CC BY
22
УДК 514.764.2
АНДРЕЕВ Павел Дмитриевич, кандидат фи- ГАЛКИНА Анна Викторовна, студентка ма-
зико-математических наук, доцент, заведующий тематического факультета Поморского универ-
кафедрой алгебры и геометрии Поморского уни- ситета. Автор одной научной публикации
верситета. Автор 30 научных публикаций
КОЧНЕВ Александр Юрьевич, студент математического факультета Поморского универ-ситета.Автор двух научных публикаций
ТЮХТИНВасилий Викторович, студент математического факультета Поморского университета. Автор двух научных публикаций
ЧУРКИН Константин Владимирович, студент математического факультета Поморского университета. Автор одной научной публикации
АФФИННЫЕ ФУНКЦИИ НА КВАЗИПРОИЗВЕДЕНИЯХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ *
Аффинная функция, метрическое пространство, геодезические, функции Буземана, неположительная кривизна, квазипроизведение
Введение. В статье изучается проблема существования на геодезическом метрическом пространстве аффинных функций, то есть функций, линейных на каждой геодезической. Данная проблема поставлена в статье [1], где рассматривались аффинные функции на метрических и нормированных произведениях геодезических метрических пространств на прямую. В настоящей работе вводится понятие квазипроизведения метрических пространств и изучаются некоторые свойства пространств, расщепляемых в квазипроизведение. Так доказывается обобщение на случай пространств неположительной кривизны по Буземану теоремы о расщеплении, известной для САТ(0)-пространств. Теорема о расщеплении утверждает, что для любой геодезической множество точек, принадлежащих параллельным ей геодезическим, расщепляется в метрическое произведение, один из сомножителей которого есть замкнутое выпуклое множество, а второй - прямая. В такой формулировке теорема для пространств неположительной кривизны по Буземану неверна, т.к. нормированные пространства в общем случае не представимы в виде метрического произведения. Более того, к ним не применимы и другие известные конструкции произведений, такие как нормированное произведение или деформированное произведение Александер-Бишопа [2]. Верна теорема:
Теорема 1. Пусть Х - пространство неположительной кривизны по Буземану, а - регулярная геодезическая в Х. Множество точек, принадлежащих геодезическим, параллельным а, расщепляется в квазипроизведение вида Y Ч R, где Y - замкнутое выпуклое множество в Х, полученное пересечением ори-сфер с центрами в бесконечно удаленных точках геодезической а.
Оказывается, что структура квазипроизведения на пространствах неположительной кривизны в смысле Буземана тесно связано с существованием на нем непостоянных аффинных функций. Этот факт описывается следующей теоремой.
Теорема 2. Пусть X - локально компактное пространство неположительной кривизны в смысле Буземана. X допускает аффинную функцию £ X ^ Я в том и только в том случае, если оно расщепляется в квазипроизведение геодезического метрического пространства Y на вещественную прямую Я. При этом Y представляется как множество уровня f _1(с) функции £
Таким образом, теорема 2 дает полный ответ на вопрос Лычака-Шредера в случае пространств неположительной кривизны по Буземану. В заключение мы приводим пример геодезического метрического пространства, расщепляющегося в квазипроизведение, но не допускающего аффинной функции, отличной от константы.
* Работа выполнена при поддержке гранта администрации Архангельской области и ведомственной научной программы «Развитие научного потенциала высшей школы», код проекта - 335.
1. Предварительные сведения. Геометрия пространств неположительной кривизны по Буземану описывается в книге [3]. С-про-странство Х называется пространством неположительной кривизны по Буземану, если оно геодезически полно, и в любом треугольнике средняя линия не больше, чем половина основания. Две геодезических называются параллельными, если они удалены на конечное расстояние по Хаусдорфу. Это означает, что каждая из них находится в конечной окрестности другой.
В статье [4] вводятся понятия сильного и слабого замыканий и границ пространства неположительной кривизны по Буземану. В работе [5] для идеальных замыканий применяется иная терминология, а именно, метрическое и геодезическое идеальные замыкания. Мы будем придерживаться последней терминологии. Под границей пространства понимается множество бесконечно удаленных (идеальных) точек. Геодезическая идеальная точка называется регулярной, если она представляет единственную метрическую идеальную точку, в противном случае она называется сингулярной.
Пусть задана метрическая идеальная точка, представленная орифункцией ф. Ориша-ром с центром в указанной идеальной точке называется произвольное множество подуровня функции ф. Орисфера - это граница ори-шара, то есть множество уровня для ф.
2. Понятие квазипроизведения.
