CC BY
8УДК: 512.1; 930.2
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В «МАДЖМА'АЛ-АРКАМЕ»
МИРЗЫ БАДИ'-ДИВАНА
ГУЛМАТОВ М. Д.
Кулябский государственный университет им. А.Рудаки
История точных наук Средней Азии ХУШ-начала ХХ веков является малоизученной, поэтому исследование источников этого периода представляет огромный интерес не только для историков, но и для представителей точных наук. Одним из редких и интересных источников рассматриваемого периода является рукопись «Маджма' ал-аркам» Мирзы Бади'-Дивана, крупного чиновника аппарата управления Бухарского эмирата [1]. Данный труд являлся официальным руководством для чиновников канцелярии по ведению финансового и поземельно-податного учета. В сочинении излагаются основные принципы административного, финансового и налогового управления, правила составления реестров налоговых поступлений, расходных ведомостей, актов земельных и прочих пожалований и др. Поскольку чиновникам канцелярий, занимавшимся финансами государства необходимо было знание математики и ряда других точных наук, автор сочинения приводит сведения по арифметике, алгебре, геометрии, астрономии, хронологии, метрологии, монетному делу и другим наукам.
Изучение этого труда показало, что в Бухарском эмирате рассматриваемого периода математика носила в основном прикладной характер [23]. Она применялась в экономической жизни общества и развивалась в тесной связи с другими практическими науками. О преподавании арифмети-ки-«илм-и хисоб» в медресе Бухары рассматриваемого периода, сообщает русский востоковед и дипломат Н.В. Ханыков. В своем знаменитом труде «Описание Бухарского ханства» он пишет: «... Из огромного отдела наук, известных под именем табиийе, иляхийе, рийазийе, из коих первая означает естественные науки, вторая метафизику и третья занимается изложением идей, т.е. существующего в уме, а не в действительности, как например: понятие о времени и несуществовании, и те из них проходят только весьма коротко илм-и хисоб т.е. арифметику, которая здесь составляет часть табиийе» [6,221].
Математика занимает большое место в объеме сочинения (67,4%), поэтому в некоторых каталогах оно отнесено к разряду математических трактатов [4,650]. В предисловии к сочинению отмечается необходимость «илм-и хисоб» («науки исчисления») в практической жизни людей. Сочинение состоит из пяти глав. Математике посвящена глава 3: «Об удвоении, раздвоении, сложении, вычитании, умножении, делении и прочем» [1, 23б-
45б] и глава 4: «Определение площади. Дроби. Первоначальные сведения о получении неизвестных искомых арифметическим способом, а также законы алгебры и прочее» [1,45б-82а].
Целью данной статьи является исследование науки алгебры в Бухарском эмирате рассматриваемого периода, на примере рукописи «Маджма' ал-аркам» Мирзы Бади'-Дивана. Исследователь рукописи «Маджма' ал-аркам» А.Б. Вильданова в предисловии своей книги отмечает, что автор рукописи - Мирза Бади'-Диван «...не указывает, откуда он заимствовал материал по математике, однако по традиционности изложения «Маджма' ал-аркам» примыкает к математическим трудам ал-Хорезми, ал-Бузджани, Насираддина Туси, Гийасаддина Каши и др.» [2,19]. Далее, о разделе книги, посвященной алгебре, она говорит следующее: «Раздел сочинения, касающийся алгебры, начинается с изложения двадцати одного довода («асос»), на которых автор основывает теорию линейных и квадратных уравнений. Эта теория применяется на многочисленных примерах раздела наследства» [2, 21].
Известный исследователь истории математики Г.П. Матвиевская в своей книге «Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке» [5, 164] говоря об «Алгебре» ал-Хорезми, отмечает, что она «.распадается на теоретическую и сугубо практическую части. Во второй части (т.е. практической) рассматривается применение алгебраических методов к решению различных хозяйственно-бытовых, торговых и юридических проблем (в частности, задач на измерение поверхностей и на деление наследства). Задачи на деление наследства, сводящиеся к уравнениям 1-ой степени, составляют важный раздел средневековой восточной алгебры» [5,164].
