ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ТЕОРИИ КАТАСТРОФ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЧРЕЗВЫЧАЙНЫХ СИТУАЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

/10 "Civil SecurityTechnology", Vol. 16, 2019, No. 4 (62) УДК 614.8

Safety in emergencies

Геометрические основы элементарной теории катастроф для исследования чрезвычайных ситуаций

ISSN 1996-8493

© Технологии гражданской безопасности, 2019

В.А. Акимов, С.Л. Диденко

Аннотация

Представлены геометрические основы элементарной теории катастроф. Показано, что она является универсальным методом для исследования скачкообразных переходов, разрывов, внезапных качественных изменений, которыми и являются чрезвычайные ситуации природного и техногенного характера. Утверждается, что если потенциальная функция зависит от трех или меньшего числа активных переменных, то существует всего семь геометрий бифуркаций для описания катастроф и стихийных бедствий.

Ключевые слова: теория катастроф; геометрические основы; фундаментальные типы катастроф; стандартная деформация; многообразие катастрофы; отображение катастрофы; бифуркационное множество; ряд Тейлора; исследование чрезвычайных ситуаций.

Geometric Fundamentals of Elementary Catastrophe Theory for Studies of Emergency Situations

ISSN 1996-8493

© Civil Security Technology, 2019

V. Akimov, S. Didenko

Abstract

The geometric fundamentals of the elementary catastrophe theory are presented. It is shown that the theory is a universal method for studying abrupt transitions, disruptions, sudden qualitative changes that are natural or man-made emergencies. It is argued that if the potential function depends on three or fewer active variables, then there are only seven bifurcation geometries for describing the catastrophes and natural disasters.

Key words: catastrophe theory; geometric fundamentals; fundamental types of disasters; standard deformation; catastrophe manifold; mapping of catastrophe; bi-furcation set; Taylor series; analysis of emergencies.

Статья поступила в редакцию 01.10.2019.

Теория катастроф анализирует критические точки потенциальной функции, то есть точки, где не только первая производная функции равна нулю, но и равны

нулю производные более высокого порядка [1]. Динамика развития таких точек может быть изучена при помощи разложения потенциальной функции в ряды Тейлора посредством малых изменений входных параметров. Если потенциальная функция зависит от трех или меньшего числа активных переменных и пяти или менее активных параметров, то в этом случае существует всего семь обобщенных структур описанных геометрий бифуркаций. Сегодня эти семь фундаментальных типов катастроф известны под именами, которые им дал Рене Том [2].

Изучение элементарных катастроф начинается с перечисления основных структур, связываемых с катастрофами [3]. Для этого рассмотрим семейство функций:

V : Б х С ^ К,

где:

—некоторое многообразие М", называемое пространством состояний;

С — многообразие Кг, определяемое как пространство управления, а число г—размерность деформации.

Многообразием катастрофы М называется подмножество в Ж" х Жг, определенное уравнением:

DVc(x) = 0,

где V (х) = ¥(х, с) — множество всех критических точек потенциалов Vиз семейства V.

Отображением катастрофы 5 называется ограничение на М естественной проекции:

п:Ж" х Ж^Жг;

п(х, с) = с.

Особым множеством 5 называется подмножество в М, состоящее из особых точек отображения х, где ранг производной меньше чем г. Образ особого множества )е С называется бифуркационным множеством В.

5 есть множество тех точек (х, с) еМ, в которых V (х) имеет вырожденную критическую точку. Значит, В представляет собой место, где меняются число и природа критических точек. Ввиду структурной устойчивости морсовских функций такое изменение может произойти лишь при переходе через вырожденную критическую точку. В большинстве приложений наиболее важно именно бифуркационное множество, так как оно лежит в пространстве управления.

Теперь кратко следует представить семь геометрий бифуркаций для описания чрезвычайных ситуаций природного и техногенного характера (далее — ЧС) [4].

1) Катастрофа типа «складка» (х3 + ах) (см. рис. 1).

