CC BY
27
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 151, кн. 4
Физико-математические пауки
2009
УДК 515.124.4
МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО ВСЕХ N-СЕТЕЙ ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА
E.H. Сосов
Аннотация
В работе множества всех Ж-сетей и всех N-сетей с повторениями геодезического пространства наделяются метриками. Найдены условия, при которых получеппые пространства являются пространствами с внутренними метриками, собственными и геодезическими пространствами.
Ключевые слова: N-сеть, сегмент, геодезическое пространство, внутренняя метрика, метрика Хаусдорфа, собственное пространство.
1. Необходимые определения и полученные результаты
Пусть р £ [1, го], Б(М) - группа всех подстановок множества из N > 1 элементов. Рассмотрим на декартовом произведении X н из N экземпляров метрического пространства (X, р) метрику
рн,р : Xн х Xн ^ М+,
рн,р((х 1,.. . ,хн), (у1,.. ,,ун)) = (|хШ|р + ... + |хнун|р)1/р при р £ [1, го) и
((х1,..., хн), (у1,..., ун)) = тах{|х1У11,..., |хнУн|}
при р = го, где |ху| = р(х, у) для х, у £ X, М+ — множество всех неотрицательных вещественных чисел. Зададим на Xн следующее отношение эквивалентности
(х1,..., хн) ~ (уь...,ун), если найдется такое а £ ), что
у1 = хст(1), ...,ун = хст(н).
Полученное фактор-пространство XN = Xн / ~ множества Xн по этому отношению эквивалентности есть симметризоваппая степень порядка N пространства X, а элементы этого множества можно отождествить с N-сетями с повторениями пространства X. Рассмотрим па этом множестве метрику
ар : XN х XN ^ М+,
ap([(xi,. . ., xN)], [(yi, . .., yN)]) =
= min{pN,p((xi,. . ., xN), (yCT(i), . .., yCT(N))) : ^ G S(N)}
где p G [1, го] (при p = го, см. [1]). Ограничение этой метрики на множество
X*N = {[(xi,..., xN)] G Xn : card {xi,..., xN} = N},
где card {xi,... ,xN} - мощность множества {xi,... ,xN}, будем обозначать тем же символом ap. Отметим также, что псевдометрика
а* : Xn х Xn —► R+,
a*([(xi,... ,xN)], [(Уь..., Vn )]) = a({x1, ..., xN}, {Уь.. ., Vn }),
индуцирует на множестве XN метрику, где
a({xi,..., xn}, {vi,..., Vn}) = max{max{|xj{yb..., vn}| : i G {1,..., N}},
{max{|vj {xi,...,xn }| : j G {1,...,N}}}
есть расстояние Хаусдорфа между множествами {xi,...,xN}, {vi,...,vn} [2, с. 223]. Прежде чем исследовать некоторые свойства метрики ар, напомним следующие определения.
Метрическое пространство (X, р) называется пространством с внутренней метрикой [3], если для любых x, y G X, e > 0 найдется конечная последовательность точек z0 = x, zi,..., zk = y такая, что
|zjZi+i| < e (0 < i < k - 1) и |zozi| +-----+ |zfc_izfc| < |xy| + e.
Метрическое пространство (X, р) называется выпуклым по Менгеру, если для любых различных точек x, y G X найдется отличная от них такая точка z G X, что |xz| + |zy| = |xy| [4, с. 43].
( X, р)
мкнутый шар компактен [5, с. 2].
Кривая, соединяющая точки x, y G X, длина которой равна расстоянию между этими точками, называется сегментом [x, у] с концами x, y G X [4, с. 42].
Метрическое пространство называется геодезическим пространством, если любые две его точки можно соединить сегментом [5, с. 4].
Метрическое пространство называется метрически выпуклым пространством, если для любых x, у G X найдется такой элемент z G X, что |xz| = |zy| = = |xy|/2 [6].
Теорема 1. Пусть p G [1,го]. Тогда верны следующие утверждения.
(i) X* - открытое множество пространства (XN, ар). На мможестве XN имеет место неравенство а* < ар. Кроме того, при N > 2 для каждого
S = [(xi,... ,xn)] G X*
имеет место равенство а*^^2) = S2), где Si? S2 - произвольные эле-
менты из открытого шара B(S, e) с (XN, а*) радиуса
e = 1 min {|xjxj | : i = j; i, j G {1,.. .,N}} ,
а при N < 2 имеет место равенство а* = ато .
(ii) (X, р)
гда (XN, ар) - собственное пространство.
(iii) (X, р)
ко тогда, когда (XN, ар), (X*, ар) - пространства с внутренней метрикой.
