CC BY
28
УДК 513.73, 513.8
ГАУССОВЫ КРИВИЗНЫ ДВОЙСТВЕННЫХ
ПОВЕРХНОСТЕЙ
И.А. Грибанова
On this paper we study some questions connected with the dual bodies. The main result of the paper is the following universal lower and upper evaluations for the Gaussian curvatures К and K* of the surfaces dU and dU* of convex body and its dual respectively (in Euclidean three-dimension space):
4
< К ■ К* < 1,
where гтгга (rmax) is the shortest (the largest) distance from the point 0(0,0,0) to points of the surface dU.
Suppose the sphere of centre 0(0, 0,0) is an ellipsoid of maximum volume inscribed in the body U. If U is a centrally symmetrical body, then
l-<K{u)-K*{u*)< 1;
otherwise,
^<K>)./CK)< 1.
В этой статье доказываются некоторые результаты, группирующиеся вокруг проблем, связанных с двойственными выпуклыми телами. Выпуклым телом в Rn} п > 2 мы будем называть конечное (т.е. ограниченное), замкнутое, выпуклое множество размерности п. Дополнительно предполагаем, что начало координат - внутренняя точка выпуклого тела.
Пусть У-выпуклое тело в Rn. Двойственным телом (полярой) тела U будем называть выпуклое тело U* = {ж £ Rn \ х ■ и < 1 для любого и £ U}. Здесь и далее «•>> обозначает скалярное произведение в n-мерном евклидовом пространстве Rn.
В этой статье получены следующие результаты.
1. Доказано, что граница dU выпуклого тела U дифференцируема тогда и только тогда, когда его двойственное тело U* строго выпукло. Формулировка
0 1998 И.А. Грибанова
E-mail: gribano@univer.omsk.su Омский государственный университет
и доказательство этого утверждения приводятся в терминах функции расстояния и опорной функции Минковского тела U.
2. Пусть v = (щ,. . . ,cn_i)- координаты на границе 3U выпуклого тела U. Если г = r{v) - векторное уравнение поверхности 3U, то
есть векторное уравнение границы dlJ* двойственного тела U*. Здесь n(v)~ единичный вектор внешней нормали к поверхности dU в точке с координатами V.
3. Пусть [/-симметричное относительно начала координат выпуклое тело в i?2, 0*-его двойственное тело. Пусть тело U' получено путем поворота U* на угол 7г/2 вокруг точки 0(0,0). Найдено геометрическое соотношение между плоскостями Минковского, в которых U, U' играют роли единичных шаров.
4. Как следствие последнего результата было получено характеристическое свойство плоскостей Минковского (не обязательно являющихся G-пространствами Буземана), обладающих симметричностью перпендикулярности прямых. Доказательство эквивалентного результата для G-плоскости Минковского дается в [1]. Данное утверждение представляет интерес вследствие того факта, (см. [1, с. 138]) что если в G-пространстве Минковского числа измерений большего двух, перпендикулярность между прямыми симметрична, то эта метрика Минковского - евклидова.
5. Далее предполагаем, что граница dU выпуклого тела U С R3 класса С2 и гауссова кривизна К поверхности dU всегда положительна. Найдено (геометрическое) соотношение между гауссовыми кривизнами К* (и*), К (и) поверхностей dU*} dU в точках и*, и соответственно, где и*- (единственная) двойственная точка для и (т.е. и* ■ и > v* ■ и для всякого v* £ U*).
6. Пусть выполнены условия п. 5. Доказано, что справедливы неравенства
где через гтгп и rmax обозначены соответственно наибольшее и наименьшее расстояния от точки 0(0, 0, 0) до точек поверхности dU.
Если эллипсоидом максимального объема, вписанным в тело U, является сфера с центром в точке 0(0, 0,0), то последние неравенства принимают вид:
4
< К (и) ■ К* (и*) < 1,
T'max
в общем случае и
если U центрально симметрично.
1. Общие утверждения о двойственных телах
Пусть F(u), u £ Rn, n > 2,-некоторая положительная при и ф 0Rn, положительно однородная 1-ой степени выпуклая функция, т.е. F(u) удовлетворяет условиям
(i) F(u) > 0 при и ф
(и) F(ku) = kF(u) для любого к > 0;
(iii) F((l — t)ui + ти2) < (1 — t)F(ui) + tF(u2) для всякого г £ [0,1] и любых различных и 1, и2 £ Rn.