Определение. Будем говорить, что множество А в метрическом пространстве Х расщепляется в квазипроизведение А = В Ч С, если:
1) А - топологическое произведение В на С;
2) все множества вида В Ч {с} изометрич-ны, а проекции В Ч С ^ В Ч {с} являются изометриями на слоях;
3)все множества вида {Ь} Ч С изометрич-ны, а проекции В Ч С ^ {Ь} Ч С являются изометриями на слоях.
Если А совпадает с X, мы говорим, что метрическое пространство X расщепляется в квазипроизведение. В частности, любое метрическое произведение и любое нестандартное метрическое произведение в смысле определения статьи [6] являются квазипроизведениями. При этом в первом случае выполняется теорема Пифагора для прямоугольных треугольников с катетами в слоях, а во втором ее заменяет некоторое соотношение между метриками сомножителей. Мы будем применять обозначение X = У ® ^ Эта запись
ч
обозначает, что пространство X расщепляется в квазипроизведение пространств У и Z.
Всякое нормированное пространство расщепляется в квазипроизведение любых двух своих подпространств, которые пересекаются по нулевому вектору и порождают все пространство.
3. Доказательство теоремы 1.
По условию регулярности геодезической а всякая орифункция, задаваемая точками а(+ ж) и а(- ж), есть соответствующая функция Буземана, определяемая также по любой геодезической, параллельной а. Пусть А -объединение геодезических, параллельных а. Обозначим через У пересечение орисфер с центрами а(+ ж) и а(— ж), содержащих отмеченную точку а(0). Всякая образующая Ь множества А , то есть ось, параллельная а, пересекает У в точке Ь(0). Поэтому А топологически представляется как произведение А = Уха.
По теореме Ринова о нормированной полосе [7] параллельные геодезические Ь, с с X в пространстве неположительной кривизны по Буземану ограничивают изометрически вложенную в X полосу S(Ь,с) нормированной
плоскости. Поскольку метрика любой банаховой плоскости расщепляется в квазипроизведение любых двух ее образующих, полоса S(b,c) также расщепляется в квазипроизведение отрезка У п S(Ь,с) на линию а, рассматриваемую как вещественную ось.
Проектирования на сомножители вида Ух {а(£)} совпадают на отрезках У п S(Ь,с), а проектирования на оси множества А — на параллельных осях с проектированиями в соответствующих нормированных полосах, поэтому являются изометриями. щ
Доказательство теоремы 2.
Пусть метрическое пространство X, удовлетворяющее условиям теоремы, допускает аффинную функцию / Обозначим У = /-1(0). Для произвольной точки у е У рассмотрим сужение функции f на метрический шар В(у, г). По теореме Хопфа-Ринова шар В(у,г) компактен, а значит, функция f достигает максимума на В(у,г) в некоторой точке г е S(y,r) = сВ(у,г). Если X - пространство неположительной кривизны по Буземану, такая точка максимума единственна. При этом для любой точки и отрезка [уг] произвольная точка w отрезка [ш] является точкой максимума функции / в шаре В(и, \uw\J. Аналогичное рассуждение справедливо и для точек минимума. Объединение всех отрезков вида [уг], где г - точка экстремума функции / в шаре В(у, \уг\) - есть полная геодезическая, натуральная параметризация которой пропорциональна / Назовем ее линией градиента функции /
Лемма 1. Любые две линии градиента функции / параллельны.
Доказательство. Очевидно, две различные линии градиента для / не пересекаются. Предположим, что для линий градиента у, у2: Я ^ X, параметризованных функцией / так, что /(у(0) = /(у2(0) = £, расстояние \у1(1)у2(1)\ неограниченно возрастает. Обозначим через с: [0, +8) ^ X геодезический луч
с началом у(0), асимптотический с у2. Будем считать его также параметризованным функцией /. Из асимптотичности луча с и линии у2 следует, что скорость возрастания функции / относительно натурального параметра на у2 равна скорости возрастания / на с. То есть, при всех £ > 0 выполнено равенство \у2(0)у()\ = \у1(0)c(t)\. Выберем такое г >
0, что /(с(1)) < /(у(1)) — е. Тогда при всех £ > 0 выполняется:
1Ш) = /(с(0) < /(у/О) — г.
Аналогично /(у,()) < /(у2(1)) — £8 при некотором 8 > 0. Противоречие. Следовательно, линии у1 и у2 асимптотичны в положительном направлении. Аналогично, они асимпто-тичны и в отрицательном направлении, то есть параллельны.
Выберем произвольную линию градиента у. Через каждую точку пространства X проходит единственная линия градиента, которая в силу леммы 1 параллельна у Теперь, применив теорему 1, мы получаем, что пространство X расщепляется в квазипроизведение X = У.