Кроме того, XN - всюду плотное подмножество пространства (XN, ap) при card (X) > 1.
(iv) (X, р) является геодезическим (метрически выпуклым, выпуклым по Менгеру) пространством тогда и только тогда, когда (XN, ap) - - геодезическое (метрически выпуклое, выпуклое по Менгеру) пространство.
Обозначим через SN (X) (через £N (X)) множество всех (непустых) подмножеств в (X, р), состоящих (не более чем) из N точек, с индуцированной метрикой Хаусдорфа а. Причем обозначение £i(X) будем заменять на X. Элементы множества £N(X) называются N-сетями [7]. Рассмотрим сюръекцию
f : XN ^ (X), f([(xi,...,xn)]) = }.
Очевидно, что при N < 2 сюръекция f является изометрией пространства (X2, ато) та пространство (£2(X),а). Используя эту изометрию, из теоремы 1 получаем
( X, р)
ней метрикой, геодезическое пространство, метрически выпуклое пространство, выпуклое по Менгеру пространство) тогда и только тогда, когда (S2(X),а) -собственное пространство (пространство с внутренней метрикой, геодезическое пространство, метрически выпуклое пространство, выпуклое по Менгеру пространство).
Для того чтобы при N > 2 пространство (XN, ap) было геодезическим про-
( X, р)
Теорема 2. Пусть p G [1,го], (X,р) - геодезическое пространство, удовлетворяющее следующим, двум условиям (A^, (A2).
(A1) Каждые две различные точки пространства (X, р) можно соединить единственным, сегментом.
(A2) Если два сегмента имеют общий конец и общую внутреннюю точку, то один из этих сегментов есть подмножество другого сегмента. Тогда (XN, ap) - геодезическое пространство.
Пусть кроме условий (A^, (A2) выполнено следующее глобальное условие (A3) неположительности кривизны по Буземану (см. [4, с. 304]) (A3) Для любых x, y, z G X
2|w(z,x)w(z,y)| < |xy|,
где w(z, x) - середина сегмента [z,x]. N>1
S = [(xi,..., xn)] G (XN, ap)
и для любых W, T, D G B(S, e), г<?е B(S, e) - открытый шар пространства (XN, ap) радиуса
e = 1 min {| xi x j | : i = j; i, j G {1,.. .,N}} ,
e ep 1го h ера венст во
2«pKW, D), w(T, D)) < ap(W, T),
где w(W, D) - середина сегмента [W, D] с (XN, ap), то есть при N > 1 пространство (XN,ap) удовлетворяет локальному условию неположительности кривизны по Буземану.
Используя сюръекцию /, для каждого р € [1, те] построим симметрику
ар :Я*(X) х Я*(X) ^ М+, ар(5,51) = ар(/-1(5),/
Ограничение /1 сюръекции / на подмножество Д* и X* С X*, где
Д* = {[(х1,..., х*)] € X* : Х1 = ... = х*},
является биекцией на свой образ XиЯ*(X) С Я*(X). Следовательно, ограничение симметрики ар на множество (X и Я* (X)) х (X и Я* (X)) является метрикой, и
/1 : (Д* и X*, ар) ^ (X и Я*(X), ар)
есть изометрия. Отметим также, что Я* (X) является открытым подмножеством пространства (Я*(X), а). Действительно, пусть N > 1 и 5 € Я*(X), тогда открытый шар В(5, е) пространства (Я*(X),а), где
£ =2 шт {|ху| : X, у € 5, х = у} ,
принадлежит подмножеству Я*(X). Используя изометрню /1, получаем следующие следствия теорем 1, 2.
Следствие 2. Пусть р € [1,те]. Тогда верны, следующие утверждения. (I) На множестве X и Я* (X) имеет место неравенство а < ар. Кроме того, при N > 2 для каждого
5 = {х1,...,х*} € Я*(X)
■имеет .место равенство
а(51, 52) = ато(51, $2),
где 52 - произвольные элементы из открытого шара В(5, е) С (Я*(X),а) радиуса
е = ^шт {|х4х^-1 : i = 3; г, 3 € {1, .. .,N}} ,
верно равенство, а при N < 2 имеет место равенство а = ато.
(гг) (X, р) является пространством с внутренней метрикой тогда и только тогда, когда (Я*(X),ар) - пространство с внутренней метрикой.