Тогда множество
U = {и £ Rn | F(m) < 1} (1)
есть выпуклое тело в Rn, и F(u) называется функцией расстояния тела U. Обратно, для всякого выпуклого тела U в Rn, содержащего начало координат в качестве своей внутренней точки, существует единственная функция F(u), удовлетворяющая условиям (i)-(iii), причем выполнено равенство (1).
Определим опорную функцию Минковского Fjj : Rn -У R выпуклого тела U по формуле
Fu(x) = max ж • и, (2)
u(E.U
где «•>> обозначает скалярное произведение в n-мерном евклидовом пространстве. Отметим, что Fjj(x) также положительная при ж ф 0Rn, положительно однородная Пой степени выпуклая функция, и для любого и £ Rn справедливо равенство
(Fu)u(u) = F(u). (3)
Положим
U* = {ж £ Rn | Fu(ж) < 1}. (4)
Выпуклые тела U, U* будем называть двойственными телами (или полярами) ДРУГ другу.
Следующие предложения выявляют связь между строгой выпуклостью функции F(ж) и дифференцируемостью ее опорной функции Fjj(x).
Предложение 1. Flycmb функция F(u), и £ Rn, п > 2 удовлетворяет условиям (i)-(iii), Fu(ж) определена по формуле (2). Тогда
а) поверхность F(u) = 1 дифференцируема тогда и только тогда, когда множество U* строго выпукло;
б) поверхность Fjj(x) = 1 дифференцируема тогда и только тогда, когда множество U строго выпукло.
Доказательство. В силу (3), (4) доказательства требует только пункт а) предложения 1.
1. Предположим, что множество U* не является строго выпуклым. Тогда на основании определения (4) множества U* существуют различные точки ж', х" £ Rn, Fu(x') = Fu(x") = 1, причем для всякого г £ [0,1]
тах[тж/ ■ и -\- (1 — т)х" ■ и\ = т max х ■ и + (1 — г) max х" ■ и.
иеи иеи иеи
Пусть u* £ U - точка, доставляющая максимум функции тх' ■ u + (1 — т)х" ■ и на множестве U. Если и* не доставляет, например, максимум функции х' ■ и на множестве U, то
т max х ■ и > тх -и , I — т max х ■ и > (1 — т)х -и ,
иеи v 7 иеи ~ 7
откуда в силу (5)
тах[тж/ • и + (1 — т)х" • и] > тх' ■ и* + (1 — т)ж// • и*.
u(E.U
Последнее неравенство противоречит определению и*.
Таким образом, для любого и £ U
х • и > X • U, X •и > х •и. (bj
Векторы ж', х" ненулевые (т.к. Fu(0r«) = 0) и неколлинеарны. В противном случае в силу положительной однородности 1-ой степени функции Fjj{ж) отрезок с концами ж', ж" содержит начало координат и лежит на границе dU* тела U*, что невозможно. Тогда из (6) вытекает, что существуют две различные опорные гиперплоскости тела U в точке и*, т.е. поверхность F(u) = 1 (см. (1)) не является дифференцируемой в этой точке. Полученное противоречие доказывает необходимость.
2. Предположим, что поверхность F(u) = 1 не является дифференцируемой в некоторой точке и*. Тогда в силу выпуклости U существуют по крайней мере две различные опорные гиперплоскости тела U (см. (1)) в точке и*. Следовательно, найдутся ненулевые неколлинеарные векторы а, (3 £ Rn такие, что для всякого и £ U
А := а ■ и* > а ■ и, В := (3 ■ и* > (3 ■ и. (7)
Так как Од™ - внутренняя точка тела С, то А > О, В > 0.
Положим а = j, Ъ = Тогда а ф 0дп, Ъ ф Од™ и а ф Ъ. Из (7) и определения (2) опорной функции Минковского вытекает, что Fjj{a) = Fjjih) = 1 и
максимумы функций а ■ и} b ■ и на множестве U достигаются в одной точке и*. Поэтому для всякого г £ [0,1]
Fjj(Ta + (1 - т)Ъ) = TFjj(a) + (1 - г)Тд(Ь),
т.е. множество U* (см. (4)) не является строго выпуклым. Полученное противоречие доказывает достаточность.
