Относительный N-радиус ограниченного множества метрического пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том 153, кн. 4

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Физико-математические пауки

2011

УДК 515.124.4

ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ N-РАДИУС ОГРАНИЧЕННОГО МНОЖЕСТВА МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА

E.H. Сосов

Аннотация

В работе исследуются свойства наилучшего радиуса аппроксимации ограниченного множества метрического пространства N-сетями из другого множества. Получена оценка сверху разности между такими радиусами двух ограниченных множеств с помощью расстояний по Хаусдорфу между рассматриваемыми множествами. В случае ограниченных метрических пространств для оценок используются расстояние по Громову Хаусдорфу и более простое по объему вычислений расстояние между этими пространствами.

Ключевые слова: метрическое пространство, относительный N-радиус, псевдометрика Хаусдорфа, расстояние Громова Хаусдорфа.

1. Необходимые определения и полученные результаты

В работе мы используем следующие обозначения и определения: N (R+) - множество всех натуральных (неотрицательных вещественных) чисел; B(X) - множество всех непустых ограниченных множеств метрического пространства (X, р) с расстоянием |xy| = p(x,y) для x, y G X. |xW| = inf{|xy| : y G W}, e(M, W) = = sup{|xW| : x G M} - отклонение множества M G B(X) от непустого множества W С X [1, с. 2231- а : B(X) х B(X) ^ R+ , a(M, W) = max{e(M, W); e(W, M)} - псевдометрика Хаусдорфа на B(X) [1, с. 223]; D(M, W) = sup{p(x,y) : x G G M, y G W} для M, W G B(X); D(M) = D(M, M) - диаметр множества M G G B(X).

Отметим, что для любых M, W G B(X) верно неравенство a(M, W) < D(M, W) и функция D : B(X) х B(X) ^ R+ удовлетворяет неравенству треугольника.

Пусть card (S) - мощность множества S и N G N. Назовем число

RNW (M) = inf{e(M,S) : S С W, 1 < card (S) < N}

относительным N-радиусом множества M G B(X) относительно непустого множества W С X. Если W = X, то RNX(M) - наилучший радиус аппроксимации N-сетями пространства X множества M G B(X) [3]. Наилучшей N-сетью множества M G B(X) называется такое множество SNх(M) С X [3], что

1 < card (S^x(M)) < N и e(M, S^x(M)) = Rnx(M).

N

чонных множеств с помощью отклонений между рассматриваемыми множествами. Тогда в качестве следствия мы получим оценку этой разности с помощью расстояний по Хаусдорфу между рассматриваемыми множествами. Такие задачи в частном случае относительных чебышевских радиусов исследовались в [4 8].

Теорема 1. Пусть M, W, A, B G B(X). Тогда (г) |Rnw(M) - Rnb(A)| < max{/3(M, A) + /3(B, W), 0(A, M) + /3(W, B)} для каждого N G N;

(ii) ID(M,W) - D(A, B)| < max{min{fi(M, A) + fi(W, B), fi(M,B) + P(W,A)}, min{fî(A, M) + e(B, W), e(A, W) + fî(B, M)}}. Следствие 1. Пусть M, W, A, B G B(X). Тогда

sup |Rnw(M) - Rnb (A)| < a(M,A) + a(W,B); (1)

n en

|D(M) - D(A)| < 2a(M, A). (2)

Последнее неравенство для диаметра ограниченного множества хорошо известно. см. упражнение 7.3.14 из [2. с. 305].

Напомним также необходимые определения из [2. с. 303. 306]. Бинарное, отношение R С X х Y называется соответствием между множествами X и Y, если для любых x G X и y G Y найдутся такие v G Y и u G X, что (x,v), (u,y) G R. Соответствие R ассоциировано с сюръекцией f : X ^ Y, если

R = {(x, f (x)): x G X}. (3)

R

странствами (X,dX ) и (Y, dY ) называется число

dis R =sup{|dx (x,x ) - dy (y, y ) : (x,x ), (y, y ) G R}. (4)

Расстояние Громова — Хаусдорфа dGH (X, Y) между двумя ограниченными метрическими пространствами (X, dx ) и (Y, dy ) есть точная нижняя грань таких чисел r > 0, для которых найдется псевдометрика d па дизъюнктном объединении X U Y такая, что ограничения d на X и Y совпадает с dx и dy соответственно, а также a(X, Y) < r та пространстве (X U Y,d).

