CC BY
232017. pp.197-210; F.Brunet, A.Razzokov. Toward a New Characterisation of the Chalcolithic in Central Asia. The Lithic Industry of Sarazm (Tajikistan): The First Results of the Technological Analysis. South Asian Archaeology and Art 2012. Vol. 1. Man and Environment in Prehistoric and Protohistoric South Asia: New Perspectives. - Turnhout: Brepols, 2017. pp.49-62 и др.
11. Текущий архив Института истории, археологии и этнографии им. А. Дониша Академии наук Республики Таджикистан. Отчет за 1994 г. - Л.5.
12. См.: Протокол заседания по таджикско-французскому двустороннему сотрудничеству от 26 февраля 2002 г. //Текущий архив Министерства иностранных дел Республики Таджикистан. Договорно-правовое Управление. - Д. 73. - Л. 5-46.
13. Текущий архив Академии наук Республики Таджикистан. Папка «Франция» за 2016 г. - Л.33.
14. Дипломатия Таджикистана: вчера и сегодня. В двух томах. - Т. 1. - Душанбе: Ирфон, 2009. - С. 147.
15. Шарифзода, А. Президент. (Роль Эмомали Рахмона в укреплении государственной власти и национальной независимости). / А. Шарифзода, c. Шамсиддинов, З. Косими. - Душанбе: Ирфон, 2011. - С.197.
16. Шарипов А. Эмомали Рахмонов: Год культуры мира. (Внутренняя и внешняя политика Президента Таджикистана в 2005 году. - С. 297-298.
17. Текуший архив Института истории, археологии и этнографии им. А. Дониша Академии наук Республики Таджикистан. Отчёт о деятельности Французского института исследований Центральной Азии за 2015 г. - Л.6.
18. Из личной беседы автора с Заместителем министра иностранных дел Республики Таджикистан М.Хусейнзода.
19. Текущий архив Академии наук Республики Таджикистан. Папка «Франция» за 2016 г. - Л.20.
20. Встреча с Директором кабинета Музея Лувр [Электронный ресурс] // Официальный сайт Министерства иностранных дел Республики Таджикистан. URL: http://mfa.tj/ru/novosti-i-sobytiya/vstrecha-s-direktorom-kabineta-muzeya-luvr.html
21. Шарипов, Ф.А. История становления и развития взаимоотношений Республики Таджикистан с Французской Республикой. /Ф.А. Шарипов //Вестник Таджикского государственного университета права, бизнеса и политики (научно-теоретический журнал). Серия гуманитарных наук. - 2016. - №1 (66). - С. 58.
22. E. Rahmonov. Les Tadjiks dans le miroir de l'histoire. - Bruxelles: BigMediaGroup, 2014. - 257p.
23. Sharifzoda, A. L'Architecte de la paix. The Architect of Peace / A.Sharifzoda, A.Gafurov. - Bruxelles: BigMediaGroup, 2012. - 263p.
24. Zarifi, H. L'Héritage fabuleux des Tadjiks. The Tajik Golden Heritage. / H.Zarifi. - Bruxelles: BigMediaGroup, 2012. - 408p.
25. Пужоль, К. Торговля и экономика в Центральной Азии (вторая половина девятнадцатого века до начала двадцатого века). / К. Пужоль, В. Фурньё // История цивилизаций Центральной Азии. К современному периоду: с середины девятнадцатого века до конца двадцатого века. - Т. 6. - Бильбао, Испания: ZURE, 2005. - С. 51-79.
26. Текущий архив Посольства Республики Таджикистан во Французской Республике. Отчёт за 2016 г. -Л.15.
Свидения об автора:
Шарифи Фирдавс Фаттохзода- соискатель Научно-исследовательского института Таджикского национального университета, сотрудник Министерства иностранных дел Республики Таджикистан. (E-mail: sharipov.firdavs87@gmail.com).
About the author:
Sharifi Firdavs Fattohzoda, the researcher of the Research Institute of the Tajik National University, an employee of the Ministry of Foreign Affairs of the Republic of Tajikistan. (Email: sharipov.firdavs8 7@gmail. com).