Предложение 1 доказано. ■
Предложение 2. Flycmb функция F(u), и £ Rn, п > 2 удовлетворяет условиям (i)-(iii). F(u) дифференцируема, за исключением точки Од™, тогда и только тогда, когда поверхность F(u) = 1 дифференцируема. Доказательство. Необходимость вытекает из теоремы о неявной функции. Докажем достаточность.
Определим множество У по формуле
У = {(u,t) £ Rn х R | t > F(u)}. (8)
У называется надграфиком функции F(u), а его граница 8V - графиком этой функции.
Множество У выпукло в силу (iii). Действительно, если (u',tr), (u",t") принадлежат У, то для всякого г £ [0,1]
rt' + (1 — r)t" > tF(v!) + (1 — t)F(u") > F(tv! + (1 — t)u").
Следовательно, (та' + (1 — т)и", rt1 + (1 — r)t") £ V.
Предположим, что F(u) не является дифференцируемой в точке и*. Положим t* = F(u*). Тогда (и*, О) лежит на границе dV множества V; кроме того, существуют такие ненулевые неколлинеарные векторы (a,oy+i), ((3,(3n+i) £ Rn X R, что для любого (u,t) £ V
a ■ (и — и*) + an+i(t — t*) < 0, (3 ■ (и — и*) + (3n+1(t — t*) < 0. (9)
Здесь «•>> обозначает скалярное произведение в Rn.
Заметим, что Одп+i £ V, (2u*,2t*) £ У и
а • (Одп - и*) + an+i(0 - t*) = -а ■ (2и* - и*) - an+l{2t* - t*),
(3 • (0Д, - и*) + [Зп+1{0 - Г) = -(3 • (2и* - и*) - [3n+l{2t* - Г).
Но тогда из (9) следует, что
а-и* + an+1t* = 0, (3-и* + (3n+1t* = 0. (10)
Если F(u) < 1, то (t*u,t*) £ У в силу (8) и (и). Тогда неравенства (9) запишутся
в виде
* *
, и . „ , и . ,
а ■ (и — —) <0, (3 ■ (и — —) < 0. (11)
Из (и) и определения t* следует, что F(u*/t*) = 1. Векторы а, (3 ненулевые и неколлинеарны. В противном случае из (10) вытекает, что (a,oy+i), ((3,(3П+Д коллинеарны. Поэтому неравенства (11) означают, что существуют две различные опорные гиперплоскости множества U в точке и*/t*, т.е. поверхность F(u) = 1 (см. 1) не является дифференцируемой в этой точке. Полученное противоречие завершает доказательство предложения 2. ■
Следствие 1. Flycmb функция F(u), и £ Rn, п > 2 удовлетворяет условиям (i)-(iii), Fjj(x) определена по формуле (2). Тогда
а) функция F(u) дифференцируема, за исключением точки 0Rn, тогда и только тогда, когда Fjj(x) строго выпукла;
б) функция Fu(х) дифференцируема, за исключением точки 0Rn, тогда и только тогда, когда F(u) строго выпукла. Я
Предложение 3. Пусть г - радиус-вектор произвольной точки границы dU выпуклого тела U, ft - единичный вектор внешней нормали к поверхности dU в этой точке. Тогда точка с радиусом-вектором R = -Ту лежит на границе dU* двойственного тела11*. Обратно, если R - радиус-вектор произвольной точки поверхности dU*, то R = 44, где г - радиус-вектор некоторой точки на dU, ft - единичный вектор внешней нормали к поверхности dU в этой точке. Доказательство. 1. Векторное уравнение ft ■ гц = ft ■ г относительно f\ задает опорную гиперплоскость тела U в точке и с радиус-вектором г. Так как U выпукло и ft- внешняя нормаль к поверхности dU в точке и, то для всех точек и1 (с радиус-вектором г') тела U выполнено неравенство
ft ■ г' < ft ■ г.