Обратно, пусть X расщепляется в квазипроизведение X = У 0 ч Я. Функция /: X^■Я линейна на каждом слагаемом вида {у} х Я. Из определения квазипроизведения следует, что такие геодезические параллельны. По теореме Ринова параллельные геодезические {у,}хЯ и {у-}х Я ограничивают нормированную полосу в X. Любая геодезическая в X локально содержится в такой нормированной полосе, и поэтому функция проектирования на сомножитель R аффинна. Щ
5. Существенность условия неположительности кривизны по Буземану.
Здесь мы приведем пример, показывающий, что условие неположительности кривизны в смысле Буземана в теореме 2 отменить нельзя. Будет построено метрическое пространство X, расщепляющееся в квазипроиз-
ведение X = У ® ч Я, не допускающее аффинных функций.
Для построения пространства X мы рассмотрим аффинную плоскость с координатами (х, у). На полуплоскости у < 0 метрика й порождается нормой ||(х,у) ||= ^х2 + у2 , а на полуплоскости у> 0 - нормой
||( х, у)||= ^х7 + у4 . Указанные метрики совпадают на оси Ох. Расстояние d между точками (х,,у,) и (х2,у2), где уу2<0, определяется как
й ((х1, у1),( х2, у 2)) = Шп(й ((х, у1)(х,0) +
+ й ((х,0)( х2, у2)).
Метрика полученного пространства X -внутренняя. Геодезические - это либо прямые, параллельные координатным осям и параметризованные координатами, либо ломаные, составленные из двух лучей с общим началом на оси Ох. В последнем случае геодезическая имеет кусочно-линейную параметризацию. В частности, геодезическими являются биссектрисы координатных углов у = ±х с параметризациями:
х =
У =
± t, если t < 0 t, если t > 0
^ t, если t < 0 —^ t, если t > 0
V2
(1)
Аффинные функции на полуплоскостях линейны: они имеют вид /(х,у) = ах + Ьу + с. Поэтому всякая аффинная функция на X должна быть линейной на каждой полуплоскости, то есть иметь вид:
f(х> У) =
a1 х + b1 у + c1 при у < 0
[а2 х + Ь2 у + с2 при у > 0 '
На оси Ох функция определена однозначно, откуда Ь1 = Ь2 и с1 = с2. Добавив, если не-
обходимо, константу, получим с.
0. По-
скольку ось у, параметризованная координатой, есть геодезическая, то /(0, —1) = /(0, 1) и а1 = а2. То есть, функция f имеет вид /(х, у) = ах + Ьу. Но при неравных нулю коэффициентах такая функция нелинейна на биссектрисах координатных углов с параметризациями (1).
В заключение следует отметить, что пример, приведенный в статье Лычака-Шредера ([1], пример 4), непоказателен: функция Бузе-мана на построенном ими пространстве аф-финна лишь в том случае, когда пространство имеет неположительную кривизну в смысле Буземана. Для этого необходимо, чтобы нормы на склеиваемых банаховых пространствах были согласованы. Когда же пространство, полученное в результате склеивания, имеет неположительную кривизну по Бузема-ну, то, как показывает теорема 2, оно расщепляется в квазипроизведение.
с
Список литературы
1. Lytchak A., Schroeder V. Affine Functions on CAT(K)-Spaces: [prepr.] / ArXiv: math. MG/0410421. 2004.
2. Alexander S., Bishop R. Warped Products of Hadamard Spaces // Manuscripta Math. 1998. Т. 96. С. 487-505.
3. Буземан Г. Геометрия геодезических. М., 1962.
4. Andreev P.D. Ideal Closures of Busemann Space and Singular Minkowski Space: [prepr.] / ArXiv: math. GT/ 0404121. 2004.
5. Андреев П.Д. Задача А.Д. Александрова для САТ(0)-пространств // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47. № 1. С. 3-24.
6. Nonstandard Metric Products / A. Bernig, T. Foersch, V. Schroeder // Beiüage zur Algebra und Geometrie. 2003. Vol. 44. № 2. P. 499-510.
7. Rinow W. Die Innere Geometrie der Metrischen Raume. Berlin, 1961. (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften; № 105).
Andreyev Pavel, Galkina Anna, Kochnev Alexander, Tyukhtin Vasily, Churkin Konstantin
AFFINE FUNCTIONS IN QUASIPRODUCTS OF GEODESIC METRIC SPACES
The notion of quasiproduct of metric spaces is introduced. Quasiproduct terms give conditions for affine functions existence in spaces non-positively curved in the sense of Busemann. Locally compact space with non-positive Busemann curvature admits a nontrivial affine function if and only if it splits into a quasiproduct of its convex set by the real line. An example of the space with inner metric which splits into a quasiproduct with a real line as a factor and does not admit non-constant affine function is constructed.
Рецензент - Берестовский В.Н., доктор физико-математических наук, профессор Омского филиала Института математики Сибирского отделения РАН