В [2, с. 306] доказано, что расстояние Громова Хаусдорфа между ограниченными метрическими пространствами (X,dx ) и (Y,dy ) может быть выражено также следующим внутренним образом:

(¿g#(X, Y) = — infjdisR : R — соответствие между А" и У}. (5)

Из определения расстояния Громова Хаусдорфа и следствия 1 получим

XY

Тогда

max{D(X) - D(Y)|, sup |Rnx(X) - Rny(Y)|} < 2dGH(X,Y). (6)

n en

Назовем соответствие R между множествами X и Y выделенным, если оно ассоциировано или с сюръекцией f : X ^ Y, или с сюръекцией g : Y ^ X.

Задача вычисления расстояния Громова Хаусдорфа между конкретными ограниченными метрическими пространствами (X,dx ) и (Y,dy ) с помощью соответствий обычио приводит к большому объему вычислений, поэтому иногда удобнее ввести расстояние

d,s(X, Y) = — infjdisR : R — выделенное соответствие между А" и Y}. (7)

Очевидно, что расстояние ds симметрично и для любых ограниченных метрических пространств (X, dX ) и (Y, dY )

dGH (X, Y) < ds(X,Y). (8)

Следующее предложение 1 показывает, что это расстояние так же, как и расстояние Громова Хаусдорфа, удовлетворяет неравенству треугольника.

Предложение 1. Пусть (X, dX ), (Y, dY ) и (Z, ) - ограниченные метрические пространства. Тогда имеет .место неравенство

ds (X, Y) < ds(X,Z)+ ds(Z,Y). (9)

Отметим, что в случае, когда card (X ) = card (Y)

ds(X, Y) = ^ inf{dis/ : / : X Y - биекция}, (10)

где dis f = sup{|dX(x, x') — dY(f (x), f (x')| : x, x' G X} - искажение биекции /.

Следовательно, в этом случае верна следующая грубая оценка

4(Х У) < ^(тах{ДХ), D(Y)} - min{m(X), т(У)}), (И)

где, например, m(X) = inf{|xy| : x, y G X, x = y}. Некоторые иные свойства искажения отображения можно найти в [2, с. 297].

Пример 1. Пусть M = {0,1, 2,10}, W = {0,1, 9,10} - подпространства множества вещественных чисел со стандартной метрикой. Тогда нетрудно вычислить,

dGH (M, W ) = 0.5 < a (M, W ) = 1 < 3.5 = ds(M, W ).

В следующем предложении 2 выделяются некоторые простые аппроксимативные свойства N-сетей для ограниченных множеств метрических пространств. Условия предложения 2 выполнены в случае, когда рассматриваемые множества компактны.

Предложение 2. Пусть M, A G B(X), W G B(Y) и существуют наилучшие N-cemu S^X(M), S^X(A), SNY(W). Тогда найдутся такие наилучшие N-сети S*N x (M ), SN x (A), SN y (W ), что

(i) a(M,S^x (M)) = Rnx (M),

|a(M,A) — a(SNx(M),SNx(A))| < Rnx(M)+ Rnx(A);

(ii) dGH (M,SNx (M)) < Rnx (M),

|dGH(M, W) — dGH(S^x(M), S^y(W))| < Rnx(M) + Rny(W);

(iii) ds(M,S^x(M)) < Rnx(M),

|ds(M, W ) — ds(S^x (M ), SN Y (W ))| < Rnx (M ) + Rny (W ).

Замечание 1. Учитывая полученные свойства, можно сделать вывод о возможности использования расстояния ds для (метрического) распознавания компактов. Нетрудно понять, что задача такого распознавания зависит от объема вычислений расстояния ds (или его оценок) между конечными множествами фикси-

N

не меньше, чем N! вычислительных операций, поскольку N! - число биекций одного множества из N элементов та другое множество. Для достаточно больших N проще подсчитать диаметры и несколько относительных радиусов этих множеств, а также воспользоваться следствием 2 (и тем свойством, что ds не меньше расстояния Громова Хаусдорфа между теми же множествами), чтобы в случае ненулевой величины в левой части неравенства не вычислять более сложное расстояние ds. Это показывает прикладное значение оценок снизу расстояния ds.