Кроме того, ft ■ г > 0. Поэтому в силу (2), (4) точка с радиус-вектором R = 44 лежит на границе dlJ* двойственного тела U*.
2. Пусть точка с радиус-вектором R принадлежит dU*. Тогда, по определению двойственного тела U*, существует такая точка и на поверхности dU с радиус-вектором г, что для всех точек и1 (с радиус-вектором г1) тела U выполнено неравенство
?-R<r-R= 1. (12)
Неравенство (12) означает, что тело U лежит по одну сторону от гиперплоскости I = {ж £ Rn | R ■ х = 1} с нормальным вектором R , проходящей через точку и. Следовательно, /-опорная гиперплоскость выпуклого тела U в точке и, и R коллинеарен единичному вектору ft внешней нормали к поверхности dU в точке и. Тогда из равенства (12) вытекает, что R = 44.
Предложение 3 доказано. ■
2. Плоскости Радона-Минковского
Пусть функция F(ui,u2)} (ui,u2) £ R2 удовлетворяет условиям
(I) F(ui,u2) > 0 при (iti,u2) ф (0,0);
(II) F(kui,ku2) =| к | F(ui,u2) для любого вещественного k;
(III) F выпукла.
Определим функцию F*(x,y), (ж, у) £ R2 по формуле
F*(x,y) = max (хи2 — yu\). (13)
F(ui,u2)<1
Очевидно, что она также удовлетворяет условиям (1)-(Ш); кроме того, для любых (iti,u2) £ R2 выполнено равенство
(F*)*(ui,u2) = F(ui,u2). (14)
Тогда согласно [1, (17.17)] корректно определены плоскости Минковского Ф, Ф* с расстояниями между точками (ж, ж'), (у, у'), равными F(ж — ж', у — у'), F*(х — ж', у — у') соответственно. В следующем предложении установим геометрическую связь между этими плоскостями.
Определение . Аффинная прямая I в пространстве Минковского называется перпендикулярной к множеству V в точке А £ V Г) I, если каждая точка прямой I имеет своим основанием на V точку А, т.е. если для любой точки А* £ I выполнено равенство
АА* = inf АА!.
A'ei
Здесь АА1 означает расстояние в пространстве Минковского между точками А, А'. ■
Предложение 4. Аффинная прямая I перпендикулярна к аффинной прямой I* в плоскости Ф тогда и только тогда, когда I* перпендикулярна к I в плоскости Ф*.
Доказательство. На основании (14) достаточно доказать лишь необходимость предложения 4.
Поскольку параллельные переносы есть движения плоскости Минковского, то можно считать, что I и I* пересекаются в точке 0(0,0).
1. Обозначим через к, к* (к, к* £ R) угловые коэффициенты (относительно выбранной системы координат (ж, у)) прямых /, I* соответственно. Так как I перпендикулярна к I* в плоскости Ф, то любая точка на I (достаточно взять одну) имеет своим основанием на I* точку 0, т.е. для любого ж £ R функция F(х* — х,к*х* — кх) аргумента ж* £ R принимает при ж* = 0 минимум. Таким образом, для всякого ж* £ R справедливо неравенство
F(1 — х*,к - к*х*) > F(l,k). (15)
Нам необходимо показать, что для любого ж £ R выполнено
F*(l - ж, к* - кх) > F*(l, к*).
(16)
Положим и[ = -щуц, и'2 = щ ■ Так как для функции F(ui,u2) выполнены условия (1)-(П), то ТДиДтф) = 1 и вследствие (15) для любого ж £ R
F*(l — ж, к* — кх) > | (1 — х)и'2 — (к* — кх)и[ | =
к-к*
F(l,k) •
Для доказательства неравенства (16) осталось показать, что
7 I к - к* I
р{1-к) = 1дЖ'
Используя (1)-(П) и определение (13) функции Т*(ж,у), получаем
Г,*/ 7*4 17* I Г \к' -к* \ 1
F (1,к ) = max \ к ил — Uo \ = maxi max —————, ——-----------
V ; F(U1,U2)=1 1 1 Xk'eR F(l,k') ’ F(0,1)
(17)
}. (18)
Для любого к' ф к* положим х' = . Из (15) и условия (II) на функцию
F(ui,u2) следует, что
F(l,k) < r(l-T.fc-fcV) =| I
откуда вытекает равенство
____| к' - к* | _ | к - к* |
a?!r F(l, к') ~ F(l, к) '
Теперь пусть х' = 1. Используя (15), получаем
F(0, к — к*) > F(l,k),
что равносильно
| к - к* | ^ 1
F(l,k) ~ F(0,iy
На основании (18) равенство (17) доказано.
