АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ТЕОРИИ КАТАСТРОФ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЧРЕЗВЫЧАЙНЫХ СИТУАЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

/4 "Civil SecurityTechnology", Vol. 16, 2019, No. 4 (62) УДК 614.8

Safety in emergencies

Алгебраические основы элементарной теории катастроф для исследования чрезвычайных ситуаций

ISSN 1996-8493

© Технологии гражданской безопасности, 2019

В.А. Акимов, С.Л. Диденко

Аннотация

Рассмотрены алгебраические основы элементарной теории катастроф для исследования чрезвычайных ситуаций природного и техногенного характера. Показана важная роль леммы о расщеплении, с помощью которой можно существенно понизить число переменных в рассматриваемой задаче. Охарактеризована перспектива формального описания чрезвычайных ситуаций природного и техногенного характера с использованием трех основных переменных: времени, места и мощности катастрофы или стихийного бедствия.

Ключевые слова: теория катастроф; алгебраические основы; теория особенностей; теория бифуркаций; нелинейные дифференциальные уравнения; лемма Морса; лемма о расщеплении; исследование чрезвычайных ситуаций.

Algebraic Fundamentals of Elementary Catastrophe Theory for Studies of Emergency Situations

ISSN 1996-8493

© Civil Security Technology, 2019

V. Akimov, S. Didenko

Abstract

The article examines the algebraic fundamentals of the elementary catastrophe theory for the analysis of natural or human-made emergencies. An important role of the splitting lemma is demonstrated: it can be used to significantly reduce the number of variables in the problem under consideration. A natural or human-made emergency can be formally described using three key variables: time, location and magnitude of a catastrophe or natural disaster.

Key words: catastrophe theory; algebraic fundamentals; singularity theory; bifurcation theory; nonlinear differential equations; Morse lemma; splitting lemma; analysis of emergency situations.

Статья поступила в редакцию 1.10.2019.

Классическая наука в основном изучает теорию плавных переходов и постепенного поведения (от механики Ньютона до теории относительности Эйнштейна). Но изменения совершаются и скачками: рушатся дома, гибнут люди, происходят внезапные кризисы и катастрофы. Эти внезапные изменения вызываются обычно гладкими изменениями ситуации. Плановые учения на Чернобыльской АЭС привели к самой серьезной радиационной катастрофе. Глобальные изменения климата приводят к увеличению частоты и силы опасных природных явлений и т. д. Такие изменения гораздо труднее поддаются мониторингу и прогнозу, чем исследования динамических систем, когда будущее однозначно определяется прошлым, а процессы полностью детерминированы и предсказуемы. Современные науки только накапливают аналитические средства, которые бы им позволили изучать сложные системы со скачкообразным поведением.

В данной статье представлены основы математического подхода, в рамки которого единообразно укладывается обширная область явлений такого рода. При этом методы, развитые французским математиком Рене Томом, были использованы для описания внезапных изменений, названных катастрофами.

Основой теории катастроф является теория особенностей гладких (дифференцируемых) отображений, сформировавшаяся на стыке топологии и математического анализа и являющаяся обобщением задач на экстремум [1]. Элементарная теория катастроф сводит огромное многообразие ситуаций к небольшому числу стандартных схем, которые можно детально исследовать. Анализ поведения нелинейных динамических систем при изменении описывающих их параметров позволяет описывать состояния, далекие от равновесия, а также предсказывать резкую смену этих состояний.

Теория катастроф позволяет прогнозировать неустойчивости различных систем. Такое название она получила потому, что потеря устойчивости может быть катастрофична, даже если не приводит к гибели или разрушению системы, а лишь обусловливает переход к иной траектории развития.

Основными предположениями теории катастроф являются следующие [2]:

система является динамической, то есть ее состояние меняется во времени;

система стремится сохранять свое состояние как можно дольше;

текущее состояние системы зависит от того, каким образом система пришла в это состояние;

траектории системы необратимы, то есть система, пережив бифуркацию, не может вернуться в исходное состояние.

Теория катастроф исследует эволюцию сложных динамических систем, под которыми понимаются нелинейные системы, свойства которых не сводимы к свойствам компонентов и проявляют вновь возникающие, эмерджентные (emerge — возникать) черты.

Сложные динамические системы включают флуктуирующие, случайным образом изменяющиеся компоненты. Отдельные флуктуации или их сочетания

в системе с положительной обратной связью, усиливаясь, вызывают разрушение прежнего состояния системы — происходит катастрофа. Случайные воздействия в точке бифуркации могут подтолкнуть систему к новому пути развития. После же выбора одного из возможных путей действует однозначный детерминизм —развитие системы предсказуемо до следующей точки бифуркации.