АРИФМЕТИКА БУХАРСКОГО ЭМИРАТА XVIII - XIX ВЕКОВ В «МАДЖМА АЛ-
АРКАМ» МИРЗЫ БАДИ-ДИВАНА
Холов М.Ш., Гулматов М. Д.
Институт истории, археологии и этнографии имени А. Дониша Кулябский государственный университет им. А. Рудаки
История Средней Азии XVIII - начала ХХ веков мало изучено, поэтому исследование источников этого периода представляет огромный интерес не только для историков, но и для историков точных наук. Одним из редких и интересных источников рассматриваемого периода
является рукопись «Маджма' ал-аркам» Мирзы Бади'-дивана, крупного чиновника аппарата управления Бухарского эмирата [1]. Данный труд являлся официальным руководством для чиновников канцелярии по ведению финансового и поземельно-податного учета. В сочинении излагаются основные принципы административного, финансового и налогового управления, правила составления реестров налоговых поступлений, расходных ведомостей, актов земельных и прочих пожалований и др. Поскольку чиновникам канцелярий, занимавшимся финансами государства необходимо было знание математики и ряда других точных наук, автор сочинения приводит сведения по арифметике, алгебре, геометрии, астрономии, хронологии, метрологии, монетному делу и другим наукам.
«Маджма' ал-аркам» представляет большую ценность для истории математики Средней Азии рассматриваемого периода, так как помогает внести ясность в вопрос о состоянии математики XVIII - начала ХХ веков, т.е. в период, остающийся наименее исследованным. Этот труд подтверждает, что в Бухарском эмирате рассматриваемого периода математика носила в основном прикладной характер [2]. Она применялась в экономической жизни общества и развивалась в тесной связи с другими практическими науками. О преподавании арифметики -«илм-и хисаб» в медресе Бухары рассматриваемого периода, сообщает русский востоковед и дипломат Н.В. Ханыков. В своем знаменитом труде «Описание Бухарского ханства» он пишет: «... Из огромного отдела наук, известных под именем табиийе, иляхийе, рийазийе, из коих первая означает естественные науки, вторая метафизику и третья занимается изложением идей, т.е. существующего в уме, а не в действительности, как например: понятие о времени и несуществовании, и те из них проходят только весьма коротко илм-и хисаб т.е. арифметику, которая здесь составляет часть табиийе» [6, 221].
Математика занимает большое место в объеме сочинения (67, 4%), поэтому в некоторых каталогах оно отнесено к разряду математических трактатов [4, 650]. В предисловии к сочинению отмечается необходимость «илм-и хисаб» («науки исчисления») в практической жизни людей. Сочинение состоит из пяти глав. Математике посвящена глава 3: «Об удвоении, раздвоении, сложении, вычитании, умножении, делении и прочем» (23б-45б лл.) и глава 4: «Определение площади. Дроби. Первоначальные сведения о получении неизвестных искомых арифметическим способом, а также законы алгебры и прочее» (45б-82а лл.).
Целью данной статьи является исследование науки арифметики в мусульманском средневековье и её состояния в Бухарском эмирате рассматриваемого периода, на примере рукописи «Маджма' ал-аркам» Мирзы Бади'-дивана.
Среди вопросов, которые должны были решать математики стран Востока с древнейших времен и на протяжении рассматриваемого периода, большое место занимали задачи, возникавшие при строительстве каналов и плотин, дорог, военных укреплений, дворцовых и храмовых сооружений и др., т.е. задачи на геометрические измерения объемов и площадей, на определение потребления материалов и рабочей силы, питания и фуража. Финансовые ведомства занимались распределением и сбором налогов и с поставками натурой, которые зависели от качества земли и расстояния [3, 12]. Сюда входили и задачи коммерческой арифметики, а также раздел наследства. Измерение времени, составление календаря и гороскопов, а также других астрономических задач, требовали сложных расчетов и вызывали необходимость совершенствования приемов вычислений. Именно поэтому ученые мусульманского Востока добились значительных успехов в вычислительной математике.
Ученые мусульманского средневековья пользовались тремя основными видами нумерации: «индийскими цифрами» («арком ал-Хинд»), от которых произошли «арабские цифры» (современные цифры); буквенной нумерацией («джумал», «абджад»), и специфической формой цифр, применяемых в тайнописи и в торговле («сийак» или «сийакот» - «изложение»).