2. В силу (14) осталось только рассмотреть случай, когда прямая I имеет уравнение х = 0. Пусть А;*-угловой коэффициент прямой I*. В этом случае неравенства (15), (16) заменяются на неравенства
F(x*,k*x* - 1) > F(0,1), (19)
F*(l,k* — у) > F*(l,k). (20)
Положим u[ = 0, u'2 = ^ак как Для функции F(ui,u2) выполнены
(1)-(П), то ТДнДгф) = 1 и вследствие (13) для любого у £ R
F*{l,k* -y)>\u2- (к* - y)u[
1
W)'
Для доказательства (20) осталось показать, что
F*(l, к*)
1
г(0,1)'
(21)
Для любого к' ф- к* положим х' = кФ_к, ■ Из (19) и условий (I)- (II) на функцию F(ui7u2) вытекает, что
1 1 _\к* -к' \
F(0,1) — F(x', к*х' — 1) F(l,k')
С учетом (18) получаем требуемое равенство (21).
Предложение 4 доказано. ■
Как следствие последнего результата получаем характеристическое свойство плоскостей Минковского, обладающих симметричностью перпендикулярности прямых.
Предложение 5. Перпендикулярность в плоскости Минковского с метрикой F(x — ж', у — у') симметрична тогда и только тогда, когда для любых ж, у £ R выполнено равенство
F*(x,y) = kF(x,y), (22)
где к - положительное число, не зависящее от ж, у.
Доказательство. Достаточность сразу вытекает из предложения 4.
Докажем необходимость. Пусть произвольная прямая /, проходящая через точку 0(0,0), пересекает кривые Т(ж,у) = 1, F*(x,y) = 1 в точках А, А* соответственно (А, А* лежат в одной полуплоскости). Обозначим через V опорную прямую тела U = {(ж, у) £ R2 | Т(ж,у) < 1} в точке А, через I" - прямую, параллельную V и проходящую через А*. По построению I перпендикулярна к V в плоскости Ф. Так как параллельные переносы в R2 есть движения в плоскости Минковского и Ф обладает симметричностью перпендикулярности, то в силу предложения 4 I перпендикулярна к I" в Ф*. Следовательно, I" - опорная прямая тела U* = {(ж, у) £ R2 \ F*(x,y) < 1} в точке А*. Отсюда, учитывая параллельность прямых I", получаем, что тела U, U* подобны, т.е. выполнено равенство (22).
Предложение 5 доказано. ■
3. Гауссовы кривизны двойственных поверхностей
Теорема 1. Пусть U - выпуклое тело в R3 с внутренней точкой 0(0, 0,0) и границей 8U класса С2, U* - двойственное тело тела U. Предположим, что гауссова кривизна К тела U всегда положительна. Тогда для гауссовой кривизны К* поверхности dU* справедлива формула
К* (и*) =
cos4 а
К (и) ’
(23)
где и - произвольная точка поверхности dU с радиус-вектором г(и), п(и) - единичный вектор внешней нормали kU в точке и, а - угол между векторами г(и) и п(и), и* £ dU* - (единственная) двойственная точка для и (т.е. и* - и > v* ■ и для любого v £ U*).
Доказательство. Введем в R3 сферическую систему координат
ж = г sin в sin ф, у = г sin в cos ф, z = г cos в,
(24)
где 0 < г < оо, 0 < ф < 2тг, 0 < в < л.
Пусть г = г(в, ф) - уравнение границы dU выпуклого тела U в системе координат (24). Так как поверхность dU класса С3, то по теореме о неявной функции г(в, ф) - дифференцируемая функция класса С3 на множестве П = {(0, Д)|О<0<7г,О<Д< 2тт }.