Историк математики А.П. Юшкевич в своей книге «История математики в средние века» по этой теме говорит следующее: «.основной целью ал-Хорезми при составлении трактата по алгебре было написание руководства к решению общежитейских задач. Этим объясняется большое место, отведенное им, в частности, задачам о завещаниях и наследствах, занимающим несколько более половины книги. Мусульманское наследственное право было (да кое-где и ныне) подчинено строгому и сложному регламенту, устанавливающему возможные доли наследников в зависимости от степени родства (жена, муж, дочь, сын, родители и т. п.) и ограничивающему права завещателя. Поэтому перед юристами возникали довольно запутанные вопросы, которые в руководствах еще усложнялись для упражнения» [7,191-192].
Далее, А.П. Юшкевич по поводу алгебраических терминов, используемых ал-Хорезми в своем труде, говорит следующее: «О происхождении алгебраических терминов ал-Хорезми имеются различные предположения. В отделе о завещаниях и наследствах «мал» значит имущество и служит не-
известным в линейных задачах. Видимо, позднее «мал» стал обозначать квадрат в отличие от корня, «джизр». Слово «шай» естественно могло быть взято для обозначения искомой величины, искомой вещи. «Джизр», наверное, есть перевод санскритского «мула», корень; возможна связь между словом «дирхем» и санскритским «рупа», тоже обозначающим монету. Во всяком случае, математический смысл терминов ясен, и мы можем называть здесь «джизр» и «шай» неизвестной или корнем, «мал» - квадратом» [7,192].
Как известно, средневековые алгебраические труды на Востоке составлялись в стихотворном или словесном виде. В «Маджма' ал-аркаме» этот стиль тоже присутствует, и алгебраические задачи написаны прозаически. Рассмотрим некоторые задачи и методы их решения.
Так, в листе 72б-73а рукописи «Маджма' ал-аркам» приведена следующая задача: «Зайд взыскивает с Амра сумму четырнадцать. Амр подтвердил, что действительно четырнадцать, но сумма состоит частично из динаров и частично из дирхемов; однако он не определил точно количество каждых. Определение их таково. При умножении четырнадцати на самое себя, получится пять целых и четыре девятых квадратов числа динаров. Способ определения упомянутого путем восполнения такой. Прими число динаров за вещь и возведи ее в квадрат. Затем возведи в квадрат число четырнадцать; получилось сто девяносто шесть. Последнее равно пяти целым квадратам и четырем его девятых, если действовать согласно утверждению Амра. Итак, пять и четыре девятых квадрата равны числу сто девяносто шесть. Исключи число квадратов до одного и исключи число до числа, уравнивающего один квадрат. Итак, один квадрат получилось равен тридцати шести, а корень тридцати шести равен шести. Шесть - это есть число динаров, которые надо вычесть из четырнадцати, как утверждалось выше в задаче; осталось восемь, что есть число дирхемов. Пять квадратов, каждый из которых тридцать шесть, всего составили сто восемьдесят. От числа сто девяносто шесть остается шестнадцать. Эти шестнадцать относятся к квадрату - тридцати шести - как четыре к девяти» [2,79-80; 3,132-133].
Эта задача современными алгебраическими методами решается следующим образом. Решение:
196 = 5х2 + 4 х2 9
1764 = 45х2 +4х2 49х2 =1764 х2 = 36 х = 6
Количество динаров: 14, тогда 14 - х = 8, количество дирхемов - 8.
Другой пример. «Некий сказал: я должен Зайду тысячу и половину того, что я должен Амру. А Амру я должен тысячу и половину того что должен Зайду. Ответ надо давать, учитывая то правило, что при преобразовании дроби дробь увеличивается по мере увеличения числителя дроби. Знай, что половина больше трети, треть больше четверти, четверть больше одной пятой, и так до бесконечности, то есть обратное явление того, что говорилось перед этим. В нашем примере дробь увеличивается до одной целой. Тогда сумма для каждого, как Зайда, так и Амра, составит две тысячи. Значит, верно выходит, что половина положенного Амру одна тысяча вместе с указанной тысячей составит две тысячи. Столько же положено Зайду. Нахождение данного неизвестного алгебраическим путем таково. Принимаем причитающееся Зайду за вещь. Тогда Амру полагается тысяча и половина вещи. Отсюда положенное Зайду составляет тысячу пятьсот и четверть вещи, и все это равняется вещи. Затем противопоставляется тысяча пятьсот и четверть вещи с вещью. С исключением четверти вещи с одной и другой стороны остается тысяча и пятьсот, которые составляют три четверти вещи. Отсюда одна четверть вещи равняется пятистам. Тогда вещь равна двум тысячам, что мы и утверждаем. Итак, по две тысячи принадлежит каждому, как было установлено для них» [2,80; 3,133-134].