Следствие 3. Пусть р € [1,те], (X,р) - геодезическое пространство, удовлетворяющее условиям (А^, (А2) теоремы 2. Тогда (Я*(X),ар) - геодезическое пространство. Если, кроме условий (А^, (А2) выполнено условие (Аз), то при N > 1 для каждого
5 = {хь ..., х*} € (Я*(X), ар)
и для любых Т, £ € В(5, е), г<?е В(5, е) - открытый шар пространства (Я*(X),ар) радиуса
1
4
■имеет .место неравенство
е = 7шт {|х4х^-1 : г = 3; г, 3 € {1,.. }} ,
2арИШ, £), Ш(Т, £)) < ар(Ш, Т),
то есть при N > 1 пространство (Я*(X),ар) удовлетворяет локальному условию неположительности кривизны, по Бузем.ану.
Рассмотрим на множестве Xn следующее отношение эквивалентности Д: [(xi,... )]R[(yi, • • -,Vn {xi, • • • } = {yi,..• ,yN }• Рассмотрим для p G
G [1, те] псевдометрику (см. [8, с. 73])
ар,п : Xn x XN ^ R+,
,5) = inf{ap(Si, ¿?i) +-----+ ap(Sfc, ,i?fc)},
где точная нижняя грань берется по всем k G N и таким наборам {Sj}, {S¿}, 1 < i < k, что Si = S, S& = S и точка Sj Д-эквивадептпа точке Sj+i при всех i = 1,..., k — 1. Стандартным образом сопоставим псевдометрическому пространству (Xn, aP,R) метрическое пространство (XN/Д, ap,R), отождествляя точки, находящиеся на нулевом расстоянии, и сохраняя обозначение ap,R для полученной фактор-метрики. Отображение
g : Xn/Д ^ Sn(X), g([[(xb... ,xn)]]r) = {xi,... ,xn}
является биекцией, с помощью которой мы отождествим фактор-множество Xn /Д с множеством всех N-сетей Sn(X) пространства X и наделим множество Sn(X) фактор-метрикой ар,д.
Теорема 3. Пусть p G [1,те]. Тогда верны, следующие утверждения.
(i) На множестве SN (X) справедливо неравенство а < ар,д. Кроме того, при N > 2 для каждого
S = {Xi,...,Xn} G SN(X)
■имеет .место равенство
a(Si, S2) = aTOjñ(Si, S2),
где Si? S2 - произвольные элементы из открытого шара B(S, е) с (SN(X),а) радиуса
е = 4 min {|xjxj | : i = j; i, j G {1, • • .,N}} ,
а при N < 2 верно равенсmeo а = ато,д.
(ii) (X, p) является собственным пространством тогда и только тогда, когда (SN(X),ap,R) - собственное пространство.
(iii) (X, p) является пространством с внутренней метрикой тогда и только тогда, когда (SN(X),aPjR), (SN(X),ap,R) - пространства с внутренней метрикой. Кроме того, SN (X) - всюду плотное подмножество пространства (SN(X), ap,R) при card X > 1.
(iv) (X, p) является геодезическим (метрически выпуклым, выпуклым по Менгеру) собственным, пространством тогда и только тогда, когда (SN(X),ap,R) - геодезическое (метрически выпуклое, выпуклое по Менгеру) собственное пространство.
Отметим для сравнения, что из предложения 1 [9] следует, что в геодезическом пространстве, удовлетворяющем условиям (Ai), (A2), (A3), множество всех непустых ограниченных замкнутых выпуклых множеств с метрикой Хаусдорфа является геодезическим пространством, удовлетворяющем глобальному условию неположительности кривизны по Буземану. В следующем следствии 4 теорем 2, 3
N
соединены сегментом в пространстве (Sn(X), а).
Следствие 4. Пусть (X, р) - геодезическое пространство. (г) Дел и 5и € Е* (X) и
а(5ь 52) = ато(5ь 52),
то N-сети 51, 52 могут быть соединены сегментом в пространстве (Е*(X), а).
(п) Если (X, р) - собственное пространство, 51г 52 € Е*(X) и
а(51, 52) = ато,д(51, 52),
то N-сети 51, 52 могут быть соединены сегментом в пространстве (Е*(X), а).
Пример 1. Рассмотрим в евклидовой плоскости М2 две 3-сети
М = {(0; 0), (-а; -а), (-а; а)}, Ш = {(0; 0), (а; а), (а; -а)}, где а € М+. Тогда нетрудно найти, что
а(М,Ш ) = л/2а, ато(М,Ш ) = ато,д(М,Ш) = 2а.
Кроме того,
2а(М, Т) = 2а(Ш, Т) = а(М, Ш), 2ато(М, В) = 2ато(Ш, В) = ато(М, Ш),
Т = {(-а/2; -а/2), (-а/2; а/2), (а/2; а/2), (а/2; -а/2)} € Е4(М2),
В = {(0; 0), (0; а), (0; -а)} € Ез(М2).