Существует подвижный ортонормированный базис
er = sin 0 sin <f>i + sin 0 cos cf)j + cos 0k7 (25)
eg = cos в sin (f)i + cos в cos cf)j — sin 0k7 (26)
ёф = cos (f)i — sin <f>j. (27)
Вектор er направлен по радиусу; ёд, ёф - единичные вектора на сфере радиуса г, касательные к линиям </>=const, 0=const соответственно.
Из (25) — (27) следует, что
(ёг)в = ёе, (ёг)ф = sin0ёф, (ёв)в = -ёг, (28)
(ёв)ф = сО$0ёф1 (ёф)в = 0, (ёф)ф = — sin 0ёг — cos 0ёд. (29)
1. Вычислим коэффициенты Е, F, G первой квадратичной формы поверхности dU:
Е = гв ■ ёд, F = гв ■ гф, G = гф ■ гф}
где г = r(0} (/>)(sin 0 sin <f>i + sin 0 cos cf)j + cos 0k) - векторное уравнение поверхности dU. Используя равенства (25), (28), находим
Гв = (гёг)в = Гвёг + гёв} Гф = (гёг)ф = Гфёг + г sin 0ёф. (30)
Следовательно,
Е = Гд + Г2, F = ГдГф, G = Гф + г2 sin2 0.
Тогда
EG- F2 = г2(г2в sin2 0 + г2ф + г2 sin2 0).
2. Пусть п = п(0} ф)- единичный вектор внешней нормали к поверхности dU в точке с радиус-вектором г(0,ф). Из (30) вытекает, что
1
п =
л/EG - F2
1
[гв,Гф] =
eg вф ег г 0 гд
0 г sin 0 Гф
л/EG - F2
{—ггв sin 0ёд — гг-фёф + г2 sin вег).
л/EG - F2
Здесь [ , ] обозначает векторное произведение в R3.
Вычислим гвв7 Гвф, Гфф, используя (28)-(30).
ёвв = (Гдёг + гёв)в = (Гвв - г)ёг + 2гвёв;
ёвф = (гвёг + гёв)ф = гвфёг + (гв sin 0 + r cos 0)ёф + Гфёв;
Гфф = (Гфёг + г sin 0ёф)ф = (гфф — г sin2 0)ёг + 2ry sin 0ёф — г sin 0 cos 0ёд.
Теперь, применяя (31) и формулы для fgg} гдф} Гфф} находим коэффициенты L, М, N второй квадратичной формы поверхности 3U:
L = fee - ft =
г sin
in в
л/EG - F2
(-2г] + ггвв ~ г2);
М = гвф ■ п = N = гфф ■ п =
л/EG - F2
г sin в
(ггдф sin в — 2ГфГд sin в — ггф cos в);
Получаем
л/EG - F2
—2гл + г-гвв - г1 =
(ггфф — г sin2 в — 2 Гф + гг в sin в cos в).
2 , „2 _ LVEG - F2
г sin
Мл/EG - F2
г sin в
ГГдф sin в — 2ГфГд sin в — ГГф cos в =
ггфф — г2 sin2 в — 2 Гф + гг в sin в cos в =
NVEG - F2
г sin в
(32)
(33)
(34)
3. Пусть R = R(6, ф)- векторное уравнение поверхности dlJ*, где через R(6}(f>) обозначен радиус-вектор двойственной точки и*(в}ф) £ dlJ* для точки и(6, ф) £ 3U с радиус-вектором г = г(в,ф). Из предложения 3 следует, что
R =
п
п ■ г
Используя (31), получаем
п ■ г =
Тогда
р__ ге - , 1 -
R —----т&в 4—ег —
г3 sin в
л/EG-F2'
Гф
\еФ■
(35)
(36)
rz. r r2 gJn Q
4. Вычислим коэффициенты Е*, F*} G* первой квадратичной формы поверхности dlJ* в указанных координатах (в,ф).