Этот пример можно решить современным способ следующим образом. Решение: х - Амр, у - Зайд. Построим систему и решим его так:
х
1000 + - = у г2000 + х = 2 у Г 2 у = 2000 + х
2 ^ ' ^ 2(2х-2000) = 2000 + х
У I 2000 + у = 2х I у = 2х - 2000
1000 + —= х 1 у
2
4 х - 4000 = 2000 + х 4 х - х = 2000 + 4000 3х = 6000 х = 2000
у = 2•2000 - 2000 у = 4000 - 2000 у = 2000
Отсюда выходит, что у Амра и Зайда были 2000 динаров у каждого.
Другой пример. «Некий сказал: я должен Зайду тысячу и три четверти того, что Амру, а Амру я должен тысячу и три четверти того, что должен Зайду. Основанный на упомянутом правиле о преобразованных дробях от-
140
вет таков. Нужно взять вышеприведенную дробь и поступать, как было уже доказано, то есть надо взять знаменатель дроби четыре и отбросить от него числитель дроби три. Остается единица. Затем надо соотнести отброшенное к остатку. Получается три определенные (задачей) части. Эти части надо прибавить к числу без них; в результате получится четыре тысячи. Итак, согласно условиям задачи каждому из них определено по четыре тысячи. Задача решена. Решение этой задачи алгебраическим путем таково. Принимаем причитающееся Зайду за вещь. Тогда положенное Амру равняется тысяче и трем четвертям вещи. Отсюда положенное Зайду составит тысячу семьсот пятьдесят, и девять шестнадцатых вещей, и все это равняется принятой вещи. Сделали восполнение, то есть отбросили девять шестнадцатых. В одной части восполнение выразится в исключении. А там, где нет исключения, путем противопоставления отбросили девять шестнадцатых частей из вещи. Осталось семь шестнадцатых частей, которые равны одной тысяче семистам пятидесяти. К упомянутому числу прибавили девять шестнадцатых. Получилось всего четыре тысячи. Столько установлено для каждого из них. Конец» [2,81; 3,134].
Далее эту задачу автор решает следующим образом: «Знай, как нужно преобразовывать простые и составные дроби. Например, в задаче говорится: я должен Зайду тысячу, а также треть и четверть того, что Амру, а Амру я должен тысячу и треть с четвертью того, что должен Зайду. Нахождение упомянутого таково. Одна треть и одна четверть равны известному (числу) и двум пятым его. Поскольку знаменатель одной трети есть три, а знаменатель одной четверти есть четыре, то после отбрасывания высшей дроби от обоих остаются две единицы из двух знаменателей. После этого надо соотнести остаток каждой отброшенной дроби к единицам. Получилось две пятых, так как высшей дробью были две трети и три четверти. Две пятых от тысячи составляет четыреста. Итак, каждому получилось по две тысячи четыреста. Это очевидно и не нуждается в подробностях. Нахождение упомянутого алгебраическим путем таково. Положенное Зайду принимается за вещь. Тогда долг Амру - тысяча триста тридцать три и треть, которая образуется от трети и четверти тысячи, а также треть и четверть принятой вещи. Итак, Зайду причитается тысяча, одна треть и четверть положенного Амру. Сделали восполнение, то есть отбросили треть и четверть из трети и четверти вещи, такое же количество отбросили с уравнивающей стороны. На стороне должного Зайду осталось число тысяча пятьсот восемьдесят три и четыре двенадцатых, которое равно остатку от вещи, оставшейся от трети и четверти. Упомянутое составит восемьсот шестнадцать и восемь двенадцатых. Сложили оба числа для положения вещи. В итоге получилось число две тысячи четыреста, которое установлено для каждого из них» [2,81; 3,135].
Этот пример современными алгебраическими символами пишется таким образом. Составляем уравнение: 3
1000 + — х = х. Все члены уравнения умножаем на четыре:
4000 + 3х = 4х.
4х - 3х = 4000. х = 4000 .