Теперь легко установить, что в любой окрестности 3-сети О = {(0; 0)} € (Е3(М2), а) существуют две 3-сети, несоединимые сегментом в пространстве (Ез(М2), а) и а = = а.
М3
М = {0, 2а, 3а + 6}, Ш = {а, 2а + 6, 4а + 6}, Т = {а, 3а + 6},
где а, 6 € М+. В следующих трех случаях нетрудно подсчитать расстояния.
1. Если 6 < а, то
а(М, Ш) = ато,д(М, Ш) = ато(М, Ш) = а.
2. Если а < 6 < 2а, то
а(М, Ш) = а < 6 = ато(М, Ш) = ато,д(М, Ш).
3. Пусть 2а < 6. Если а = 0,то М = Ш = Т. Если а > 0, то
а(М, Ш) = а < 2а = а(М, Т) + а(Т, Ш) = ато,д(М, Ш) <6 = ато(М, Ш), и не существует сегмента с концами М, Ш в пространстве (Ез(М),а).
2. Доказательства полученных результатов Доказательство теоремы 1.
(г)
5 = [(х1,... )] € X*
открытый шар В(5, ¿) пространства (X*, ар), где
£ = ^шш^х,-| : г = г, € {1, .. .,N}},
принадлежит множеству X* • Следовательно, X* - открытое множество пространства (X*, ар). Докажем, что а* < ар. Для каждого а € 5^) имеем, что
а* ([(жь..., )], [(Уъ . . . , У*)]) =
= шах{шах{|ж4{уь ... ,у* }| : 1 < г < N}, шах{у {жь...,ж* }| : 1 < ] < N}} < < шах{р*1р((хЬ . . . ), (уст(1),... ^^^((уъ ... ), (ХтС^ ... ,х<т(*)))}.
Осталось взять минимум по всем а € 5^) в правой части неравенства и использовать определение метрики ар.
Пусть N > 2 и 51, 52 € В(5, е) С (X*, а*). Тогда а*(5ь52) < 2е. Учитывая определения псевдометрики а* и е, получим, что 51, 52 € X* и а*(51,52) = = ато(5ь 52).
Пусть теперь N = 2 (случай, когда N =1, очевиден), и для определенности положим
5 = [(х,у)], 51 = [(и, V)], |жи| = В(5, 51), где В(5, 51) = шах{|а6| : а € {х,у}, 6 € {и,-у}}. Тогда
а* (5, 51) = шах {шах{|ху|, |у{и, «}|}; шах{|уи|, |«{ж, у}|}} .
Рассмотрим два случая.
1. Если |уи| > |уу|, то
а*(5, 51) = шах{шах{|ж-у|, |уV|}; |уи|} =
= шах{|ж-у|, |уи|} = шт{шах{|жм|, |уV|}; шах{|ху|, |уи|}} = ато(5, 51).
2. Если |уи| < |уу|, то
а* (5, 51) = шах{шах{|ж-у|, |уи|}; шах{|уи|, |«{ж, у}|}} =
= шах{|ж-у|, |уи|} = шт{шах{|жм|, |уV|}; шах{|ху|, |уи|}} = ато(5, 51).
(гг)
5 = [(х1,..., )] € X* и (5П = [(у™,..., уП)]) _ ограниченная последовательность пространства (X*, ар), то есть найдется такая вещественная константа с > 0, что для каждого п € N ар(5п,5) < с. Тогда для каждого п € N найдется такое а„ € 5^), что
р*,РР((хЪ...), (1^ ..., У^*))) < с. Следовательно, для каждого к € {1,...^} найдется подпоследовательность (у™ (й)) С (уП (к)), сходящаяся к некоторому € X щи т то, поскольку пространство X собственное. Положим
5о = [(«1,... , и*)].
Тогда
ap(Sm,S0) < PN,p((u1, . . . ,uN), (1), . . . })) ^ 0
при m ^ ro. Таким образ ом, (XN, ap) - собственное пространство.
(¿¿г) Доказательство достаточности для пространства (XN, ap) очевидно. Докажем необходимость. Пусть произвольно выбраны
S = [(xi,..., xn)], Si = [(yi,..., yN)] G Xn.