Применяя последовательно формулы (36), (28), (29) и (32) — (34), находим
В д /гв ^ , гв _ , д , 1^ д г гф Гф х
Ев — ~уу\~)ев 4—уег + — (-)ег 4—eg — — ( —— т,)еФ----тч гО —
дв г
г* дв г
Г2 — ГГ00 + 2Гл ^
---------о-------eg +
дв г2 sin#'
г* sin
in в
2r2 sin в + ггф cos в — Гфв sin в
oin^ 0
rJ sin
-еф —
Ьл/EG - F2 _ Мл/EG - F2
г4 sin в
-ев
г4 sin2 в
"ефj
В д,гв гв ^ д i , 1 • л- д гф
Еф = ----у соъвеф + — (-)ег + - мивеф - — (~чч—т)еф+
ИХ „2 Г1 уф r г уф j.2. gln ф
дфт2
Гф
г2 sin в
. гг-фсоъв - ггвфыив+ 2гфГв$тв ^
(cos вед + sin вег) = --------------—— -----------------ед+
G sin в
г3 sin в
г2 sin2 0 — гг в cos 0 sin 0 г3 sin 0
ггфф + 2г2 ^
-----------еф
Следовательно,
Мл/EG - F2 _ NVEG - F2 _
г4 sin 0в г4 sin2 в ^
(38)
Е* — Rq ■ Rt
L2(E-F2) M2(EG — F2) r8 sin2 0 ^ r8 sin4 0
EG- F2 r8 sin4 0
(L2 sin2 0 + M2);
p p LM(EG — F2) NM(EG — F2) M(EG - F2)
P - Еф - Re - . 2 д I S • 4 л _ S • 4 л CV + -^Sm v),
r sin 0
r8 sin4 0
r8 sin4 0
ГЛ* _ Z? Z? ___
(j — Еф ■ Еф — Тогда
M2(EG — F2) N2(EG — F2) EG - F2
r8 sin2 0
+
r8 sin4 0
r8 sin4 0
(.M2 sin2 0 + N2
VE*G* - F*2 = E°. (LN - M2)
r8 sin3 0
(39)
5. Пусть n* = п*(0,ф) - единичный вектор внешней нормали к поверхности 3U* в точке и*(0}ф). Так как и*(в, ф)- двойственная точка для и(0}ф)} и отношение двойственности взаимно (см. (3)), то п* = ег вследствие предложения 3. Тогда на основании формул (37), (38) получаем коэффициенты L*, М*, N* второй квадратичной формы поверхности дЕ*\
ЕГ = -Re ■ щ
Re - ее —
Ьл/EG - F2 г4 sin 0
(40)
М* = -(Ее ■ п* + Еф ■ п*в)/2 = -(sin0Re ■ еф + Еф ■ ев)/2 =
Мл/EG - F2
г4 sin 0
N" = —Кф ■ я; =
NVEG - F2
; (41) (42)
г4 sin 0
Следовательно,
L* _ М* _ N*
Т ~ ~М ~ ~N'
6. Пусть К (в, ф), К*(0, ф) - гауссовы кривизны поверхностей 3U и 3U* в точках и(0}ф) и и*(0}ф) соответственно. Используя (39), (40)-(42), находим
L*N*~M*2 г8 sin4 0 г8 sin4 0 1
К =
E*G* - F*2 (EG - F2)(NL - М2) (EG - F2)2 К' Вследствие (35) получаем, что
п ■ г г2 sin 0
cos a =
n\\r\ VEG - F2
и равенство (23) выполнено для точек и(0}ф)} О<0<тт}О<ф< 2тт.
Осталось доказать, что (23) справедливо для точек пересечения поверхности dU с осью г;. Для этого достаточно выполнить преобразование координат х\ = у, ух = г;, Zi = х и применить уже доказанное равенство (23) для гауссовых кривизн образов dU/ dll\ поверхностей dU*} dU в точках пересечения дЕ\ с осью у.
Теорема 1 доказана. ■
Остается открытой следующая проблема. Имеется выпуклая поверхность 3U, для которой в некоторых координатах радиус-вектор имеет регулярное параметрическое представление класса С1, а единичный вектор внешней нормали к поверхности имеет параметрическое представление класса С2. Будет ли радиус-вектор поверхности dU в этих же (или каких-нибудь других) координатах иметь регулярное параметрическое представление класса С2 ?