При анализе поведения динамической системы в первую очередь обращается внимание на ее устойчивость, т. е. на реакцию динамической системы на малое возмущение ее состояния. Если сколь угодно малые изменения состояния системы начинают нарастать во времени, система неустойчива. Если же малые возмущения затухают со временем, система устойчива.

Решение дифференциального уравнения называется устойчивым, если поведение решений с близким начальным условием не сильно отличается от поведения исходного решения. Существуют различные критерии устойчивости: устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость, экспоненциальная и т. д.

Понятие устойчивости необходимо для описания сложной многокомпонентной системы, поскольку ее развитие сопровождается потерей устойчивости некоторыми режимами ее функционирования и рождением новых, устойчивых. Одни структуры гибнут, рождаются новые, которые видоизменяются, совершенствуются и затем вновь уступают место новым. Изменения могут накапливаться плавно, а могут происходить скачком — в виде катастроф. При фазовых переходах формирование новых структур сопровождается потерей устойчивости (даже разрушением) предшествующих. Система переходит из одного режима функционирования в другой режим. Старый режим потерял устойчивость, возник новый устойчивый режим, который может наследовать некоторые свойства предыдущего, а может быть и резко отличным. В таких случаях говорят о бифуркациях динамических систем.

Теория бифуркаций — один из разделов теории гладких динамических систем [3]. Термин «бифуркация» применяется для обозначения качественных изменений рассматриваемых объектов при изменении параметров, от которых эти объекты зависят. В математике и физике существует понятие грубости (структурной устойчивости системы): при малом изменении параметра грубая система хоть и изменяет в деталях режим функционирования, но не принципиально. Для грубых систем переход через точку бифуркации означает смену одного структурно устойчивого режима на другой. При этом в точке бифуркации система не является грубой: малое изменение параметра в ту или иную сторону приводит к резким изменениям состояния.

Возникновение диссипативных структур носит пороговый характер [4]. Неустойчивость и пороговый характер самоорганизации связаны с нелинейностью дифференциальных уравнений, описывающих систему. Известно, что для линейных уравнений существует одно стационарное состояние, для нелинейных — несколько. Поэтому пороговый характер самоорганизации

"Civil SecurityTechnology", Vol. 16, 2019, No. 4 (62)

Safety in emergencies

связан с переходом из одного стационарного состояния в другое. Потеря системой устойчивости есть катастрофа, т.е. скачкообразное изменение, возникающее при плавном изменении внешних условий.

Для описания эволюции нелинейных систем во времени основным математическим аппаратом являются нелинейные дифференциальные уравнения [5]. Они задают зависимость скорости изменения каждой переменной от значений самих переменных. Нелинейные уравнения, как правило, не решаются аналитически, поэтому для их исследования используются численные методы. Существует, однако, второй способ описания динамики нелинейных систем: с помощью итерационных уравнений, которые определяют закон изменения переменных в некоторые избранные, дискретные моменты времени. Такие уравнения называются отображениями, когда каждому элементу некоторого заданного множества X ставится в соответствие вполне определенный элемент другого заданного множества У.

Проще всего представить себе такой способ описания в ситуации, когда в системе имеется некоторый ритм, например, период внешнего воздействия Т. Тогда можно фиксировать дискретные значения переменных точно в соответствии с этим ритмом, т.е. в моменты времени Т, 2Т, 3Ти т.д. Этот способ описания динамики не уступает по общности дифференциальным уравнениям, но гораздо проще для исследования.

Поскольку в точках катастроф даже незначительные движения могут повлиять на ход развития, то нужно определить, далеко ли от такой точки находится система. Формально для этого следует изучить зависимость системы от внешних параметров в математических моделях, однако нередко экспериментатор не знает, каким уравнением описывается развитие системы. Тем не менее, существуют признаки того, что изучаемая система находится вблизи точки катастрофы (так называемые «флаги катастроф») [6]:

наличие нескольких устойчивых состояний; существование неустойчивых состояний, из которых система выводится слабыми воздействиями;

возможность быстрого изменения состояния системы при малых изменениях внешних условий;

необратимость системы, то есть невозможность вернуться к прежним условиям;

гистерезис, то есть поведение исследуемой системы во многом определяется ее предысторией.

Теперь следует остановиться на роли теории особенностей гладких отображений в теории катастроф. Под «особенностью» нужно понимать нарушение гладкости функции при каких-то значениях аргументов [7]. В таких точках значения функции могут изменяться скачкообразно (происходят бифуркации). В простейшем случае особенности гладких отображений представляют собой функции двух переменных Е(х, у), которые в трехмерном пространстве изображаются некоторыми поверхностями над плоскостью ХУ. Если поверхность образует складки так, что перпендикуляры к плоскости ХУ пересекают ее не менее двух раз, то функция неоднозначна и может испытывать скачки.

