и таких, чтобы любые движения управляемой системы, начинающиеся в многообразии, на котором х1 е 0(р, за ограниченное время попадали в многообразие, на котором х1 е 0(8>, и в дальнейшем там оставались, причем во все время движения выполнялось условие х2 е 082).
Если для механической системы нет ограничений на выбор управлений и, то сформулированная задача укладывается в рамки поставленной выше задачи стабилизации программных движений управляемых систем. Самостоятельный интерес представляют управляемые системы, для которых при решении задачи стабилизации по части переменных использование управлений и1 является нежелательным. Идеальной для таких систем является ситуация, когда решение задачи стабилизации по части переменных можно осуществить, используя лишь управления и2. Так, в рассмотренном выше примере твердого тела с маховиками и гироскопами нежелательным является использование внешнего управляющего момента, реализуемого реактивными двигателями, поскольку это связано с расходом рабочего тела. Предпочтительным является использование для нужд управления только маховиков или гироскопов, для приведения в движение которых используется сравнительно легко восполнимая электроэнергия [10]. На практике выполнение указанного требования не всегда возможно, поскольку в процессе управления переменными х1 с помощью управлений и2 могут нарушиться ограничения на нестабилизируемые переменные х2 . В связи с этим процесс управления разбивается на два режима: основной режим и режим разгрузки. В основном режиме и1 = 0, а вектор и2 используется для стабилизации переменных х1 и, если возможно, для удержания переменных х2 в окрестности 08(2). В режиме разгрузки, возникновение которого связано с угрозой нарушения ограничений на нестабилизируемые переменные, помимо задачи стабилизации переменных х1 решается задача обеспечения гарантированного выполнения ограничений для переменных х2 ,
например, задача перевода их в достаточно малую окрестность нуля О^2). В этом режиме используется весь вектор управлений и. Таким образом, под задачей стабилизации по части переменных мы будем понимать следующую задачу.
Задача стабилизации движения управляемой системы по части переменных. Указать управление и и правило чередования основного режима и режима разгрузки такие, чтобы любые движения системы, начинающиеся в многообразии, где х1 е О^, за ограниченное
время попадали в многообразие, где х1 е О^, и в дальнейшем там оставались, причем во все
время движения должно выполняться условие х2 е О.
К задачам стабилизации программных движений по части переменных относятся задачи стабилизации вращательного движения твердого тела (носителя) с использованием установленных на нем маховиков или силовых гироскопов. Использование этих устройств в системах управления ориентацией космических аппаратов является актуальной инженерно-технической задачей, поскольку, в отличие от реактивных двигателей, не связано со значительным расходом рабочего тела. Расходующие при своей работе электрическую энергию маховики и силовые гироскопы имеют большие преимущества с точки зрения точности управления движением, габаритов, веса. Управление вращательным движением тела (носителя) при помощи установленных на нем маховиков или гироскопов основано на перераспределении кинетического момента механической системы «носитель -управляющие устройства» между составляющими систему телами при изменении кинетического момента несомых тел. Изменение кинетического момента маховика осуществляется за счет ускорения или торможения его; изменение кинетического момента гироскопа - в основном за счет поворотов оси вращения ротора при поворотах гирокамеры в подвесе. Управлениями при этом являются проекции прикладываемых к маховику или гирокамере гироскопа моментов сил на соответствующие оси вращения.
Рассмотрим задачи стабилизации вращательного движения твердого тела с использованием маховиков или двухстепенных силовых гироскопов (гиродинов). Режим управления с использованием только маховиков или гиродинов, т.е. режим, когда внешний управляющий момент не используется, будем рассматривать как основной.
Отметим сразу, что управление вращательным движением только в основном режиме, вообще говоря, невозможно, поскольку имеется ряд причин, ограничивающих возможности изменения кинетического момента систем управляющих устройств, содержащих маховики или гироскопы. Выделим из этих причин следующие: для маховиков - наличие ограничений на максимальную скорость собственного вращения; для спаренных гиродинов - наличие ограничений на угловое положение их гирокамер; для систем
неспаренных гиродинов - наличие положений элементов системы, в которых изменение ее кинетического момента в одном или нескольких направлениях невозможно. Указанные причины приводят к необходимости в процессе управления вращательным движением носителя время от времени переходить от основного режима к так называемому режиму разгрузки, когда управляющие устройства под действием приложенных к ним управлений переводятся в положение, из которого они с гарантией могут обеспечивать требуемое изменение своего кинетического момента. Для управления движением носителя и компенсации воздействия на него маховиков или гироскопов в период разгрузки используются внешние управляющие устройства, например, реактивные двигатели, реализующие внешний управляющий момент.
Конкретизируем указанные выше причины, ограничивающие возможности изменения кинетического момента рассматриваемых систем управляющих устройств. Пусть у - величина скорости собственного вращения у-го маховика; у - величина угла поворота
гирокамер у-й спарки двухстепенных гироскопов. Мы будем полагать, что в процессе движения должны быть выполнены неравенства: для системы маховиков
< 8у (у = 1,2,...5), (30)
для системы спаренных гиродинов
<8у <п/2 (у = 1,2,...5). (31)
В неравенствах (30), (31) величины 8 у, 8¿у суть известные положительные константы.