Используя лемму 1 [10], для каждого е > 0 выберем S2 = [(zi,..., zN)], где z G G w(xj, yCT(j), е1) для каждого г G {1,..., N},
[eN-1/p, если p G [1, ro),
е1 =
[ e, если p = ro,
и a G S(N) такое, что pN,p((x1,.. .,xn ), (yCT(1),... ,yCT(N})) = ap(S, S1). Тогда
2max{ap(S, S2), ap(S2, S1)} <
< 2max{pN,p((x1, . . . , xN), (z1, . . . , ZN)), PN,p((z1, . . . , ZN), (yCT(1), . . . , yCT(N}))} <
< PN,p((x1, . . . ,xN), (yCT(1), . . . ,yCT(N))) + e = ap(S, S1) + e.
В силу леммы 1 из [10] пространство (XN, ap) является пространством с внутренней метрикой.
С помощью леммы 1 из [10] нетрудно доказать, что XN - всюду плотное подмножество пространства (XN, ap) при card X > 1. Из этих двух доказанных утверждений н леммы 1 из [10] следует теперь верность утверждения для пространства
(XN ,аР)-
(iv) Доказательство достаточности очевидно. Докажем необходимость. Пусть произвольно выбраны
S = [(x1,..., Xn)] G Xn, S1 = [(y1,..., yN)]) G Xn
и пусть a G S(N) такое, что
PN,p((x1,..., xn), (yCT(1),..., yCT(N))) = ap(S, S1).
Для каждого г G {1,..., N} в силу геодезичности прострапства X найдется некоторый сегмент [xi; yCT(j)]. Выберем для каждого г G {1,..., N} и для каждого Л G [0,1] такую точку ¿¿(Л) G [x^y^], что
Zi (Л) | = Л^ yCT(j)|.
Для каждого Л G [0,1] положим
SM = [(Z1^),...,ZN (Л))]).
Тогда для каждого Л G [0,1], используя неравенство треугольника, нетрудно получить равенство
ap(S, S^)) + а^(Л), S1) = ap(S, S1).
Следовательно, S(Л) при изменении параметра Л та отрезке [0,1] есть параметризация некоторого сегмента с концами S, S1 в пространстве (XN, ap), и это пространство геодезическое. Утверждения этого пункта теоремы 1, приведенные
в скобках, теперь нетрудно доказать, используя аналогию с доказанным случаем. Таким образом, теорема 1 доказана. □
Доказательство теоремы 2.
При card X = 1 или N =1 теорема 2, очевидно, верна. Предположим, что card X > 1 и N > 1.
Пусть произвольно выбраны различные
S = [(xi,..., xn)], Si = [(yi,..., yN)] e XN.
Рассмотрим сначала частный случай, когда все точки
{xi,... ,xn,yi,... ,yN}
принадлежат одному сегменту и p e [1, те). Без потери общности можно считать, что точки упорядочены следующим образом:
xi > ••• > XN, yi > ••• > yN, xi > yi.
Докажем, что
PN,p((xi,..., xn), (yi,..., yN)) = ap(S, Si)
N
Пусть N = 2. Если x2 < yi, то нетрудно получить неравенство P2,p((xi,x2), (yi,y2)) < P2,p((xi,x2), (y2,yi)), из которого следует требуемое равенство. Пусть x2 > yi. Заметим, что функция
f : R+ ^ R+, f (t) = (a + t)p - (b + t)p, b < a, a, b e R+ неубывающая. С учетом этого требуемое равенство следует теперь из неравенств |xiyi|p - |x2yi|p < (|xiyi| + |yiy2|)p - (|x2yi| + |yiy2|)p = |xiy2|p - |x2y2|p. N=2
равенство верно для всех N < n - 1, и докажем его для N = n. Пусть a e S(N). Рассмотрим два случая.
(г) Есл и a(1) = 1, то по предположению индукции PN-i,p((x2, . . . ,xn), (y2, . . . ,yN)) < PN-i,p((x2, . . . ,xn), (yCT(2), . . .,yff(N)))
PN-i,p((x2 ,... ,xn), (y2, . . . ,yN)) < PN-i,p((y2, . . . ,yN), (xCT(2),... ,xCT(N))). Следовательно,
PN,p((xi, . . . ,xn), (yi, . . . ,yN)) < PN,p((xi, . . . ,xn), (yCT(i), . . . ,yCT(N))). PN,p((xi, . . . ,xn), (yi, . . . ,yN)) < PN,p((yi, . . . ,yN), (xCT(i), . . . ,xCT(N))).
(и) Если а(1) > 1 и а(к) = 1, где к € {2,..., N}, то, используя установленные неравенства пункта (г) и предположение индукции, нетрудно получить неравенства:
. . . ), (У1,...,У№)) <
< Р№,р((жЪ . . . ), (УСТ(Й), . . . , Уст(й-1), Уо-(1), Уст(й+1), . . . ))) <
< Р^,р((жЬ . . . ,ж№), (УСТ(1), . . . ))).