Замечание 2. Нетрудно проверить, что при card (X) = card(Y) G {1, 2, 3},

справедливо равенство

max{|D(X) - D(Y)|, |Rix(X) - Riy(Y)|, |R2x(X) - R2Y(Y)|} = 2ds(X, Y). (12)

Это очевидно, если card (X) = card (Y) G {1, 2}. Если card (X) = card (Y) = 3, можно провести простое доказательство от противного, рассмотрев каждую из шести биекций X па Y. Следовательно, при card (X) = card (Y) G {1, 2, 3} в следствии 2 на самом деле равенство, но уже при общей мощности равной четырем неравенство (6) строгое.

Пример 2. Пусть A, B - два множества вершин прямоугольников в евклидовой плоскости с длинами сторон ai, а2 и Ь\, Ъ2 соответственно и диагоналями оз = \]+ сщ, Ьз = + Ъ\. Тогда элементарный, но утомительный расчет приведет к равенству

ds(A, В) = ^ min{max{|oi - 6^(1) |о2 - Ь<т(2)|, |оз - Ь<т(з)|} : сг G 5'(3)}, (13)

где S(3) - группа всех подстановок трех элементов. Можно также проверить, что doH (A,B) = ds(A,B). Уже в этом простом случае проверка ясно покажет, что вычислять doH (A, B) намного сложнее, чем ds(A, B). Пусть теп ерь ai =9, = = bi =2, b2 = 1. Тогда неравенство (6) является строгим:

v/85-А/5 < 7.

Пример 2 также показывает, что имеются метрические инварианты, отличные

(6)

нейших исследований.

Для конечных метрических пространств X, Y мощности N > 1 имеется

ds ( X, Y)

laN(X) - aN(Y)|< 2ds(X,Y), (14)

где, например,

= J^-j- Е \ху\. (15)

V ' x,y£X

Отметим также, что некоторые относительные ^-радиусы множества X, где card (X) = N > 1, 1 < K < N - 1, могут быть вычислены иным способом. Например, нетрудно установить, что R(N-i)x(X) = m(X) - длина минимального ребра полного графа X, а если N > 2, то R(N-2)X(X) - длина минимального ребра

X

XY

N> 2

вычислимой левой частью:

max{|aN(X) - aN(Y)|, |D(X) - D(Y)|, |Rix(X) - Riy(Y)|,

|R(N-2)X(X) - -2)Y(Y)|, |m(X) - m(Y)|} < 2ds(X, Y).

Для проведения вычислительного эксперимента автором на встроенном языке математического пакета Maxima-5.23.2 была написана программа для оптимального вычисления левой и правой частей этого неравенства для двух произвольных множеств одной мощности N > 2 из R3. Выяснилось, что компьютер с оперативной памятью 1 Гб и процессором 2 ГГц быстро считает правую часть лишь при 2 < < N < 9 (при N = 9 среднее время вычисления правой части - около 10 мин, а левой части около 2 с), то есть для быстрого вычисления правой части уже при N =15 нужен современный суперкомпьютер.

2. Доказательства результатов

Доказательство Теоремы 1. Пусть M, W, A, B е B(X), N е N.

(г) Выберем произвольно Sb С B, где 1 < card (Sb) < N, и запишем неравенство треугольника для отклонения Хаусдорфа

в(М, Sb ) < в(М,А) + в(А, Sb ).

Взяв точную нижнюю грань по всем Sb С B (1 < card (Sb ) < N) сначала в левой, а затем в правой части этого неравенства, получим

Rnb(M) < в(М,А) + Rnb(A). (16)

Докажем вспомогательное равенство

e(SB, W) = inf{e(SB, S) : S С W, 1 < card (S) < N}.

Пусть £ > 0 произвольно. Для каждого y е SB найдется такой элемепт е W,

|ywy | < |yW | + £.

Тогда 1 < card(SW) < N, гДе SW = {wy : y е SB}. Кроме того, для каждого У е Sb

|ySw | < |ywy | < |yW| + £ < ^(Sb ,W)+ £.

Следовательно,

^(Sb ,Sw) < ^(Sb ,W)+ £.

