Орифункциональная компактификация конечномерного строго выпуклого нормированного пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.764.2

АНДРЕЕВ Павел Дмитриевич, кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой алгебры и геометрии Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова. Автор 32 научных публикаций

ОРИФУНКЦИОНАЛЬНАЯ КОМПАКТИФИКАЦИЯ КОНЕЧНОМЕРНОГО СТРОГО ВЫПУКЛОГО НОРМИРОВАННОГО ПРОСТРАНСТВА

Нормированное пространство, орифункции, компактивация, пространство Буземана, двойственность, преобразование Лежандра-Фенхеля, крайние множества

Введение. Произвольное некомпактное регулярное хаусдорфово топологическое пространство X допускает различные ком-пактификации, т.е. компактные топологические пространства, содержащие X в качестве открытого плотного подмножества. На множестве К(Х) всевозможных компак-тификаций, рассматриваемых с точностью до топологической эквивалентности, можно ввести естественное отношение порядка, по отношению к которому К(Х) является полной верхней полурешеткой. Ее максимальный элемент — это так называемая компак-тификация Стоуна-Чеха.

Для пространства X неположительной кривизны в смысле Буземана важную роль играют т.н. геодезическая X& и орифункци-ональная, или иначе, метрическая X и ком-пактификации. С точки зрения порядка_,_на К(Х) выполнено соотношение Х% < Хи, причем неравенство может быть строгим,

а может обращаться в равенство. Геодезическая компактификация пространства X изучалась в работе [1]. Вторая из упомянутых компактификаций впервые появилась в работе М. Громова [2]. Термин «метрическая компактификация» введен М. Рифелем в [3]. В работе [4] метрическая компактификация пространства X определяется как пространство состояний коммутативной унитальной С*-алгебры, порожденной константами, функциями, равными нулю на бесконечности, и разностями дистанционных функций. Определение в терминах вложения Куратов-ского и термин «орифункциональная компактификация», более точно отражающий ее суть, применены в работе [5].

Точки идеальной границы д ИХ = X и \ X называются орифункциями (точнее, они представляют собой классы орифункций, отличающихся на константы). Примерами орифункций служат т.н. функции Буземана.

В работе [3] определено также понятие точек Буземана как классов орифункций, соответствующих «почти геодезическим». Для множеств BF(X) функций Буземана на пространстве X, ВР^) точек Буземана и HF(X) орифункций справедливы включения BF(X)cBP(X)cHF(X), которые могут быть строгими и могут обращаться в равенства.

В настоящей статье мы изучаем_орифунк-циональную компактификацию V и и ори-функциональную границу ЭиУ строго выпуклого конечномерного нормированного пространства V, в котором каждая орифунк-ция является точкой Буземана. В [5] для такой ситуации установлена связь между бифункциональной компактификацией V и и семейством крайних подмножеств единичного шара В° двойственного пространства V*. Центральная проекция S°=дB°^■Sn-1 дополняет соответствие двойственности 8 ^ 8° до гауссова сферического изображения 8 ^ 8П-1 индикатрисы нормы 8 в пространстве V. Из строгой выпуклости нормы в V следует, что обратное к ц соответствие ц-1: 8П-1 ^ 8 является отображением. В статье [6] определена проекция р: д^^-д^ границ для произвольного пространства X неположительной кривизны по Буземану.

В данной статье приведена схема доказательства следующей теоремы.

Теорема 1.1. Пусть норма в пространстве V такова, что единичный шар Б=(уеV | ||у||< 1} является строго выпуклым, и каждая ори-функция в ду является точкой Буземана. Тогда существует такой гомеоморфизм Ф: д1у ^ Sn"1, что следующая диаграмма отображений

д,У -—^ Ъпп-I р I ц-- (1)

д V -----> 5

Я п

коммутативна. Здесь n:dgV ^ S — центральная проекция в V.

Наши результаты являются продолжением исследований, начатых в [6]. Похожие исследования проводились в работах [5,7,8].

Основные определения. Пусть (X,d) — полное локально компактное метрическое пространство с метрикой d и отмеченной точкой oeX. Расстояние между точками х, yeX будем обозначать d(x,y) := |xy|.

