CC BY
12УДК- 514.01; 930.2
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В «МАДЖМА' АЛ-АРКАМЕ» МИРЗЫ БАДИ' -ДИВАНА
ГУЛМАТОВ М. Д., Кулябский государственный университет им. А. Рудаки ХОЛОВ М. Ш.,
Институт истории, археологии и этнографии имени Ахмада Дониша
В предыдущем номере настоящего журнала мы рассмотрели науку алгебру Бухарского эмирата ХУШ-начала ХХ веков на основе изучения рукописи Национальной библиотеки Таджикистана, № 649 «Маджма'ал-аркам» Мирзы Бади'-Дивана, крупного чиновника аппарата управления Бухарского эмирата [1]. Эта рукопись была написана специально для чиновников канцелярии (дивана) по ведению финансового и поземельно -податного учета, так как им необходимо было знание математики и ряда других точных наук. Поэтому, автор приводит сведения по арифметике, алгебре, геометрии, астрономии, хронологии, метрологии, монетному делу и другим наукам. Глава 4 рукописи называется «Определение площади. Дроби. Первоначальные сведения о получении неизвестных искомых арифметическим способом, а также законы алгебры и прочее» [1,45б-82а]. Об этой работе ранее сообщал М. Ш. Холов в своей статье «Математика Бухарского эмирата XVIII - XIX веков в «Маджма'ал-аркаме» Мирзы Ба-ди'-дивана» [4]. Как мы отметили в нашей предыдущей работе, средневековые математические труды на Востоке составлялись в стихотворном или в прозе. В «Маджма'ал-аркам»-е геометрические задачи тоже написаны прозаически.
Целью данной статьи является исследование науки геометрии в Бухарском эмирате рассматриваемого периода, на примере рукописи «Мад-жма'ал-аркам» Мирзы Бади'-Дивана.
Глава 4 начинается с правила вычисления площади равностороннего четырехугольника: «Известно, что для нахождения площади равностороннего четырехугольника надо одну из его сторон умножить на самое себя, произведение будет являться его площадью» [2,60]. Здесь речь идет о площади параллелограммы, но автор не приводит какую-нибудь формулу вычисления. Формула вычисления площади параллелограммы имеет следующий вид: Б=ак, где а - сторона, к- высота, проведенная к этой стороне. Существуют и другие формулы:5*=аЬ5ша, где а и Ь стороны, а а - угол между сторонами. Площадь параллелограмма также можно выражать через стороны а и Ьи длину любой из диагоналей йпо формуле Герона, как сумму площадей двух равных примыкающих треугольников:
Далее, автор пишет: «Если [четырехугольник] продолговатый, то одну из его коротких сторон умножают на одну из его длинных сторон; произведение будет представлять его площадь» [2,60].
Геометрическую фигуру трапеции автор называет «разносторонним четырехугольником» и приводит следующий способ вычисления ее площади без математических формул: «С разносторонним четырехугольником поступают так: сложив западную и восточную его стороны и разделив пополам, умножают на половину суммы южной и северной сторон. Произведение делят на число 3600. Частное будет являться площадью» [2,60]. Со-
временными математическими формулами такую площадь можно вычис-
лить следующей формулой: S= (о + Ь) , ? ■., гдеа и b- основания, h- высота. В
случае, когда а< Ь , си^ - боковые стороны трапеции, формула имеет сле-
дующий вид:
Выражение автора «...делят на число 3600» к этой формуле вычисления площади не относится. Здесь оно приведено для того, что площади поверхностей на Востоке измерялись газ-ами, а более крупная мера площади ялялась танаб. А 1 танаб был равен площади земли размером 60х 60 газ-ов, т.е. 3600 газ-ов.
Далее, автор приводит следующий пример: «Западная сторона [четырехугольника] - 222 газ-а, восточная - 219 газ-ов, их сумма - 441 газ, половина - 220^-газ-а; южная сторона - 274 газ-а, северная - 286 газ-ов, их сумма -
560 газ-ов, половина - 280 газ-ов. Умножаем 280 и 220^; получилось 61740.
Разделили [на 3600]. В частном получилось 17 танаб-ов, пол чарйакаи 90 газ-ов» [2,61].