Следовательно, требуемое равенство доказано.
Выберем для каждого Л € [0,1] и для каждого к € {1,...^} такую точку 2к(Л) € [жй , что
|жк^к(Л)| = Л|жй уй|.
Тогда для каждого Л € [0,1] справедливы неравенства:
£1 (А) > ... > ^(Л).
Положим для каждого Л € [0,1]
5 (Л) = [(¿1(Л),...,зд (Л))].
Так же, как и при доказательстве утверждения (гу) теоремы 1, используя доказанные выше неравенства, получаем, что 5(Л) при изменении параметра Л па отрезке [0,1] есть параметризация некоторого сегмента с концами 5, 51 в пространстве (Х^, ар). Таким образом, в частном случае теорема 2 верна. Рассмотрим общий случай. Пусть р € [1, го] и
2 = {а € 5^) : р№,р((жъ . .. , ж№), (УСТ(1), . .. ))) = ^О} .
Индукцией по N докажем следующее вспомогательное утверждение (С).
(С) Найдется такое а € 2, что для любых различных г, € {1,..., N}, для каждого Л € [0,1] справедливо неравепство ^¿(Л) = ^ (Л), где точка 2к(Л) € € ^и к € {г, Л такая, что
Х 2к(Л)| = Л|жй уст(й)|,
а сегмент [ж^, существует и является единственным в силу условия (А1).
Пусть N = 2. Предположим противное. Тогда для каждого а € 2 найдется такое Л € (0,1), что £1(Л) = 22(Л). Используя определение точек 21(Л), 22(Л) и неравенство треугольника, получим:
Р2,р((ж1, ж2), (УСТ(2), Уст(1))) < Р2,р((ж1, ж2), (УСТ(1), Уст(2))).
Если это неравенство строгое, то в силу определений множества 2 и метрики получили противоречие. Если имеет место равенство, то в силу условий (А1), (А2) точки ж^ ж2, Уо-(1), Уст(2) принадлежат одному сегменту и 2 = 5(2). Тогда в силу определений точек 21(Л), 2:2 (Л) и метрики снова получили противоречие.
Допустим, что утверждение (С) верно для всех N < п — 1, и докажем его для N = п. Предположим противное. Тогда для каждого а € 2 найдутся такие различные г, ] € {1,...^} и такое Л € (0,1), что ^¿(Л) = 2^-(Л). В этом случае пару сегментов {[ж^у^)], [ж^-, У^(^)]} назовем отмеченной. Пусть а € 2 и р € [1, го). В семействе сегментов
О = ([жй ,Уа(й)])йе{1,...,^}
заменим отмеченную пару {[ж^у^)], [ж,, у^,)]} на пару {[ж^у^,)], [ж,, - Это
приводит к новой подстановке п, полученной перестановкой а (г) и а(^) в подстановке <г, в частности, п(г) = ст(^), п(^') = а(г). Тогда, учитывая установленное неравенство при N = 2, получим
Р№,р((ж1, • • • ,ж№), (Уп(1), • • • ))) < Р№,р((ж1, . . . ,ж№), (УСТ(1), • • • )))-
Если полученное неравенство строгое, то в силу определения множества 2 и метрики получили противоречие. Если имеет место равенство, то в силу условий (А1), (А2) точки ж^, уп^), ж,, уп(,) принадлежат одному сегменту. Кроме того, п € 2 и пара {[ж^у^)], [ж,, уп(,)]} _ неотмеченная. Учитывая предположение индукции, можно считать, что если удалить из семейства сегментов
Д1 = ([жй, Уп(й)])йе{1,...,№}
сегменты [ж^у^)], [ж,, уп(,)], то в оставшемся семействе не останется отмеченных пар сегментов. Если в семействе Д1 пет отмеченных пар сегментов, то в силу определения множества 2 и метрики получаем противоречие. Предположим для определенности, что пара {[ж^у^)], [ж;,уп(;)]} - отмеченная. Заменив ее в семействе Д та пар у {[ж^, уп(;)], [ж;, у^)]}, получим новое семейство с егментов Д2. Аналогично предыдущему, вводя новую подстановку и повторяя предыдущие рассуждения, мы либо сразу получаем противоречие, либо получаем, что точки ж^, уп(») > ж,, уп(,), ж;, уп(;) принадлежат одному сегменту Ь. Учитывая доказанный частный случай, можно считать, что па сегменте Ь нет отмеченных пар сегментов. А по предположению индукции можно считать, что нет отмеченных пар сегментов
Д1 Ь
кую процедуру замены отмеченных пар сегментов, мы через конечное число шагов получим противоречие, поскольку для точек, расположенных на одном сегменте, теорема 2 доказана и группа подстановок конечная.