Определение 1.1. Для точки xeX дистанционная функция dx определяется равенством dx(y) = |xy| — |ox| для произвольной точки yeX. Семейство дистанционных функций определяет вложение Куратовского k:X^C*(X), где C*(X) — факторпростран-ство линейного пространства C(X) непрерывных функций на X по его подпространству констант. Топология на C(X) — это топология равномерной сходимости на ограниченных множествах, которая в локально компактном случае совпадает с топологией равномерной сходимости на компактах и с компактно-открытой топологией. Мы отождествляем пространство X с его образом k(X). Орифункциональной компактификацией пространства X называется замыкание Xh образа k(X)cC*(X). Орифункцио-нальная граница — это разность дhX = X h \ X . Функции, определяющие границу dhX, называются орифункциями. В частности, орифункциями являются функции Буземана вида ßc, определяемые по произвольному геодезическому лучу с:[0, + HX равенством

ßc (x) = lim(| c(0)c(t)| -t).

t^+ад

Понятие точки Буземана дается в терминах почти геодезических. Почти геодезической в пространстве X называется отображение у : A ^ X некоторого неограниченного подмножества A с R+ = {x e R | x > 0}, при ко-

тором для любого е >0 выполняется | |y(0) Y(s)| + |y(s) Y(t)| - 11 < е при всех достаточно больших s, t e A. Точка ^edhX называется точкой Буземана, если она является равномерным на ограниченных множествах пределом дистанционных функций dY(1), для некоторой почти геодезической Y.

Из результатов работы [5] следует, что каждая орифункция является точкой Бузе-мана в том и только том случае, если семейство крайних множеств шара В° двойственного пространства V* замкнуто относительно топологии Понлеве-Куратовского.

Если X — локально компактное пространство неположительной кривизны в смысле Буземана, для него определена геодезическая компактификация и геодезическая идеальная граница dgX (см. [1]). Всякой орифункции F соответствует некоторая геодезическая идеальная точка ф=п(Ф) так, что для произвольного луча с, идущего в направлении ф, выполняется равенство

Ф(с^)) = min Ф(x)

xeB(c(0),t) ’

где B(c(0), t) — шар с центром c(0) и радиусом t.

В случае, когда пространство V — конечномерное нормированное пространство с выпуклой нормой, орифункциональная граница изучалась в работах [5] и [7]. В частности, в [7] дано описание орифункций, являющихся точками Буземана. Всякая такая орифункция имеет вид f* (x). Здесь peX — произвольная точка, а E — некоторое собственное крайнее подмножество единичного шара В° двойственного пространства V* к пространству V, т.е. выпуклое (в смысле линейной структуры) подмножество, удовлетворяющее условию: если y e E — внутренняя точка некоторого отрезка, целиком лежащего в В°, то концы этого отрезка содержатся в E. Функция f :V*^ R определяется равенством

fE, p (я) = 1е + q( p) - й^О) (2)

у

где IE(q) — индикатор множества Е, принимающий значение 0, если д е Е, и + ^ - в противном случае. Для функции g: V* ^ R через g* обозначается ее преобразование Лежандра-Фенхеля g*: V ^ R:

ё *(x) = 8ир^(x) - /(q)) (3)

* * V /

Одноточечные крайние подмножества называются крайними точками. Классическая теорема Крейна-Мильмана утверждает, что всякое выпуклое подмножество в линейном пространстве V является выпуклой оболочкой своих крайних точек (см. [9]).

2. Обобщенные крайние подмножества. Определим понятие обобщенного крайнего подмножества для выпуклого (относительно линейной структуры) множества А в линейном пространстве V. При этом мы считаем, что норма V не обязательно строго выпукла.

Обозначим через С семейство замкнутых выпуклых подмножеств единичного шара В° двойственного пространства V* к пространству V. Топология Понлеве-Куратовского на С определяется следующим образом. Последовательность {Ап}сС сходится к множеству АеС, если верхний и нижний замкнутые пределы

Щ Ап) = I Л уЛг

п>0 \г>п

и

МАп ) =1 (^7 А„г

где {пг} — произвольная возрастающая последовательность совпадают с А. На семействе ограниченных замкнутых выпуклых подмножеств сходимость в смысле топологии Понлеве-Куратовского равносильна сходимости в смысле метрики Хаусдорфа.

Определение 1.2. Пусть А — замкнутое выпуклое подмножество линейного про-

странства V. Множество С с А называется гиперплоским сечением, если существует такая аффинная гиперплоскость □, что С = а п А. Множество Е называется обобщенным крайним подмножеством А, если оно лежит на границе А и служит предельной точкой семейства гиперплоских сечений в смысле топологии Понлеве-Куратовского.

Элементарные свойства обобщенных крайних подмножеств перечислены в следующих леммах, которые мы приводим без доказательств.

Лемма 1. Всякое собственное крайнее подмножество Е с А является обобщенным крайним множеством.

Лемма 2. Всякое обобщенное крайнее подмножество обобщенного крайнего подмножества в А является обобщенным крайним подмножеством в А.