Требуемое вспомогательное равенство можно теперь получить, если в следующих неравенствах

^(Sb , W) < inf{^(Sb ,S) : S С W, 1 < card(S) < N} < ^(Sb ,Sw) < £(Sb ,W)+ £

перейти к пределу при £ ^ 0. Используем полученное равенство для доказательства еще одного вспомогательного неравенства

Rnw(M) < e(B,W)+ Rnb(M). (17)

Действительно, если в правой части неравенств

(M) = inf {в(М, S) : S С W, 1 < card (S) < N} <

< e(M,SB )+inf{e(SB, S) : S С W, 1 < card (S) < N} =

= в(М, Sb )+ ^(Sb ,W) < в(М, Sb)+ £(B, W)

взять инфимум по всем Sb С B (1 < card (Sb ) < N), то получим неравенство (17). Используя доказанные неравенства (16) и (17), получим

Rnw (M) - Rnb (A) <

< Rnw(M) - Rnb (M) + Rnb (M) - Rnb (A) < fi(B,W)+ в(М, A),

Из полученного неравенства и произвольности M, W, A, B G B(X) следует требуемое неравенство (i).

(ii) Выберем произвольно x G M ,y G W, a G A, b G B. Применим неравенство треугольника

|xy| < min{|xa| + |ab| + |by|, |xb| + |ba| + |ay|} < min{|xa| + |by|, |xb| + |ay|} + D(A, B).

aGA bGB

Тогда получим

|xy| < min{|xA| + |yB|, |xB| + |yA|} + D(A, B) <

< min{e(M, A) + e(W, B), e(M, B) + e(W, A)} + D(A, B).

xGM

y G W, имеем

D(M, W) - D(A, B) < min{e(M, A) + ¡3(W, B), ¡3(M, B) + p(W, A)}.

M, W, A, B G B(X)

(ii)

□

Доказательство Предложения 1. Пусть для определенности существует XY

дующие три случая.

1. Пусть существуют сюръекции из множества X та множество Z и из множества Z та множество Y, то есть

card (X) > card (Z) > card (Y).

Представим произвольную сюръекцпю f : X ^ Y в виде композиции сюръекции g : X ^ Z и h : Z ^ Y. Тогда дая любых x, x' G X

|dx(x,x') - dy(f (x),f (x'))| < |dx(x,x') - dz(g(x),g(x'))| +

+ |dz(g(x),g(x')) - dy(h(g(x)),h(g(x')))| <

< sup{|dx (x, x) - dz (g(x), g(x' ))| : x, x G X} +

+ sup{|dz(z, z') - dY(h(z), h(z'))| : z, z' G Z}.

Следовательно,

sup{|dx(x,x') - dY(f (x),f (x')| : x, x' G X} <

< sup{|dx(x, x') - dz(g(x), g(x'))| : x, x' G X} +

+ sup{|dz(z, z') - dY(h(z), h(z'))| : z, z' G Z}.

Взяв сначала точную нижнюю грань по всем сюръекциям f : X ^ Y в левой части полученного неравенства, а затем точные нижние грани по всем сюръекциям g : X ^ Z и h : Z ^ Yb правой части неравенства, получим требуемое неравенство. 2. Пусть существует сюръекцпя из множества Z та множество X. Тогда,

card (Z) > card (X) > card (Y).

Представим произвольную сюръекцпю h : Z ^ Y в виде композиции сюръекций g : Z ^ X и f : X ^ Y. Тогда для любых z, z' е Z

|dx(g(z),g(z')) - dY(f (g(z)),f (g(z')))| < |dx(g(z),g(z')) - dz(z,z')| + + |dz(z, z') - dY(h(z), h(z'))| < sup{|dz(z, z') - dx(g(z), g(z'))| : z, z' е Z} +

+ sup{|dz(z, z') - dY(h(z), h(z'))| : z, z' е Z}.

Следовательно,

sup{|dx(x, x') - dY(f (x),f (x')| : x, x' е X} <

< sup{|dz(z, z') - dx(g(z), g(z'))| : z, z' е Z} +

+ sup{|dz(z, z') - dY(h(z), h(z'))| : z, z' е Z}.

Взяв сначала точную нижнюю грань по всем сюръекциям f : X ^ Y в левой части

g:

Z ^ X и h : Z ^ Y в правой части неравенства, получим требуемое неравенство.

YZ

card (X) > card (Y) > card (Z).