Это простейшая из катастроф. Стандартная деформация в этом случае задается формулой:

1

(х)=тх3 + ах;

г

Рис. 1. Катастрофа типа «складка»

числовой коэффициент введен, чтобы упростить дальнейшие вычисления. Многообразие катастрофы М определяется уравнением:

0 = Ау (х) = X2 + а. dx

Это уравнение подсказывает, что в качестве карты для М нужно взять координату х. Общая точка многообразия М записывается в виде:

(х, а) = (х,- х2).

Отвечающая этой точке функция на 5 имеет следующее разложение в ряд Тейлора:

(х + X ) = 3(х + X )3 +(-X2)(х + X ) =

=1X3 + хХ2 + 0X -2 X3.

3 3

Таким образом, многообразие катастрофы представляет собой параболу, а бифуркационное множество состоит из единственной точки. Гладкость этой поверхности не гарантирует, что при плавном изменении одной переменной две другие тоже меняются плавно.

2) Катастрофа типа «сборка» (х4 + а]х2 + а2х).

В катастрофе «сборка» (см. рис. 2) есть как траектории без перескока, с плавным развитием, так и со скачком в развитии.

Стандартной деформацией служит:

1 1

V „ (х) = — х4 +— эх2 + Ьх,

4 2

и многообразие катастрофы задается уравнением:

0 = (х) = х3 + ах + Ь. dx

В качестве параметров карты для М можно использовать (х, а); общая точка М имеет координаты (х, а, Ь) + (х, а,- ах - х3), и следовательно, эта карта записывается так:

К2 ^ М , (х, а)^(х, а - ах - х3).

Рис. 2. Катастрофа типа «сборка»

бифуркаций типа «свертки», которые встречаются на двух кривых бифуркаций с точками возврата, которые в конечном итоге встречаются в одной точке, представляющей собой бифуркацию типа «ласточкин хвост» (см. рис. 3).

По мере прохождения значений параметров по поверхностям областей бифуркаций типа «свертка» пропадают один минимум и один максимум потенциальной функции. В области бифуркаций с точкой возврата два минимума и один максимум замещаются одним минимумом; за ними бифуркации типа «свертка» исчезают. В точке «ласточкиного хвоста» два минимума и два максимума встречаются в одном значении переменной х. Для значений а, > 0

Найдем тейлоровское разложение:

V* (х + X ) = 4 X4 + хХ3 +

+ (3х2 + -1 X2 + 0X -(3X + -х2

v liijjj

г ~

Обозначим через р, q, г коэффициенты квадратичного, кубического и квартичного членов:

р (ах) = 3 х3 + —;

^ ; 2 2

q (а, х) = х;

г (а, х) = —.

У > 4

Эти выражения заставляют нас взять в качестве карты для М плоскость г = 1/4 или координаты р и q. Тогда старые координаты выражаются через новые, как: (а, х) = (2р - 3q2, q).

Квадратичный член разложения вырожден при р = 0; это условие задает ось q в плоскости pq. Ее образом в М служит кривая складок, представимая с помощью карты (х, а).

При р = 0 необходимо перейти к кубическим членам. Кубический член будет определять тип критической точки, покуда его коэффициент q ф 0. Если же и р = 0, и q = 0 (начало в пространстве pq), то получается тип X4.

Образ в М прямой р = 0 задается равенством а = - Зх2. Получается параметризация линии складки с помощью х:

(х,- Зх2, 2х3).

Бифуркационное множество есть образ этой кривой в С, т. е. множество точек:

(- Зх2, 2х3) = (а, Ь).

3) Катастрофа типа «ласточкин хвост» (х5 + + а[х3 + а2х2 + а3х).

Управляющее пространство в данном типе катастроф является трехмерным. Каскад бифуркаций в фазовом пространстве состоит из трех поверхностей

Рис. 3. Катастрофа типа «ласточкин хвост»

за «ласточкиным хвостом» существует либо одна пара (минимум, максимум), либо не существует вообще никаких бифуркаций. Это зависит от значений параметров а2 и а3. Две поверхности бифуркаций типа «свертка» и две линии бифуркаций с точками возврата встречаются при а1 < 0, а потому исчезают в самой точке «ласточкиного хвоста», заменяясь одной поверхностью бифуркаций типа «свертка».