Для определения площади четырехугольника с равными сторонами и углами, т.е. квадрата, автор отмечает, что «... большинство ученых исчисления действовали путем нахождения перпендикуляра» и приводит пример, когда сторона квадрата равна 12 газ-ам [2,62]. Современная формула вычисления площади квадрата: S= t2 = 2R2 = 4r2, где t - сторона квадрата. Ясно, что площадь квадрата будет равна 144 газ-ов (122 или 12х12), но у автора после сложных и ненужных различных арифметических действий (удвоение, умножение, извлечение из квадратного корня), площадь стала равна 143,098, что меньше истинного значения.
Далее, автор рассматривает нахождение площади путем проведения диагонали и перпендикуляра, и предлагает разделить четырехугольник «.на два треугольника и найти площадь по правилам треугольников» [2,61]. Для определения площадей разносторонних четырехугольников, автор в тексте (л.46б) приводит приближенные методы, пытаясь свести вы-
числение к нахождению площади равновеликого прямоугольника. Но такие методы придуманы самым автором, так как он производит много действий, большинство которых взаимоисключающие.
Следующая геометрическая фигура, площадь которой вычисляет автор, это треугольник. Способ вычисления площади разностороннего треугольника в рукописи дано словесно, которого понять и усвоить очень сложно: «...Среднюю [сторону] принимают за основание. Из квадрата большей [стороны] отнимают квадрат меньшей [стороны]. Разность делят на основание. Частное прибавляют к основанию. Половину полученной суммы умножают на самое себя. Произведение вычитают из квадрата большей [стороны]. Из остатка извлекают квадратный корень и умножают на половину основания. Полученное произведение и будет являться площадью данного треугольника». Далее, автор приводит пример, который решает сложными вычислениями: «... Меньшая [сторона треугольника] -13; в квадрате - 169. Средняя [сторона] - 14. Большая [сторона] - 15; в квадрате - 225. Разность квадратов большей и меньшей [сторон] - 56 (т.е.225-169). Разделив на основание (т.е. 14), получили - 4. Частное прибавили к основанию; получилось - 18 (т.е. 4+14). Половину [полученного] умножили на самое себя; в произведении получилось 81 (9 х 9). Это произведение вычитаем из квадрата большой стороны; осталось 144 (т.е. 225-81=144). Из этого остатка извлекаем квадратный корень, который равен 12. Этот корень умножаем на половину основания; полученное произведение 84 (т.е. 12х7) и является площадью упомянутого треугольника» [2,61].
Далее, автор приводит несколько задач по нахождению площади треугольника, которые решает разными способами. Современные формулы вычисления площади треугольника упрощают такие громоздкие и сплетенные вычисления: площадь треугольника вычисляется по ле: 5*=таЬ. Для разносторонних треугольников используется формула Геро-
~ я)0»- - с) = + Ь + с)(£> + с - а) (а + с - Ща+ Ь — с)
или теорема Пифагора: с2= а2 + Ь2.
Из других геометрических фигур, далее приводятся правила и задача по определению площади шара: «Площадь поверхности шара определяется произведением диаметра шара на большую окружность шара. Например, если окружность шара - 88, диаметр - 28, то площадь поверхности шара равна их произведению - 2464. А если это холм, который можно принять за половину шара, то половина названного числа, то есть 1232, будет являться площадью холма» [2,63]. Современная формула нахождения площади шара такова: 8=4пт2=жй2. В данной задаче площадь шара автор выводит равной 2464, а по современной формуле: 3=п42= 3,14х(28)2= 2461,76. Как видно, и в этой задаче имеется расхождение в ответе.
Далее, в рукописи дается способ определения площади цилиндра («сутуни мудаввари коим») [3,77]: «.определяется произведением длины цилиндра на половину [суммы] окружностей двух его оснований» и задача: «Например, длина цилиндра - 12 газ-ов, [длина] двух окружностей - 8 газов, их половина равна 4 газ-ам; умножив, получили 48 газ-ов» [2,63]. По современному определению, площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей его боковой поверхности и его оснований: Б=2пЯк+2пЯ2=2пЯ(к+Я), где Я - радиус, к - высота. Далее, автор определяет площадь конусообразного столба («сутуни махрутй») таким же методом, а для вычисления площади граненного столба («сутуни музаллаъ»), автор определяет площадь каждой плоскости по отдельности, затем их надо сложить: «.их сумма будет являться площадью [столба]» [2,63].