Представим произвольную сюръекцню g : X ^ Z в виде композиции сюръекций f : X ^ Y и h : Y ^ Z. Тогда дая любых x, x' е X

|dx(x, x') - dY(f (x),f (x'))| < |dx(x, x') - dz(g(x),g(x'))|+

+ |dz(h(f (x)),h(f (x'))) - dY(f (x),f(x'))| <

< sup{|dx(x, x') - dz(g(x), g(x'))| : x, x' е X} +

+ sup{|dY(y, y') - dz(h(y), h(y'))| : y, y' е Y}.

Следовательно,

sup{|dx(x,x') - dY(f (x),f (x')| : x, x' е X} <

< sup{|dx(x, x') - dz(g(x), g(x'))| : x, x' е X} +

+ sup{|dY(y, y') - dz(h(y), h(y'))| : y, y' е Y}.

Взяв сначала точную нижнюю грань по всем сюръекциям f : X ^ Y в левой части

g:

X ^ Z и h : Y ^ Zb правой части неравенства, получим требуемое неравенство.

□

Доказательство Предложения 2. (г) Пусть

S = {x е S*Nx(M) : a(M, S^x(M)) > Rnx(M)}.

N

Тогда первому равенству удовлетворяет N-сеть SNx(M) = SNx(M)\S. Аналогично находим SNx (A) • Второе неравенство следует теперь из неравенств

|a(M,A) - a(S*Nx(M),S*Nx(A))| <

< a(M, SNx(M)) + a(A, S*Nx(A)) = Rnx(M) + Rnx(A).

(ii) Из доказанного равенства a(M,S*Nx (M)) = RNx (M) и определения расстояния Громова-Хаусдорфа следует неравенство dOH (M,SNx (M)) < RNx (M). Доказательство второго неравенства теперь получается по тому же способу, кото-

(i)

(iii) Пусть отображение P : M ^ SNx (M) сопоставляет каждому x G M некоторый элемент множества

SNx(M) n B[x, |xSNVx(M)|],

где B[x, |xSNx(M)|] - замкнутый шар с центром в точке x радиуса |xSNx(M)|. Положим SNx (M) = P(M). Тогда

ds{M,S*NX{M)) < isup{||xx'| - |Р(ж)Р(ж')|| : х, х G М} <

< isup{|xP(x)| + Iх'Р(х')\ : X, х' G М} < /3{М, S*NX(M)) = RNX(M).

Доказательство второго неравенства теперь получается по тому же способу, кото-(i)

□

Summary

N

In t.lie present, paper, we study properties of the best radius of approximation of a bounded N

difference of such radii using the Hausdorff distances between the sets under consideration. In the case of bounded metric spaces, the Gromov Hausdorff distances and a more simple (in terms of amount of calculations) distance between these spaces are used for estimation.

N

distance.

Литература

1. Куратоаский К. Топология. Т. 1. М.: Мир. 1966. 594 с.

2. Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В. Курс метрической геометрии. М.: Ижевск: Ип-т коми, исслед.. 2004. 496 с.

3. Гаркааи А.Л. О наилучшей сети и наилучшем сечепии множеств в нормированном пространстве // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1962. Т. 26, Л» 1. С. 87 106.

4. Wimicki A., Wosko J. On relative Hausdorff measures of lioncompactness and relative Cliebysliev radii in Banacli spaces // Proc. Amer. Math. Soc. 1996. V. 124. No 8. P. 2465 2474.

5. Cocoa E.H. Относительный чебышевский центр конечного множества геодезического пространства // Изв. вузов. Матем. 2008. Л' 4. С. 66 72.

6. van Dulst D., Sims В. Fixed points of nonexpansive mappings and Cliebysliev centers in Banacli spaces with norms of type (KK) // Banacli space theory and its applications. Lecture Notes in Math. Springer-Verlag, 1983. V. 991/1893. P. 35 43.

7. Rao T.S.S.R.K. Cliebysliev centres and cent.rable sets // Proc. Amer. Matli. Soc. 2002. V. 130, No 9. P. 2593 2598.

8. Bandyopadhyay P., Dutta S. Weighted Cliebysliev Centres and Intersection Properties of Balls in Banacli Spaces // Contemp. Matli. 2003. V. 328. P. 43 58.

Поступила в редакцию 02.03.11

Сосов Евгений Николаевич доктор физико-математических паук, доцент кафедры геометрии Казанского (Приволжского) федерального университета. E-mail: Evgenii. Sosov Qksu.ru