Пусть Qy обозначает столбец управлений, воздействующих на систему
управляющих устройств, а Му - внешний управляющий момент, приложенный к носителю.
С учетом сказанного задачи стабилизации вращательного движения твердого тела (носителя) при помощи маховиков или силовых гироскопов могут быть сформулированы следующим образом.
Задача трехосной стабилизации вращательного движения твердого тела с помощью маховиков или гироскопов. Указать управления Qy и Му и правило чередования основного
и разгрузочного режимов, при которых любые движения носителя, начинающиеся в множестве 0\ (23) за ограниченное время попадают в множество 0£ (24) и в дальнейшем его не покидают, причем в течение всего времени движения выполнены ограничения (30),
(31).
Задача одноосной стабилизации вращательного движения твердого тела с помощью маховиков или гироскопов формулируется подобно предыдущей задаче с заменой начального и целевого множеств 013 и О\ на множества О2д и 01 (25) и (26) соответственно.
Поставленные задачи необходимо решать как в условиях, когда информация о системе «носитель - устройства управления» полная и система управляющих устройств расчетная, так и при наличии различного рода погрешностей: как в информации о носителе и действующих на него силах, так и инструментальных погрешностей управляющих устройств.
Литература
1. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М., 1970. 240 с.
2. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М., 1975, 496 с.
3. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М., 1978. 476 с.
4. Лурье А.И. Аналитическая механика. М., 1961, 824 с.
5. Матюхин В.И. Устойчивость движений манипулятора при постоянно действующих возмущениях. - Автоматика и телемеханика, 1994, №11, с. 124-134.
6. Матюхин В.И., Пятницкий Е.С. и др. Метод функций Ляпунова в задачах синтеза управления пространственным движением самолета. - Препринт, Институт проблем управления РАН. М., 1992, 75 с.
7. Морозов В.М., Каленова В.И., Салмина М.А. К задаче стабилизации установившихся движений с циклическими координатами. - Прикладная математика и механика, т. 53, вып.5, 1989, с.707-714.
8. Пятницкий Е.С. Синтез систем стабилизации программных движений нелинейных объектов управления. - Автоматика и телемеханика, 1993, №7, с. 19-38.
9. Пятницкий Е.С., Дунская Н.В. Стабилизация управляемых механических и электромеханических систем. - Автоматика и телемеханика, 1988, № 12, с. 40-51.
10. Раушенбах Б.В., Токарь Е.Н. Управление ориентацией космических аппаратов. М., 1974. 600с.
11 . Румянцев В. В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных. - Вестник
Московского ун-та, серия: мат., мех., астрон., 1957, № 4, с.9-16. 1 2. Румянцев В. В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М., 1987.
13. Смирнов Е.Я. Некоторые задачи математической теории управления. Л., 1981, 200 с.
14. Смирнов Е.Я., Юрков А.В. Управление движением механических систем. Учебное пособие. Л., изд-во ЛГУ, 1988, 81с.
15. Смирнов Е.Я., Павликов В.Ю., Щербаков П.П., Юрков А.В. Управление движением механических систем. - В кн.: "Труды X международной конференции по нелинейным колебаниям. Тезисы докладов". НРБ, Варна, 1984, с.410.
16. Смирнов Е.Я., Павликов В.Ю., Щербаков П.П., Юрков А.В. Управление движением механических систем. Часть I - Депонирована в ВИНИТИ, №5036 от 05.10.82, 120 с.
17. Смирнов Е.Я., Павликов В.Ю., Щербаков П.П., Юрков А.В. Управление движением механических систем. Часть 2 - Депонирована в ВИНИТИ, № 3952 от 04.06.84, 240 с.
18. Смирнов Е.Я., Павликов В.Ю., Щербаков П.П., Юрков А.В. Управление движением механических систем. Л., ЛГУ, 1985, 316 с.
19. Смирнов Е.Я., Сивков А.Н., Павликов В.Ю., Щербаков П.П., Юрков А.В. On the problem of determination or artificial earth satellite orbits from the board of another one using the data of angular measurements.-The 2nd Russian- Chinese Sympozium of Astronomical Science, Samara, 1992, p.212.
20. Фурасов В.Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация. М., 1987.
21 . Фурасов В. Д. Устойчивость и стабилизация дискретных процессов. М., 1 977.
22. Четаев Н.Г. Устойчивость движения: работы по аналитической механике. М., 1962, 535с.
23. Черноусько Ф.Л. Синтез управления нелинейной динамической системой. - Прикладная математика и механика, т.56, вып.2, 1992, с. 179-191.
24. Юрков А.В. Стабилизация программных движений управляемых систем. - Известия РАЕН, серия ММИУ, том 3, 1999, № 3, стр. 107-120.
25. Юрков А.В. Стабилизация одноосной ориентации твердого тела. - Известия РАЕН, серия ММИУ, том 3, 1999, № 4, стр. 128-144.