На этом, вычисления площади заканчивается, и автор переходит к определению объемов геометрических фигур. Здесь необходимо отметить, что автор не видит различия в смысле терминов «площадь» и «объем», и оба термина называет «масохдт», т.е.«площадь». Поэтому, читатель различить их может только в контексту.
Первым определяется объем шестигранной фигуры («мучассам зисит-тата азлоъ») [3,78], т.е. прямоугольный параллелепипед: «.произведение [двух сторон основания] умножают на высоту» [2,63].Объем прямоугольного параллелепипеда находится формулой: У=аЬе, где а, Ь, с - измерения.
Следующая фигура - шар, и его объем, автор предлагает найти следующим образом: «.Если фигура представляет собой шар, то действовать надо так: умножить половину его диаметра на треть поверхности» [2,63]. Также дается задача, данные которой ранее он приводил для определения площади шара, и получает объем шара равным: 11498,06. Если подсчитать
4 ,
объем шара современной формулой, т.е.: У=-жг , то получаем 11488,213.
Это означает, что современной формулой значение получится точнее.
Последней фигурой, объем которой вычисляет автор, является конус («чисми махрутй»): «.Объем конуса, все равно круглого или граненного, прямого или наклонного, образуется умножением [площади] основания на треть высоты» [2,64].В современной геометрии, если площадь основания конечна, то объем конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания:
БН, где Б-площадь основания, Н - высота.
Все конусы, опирающиеся на данное основание (конечной площади) и
имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объем, поскольку их высоты равны.
Таким образом, геометрические задачи в Бухарском эмирате составлялись в словесном виде, использовались в решении различных хозяйственно-бытовых, торговых и юридических проблем (в частности, задач на
измерение поверхностей, определения количества урожая с каждого поля, уплаты налогов, деление наследства и др.).
ЛИТЕРАТУРА
1. Мирза Бади'-Диван. Маджма'ал-аркам. Рукопись Национальной библиотеки Таджикистана, № 649.
2. Мирза Бади'-диван.Маджма'ал-аркам («Предписания фиска»).Приемы документации в Бухаре XVIII в. Факсимиле рукописи.Введение, перевод, примечания и приложения А. Б. Вильдановой. - М.: Наука, 1981.-128 с.
3. Мирзо Бадеи Девон. Мачмаъ-ул-арком /Девон Мирзо Бадеъ.-Душанбе: Дониш, 2015.-416 с.
4. Холов М.Ш. Математика Бухарского эмирата XVIII-XIX веков в «Маджма ал-аркаме» Мирзы Бади-Дивана // Труды XII международных Колмогоровских чтений (сборник статьей).-Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2014.-C. 373-378.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В «МАДЖМА' АЛ-АРКАМЕ» МИРЗЫ БАДИ' -ДИВАНА
В статье приведены и решены геометрические задачи из рукописи конца XVIII века - «Маджма'ал-аркам» Мирзы Бади'-Дивана современными способами. На конкретных примерах и формулах показано решение геометрических задач, которые раньше составлялись в словесном виде. Установлено, что математика в Бухарском эмирате использовалась в решении различных хозяйственно-бытовых, торговых, финансовых и юридических проблем.
Ключевые слова: Средневековый Восток, Бухарский эмират, «Маджма' ал-аркам», Мирза Бади' Диван, рукопись, математика, геометрия, задачи, объем, площадь.
МАСЪАЛА^ОИ ^АНДАСЙ ДАР «МАЧ,МАЪ УЛ-АРЦОМ»-И МИРЗО БАДЕИ ДЕВОН
Дар мак;ола масъалах,ои хдндасии дастхати охири асри XVШ-«Мачмаъ ул-арком»-и Мирзо Бадеи Девон оварда, бо метод^ои муосир х,ал карда шудаанд. Дар мисол^ои хос ва формулах,о рохи хдлли масъала^ои хдндасй, ки ба намуди наср ё назм омадаанд, нишон дода шудаанд. Муайян карда шудааст, ки илми математика дар аморати Бухоро дар хдлли масъала^ои мухталифи хочагй ва маишй, тичоратй, молиявй ва хукукй истифода мешуд.