Лемма 3. Семейство обобщенных крайних подмножеств в А замкнуто в смысле топологии Понлеве-Куратовского.

Лемма 4. Если семейство крайних подмножеств А замкнуто в смысле топологии Понле-ве-Куратовского, то всякое обобщенное крайнее подмножество А является его крайним подмножеством.

Роль обобщенных крайних подмножеств в теории орифункциональной компактифи-кации описывается следующей гипотезой. Отправной точкой в ее доказательстве служит Теорема 1.1.

Гипотеза. Пусть Е с В° — обобщенное крайнее подмножество единичного шара В° в пространстве V*. Тогда для произвольной точки р е V функция 1*(Ер)(х) является ори-функцией. Обратно: всякая орифункция имеет вид Р(Ер)(х), где Е — обобщенное крайнее подмножество шара В° и р е V.

3. Флагово направленные последовательности. Понятие флагово направленной последовательности в строго выпуклом нормированном пространстве Vn введено в [6].

В частности, там показано, что всякая ори-функция в Vn является предельной функцией для последовательности дистанционных функций, определяемой по некоторой флагово направленной последовательности. Здесь мы вкратце повторим подход к понятию флагово направленной последовательности, а в следующем параграфе установим соответствие между множеством направляющих флагов и семейством почти крайних множеств в В°. Определение флагово направленной последовательности вновь носит индуктивный характер.

Определение 3.1. k-мерным флагом в n-мерном линейном пространстве Vn называется кортеж F=(a1, ..., ak), 1 < k < n, где a1 — луч, выходящий из начала координат, и при всех i < k-1 а ,+1 — это ^+1)-мерное полупространство, граница которого содержит аг Луч а1 задает основное направление, полуплоскость а k — полное направление флага F.

Последовательность точек {xm} называется почти флагово направленной последовательностью первого уровня с направляющим флагом F=(a 1), если последовательность отрезков [oxm] сходится к лучу а 1. Почти флагово направленная последовательность первого уровня {xm} называется флагово направленной последовательностью первого уровня с направляющим флагом F, если существует аффинное пространство A1 с Vn, идущее в направлении а1 и являющееся асимптотическим для {xm}, т.е. если

lim d (xm, Л1) = 0 .

Пусть определено понятие почти флагово направленной и флагово направленной последовательности (k-1)-ro уровня. Последовательность {xm} называется почти флагово k-го уровня с направляющим флагом F = (а1, ..., ak-1, ak), если выполнены условия:

1) она является почти флагово направленной последовательностью первого уровня с направляющим флагом (а1);

2) для произвольной гиперплоскости П, не содержащей луч а1, последовательность проекций {x'm} на П точек xm в направлении а 1 является почти флагово направленной последовательностью (k-1)-ro уровня с направляющим флагом F' = (а'2, ..., а/k_1, а/k), где а'; — это пересечение а; с П.

Если при этом последовательность {x'm} является флагово направленной последовательностью (k-1)-ro уровня, то исходная последовательность {xm} называется флагово направленной последовательностью k-го уровня. Асимптотическая плоскость для {xm} в этом случае — это k-мерная аффинная плоскость Ak с направляющим пространством а^ для которой

lim d(xm,Лк) = 0 .

т^ю

Если в пространстве V всякая орифунк-ция является точкой Буземана, то она однозначно определяется некоторым k-мерным флагом F при k<n и аффинной плоскостью Ak, содержащей полное направление этого флага. В общем случае пара (F, Ak) может определять орифункцию неоднозначно. Обратное соответствие в общем случае также неоднозначно: одна и та же орифункция может определяться разными флагами и разными предельными плоскостями. По ори-функции однозначно определяется лишь основное направление флага и в особых случаях — несколько его первых направлений.

4. Соответствие между флагами и крайними множествами. В этом параграфе мы индуктивно устанавливаем соответствие т между флагами и собственными крайними множествами в В°, при котором соответствующие объекты определяют одно и то же семейство орифункций. Мы считаем, что вся-

кая орифункция является точкой Буземана.

Для 1-флага F = (а1) положим F т Е, если для любой 1-формы феЕ гиперплоскость ф =1 является опорной гиперплоскостью к шару В с V в его точке а1(1). Если множество Е — одноточечное, то будем считать, что F/ т Е для любого флага F/ с основным направлением а1.