4) Катастрофа типа «бабочка» (х6 + а1х4 + а2х3 + + а х2 + а. х).

3 4 '

В зависимости от значений параметров потенциальная функция может иметь три, два или один локальный минимум, причем все минимумы разделены областями с бифуркациями типа «свертка». В точке с наименованием «бабочка» (см. рис. 4) встречаются: три различных пространства (трехмерных плоскости) таких бифуркаций типа «свертка»; две поверхности бифуркаций с точками возврата и кривая бифуркаций типа «ласточкин хвост».

Все эти бифуркации пропадают в одной точке и преобразуются в простую структуру с точкой возврата тогда, когда значение параметра становится положительным.

Омбилические катастрофы являются примерами катастроф второго порядка (см. рис. 5-7), которые тесно связаны с геометрией почти сферических поверхностей.

Рис. 4. Катастрофа типа «бабочка»

5). Гиперболическая омбилика (х12 + х22 + а1х1х2 -

- а2х2 - а3х1)

Рис. 5. Катастрофа типа «гиперболическая омбилика»

Для «гиперболической омбилики» стандартная форма имеет вид:

VаЬс(х, У) = х3 + у3 + аху + Ьх + су.

Многообразие катастрофы задается уравнениями:

0 = ^^ (х, у ) = 3х2 + ау + Ь; dx

Кубическая часть вырождена лишь в направлении Х/У = -1 и имеет лишь одну вещественную корневую прямую. Квадратичная часть дает естественные координаты:

р (х, у, а) = 3х; q (х, у, а) = а; г (х, у, а) = 3у.

Она вырождается на дискриминантном конусе q2 = 4рг. В координатах х, у, а уравнение этого конуса принимает вид: 36ху = а2.

Квадратичная часть обращается в ноль на прямой вырожденности кубической части при - q/2р = -1, т. е. когда q = 2р и г = р. Это происходит на прямой, имеющей следующую параметризацию (р, 2р, р).

В координатах х, у, а эта кривая выглядит как (р/3, р/3, 2р). Переходя к параметру х, получаем параметризацию (х, х, 6х).

Как и раньше, на конусе находятся точки складки, за исключением прямой, где лежат сборки и двойственные сборки, а вне конуса располагаются морсовские точки.

6). Эллиптическая омбилика (х22-3х22х12 + а1 (х12 + + х22) - а2х2 - а3х1)

Для «эллиптической омбилики» стандартная форма деформации представлена в виде:

VaЬc(х, у) = х3-3ху2 + а(х2 + у2) + Ьх + су.

Многообразие катастрофы М задается парой уравнений

Рис. 6. Катастрофа типа «эллиптическая омбилика»

0 = ( У) = 2У' + аХ + С dy

и можно принять (х, у, а) в качестве параметров карты с отображением:

(х, у, а) ^ (х, у, а, - ау - 3х2,- ах - 3у2) = = (х, у, а, Ь, с) е М.

0 = — ^ (х, у) = 3х2 -3у2 + 2ах + Ь; dx

0 = -Т^аы. (x, у) = -6хУ + 2аУ + с dy

Следовательно, можно воспользоваться переменными (х, у, а) в качестве параметров следующей карты для М:

Тейлоровское разложение здесь таково:

УьЬс(х + X, у + У) = X3 + У3 + 3хХ2 + аХУ + 3уР + 0Х+ + 0У + (- 2х3-2у3 - аху).

(х, у, а) ^ (х, у, а, - 2ах + Зу2 - Зх2,- 2ау + 6ху) = = (х, у, а, Ь, с) е М.

Взяв тейлоровское разложение в точке, лежащей в М:

УаЬс(х + X, у + У) = Х-3ХУ2 + (Зх + а)Х2 + (- 6у)ХУ + +(- 3х + а) У2 + 0Х + 0У + (- 2х3 + бху2 - ах2 - ау2),

и приняв коэффициенты квадратичного члена за координаты (р, q, г), так что:

р (х, у, а) = 3х + а;

q (х, у, а) = - 6у; г (х, у, а) = - 3х + а.