Мусульманская арифметика состояла из теоретической («хисаб ал-назари») и практической арифметики («хисаб ал-амали») [5, 110]. В средневековых мусульманских сочинениях теоретическая арифметика включала такие разделы, как «Основные определения», «Учение об отдельном количестве», «Четные и нечетные, простые составные числа», «Совершенные и дружественные числа», «Фигурные числа», «Учение о «зависимом количестве», «Числовые
отношения и пропорции» и др. Практическая арифметика подразделялась на вычисление в уме («хисаб ал-хаваи»), пальцевой счет («хисаб ал-укуд») и вычисления на доске, покрытой пылью («хисаб ал-губар»).
Важнейшими арифметическими руководствами на Востоке являлись сочинения «Хисаб ал-Хинд» ал-Хорезми, «Китаб ал-фусул фи-л-хисаб ал-хинди» ал-Уклидиси, «Китаб фи ма йахтаджу илайхи ал-куттаб ва-л-уммал ва гайрухум мин илм ал-хисаб» Абу-л-Вафа ал-Бузджани, «Фи усул хисаб ал-Хинд» Ибн Лаббана, «ал-Кафи фи илм ал-хисаб» ал-Караджи, «ал-Мукни' фи-л-хисаб ал-хинди» ан-Насави, «Джами' ал-хисаб би-т-тахт ва-т-тураб» ат-Туси, «ар-Рисала аш-шамсиййа фи-л-хисаб» ан-Найсабури, «Талхис фи амал ал-хисаб» Ибн ал-Банны, «Мифтах ал-хисаб» ал-Каши, «ар-Рисала ал-Мухаммадиййа фи-л-хисаб» ал-Кушчи, «Хуласат ал-хисаб» ал-Амили и др. Эти руководства, как правило, состояли из трех разделов: арифметика целых чисел («а'дод»), арифметика дробей («кусур») и «арифметика астрономов» («хисоби мунаджиммин»).
В предисловии к сочинению «Маджма' ал-аркам» отмечается необходимость «илм-и хисаб» («науки исчисления») в практической жизни людей. Автор ссылаясь на мусульманские хадисы и религиозные авторитеты доказывает, что математика относится к числу наук, предписанных шариатом, являясь «фарз ала-л-кифайа» («обязанности по способности») [2, 45].
В сочинении разъясняются правила арифметических действий с целыми числами и дробями: сложение, вычитание, умножение, деление, удвоение, раздвоение, извлечение корней и возведение в степень. Рассмотрим эти правила по подробнее.
Удвоение («таз'иф») и раздвоение («тансиф»). Мусульманские математики на Востоке, а вслед за ними и в Европе применяли действия удвоения и раздвоения, введенные впервые ал-Хорезми. Удвоения и раздвоение были выделены особо, чтобы облегчить запоминание процедуры извлечения квадратного корня. Надо отметить, что математика стран ислама была в основном риторической, все ее предложения обычно записывались словами. Вот что о правиле удвоения приведено в «Маджма' ал-аркаме»: «Из числа, подлежащего удвоению, удваивают первую цифру, из разряда, например единиц. Если, удвоенная, он будет меньше десятка или больше десятичной дроби, ее записывают. А что касается десятков, то принимая десять за один, двадцать - за два, тридцать - за три, замечают в уме. Если, удвоенная цифра не доходит до десятка, то утруждать себя в этом незачем. Затем, если имеются, удваивают десятки и к удвоенным прибавляют то, что замечалось в уме. Если эта сумма будет меньше десяти, ее пишут после того, как написали единицы, ибо она имеет степень десятков. В случае если единицы были замечены и их будет больше десятка, излишек записывают. А если их будет ровно по десяти, ни больше, ни меньше, то каждый десяток, заметив за единицу, так же как и остальные десятки данного числа, держат в уме и смотрят на последующую степень, и так поступают до тех пор, пока число не исчерпается» [2, 70-71]. Далее приводятся примеры по удвоению.
О раздвоении автор пишет следующее: «Краткое определение раздвоения таково: из числа вычитают его половину. А подробное описание следующее. В противоположность удвоению деление пополам надо начинать с больших чисел» [2, 71] и далее приводится несколько примеров.