Рассмотрим двумерный флаг F2 = (а1, а2) и его подфлаг F1 = (а1). Последний является пределом при 0 одномерных флагов Fф = (аф), лежащих в а2 и образующих с а1 угол ф. Пусть Fф т Еф . Тогда положим F2 т Е2, где Е2 — предел множеств Еф в топологии Понлеве-Куратовского. Если всякая орифункция является точкой Буземана, то множество Е2 однозначно определено и является крайним множеством. Индукцией по размерности флага определяется соответствие Fk т Ек для любого к-мерного флага Fk. При этом всякое появление одноточечного множества Ек приводит к соответствию F/ т Ек для всех флагов F/, начальные направления которых совпадают с направлениями флага Fk.

Из построенного соответствия и результатов статьи [5] вытекает следующая теорема.

Теорема 4.1. Если F т Е, где F = (а1, ..., ак), то для любой точки Р е V орифункция ^р, Р), определяемая флагом F и аффинной плоскостью Ак, проходящей через Р параллельно ак, совпадает с Р .

Здесь функция Г _ р, определена равен-

(Е,Р)

ством (2), а звездочка означает преобразование Лежандра-Фенхеля (3).

Замечание. В общем случае также есть аналогичное соответствие между флагами и обобщенными крайними множествами, но оно уже не будет отображением. В частности, одна и та же пара (Р, Ак) может задавать орифункции, разность между которыми непостоянна.

5. Соответствие между орифункциями и точками границы шара В°. Граница шара В0 стандартно отождествляется с евклидовой сферой Sn_l в V* при помощи центральной проекции с центром О.

В евклидовом пространстве для каждого ограниченного выпуклого подмножества А можно построить единственный описанный шар, то есть шар минимального радиуса, содержащий А. Его центр мы будем называть циркумцентром А (по поводу термина «цир-кумцентр» см. [10]). Точечная функция замкнутого выпуклого множества в ЭВ°, сопоставляющая каждому такому множеству его циркумцентр, непрерывна относительно топологии Понлеве-Куратовского на С .

Пользуясь этим свойством, мы построим непрерывное отображение Ф: 9hV -» ЭВ°, сопоставляющее каждой орифункции вида Р(ЕР) некоторую точку Ф(Р(Ер)) границы ЭВ°, а следовательно, и сферы S"'1. Вновь построение проводится индуктивно. Мы применим индукцию по размерности почти крайних множеств. Для произвольного одноточечного почти крайнего множества Е положим Ф(Р(Е Р)) = Е. Предположим, что отображение Ф с требуемыми свойствами построено для всех почти крайних множеств размерности, меньшей к.

Пусть dim Е = к. Орифункции Р(Е0) сопоставляется циркумцентр множества Е. Далее, если F х Е дл£ некоторого флага F = (а,, ..., ак) и вектор PQ содержится в его полном направлении ак, то мы будем требовать выполнения равенства Ф(Р(Е Р)) = Ф(Р(Е Q)). Из него следует, что достаточно определить образ Ф( Р(Е>Р)) при Р в некоторой (п - к)-плоскости П, трансверсальной к ак. Пусть Р € П. Проведем через Р (к+1)-мерную полуплоскость (3, ограниченную к-плоскостью а содержащей ак. Рассмотрим флаг F' = (а,ак). Для множества Е', определяемого соотношением F' т Е', образ

Ф(Р,Е. Р)) = ч' 6 ЭВ° определен в силу предположения индукции. Положим Ф(Р ) = Ч, где ч е <ЗВ° — такая точка, что выполнено равенство

—^ 2 —^ ^

II 0.9 II. = — агс%\\ор\\-\\о4'\\, (4)

л

Отображение Ф, определенное таким образом, не будет ни непрерывным, ни сюръ-ективным, но допускает деформацию, после которой уже становится гомеоморфизмом границы на сферу 9В°. Этот деформированный гомеоморфизм мы будем обозначать тем же символом Ф.

6. Схема доказательства основной теоремы. В этом параграфе мы применяем описанные выше конструкции к доказательству теоремы 1.1, сформулированной во введении.

План доказательства теоремы 1.1. Отображение Ф, требуемое в теореме, определено в предыдущем параграфе. Коммутативность диаграммы (1) следует из рассмотрения одномерных флагов: если для Р = (а,) выполняется Р т Е, то а,(1) = |г'(Е). Напомним, что мы отождествляем сферы <ЭВ° и в"'1. Сюръективность отображения Ф вновь доказывается индукцией. Применяется индукция по размерности почти крайних множеств.