Пример на несоизмеримую дробь («касри асам»). «Допустим, говорят: я должен Зайду тысячу и одну одиннадцатую часть того, что Амру, а Амру я должен тысячу и одну одиннадцатую того, что Зайду. Надо изъять превышение упомянутой дроби из тысячи. Превышение упомянутой дроби есть десять (одиннадцатых). К тысяче нужно прибавить указанную в задаче дробь (искомого числа). Окончательно выяснилось, что каждому положено по тысяче сто. Решение данного алгебраическим путем таково. Положенное Зайду принимается за вещь. Тогда Амру полагается тысяча и одна из одиннадцати частей вещи. Отсюда Зайду полагается: тысяча плюс одна одиннадцатая тысячи, равная девяноста и десяти одиннадцатых, плюс одна одиннадцатая (от одной одиннадцатой) вещи, и все это равняется принятой вещи. Восполнили число тысяча девяносто и десять одиннадцатых с частями вещи, то есть отбросили части вещи. Осталось тысяча девяносто и десять одиннадцатых. Части вещи противопоставили принятой вещи для уравнивания. После этого определили одну одиннадцатую (от одной одиннадцатой) числа тысяча девяносто и десять одиннадцатых, которая есть число девять и одна одиннадцатая. Итак, каждому получилось по тысяче сто» [2,82; 3,137].
Этот пример современными алгебраическими символами пишется таким образом: х - деньги Зайда, 1000 + -1 х - деньги Амра.
Тогда появится такое уравнение: х = 1000 + х . Отсюда
х —1 х = 1000 10 х = 1000 11 11
10х=1000•11
10х=11000 Х=11000:10 Х=1100 .
Пример на исключение односложной дроби («касри муфрад»).
«Например, говорят: я должен Зайду тысячу без половины того, что Амру, а Амру я должен тысячу без половины того, что должен Зайду. Таково
142
правило на исключение. К упомянутой дроби прикидываешь число без нее; находишь такую дробь, которая составляет известное число, и вычитаешь из нее дробь, которая осталась. Получится то, что положено. В данном примере вычти то, что ниже упомянутой дроби, так как треть ниже половины. Цель (нахождения) упомянутой трети - (нахождение) трети тысячи. Осталось шестьсот шестьдесят шесть целых и две трети, что есть положение каждому. Решение данной задачи алгебраическим путем таково. Принимаем положенное Зайду за вещь. Тогда Амру положено тысяча без половины вещи. Отсюда Зайду причитается пятьсот и четверть вещи, так как исключение отрицания есть утверждение. Восполнили четверть вещи, противопоставив ей четверть вещи. Осталось число пятьсот и три четверти из вещи. Тогда дополнили вещь четвертью вещи, а также дополнили к пятистам, которые уравнивают принятую вещь. По трем четвертям определили одну четверть, которая равна ста шестидесяти шести и двум третям. Вся сумма составит шестьсот шестьдесят шесть и два из трети, что положено каждому» [2,82-83; 3,137-138].
В математике такой пример решаеться таким методом:
Решение:
х - деньги Зайда.
1000 — 1 х — деньги Амра.
х = 1000 —1 х 2
х +1 х = 1000 2
Таким образом, алгебраические задачи в «Маджма' ал-аркаме» Мирзы Бади'-Дивана составлены в стихотворном или словесном виде, использовались Бухарскими чиновниками в решении различных хозяйственно-бытовых, торговых и юридических проблем.
ЛИТЕРАТУРА
1. Мирза Бади'-диван. Маджма' ал-аркам. Рукопись Национальной библиотеки Таджикистан, № 649.
2. Мирза Бади'-диван. Маджма'ал-аркам («Предписания фиска»).Приемы документации в Бухаре XVIII в. Факсимиле рукописи. Введение, перевод, примечания и приложения А. Б. Вильдановой.- М.: Наука. 1981.-128 с.
3. Мирзо Бадеи Девон. Мачмаъ ул-арком. - Душанбе: Дониш, 2015.-416 с.
4. Матвиевская Г.П. Математики и астрономы мусульманского средневековья и их труды. - М.: Наука, 1983. Т. 2. -650 с.
5. Матвиевская Г.П. Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке. -М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2012. -344 с.
6. Ханыков Н. Описание Бухарского ханства. - СПб, 1843. -280 с.
7. Юшкевич А.П. История математики в средние века. - М., 1961.- 448 с.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В «МАДЖМА' АЛ-АРКАМЕ» МИРЗЫ БАДИ'-ДИВАНА
В статье впервые решаются алгебраические задачи рукописи конца XVIII века-«Маджма ' аль-аркам» Мирзы Бади'-Дивана современными методами. На конкретных примерах показано решение алгебраических задач, которые составлялись в стихотворном или словесном виде. Установлено, что математика в Бухарском эмирате использовалась в решении различных хозяйственно-бытовых, торговых и юридических проблем (в частности, задач на измерение поверхностей и деления наследства). Задачи на деление наследства (фароиз), относящиеся к алгебраическим уравнениям 1-й степени, составляли важный раздел средневековой алгебры Востока.