Сложение («джам'»). В мусульманской математике при сложении числа записывались одно под другим, причем поразрядно. Складывались последовательно цифры каждого разряда, начиная с наивысшего. Результат записывался на месте соответствующей цифры в верхнем слагаемом. Если результат оказывался равным или большим десяти, то вверху ставился, соответственно, ноль или избыток над десятью, а единица прибавлялась к соседнему разряду[5, 140]:
5482 6082 6132 6136
654 654 654 654
В сочинении об этой операции автор пишет следующее: «Краткое определение сложения таково: большое или малое число прибавляется к другому числу. А подробное изложение
следующее. Если желают узнать общее количество нескольких многозначных чисел, то сначала должно сложить единицы. Если единиц меньше десятка, их записывают полностью, а если больше, то записывают только излишек. Полученные от сложения единиц десятки после написания излишка прибавляют к десяткам данного числа. И так поступают до тех пор, пока сложение не окончится» [2, 70-71].
Вычитание («тафрик»). Вычитание проводилось аналогично сложению [5, 140]:
65274 63274 62874 62814 62812
2462 2462 2462 2462 2462
В сочинении вычитанию отведено большое количество страниц (лл.26б-30б) и приведено множество практических примеров. Приведем одну из них: «Если поступления [казны] состоят из различных товаров, причем у одних товаров расходы меньше дохода, у других - больше, в таких случаях [в реестрах] вместо слова «окончание» пишут слова «заполнено, превышено». Сейчас [это] будет изложено подробнее, и расчеты будут совершаться со стоимостями товаров. Если поступления превышают издержки [исчисления производятся] в таком виде:
Доход: 1723 Издержки: 1499 Остаток: 224
[Для проверки] нужно к девяти [единицам] издержек прибавить четыре [единицы] остатка; получилось тринадцать единиц. Три записываем в доход, а десять как один [десяток] прибавляем к девяти десяткам издержек и добавляем два [десятка] остатка; получилось двенадцать. Два записываем в раздел десятков дохода, а десять как одну [сотню] прибавляем к четырем [сотням] издержек и добавляем две сотни остатка. Получилось [семь] сотен в доходе. Одна тысяча издержек соответствует одной тысяче дохода; нужды в изменении нет. Итак, остаток составляет 224» [2, 73].
Умножение («зарб»). Умножение в древнегреческой традиции определяется как повторение одного числа по количеству единиц другого. А в мусульманской математике описано несколько способов умножения. По способу действия с помощью «доски и пыли», которое применяется в примерах сочинения, числа располагались одно под другим так, чтобы первый разряд (т.е. единицы) множителя оказался под последним разрядом множимого. Последний разряд множимого умножался сначала на последний, а затем на остальные разряды множителя; результат помещался под нижними разрядами на продолжении верхних. Затем нижние разряды переносятся на один разряд вправо и производится умножение того разряда вверху, который оказался над первым нижним разрядом, на нижние разряды [5, 140]:
324 21 324 225324 225924
753 753 753 753
Переносим нижние разряды на один разряд вправо
225924
и умножаем 2 последовательно на нижние разряды:
239924 240924 240964
753 753 753
Еще раз перенесем множитель на разряд вправо
и умножим 4 на разряды внизу:
243764 243972
753 753
Итак, 324x753=243972.
В качестве примера в сочинении приводится таблица умножения в виде стихотворения на арабском языке, как сам автор отмечает «... для легкости его усвоения» [2, 94].