Отображение Ф инъективно. Действительно, поскольку" по условию семейство крайних множеств замкнуто, соответствие т сопоставляет каждому флагу некоторое крайнее множество однозначно. Если двум флагам сопоставлено одно и то же крайнее множество, то по теореме 4.1 такие флаги определяют одно и то же семейство орифун-кций. Из формулы (4) следует инъектив-ность отображения Р на каждом подмножестве в ЭИУ, определенном фиксированным флагом Е Поэтому имеется инъективность отображения Р на всей границе ЭНУ. Оно бу-

мнит

в

дет гомеоморфизмом как непрерывная биекция компактного топологического пространства ЭЬУ на хаусдорфово пространство дВ°. ■

7. Пример орифункции, не задающей точку Буземана. Пример, когда орифункция не является точкой Буземана в пространстве с нестрого выпуклой нормой, построен в [5]. Здесь мы покажем, что аналогичные ситуации возможны и в случае, когда норма пространства строго выпукла.

Рассмотрим трехмерное пространство У с координатами (х, у, z) и двойственное к нему пространство У* с координатами (£, п, С). Рассмотрим на У* норму, определенную неявно уравнением

-+-

= 1.

Ш,п,д)\\ -д (||(£n)||+VII(£n,?)ll2 V)

Параметрические уравнения единичной сферы дВ° для такой нормы имеют вид

£ = cos и cos V П = sin и (1 + cos v) . д = sin v

Непосредственное вычисление гауссовой кривизны K дает равенство

K = -

cos2 V

(EG - F2)

-[cos2 u(1 - sin2 u sin2 V +

+ cos v) + cos v(1 + cos v)],

где

EG - F = cos и + cos v(1 - sin и cos u).

Учитывая область задания параметра v: п п

- — < V < —, получаем, что величина EG-F2 положительна всюду за исключением четырех точек (0; ±1; ±1), где поверхность имеет понижение класса гладкости, а кривизна K в регулярных точках неотрицательна и равна нулю лишь при |Z|=1. Норма ||(£, n, Z)ll — гладкая класса C1, поэтому двойственная к ней норма на V строго выпукла. Все собственные крайние множества шара B°, кроме двух отрезков — 1 < h < 1, \ = 0, |Z| = 1, являются крайними точками. В частности, множество E = {(0, 0, 1)} крайним не является. При этом E почти крайнее, так как оно служит пределом при n ^ ^ крайних множеств {(sin -i,0,cos-I)} . Следовательно, на V существуют орифункции, не являющиеся точками Буземана. Несложно показать, аналогично тому, как это сделано в соответствующей ситуации в [5], что такими орифункциями являются функции f(x, y, z) = ay ± z + const при —1 < a < 1.

Список литературы

1. Hotchkiss P.K. The Boundary of Busemann Space // Proc. AMS. 1997. \bl. 125, № 7. P. 1903—1912.

2. Gromov M. Hyperbolic Manifolds, Groups and Actions // Riemann Surfaces and Related Topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference / State Univ. N.Y., 1978. Vol. 97 of Ann. of Math. Stud. P. 183— 213; Op. cit. Princeton, N.J., 1981.

3. RieffelM. Group C*-algebras as Compact Quantum Metric Spaces // Doc. Math. 2002. № 7. P. 605—651.

4. Webster C., Winchester A. Busemann Points of Metric Spaces: [prepr.]. 2005.

5. Walsh C. The Horofunction Boundary of Finite-dimensional Normed Spaces: [prepr.] / ArXiv: math. MG/ 0510105. 2005.

6. Andreev P.D. Ideal Boundaries of Busemann Space and Singular Minkowski Space: [prepr.] / ArXiv: math.GT/0405121. 2004.

7. Karlsson A., Metz V., Noskov G. Horoballs in Simplices and Minkoski Spaces: [prepr.]. 2004.

8. Akian M., Gaubert S., Walsh C. The Max-Plus Martin Boundary: [prepr.] / ArXiv: math.MG/0412408.

9. Рудин У. Функциональный анализ. М., 1975.

10. Buyalo S. Lectures on Spaces of Curvature Bounded Above / University of Illinois at Urbana-Champaign. Illinois, 1995.

Andreyev Pavel

HOROFUNCTION COMPACTIFICATION OF FINITE-DIMENSIONAL STRONGLY CONVEX NORMED SPACE

The notion of generalized extreme subset of the convex set in finite dimensional linear space is introduced in the article. The description of horofunctions in finite dimensional normed space with strongly convex norm is given in terms of this notion. We prove the theorem stating that if each horofunction of such space is Busemann point, then horofunctional boundary admits homeomorphism onto unit sphere of the dual space which is coordinated with the inverse map to Gaussian spherical image of the unit sphere of initial space. The example of normed space with strongly convex norm, with some horofunctions not being Busemann points, is constructed.

Рецензент — Видякин В.В., доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики Архангельского государственного технического университета