Имеет место
Теорема 2. Пусть U - выпуклое тело в R3 с внутренней точкой 0(0, 0,0) и границей dU класса С2, U* - двойственное тело тела U. Предположим, что гауссова кривизна К тела U всегда положительна. Тогда для любого и £ dU справедливы неравенства
Г m.i.r
< К (и) ■ К* (и*) < 1,
(43)
где и* £ dlJ* - (единственная) двойственная точка для и, К*(и*) - гауссова кривизна поверхности dU* в точке и*, rmin и гтах - наименьшее и наибольшее расстояния от точки О до точек поверхности dU.
Равенство К (и) ■ К* (и*) = 1 выполнено тогда и только тогда, когда радиус-вектор г(и) точки и и единичный вектор п(и) внешней нормали к поверхности dU в точке и коллинеарны.
Доказательство. На основании теоремы 1 достаточно доказать, что для любого и £ dU выполнено неравенство
Т max
где а-угол между радиус-вектором г{и) точки и и единичным вектором п{и) внешней нормали к поверхности dU в этой точке.
Пусть и £ dU. Обозначим через г'(и) длину перпендикуляра 1{и), опущенного из точки 0 на опорную гиперплоскость тела U в точке и. Так как U строго выпукло, то /(it) пересекает dU в некоторой точке и1 с радиус-вектором г (г/), причем и1 ф- и. Тогда
Гтах COS а >| Г (it) | COS СС = Г > | Г (it') |> Гтт,
и неравенство (43) доказано. ■
В силу теоремы 2 естественно возникает геометрическая задача нахождения такой точки 0 в R3, чтобы отношение rmin/rmax было максимальным. Конечно, при выбранном фиксированном теле U и евклидовой метрики d в объемлющем пространстве нет универсальной нижней положительной оценки для rmin/rmax даже при оптимальном выборе точки 0. Но если рассматривать двойственную поверхность dlJ* как индикатрису Минковского для двойственной (вообще говоря, несимметричной) нормы, то независимо от выбранной евклидовой метрики d получаем (при выбранном 0) всегда изометричные друг другу «несимметричные нормированные пространства», определяемые через dU*.
Поэтому естественно поставить следующую общую геометрическую задачу: для данного выпуклого тела U в Rn, ограниченного гиперповерхностью 3U, найти начало координат (точку О) и евклидову метрику d в Rn (можно выбрать d так, чтобы объем тела U был равен объему единичного шара в п-мерном евклидовом пространстве), чтобы отношение rmin/rmax для U было максимальным.
Эта задача связана с задачей о нахождении вписанного в U эллипсоида дЕ максимального (относительно какой-нибудь метрики d) объема. Решение последней задачи позволяет получить точные нижние оценки для максимального Гтгп/Гшах В Предыдущей Задаче.
В [2] для U и тела Е, ограниченного эллипсоидом дЕ, доказано включение (доказательство основано на работе [3])
Е CU С пЕ.
(44)
Если U центрально симметрично, то п в формуле (44) можно заменить на у/п.
Поэтому если считать Е единичным евклидовым шаром (относительно соответствующей метрики), то получаем, что
1
> -
п
в общем случае и
>
в случае центрально симметричного тела U.
Оценки точные, так как они достигаются на правильном относительно некоторой метрики тетраэдре в общем случае и на кубе в случае центрально симметричного тела.
Тогда на основании теоремы 2 справедливо
Следствие 2. Пусть выполнены условия теоремы 2. Если эллипсоидом максимального объема, вписанным в тело U, является сфера с центром в точке 0(0, 0,0), то неравенства (43) принимают вид:
4- < К(и) ■ К-(и-) < 1
в общем случае и
1-<К(и)-К*(и*)<1,
если U - центрально симметричное тело. Я
Автор статьи благодарит В.Н. Берестовского за постановку задачи и полезные замечания.
Литература
1. Буземан Г. Геометрия геодезических. - М.: Физматгиз, 1962.
2. Ball К. An elemantary Introduction to Modern Convex Geometry / Flavors of Geometry (ed. S.Levy). - MSRI Publications. Cambridge University Press. 1997. V.31. P.1-58.
3. John F. Extremum problems with inequalities as subsidiary conditions / Studies and essays presented to R.Courant on his 60th birthday (Jan.8, 1948). - Interscience, New Jork, 1948. P.187-204.