Деление («таксим»). В мусульманской арифметике деление определялось как действие, обратное умножению, и имело несколько способов: по ан-Насави «разделение одного числа по количеству единиц другого», по ал-Каши «равночисленное разложение делимого по единицам делителя для определения доли каждой единицы делителя» и др. [5, 142]. В сочинении приводится много примеров деления. Приводим одну из них: «мы хотим число 85215 разделить на число 345. Если большое число, а именно 300, соотнесем к каждой цифре делителя, то делимое будет превышено. Обратились к меньшему числу 200 и соотнесли его к каждой цифре [делителя]. От большого числа делителя получили 60 тысяч. К десяткам делителя также соотнесли 200; получилось 8000. Затем соотнесли 200 к единицам делителя; получилось 1000. Сумма составила 69 тысяч. Возвратились к большей цифре делителя; соотнесли 40; получилось 12 тысяч. Затем к каждому десятке делителя соотнесли 40; получилось 1600. После этого 40 соотнесли к каждой единице делителя; получилось 200. Общая сумма составила 13800. Опять вернулись к большой цифре делителя, а именно к 300; соотнесли сем; получилось 2100. К десяткам делителя, которых четыре, также соотнесли семь; получилось 280. К каждой единице делителя, которых пять, также соотнесли семь, получилось 35. Общая сумма составила 2415. Сумма этих трех чисел соответствует делимому 85215» [2, 96].
Извлечение корня («джазр»). Математики стран ислама при извлечении корней пользовались приемами, известными раньше в Индии и Китае [5, 145-151]. Для этих целей приметалась известная еще вавилонянам приближенная формула
\[й = х'а2 +г +
где О2 - наибольший квадрат целого числа, содержащийся в N. Был также известен итерационный способ, ведущий начало от вавилонской математики и следующее приближение от ал-Хиссара и ал-Каласади:
2 а
Также пользовались методом, основанным на разложении квадрата двучлена: (а + Ъ~)2= а2 +2аЬ + Ъ2.
Правило извлечения корней предусматривало вычисление на счетной доске. Ан-Насави приводит другой способ извлечений квадратных и кубических корней, который основан на использовании упрощенной схемы вычислений и сейчас называется «схемой Руффини-Горнера». Извлечение корня п-й степени этим способом встречается в работах Абулвафа ал-Бузаджани, Омара Хайяма, ат-Туси, ал-Каши, ал-Кушчи, ал-Марвази и других. При приближенном извлечении корней с более высоким показателем приметали формулу: Я/О" + Г & а г
или формулу бинома Ньютона в следующем виде:
В сочинении извлечению корней удается большое внимание (лл. 57б-61а) и разъясняется несколько способов извлечения квадратного корня из целых чисел и дробей. Так, примерами
показаны следующие способы: извлечение корней с составным числом (с таблицей и без); невыразимых корней; корня из целого числа; с дробью; с квадратным числом, корень которого дробный и т.д. Приведем пример извлечения кубического корня. «Мы вознамерились извлечь кубический корень из числа 80621568. Для удобства получения искомого числа чертят таблицу по количеству цифр кубического числа.
4 3 2
Линия кубического 80621568
числа 4 6 3 4 4 1 _1111_
Линия квадратов 16869784
3 2 3 1 8 1
4 8 1 6 7 4
4 3 14 2
5 5 5 1
_5 7_
Линия сторон 1 4 1 2 3 2 9 2
8 6 2 9
1
Самым большим неразложимым числом, подходящим для решения задачи, является 4. Написав 4 над последней [верхней] чертой, подобное ей [число] записали под линией сторон. [Их] произведение написали под линией квадратов и, умножив верхнюю 4 на число, записанное также под линией квадратов, отбрасываем это произведение из числа, которое было написано на линии кубического числа. Затем, поставленную при действии выше верхнюю 4 прибавили к нижней 4, ранее написанной; это составит число 8. Затем верхняя 4 умножается на упомянутую 8. Написав результат соответственно на черте квадратов, рядом записывают предыдущее произведение. Их складывают, сумму записывают под разделяющей чертой и непосредственно заносят в таблицу перед ними. Затем прибавляют верхнюю 4, чтобы получилось 12; цифру 12 заносят в таблицу через один промежуток и помещают над цифрой, стоящей рядом с записанной. Наибольшее неразложимое число, соответствующее [12], есть три. Эта цифра записывается в таблицу напротив, на линии сторон. 3 надо умножить на каждую цифру линии сторон, а произведение записать напротив, на линии квадратов. После этого, упомянутая 3 умножается на общую сумму, записанную на линии квадратов, а произведение вычитается из [числа] на линии чисел, и так до тех пор, пока [число] не исчерпается» [2, 116-118].