Калидвожах,о: Шарци асримиёнагй, аморати Бухоро, «Мацмаъ ул-арцом», Мирзо Бадеи Девон, дастхат, математика, геометрия, масъала^о, %ацм, масоуат.
GEOMETRIC TASKS IN "MAJMA AL-ARQAM" BY MIRZAH BADIY-DIVAN
The article presents and solves the geometric problems of the manuscript of the late 18th century - "Majma al-arqam" by MirzahBadiy-Divan in modern ways. Specific examples and formulas show the solution of geometric problems that were previously
written in verbal form. It was established that mathematics in the Bukhara emirate was used in solving various household, commercial, financial and legal problems.
Key words: Medieval East, Bukhara emirate, "Majma al-arqam", MirzahBadiy-Divan, manuscript, mathematics, geometry, problems,volume, area.
Маълумот дар бораи муаллифон: Гулматов Мадмадалй Давлаталиевич-ассистенти кафедраи методикаи таълими математикаи Донишгоди давлатии Кулоб ба номи А. Рудакй. Тел.: (+992)918701227 E-mail: ddk Gulmatov M@mail.ru.
Холов Махмудчон Шарипович-сарходими илмии шуъбаи таърихи илм ва техникаи Институти таърих, бостоншиносй ва мардумшиносии ба номи Ахмади Дониш, номзади илмхои физика ва математика.Тел.903-05-00-28.E-mail:kholov-mahmud@rambler.ru.
Information about the authors: Gulmatov Makhmadali Davlatalievich - Assistant Department of Methods of Teaching Mathematics, Kulyab State University named after A. Ruda-ki. Tel:(+992)918701227E-mail:ddk Gulmatov_M@mail.ru.
Kholov Mаhmudjon Sharipovich-Chief Researcher of the Department of the History of Science and Technology of the Institute of History, Archeology and Ethnography named after Ahmad Donish, Candidate of Physical and Mathematical Sciences. Tel. 903-05-00-28. E-mail: kholov-mahmud@rambler.ru.
УДК-51(092)
КАМОЛИДДИН БОЙМАТОВ - КОРИФЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ НАУКИ ТАДЖИКИСТАНА
КИБОРИЁН Б. К., АБДУНАЗАРОВ С. Х., Бохтарский государственный университет им. Н. Хусрава
На страницах истории таджикского народа, с древних времен до сегодняшнего дня встречаются имена многих знаменитых личностей. Эти личности со своими заслугами в области науки вложили большой вклад в развитие цивилизации мира. В истории таджикского народа известны имена Ал Хоразми, Абурайхона Беруни, Абуали ибн Сино, Закария ар Рози, Умара Хайяма, Абу Абдулла Рудаки, Абулкасыма Фирдавси и др, которые заняли достойные места в мировой цивилизации [1]. В дальнейшем появились новые имена последователей этих личностей. Отрадно отметить, что как представители точных наук последователей, появились и в ХХ веке. Они со своими открытиями в области физико-математических наук возв^силили таджикский народ, приравниваясь великим ученым Востока и Запада. Сегодня можно сказать, что в Таджикистане формировалось школа со своей спецификой математики. Сюда можно отнести имена корифеев математической науки современности такие как: А. Джураев, С.Умаров, М.И. Илолов, Л.Г. Михайлов, К. Х. Бойматов, З.Д. Усмонов, Н.Р. Раджабов, М.Ш.Шабозов, З.Х. Рахмонов, И.К.Курбонов, С.А. Исхаков, Г. Джангибеков, И.Д. Нуров и другие. Своими достижениями в области физико-математических наук они вложили весомый вклад в развитие данной отрасли.
Данная статья посвящена одному из этих ученых Камолиддину Хамроевичу Бойматову вложившему огромный вклад в области математики.