Пусть а € 2 и р = те. В семействе сегментов П выберем сегмент [ж^у^)] длины ар(£, £1). Учитывая предположение индукции, можно считать, что если удалить этот сегмент из семейства П, то в оставшемся семействе не останется отмеченных пар сегментов. Пусть пара {[ж^у^)], [ж,, уст(,)]} - отмеченная. Если в П такого сегмента [ж,, уст(,) ] не существует, то в силу определения множества 2 и метрики сразу получаем противоречие. Заменив в семействе П отмеченную пару {[ж^у^)], [ж,,уст(,)]} на пару {[ж^у^,)], [ж,, у^)]}, получим семейство сегментов П(1). Это приводит к повой подстановке п, полученной перестановкой а (г) и а(^') в подстапо вке а. Длины сегме нтов [ж^уст(,) ], [ж, , у^)] строго меньше, чем ар(£, £1). В семействе П(1) выберем новый сегмент длины ар(£, £1) и повторим рассуждения. Через конечное число шагов получим противоречие, поскольку группа подстановок конечная и на каждом шаге сегменты из отмоченных пар заменяются на сегменты меньшей длины, чем ар(£, £1). Таким образом, утверждение (С) доказано.
Пусть а € 2 такое, как описано в (С). Для каждого Л € [0,1] положим
£ (Л) = [(^(Л), • • •, ^ (Л))]-
Так же, как и в доказательстве утверждения (гу) теоремы 1, получаем, что £ (Л) при изменении параметра Л та отрезке [0,1] есть параметризация некоторого сегмента с концами £, £1 в пространстве (Х^, аР)-
Докажем теперь последнее утверждение теоремы. Пусть £, W, Т, П выбраны в соответствии с условиями теоремы. Тогда из неравенства ар(£, Т) < е, неравенства треугольника и определения е следует, что для каждого £ € f (Т) найдется
единственный элемент х(£) € /(5) такой, что |£х(£)| < е, а также для каждого х € € / (5) найдется такой элемент и € /(Т), что |их| < е. Учтем также, что 5 € X*. Тогда получим, что для каждого х € / (5) в шаре В(х, е) содержится точно один элемент ¿(х) € /(Т). Аналогичное рассуждение справедливо и для Ж, Б. Соответствующие элементы обозначим через ад(х) € /(Ж), ¿(х) € /(Б). Тогда для каждого х € / (5) имеем:
2|^(ад(х), ¿(х))^(£(х), ¿(х))| < |ад(х)£(х)|.
Теперь нетрудно проверить, что
2аРИЖ, Б), Ш(Т, Б)) < ар(Ж, Т). Таким образом, теорема 2 доказана. □
Доказательство теоремы 3.
(г) Нетрудно понять, что дая доказательств а неравенства а < ар,д достаточно доказать неравенство а* < ар,д для псевдометрик па множестве X*. Выберем произвольное е > 0. Пусть 5,5 € X*. В силу определения псевдометрики ар,д найдутся такие
51,...,5й,51,...,5й € X*, что 51 = 5, = 5, 5^5^+1 при всех г = 1,..., к — 1 и
ар(51, й!) + ... + ар(5к, 5>к) < ар,д(5, 5) + е.
(г)
а* (5, 5) <
< а* (51, 51) + а* (5Ь 52) + а* (52, 52) +-----+ а*(5й_1, 5Й) + а*(5й, ) =
= а*(51, 5>1) + а*(52, 5>2) +-----+ а*(5й, 5Й) <
< ар(51, 51) +-----+ ар(5й, ) < ар,д(5, 5) + е.
Используя произвол в выборе е > 0, получим требуемое неравенство. Оставшпе-
(г)
еслп учесть доказанное неравенство и следующее простое неравенство для псевдометрики и метрики па X*: ар,д < ар дая р € [1, то]. (гг)
сти достаточно проверить, что произвольный замкнутый шар В[[5] д, г] в пространстве (Я*(X), ар,д) компактен. Рассмотрим полный прообраз М = п-1(В[[5]д, г]) этого шара относительно канонической проекции
п : X* ^ Я*(X), п(5) = [5]д.