Ключевые слова: Средневековый Восток, Бухарский эмират, рукопись, математика, алгебра, задачи, «Маджма' аль-аркам», Мирза Бади' Диван, деление наследства.
МАСЪАЛА^ОИ АЛГЕБРАВЙ ДАР «МАЧМАЪ УЛ-АРКРМ»-И МИРЗО БАДЕИ ДЕВОН
Дар ма^ола бори аввал масъала^ои алгебравии дастхати охири асри XVIII -«Мачмаъ ул-арком»-и Мирзо Бадеи Девон бо метод^ои муосир х,ал карда шуда-анд. Х,алли масъала^ое, ки ба намуди наср ё назм тартиб дода мешуданд, бо ми-солх,ои муайян нишон дода шудаанд. Муайян карда шудааст, ки илми математика дар Аморати Бухоро дар хдлли масъала^ои гуногуни хочагй ва маишй, тичоратй ва хукукй (аз он чумла, масъалах,о дар андозагирии масохдт ва таксимоти мерос) истифода мешуд. Масъалах,о оид ба таксимоти мерос (фароиз), ки ба муодила^ои алгебравии дарачаи 1-ум марбутанд, боби мухдмми алгебраи Шарки асримиёна-гиро ташкил медоданд.
Калидвожах,о: Шарци асримиёнагй, Аморати Бухоро, дастхат, математика, алгебра, масъала^о, «Мацмаъ ул-арцом», Мирзо Бадеи Девон, тацсими мерос.
ALGEBRAIC TASKS IN "MAJMA AL-ARQAM" BY MIRZAH BADIY-DIVAN
The article first solves the algebraic problems of the manuscript of the late XVIII century - "Majma al-arqam" by Mirzah Badiy-Divan using modern methods. Specific
examples show the solution of algebraic problems, which were compiled in poetic or verbal form. It was established that mathematics in the Bukhara Emirate was used in solving various household, commercial and legal problems (in particular, problems of measuring surfaces and dividing inheritance). Problems on the division of inheritance (faroiz), related to algebraic equations of the first degree, constituted an important section of medieval algebra of the East.
Key words: Medieval East, Bukhara Emirate, manuscript, mathematics, algebra, problems, "Majma al-arqam ", Mirzah Badiy Divan, inheritance division.
Маълумот дар бораи муаллиф: Гулматов Махмадалй Давлаталиевич-ассистенти кафедраи методикаи таълими математикаи Донишго^и давлатии Кулоб ба номи Абуабдуллохи Рудакй. Телефон: (+992) 918-701227 E-mail: ddk Gulmatov M@mail.ru.
The author's information is: Gulmatov Mahmadali Davlatalievich - assistant-chair of the Department of Mathematics Teaching Methodology of Kulyab State University named after Abu Abdullah Rudaki.Phone:(+992)918-701227E-mail: ddk Gulmatov M@mail.ru.
УДК:902.6 (575.3) (092)
САРАЗМ В АРХЕОЛОГИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ А. И. ИСАКОВА И ЕГО УЧЕНИКОВ (к 85 летию А. И. Исакова)
КАРИМОВА Г. Р.
Институт истории, археологии и этнографии им. А. Дониша Академии наук
Республики Таджикистан
Не воспроизводя основные даты биографии А.И. ИСАКОВА, они содержатся во многих посвященных ему публикациях [19, с. 3-13; 32, с.14-20; 34, с. 21-32; и др. с. 69-119; 26, с. 376-380 и др.], ограничимся указанием на то, что его жизненный путь последователен и показателен: студент, аспирант по специальности «История средневековья», сотрудник научных учреждений, кандидат, а затем доктор наук, вузовский педагог (доцент, профессор), полевой и камеральный исследователь, участник и руководитель ряда экспедиций, организатор и популяризатор науки, автор множества книг и различных публикаций, обретших широкую известность и признание научной общественности мира, обладатель ряда наград и почетных званий. 20 апреля 2020 г. Аб-дуллоджону Исаковичу Исакову исполнилось бы 85 лет.
Труд для науки и во имя науки - девиз всей жизни А.И. Исакова. Жизни, впитавшей в себя огромный опыт и замечательные итоги много-
145