Автор не только излагает материал, содержащийся в математических трактатах, но пытается также «критически» истолковать его, нередко подвергая сомнению отдельные положения. Так, он не согласен с существующим правилом извлечения корней из дробных чисел: «[Извлечение] квадратного корня из дробного числа в трактатах по счету излагают так. Из требуемой части (числитель дроби) извлекают корень; извлекают корень также из знаменателя. [Первый] корень относят к корню упомянутого знаменателя. Однако такое действие не удовлетворило [меня], ничтожного и неопытного. [Мне] ничтожному стало очевидно лишь то, что знаменатель изменять не надо; [первый] корень числа следует соотнести [непосредственно] к знаменателю.
Ч 3
Например, по моему мнению, корень числа — ест число — . Но, исходя из трактатов, [должно]
1о 1 ~
3
получится - » [2, 115].
Следовательно, арифметика в Бухарском эмирате рассматриваемого периода носила в основном прикладной характер. Она применялась в экономической жизни общества и развивалась в тесной связи с другими практическими науками.
ЛИТЕРАТУРА
1. Мирза Бади'-диван. Маджма' ал-аркам. Рукопись Национальной библиотеки Таджикистана, №649.
2. Мирзо Бадеи Девон. Мачмаъ ул-арком. Душанбе: Дониш, 2015. - 416 с.
3. Г.П. Матвиевская. Математики и астрономы мусульманского средневековья и их труды. М.: Наука, 1983. - Т. 1. - 480с.
4. Матвиевская Г.П.. Математики и астрономы мусульманского средневековья и их труды. М.: Наука, 1983. - Т. 2. - 650с.
5. Г.П. Матвиевская. Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2012. - 344с.
6. Ханыков Н. Описание Бухарского ханства. СПб, 1843. - 280с.
АРИФМЕТИКА БУХАРСКОГО ЭМИРАТА XVIII - XIX ВЕКОВ В «МАДЖМА АЛ-
АРКАМ» МИРЗЫ БАДИ-ДИВАНА
В статье рассматривается состояние математики в Бухарском эмирате XVIII-XIX веков, в том числе арифметики. Показано, что арифметика в носила в основном прикладной характер. Она применялась в экономической и социальной жизни общества и развивалась в тесной связи с другими практическими науками. На примерах показаны методы решения арифметических задач.
Ключевые слова: Бухарский эмират, Мирза Бади '-диван, рукопись «Маджма' ал-аркам», история науки, математика, арифметика, удвоение, раздвоение, сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корня.
ARITHMETICS OF THE BUKHARIAN EMIRATES OF THE XVIII - XIX CENTURIES IN THE "MAJMA' AL-ARKAM" OF MIRZA BADI'-DIWAN
The article considers the state of mathematics in the Bukhara Emirate of the XVIII-XIX centuries, including arithmetic. It is shown that the arithmetic in was mostly of an applied nature. It was used in the economic and social life of society and developed in close connection with other practical sciences. Examples show methods for solving arithmetic problems.
Keywords: Bukhara Emirate, Mirza Badi'-Diwan, "Majma' al-arkam" manuscript, history of science, mathematics, arithmetic, doubling, bifurcation, addition, subtraction, multiplication, division, extraction of the root.
Сведения об авторах:
Холов Махмуджон Шарипович, кандидат физико-математических наук, главный научный сотрудник Института истории, археологии и этнографии имени А. Дониша Академии наук Республики Таджикистан. E-mail: kholov-mahmudaramhler.ru. Телефон: (+992) 903-05-00-28;
Гулматов Махмадали Давлаталиевич, ассистент кафедры методики преподавания математики Кулябского государственного университета им. А. Рудаки. E-mail: ddk_g,ulmatov_m@mail.ru. Тел.: (+992)918701227;
Information about authors:
Kholov Mahmudjon Sharipovich, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, chief research officer of the Institute of History, Archeology and Ethnography named after A. Donish of the Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan. E-mail: kholov-mahmud@ramhler.ru. Phone: (+992) 903-05-00-28;
Gulmatov Mahmadali Davlatalievich, Assistant of the Chair of Methods of Teaching Mathematics of the Kuloh State University A. Rudaki. E-mail: ddk_g,ulmatov_m@mail.ru. Tel.: (+992) 918701227;