Теория особенностей гладких отображений обобщает исследование экстремумов функций на случай нескольких функций любого числа переменных. Критическая точка функции — точка, в которой все первые частные производные равны нулю; критическая точка называется невырожденной, если определитель ее матрицы отличен от нуля.

Описание системы, претерпевающей бифуркации, включает и детерминистический и вероятностные элементы, так как в окрестности точек бифуркации существенную роль играют флуктуации, и именно они выбирают ветвь, которой далее будет следовать система. Для этих систем нельзя точно указать ход их эволюции — можно лишь предсказать вероятность возможных сценариев развития.

Один из главных математических источников теории катастроф — классификация типов критических точек. Лемма Морса классифицирует хорошие критические точки для любого числа переменных. Обобщая доказательство леммы Морса, можно получить важную лемму о расщеплении, с помощью которой есть возможность при некоторых обстоятельствах существенно понижать число переменных в рассматриваемой задаче. В частности, при исследовании чрезвычайных ситуаций природного и техногенного характера (далее — ЧС) открывается перспектива их формального описания с использованием трех основных переменных: времени, места и мощности катастрофы или стихийного бедствия [8].

Тип классификации критических точек делает понятной важность разложений Тейлора. Вся вычислительная сторона теории катастроф имеет целью научиться управляться с этими задачами. Поведение разложений Тейлора становится гораздо более сложным для функций двух или более переменных. Понимание этих проблем требует большего, чем знание алгебраического формализма рядов Тейлора, и оно в достаточной степени не связано с вопросами сходимости.

Пусть ^ : М" ^ М гладкая функция. Тогда точка и е К" называется критической точкой для/, если

= 0,

или, в координатах,

Значение /(и) в критической точке и называется критическим значением функции.

Критические точки — это те точки, где график функции имеет горизонтальную касательную. В случае п = 1 эти точки классифицируются как локальные максимумы, минимумы и точки перегиба (см. рис. 1).

Для п = 2, т.е. для функций ( : К" ^ К, наиболее распространенными случаями являются локальные максимумы, минимумы и седла. Соответствующими примерами служат / (х, у) = - х2 - у2, х2 + у2, х2 - у2 в начале координат (см. рис. 2).

х3 - 3ху

максимум

/ минимум точка перегиба

/ х

Рис. 1. Примеры критических точек функции одной переменной

■ ф « 4 •

максимум

х2 + у2

•*■ ■ » . *• . • , * •« * * , Ф

седло

Рис. 2. Примеры критических точек функции двух переменных

Однако имеется множество других, более сложных типов, три из которых, отвечающие функциям / (х, у) = х3 - 3ху2, х2, ху2, показаны на рис. 3.

Из них «обезьянье седло» еще не слишком плохо в том смысле, что критическая точка в начале изолирована: в непосредственной близости от нее нет других критических точек. Для двух других начало уже не является изолированной критической точкой: оно лежит, соответственно, на одной или на двух прямых, состоящих из критических точек. Неизолированные критические точки особенно неприятны, но в некотором достаточно сильном смысле слова они нетипичны и во многих вопросах их можно игнорировать.

V.-ЛЬ?.■•• .*.■■*•

" * » * . .Л.-.'.

обезъянье седло

х2

А.

желоб

х2у2

Ш^Щкг

скрещенные желоба Рис. 3. Примеры вырожденных критических точек

Наиболее важно различение критических точек по следующему принципу. Например, / имеет в и невырожденную критическую точку, если Df\ = 0 и D2f\ представляет собой невырожденную квадратичную форму (т.е. ее ранг равен числу переменных п). Эквивалентные формулировки: матрица Гессе

нг

" д2г , "

и дх^дх^

невырожденна, то есть ее определитель (Нг | и) # 0.

В действительности все функции на рис. 2 имеют невырожденные критические точки, а на рис. 3 — вырожденные критические точки.

Далее следует привести основополагающие леммы теории катастроф. Их доказательства представлены в [7].

Следующая лемма говорит нам о том, что вблизи невырожденной критической точки функцию / можно заменой переменных привести к некоторой простой стандартной форме.

ЛЕММА 1. Пусть $ : К" ^ К — гладкая в какой-либо окрестности начала функция и/(0) = 0. Тогда в некоторой окрестности начала найдутся функции

К" ^ К, такие что

Г =1x9,,

причем все гладки и £.(0) =

дх,

=1

0.

/8 "Civil SecurityTechnology", Vol. 16, 2019, No. 4 (62)

Safety in emergencies

ЛЕММА 2 (Лемма Морса). Пусть и — невырожденная критическая точка гладкой функции ( : Е" ^ Е. В некоторой окрестности и точки и можно указать такую локальную систему координат у ..., у удовлетворяющую условию у .(и) = 0 для всех i, что Г = Г (и)-У,2 -...- У¡2 + У,2+1 +..'+ У2 на и.