Квадратичный член вырождается на дискриминант-ном конусе, уравнением которого служит q2 = 4рг или х2 + у2 = а2/9. Это уравнение определяет особое множество в М, которое диффеоморфно двойному конусу.

7) Параболическая омбилика (х22х1 + х2 + а1х22 + +а2х12 - а3х2 - а4х1).

Рис. 7. Катастрофа типа «параболическая омбилика»

Если алгебраическая форма этой катастрофы:

УаЬср, у) = х2у + у4 + ах2 + Ьу2 + сх + ду, то многообразие катастрофы задается уравнениями: 0 = ( У) = 2хУ +2ах +с;

dx

0 = (х, У) = 4У3 + X2 + 2Ьу + d.

Карту для М зададим при помощи координат (х, у, а, Ь) и отображения:

(х, у, а, Ь) ^ (х, у, а, Ь,- 2ах - 2ху,- 2Ьу - х2- 4у3) = = (х, у, а, Ь, с, д) е М.

Тейлоровское разложение выглядит так:

^(х + X, у + У) = У4 — Х2У + 4уУ + (у + а)Х + 2хХУ + + (бу2 + Ь)У2 + 0Х + 0У + константа.

Введем новую карту (р, q, r, s),

где:

р (х, у, a, b) = y + а;

q (x, у, a, b) = 2x; r (х, у, а, b) = бу2 + b; s (x, у, a, b) = 4y.

Тогда старая карта выражается через новую следующим образом:

х (р, q, г, 5) = q/2; у (р, q, г, 5) = 5/4; а (р, q, г, 5) = р - 5/4;

Ь (р, q, г, 5) = г - 352/8.

Каждая из описанных элементарных катастроф содержит в себе подкатастрофы согласно диаграмме соподчинения (см. рис. 8) [5].

бабочка

Ласточкин хвост

параболическая омбилика

гиперболическая омбнлиз.'ц

морсовекая особенность

Рис. 8. Диаграмма соподчинения элементарных катастроф

Таким образом, элементарная теория катастроф является универсальным методом для исследования скачкообразных переходов, разрывов, внезапных качественных изменений, которыми и являются чрезвычайные ситуации природного и техногенного характера.

Литература

Акимов В. А. Оценка состояния науки в Российской Федерации по вопросам исследования техногенных угроз // Технологии гражданской безопасности. 2018. Т. 15. № 1 (55). С. 4-10. Том Р. Структурная устойчивость и морфогенез. М.: Логос, 2002. 136 с.

Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. М.: Мир, 1980. 608 с.

Акимов В. А., Диденко С. Л., Смирнов А. С. Научные основы общей теории безопасности жизнедеятельности: Моногр. / Под ред. А. П. Чуприяна / МЧС России. ФГБУ ВНИИ ГОЧС (ФЦ), 2019. 252 с.

Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. М.: Мир, 1984. 286 с.

Сведения об авторах

Акимов Валерий Александрович: д. т. н., проф., засл. деятель науки РФ, ФГБУ ВНИИ ГОЧС (ФЦ), гл. н. с. 121352, Москва, ул. Давыдковская, 7. е-таИ: [email protected] SPIN-код — 8120-3446.

Диденко Сергей Леонидович: к. социолог ВНИИ ГОЧС (ФЦ), начальник института. 121352, Москва, ул. Давыдковская, 7. e-mail: [email protected]

Information about authors

н., ФГБУ

Akimov Valery A.: ScD (Technical Sc.), Professor, Honored Scientist of the Russian Federation, All-Russian Research Institute for Civil Defense and Emergencies, Chief Researcher. 7 Davydkovskaya, Moscow, 121352, Russia. e-mail: [email protected] SPIN-scientific — 8120-3446.

Didenko Sergey L.: Candidate of Sociological Sciences, All-Russian Research Institute for Civil Defense and Emergencies, Head of Institute.

7 Davydkovskaya, Moscow, 121352, Russia. e-mail: [email protected]