М
Кроме того, М С В[5,п] С (X*, ар), где 5 € [5]д, п = (^1/р(г + Б(/(5))), Б(/(5)) - диаметр множества /(5) С (X, р). Действительно, используя опреде-
а ар / (г)
треугольника, для каждого 5 € М получим неравенства
ар(5,5) < ^)1/рато(5,5) < (N)1/р(а(/(5),/(5)) + Б(/(5))) <
^)1/р(ар,д(/(5)),/(5)) + Б(/(5))) < п.
Следовательно, множество M ограничено и замкнуто в пространстве (XN, ар). В силу утверждения (и) теоремы 1, M компактно в пространстве (XN, ар). Тогда его образ относительно непрерывного отображения n(M) = B[[S]д, r] является компактным множеством в пространстве (En(X),ар,д).
(ггг) Доказательство достаточности для пространства (EN(X),ар,д) очевидно. Докажем необходимость. Пусть произвольно выбраны
S =[(X1,...,XN )], S?= [(yi,...,yN )]
в псевдометрическом пространстве (XN, ар,д) • Для произвольно выбраппого e > 0 найдутся такие
Si,...,Sfc,Sb...,Sfc G Xn,
что Si = S, S>fc = <5, ¿jjRSj+i при всех i = 1,..., k — 1 и
C = ap(Si, Sii) +-----+ ap(Sfc, Sfc) < aPiR(S, S) + е.
Найдем такое j G {1,..., k — 1}, что
ap(Si, Si) + • • • + ap(Sj, Sj) < C/2
и
ap(Si, Si) +-----+ ap(Sj+i, Sj+i) > C/2.
Пусть
ei = aPiR(S,S) + е — C> 0. (iii)
S* = [(Zi,...,Zn)] G XN,
что
2max{ap(Sj+i, S*), ap(S*, Sj+i)} < ap(Sj+b Sj+i) + ei.
Тогда
ap(Si, Si) + ... + ap(Sj, Sj) + ap(Sj+i, S*) + ap(S*, -Sj+i)+
+ ap(Sj+2, S?j+2) + ... + ap(Sfc, Sfc) < C + ei = а^д« S) + e. Теперь нетрудно проверить, что
2max{aPiR(S, S*), ap,R(S*, S)} < а^д« S) + e.
Следовательно, в силу леммы 1 [10] (EN(X),ар,д) - пространство с внутренней метрикой.
С помощью леммы 1 [10] нетрудно доказать, что EN(X) - всюду плотное подмножество пространства (EN(X),ар,д) при cardX > 1. Из этих двух доказанных утверждений и леммы 1 [10] следует теперь справедливость утверждения для пространства (En (X ),ар,д).
(iv) Доказательство достаточности очевидно, а необходимость является след-
(iii)
Фоссена (см. [8, с. 60]). Таким образом, теорема 3 доказана. □
Summary
E.N. Sosov. Metric Space of All N-nets of a Geodesic Space.
In this paper we endow the sets of all N-nets and of all N-nets with repetitions of a geodesic space with metrics. We find the conditions under which these spaces are spaces with intrinsic metrics, proper and geodesic spaces. N
space.
Литература
1. Федорчук В.В., Филиппов В.В. Топология гиперпрострапств и ее приложения // Матом. кибернетика. 1989. Л' 4. С. 1 48.
2. Куратоаский К. Топология. Т. 1. М.: Мир. 1966. 594 с.
3. Бураго Ю.Д., Громов М.Л., Пе.рельмаи Г.Д. Пространства А.Д. Александрова с ограниченными снизу кривизнами // Усп. матом, паук. 1992. Т. 47, Вып. 2. С. 3 51.
4. Буземаи Г. Геометрия геодезических. М.: Физматгиз, 1962. 503 с.
5. Bridson M.R., Haeffliger A. A. Metric spaces of 11011- positive curvature. Sor. A / Series of Comprehensive St.adies in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1999. V. 319. 643 p.
6. Bing R.H. A convex metric with unique segments // Proc. AMS. 1953. No 4. P. 167 174.
7. Гаркааи A.JI. О наилучшей сети и наилучшем сечении множеств в нормированном пространстве// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1962. Т. 26, Л» 1. С. 87 106.
8. Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В. Курс метрической геометрии. - Москва Ижевск: Ип-т компыот. исслед., 2004. 496 с.
9. Foertsch Т. Isometries of spaces of convex compact subsets of CAT(0)-spaces. -arXiv:math.MG/0404380 vl. 2004. 21 Apr.
10. Susuv E.N. On Hausdorff intrinsic metric // Lobaclievskii J. of Math. 2001. V. 8. P. 185 189.
Поступила в редакцию 10.09.09
Сосов Евгений Николаевич кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры геометрии Казанского государственного университета. E-mail: EvgeMii.SosovQksu.ru