ЛЕММА 3. Пусть q : К ^ К — гладкая функция, для которой

Ч (0)= йЧ|о = ... = йкя| о = 0.

Тогда в некоторой окрестности нуля существует гладкая функция I, такая что q(х) = хк++1 (х) и 1(0) = 0.

ЛЕММА 4. Пусть f : К" ^ Е — гладкая функция, для которой

Г (0)= ОТ\0 = ... = -1 Г |0 = 0,

но

Dkf 0* 0.

Тогда с помощью некоторой гладкой локальной замены координат ее можно привести к виду

хк к,

± хк к,

причем в последнем случае знак совпадает со знаком

^0.

Один из вариантов леммы Морса позволяет навести определенный порядок в вырожденной критической точке, расщепив функцию на морсовский кусок, зависящий от части переменных, и вырожденный кусок, зависящий от остальных переменных, число которых

равно корангу особенности. Это важный и мощный результат, имеющий основное значение для всей теории катастроф. Его точная формулировка такова:

ЛЕММА 5 (Лемма о расщеплении). Пусть f: Е" ^ Е — гладкая функция с D/|0= 0, матрица Гессе которой в 0 имеет ранг г (и коранг п - г). Тогда/эквивалентна вблизи начала функции вида:

± X ± ... ± X,2 + ? ( хг+!.....X ),

где Т : М11-1 ^ М — некоторая гладкая функция.

Эта лемма утверждает, что поведение функции вблизи вырожденной критической точки можно изучить, привлекая лишь число переменных, равное корангу матрицы Гессе. Это сведение к малому числу переменных и есть то, что делает лемму расщепления столь полезной и столь удивительной. При этом, если функция зависит от трех или меньшего числа активных переменных (а для абсолютного большинства чрезвычайных ситуаций такими переменными являются время, место и мощность катастрофы или стихийного бедствия), то существует всего семь обобщенных геометрических структур, описанных в следующей статье.

Таким образом, изложены некоторые основные положения общей теории безопасности жизнедеятельности и применения математических методов теории катастроф к исследованию ЧС. Их использование повысит эффективность создаваемых и внедряемых в Российской Федерации систем мониторинга и прогнозирования ЧС, основанных на описанных выше методах синергетики и нелинейной динамики.

Литература

1. Том Р. Особенности дифференцируемых отображений. М.: Мир, 1968. 268 с.

2. Акимов В. А. Общая теория безопасности жизнедеятельности в современной научной картине мира. М.: ФГБУ ВНИИ ГОЧС (ФЦ), 2018. 136 с.

3. Арнольд В. И. Теория катастроф. Изд. 7-е. М.: ЛЕНАНД, 2016. 136 с.

4. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса: Новый диалог человека с природой. Изд. 7-е. М.: Едиториал УРСС, 2014. 304 с.

5. Босс В. Лекции по математике. Т. 2: Дифференциальные уравнения. Изд. 4-е. М.: ЛЕНАНД, 2017. 208 с.

6. Акимов В. А. Разработка прогноза реализации приоритета научно-технологического развития по противодействию техногенным угрозам для общества, экономики и государства // Технологии гражданской безопасности. 2019. Т. 19. № 1 (59). С. 4-12.

7. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. М.: Мир, 1980. 608 с.

8. Акимов В. А., Диденко С. Л., Смирнов А. С. Научные основы общей теории безопасности жизнедеятельности: Моногр. / Под ред. А. П. Чуприяна / МЧС России. М.: ФГБУ ВНИИ ГОЧС (ФЦ), 2019. 252 с.

Сведения об авторах

Акимов Валерий Александрович: д. т. н., проф., засл. деятель науки РФ, ФГБУ ВНИИ ГОЧС (ФЦ), гл. н. с. 121352, Москва, ул. Давыдковская, 7. е-таИ: [email protected] SPIN-код — 8120-3446.

Information about authors

Akimov Valery A.: ScD (Technical Sc.), Professor, Honored Scientist of the Russian Federation, All-Russian Research Institute for Civil Defense and Emergencies, Chief Researcher. 7 Davydkovskaya, Moscow, 121352, Russia. e-mail: [email protected] SPIN-scientific — 8120-3446.

Диденко Сергей Леонидович: к. социолог н., ФГБУ ВНИИ ГОЧС (ФЦ), начальник института. 121352, Москва, ул. Давыдковская, 7. e-mail: [email protected]

Didenko Sergey L.: Candidate of Sociological Sciences, All-Russian Research Institute for Civil Defense and Emergencies, Head of Institute.

7 Davydkovskaya, Moscow, 121352, Russia. e-mail: [email protected]