Научная статья на тему 'Относительный N-радиус ограниченного множества метрического пространства'

Относительный N-радиус ограниченного множества метрического пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
128
26
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО / ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ N-РАДИУС / ПСЕВДОМЕТРИКА ХАУСДОРФА / РАССТОЯНИЕ ГРОМОВА-ХАУСДОРФА / METRIC SPACE / RELATIVE N-RADIUS / HAUSDORFF PSEUDOMETRIC / GROMOV-HAUSDORFF DISTANCE

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Сосов Евгений Николаевич

В работе исследуются свойства наилучшего радиуса аппроксимации ограниченного множества метрического пространства N-сетями из другого множества. Получена оценка сверху разности между такими радиусами двух ограниченных множеств с помощью расстояний по Хаусдорфу между рассматриваемыми множествами. В случае ограниченных метрических пространств для оценок используются расстояние по Громову-Хаусдорфу и более простое по объему вычислений расстояние между этими пространствами.I

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

n the present paper, we study properties of the best radius of approximation of a bounded subset of a metric space by N-nets from another set. We obtain an upper bound of the difference of such radii using the Hausdorff distances between the sets under consideration. In the case of bounded metric spaces, the Gromov-Hausdorff distances and a more simple (in terms of amount of calculations) distance between these spaces are used for estimation.

Текст научной работы на тему «Относительный N-радиус ограниченного множества метрического пространства»

Том 153, кн. 4

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Физико-математические пауки

2011

УДК 515.124.4

ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ N-РАДИУС ОГРАНИЧЕННОГО МНОЖЕСТВА МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА

E.H. Сосов

Аннотация

В работе исследуются свойства наилучшего радиуса аппроксимации ограниченного множества метрического пространства N-сетями из другого множества. Получена оценка сверху разности между такими радиусами двух ограниченных множеств с помощью расстояний по Хаусдорфу между рассматриваемыми множествами. В случае ограниченных метрических пространств для оценок используются расстояние по Громову Хаусдорфу и более простое по объему вычислений расстояние между этими пространствами.

Ключевые слова: метрическое пространство, относительный N-радиус, псевдометрика Хаусдорфа, расстояние Громова Хаусдорфа.

1. Необходимые определения и полученные результаты

В работе мы используем следующие обозначения и определения: N (R+) - множество всех натуральных (неотрицательных вещественных) чисел; B(X) - множество всех непустых ограниченных множеств метрического пространства (X, р) с расстоянием |xy| = p(x,y) для x, y G X. |xW| = inf{|xy| : y G W}, e(M, W) = = sup{|xW| : x G M} - отклонение множества M G B(X) от непустого множества W С X [1, с. 2231- а : B(X) х B(X) ^ R+ , a(M, W) = max{e(M, W); e(W, M)} - псевдометрика Хаусдорфа на B(X) [1, с. 223]; D(M, W) = sup{p(x,y) : x G G M, y G W} для M, W G B(X); D(M) = D(M, M) - диаметр множества M G G B(X).

Отметим, что для любых M, W G B(X) верно неравенство a(M, W) < D(M, W) и функция D : B(X) х B(X) ^ R+ удовлетворяет неравенству треугольника.

Пусть card (S) - мощность множества S и N G N. Назовем число

RNW (M) = inf{e(M,S) : S С W, 1 < card (S) < N}

относительным N-радиусом множества M G B(X) относительно непустого множества W С X. Если W = X, то RNX(M) - наилучший радиус аппроксимации N-сетями пространства X множества M G B(X) [3]. Наилучшей N-сетью множества M G B(X) называется такое множество SNх(M) С X [3], что

1 < card (S^x(M)) < N и e(M, S^x(M)) = Rnx(M).

N

чонных множеств с помощью отклонений между рассматриваемыми множествами. Тогда в качестве следствия мы получим оценку этой разности с помощью расстояний по Хаусдорфу между рассматриваемыми множествами. Такие задачи в частном случае относительных чебышевских радиусов исследовались в [4 8].

Теорема 1. Пусть M, W, A, B G B(X). Тогда (г) |Rnw(M) - Rnb(A)| < max{/3(M, A) + /3(B, W), 0(A, M) + /3(W, B)} для каждого N G N;

(ii) ID(M,W) - D(A, B)| < max{min{fi(M, A) + fi(W, B), fi(M,B) + P(W,A)}, min{fî(A, M) + e(B, W), e(A, W) + fî(B, M)}}. Следствие 1. Пусть M, W, A, B G B(X). Тогда

sup |Rnw(M) - Rnb (A)| < a(M,A) + a(W,B); (1)

n en

|D(M) - D(A)| < 2a(M, A). (2)

Последнее неравенство для диаметра ограниченного множества хорошо известно. см. упражнение 7.3.14 из [2. с. 305].

Напомним также необходимые определения из [2. с. 303. 306]. Бинарное, отношение R С X х Y называется соответствием между множествами X и Y, если для любых x G X и y G Y найдутся такие v G Y и u G X, что (x,v), (u,y) G R. Соответствие R ассоциировано с сюръекцией f : X ^ Y, если

R = {(x, f (x)): x G X}. (3)

R

странствами (X,dX ) и (Y, dY ) называется число

dis R =sup{|dx (x,x ) - dy (y, y ) : (x,x ), (y, y ) G R}. (4)

Расстояние Громова — Хаусдорфа dGH (X, Y) между двумя ограниченными метрическими пространствами (X, dx ) и (Y, dy ) есть точная нижняя грань таких чисел r > 0, для которых найдется псевдометрика d па дизъюнктном объединении X U Y такая, что ограничения d на X и Y совпадает с dx и dy соответственно, а также a(X, Y) < r та пространстве (X U Y,d).

В [2, с. 306] доказано, что расстояние Громова Хаусдорфа между ограниченными метрическими пространствами (X,dx ) и (Y,dy ) может быть выражено также следующим внутренним образом:

(¿g#(X, Y) = — infjdisR : R — соответствие между А" и У}. (5)

Из определения расстояния Громова Хаусдорфа и следствия 1 получим

XY

Тогда

max{D(X) - D(Y)|, sup |Rnx(X) - Rny(Y)|} < 2dGH(X,Y). (6)

n en

Назовем соответствие R между множествами X и Y выделенным, если оно ассоциировано или с сюръекцией f : X ^ Y, или с сюръекцией g : Y ^ X.

Задача вычисления расстояния Громова Хаусдорфа между конкретными ограниченными метрическими пространствами (X,dx ) и (Y,dy ) с помощью соответствий обычио приводит к большому объему вычислений, поэтому иногда удобнее ввести расстояние

d,s(X, Y) = — infjdisR : R — выделенное соответствие между А" и Y}. (7)

Очевидно, что расстояние ds симметрично и для любых ограниченных метрических пространств (X, dX ) и (Y, dY )

dGH (X, Y) < ds(X,Y). (8)

Следующее предложение 1 показывает, что это расстояние так же, как и расстояние Громова Хаусдорфа, удовлетворяет неравенству треугольника.

Предложение 1. Пусть (X, dX ), (Y, dY ) и (Z, ) - ограниченные метрические пространства. Тогда имеет .место неравенство

ds (X, Y) < ds(X,Z)+ ds(Z,Y). (9)

Отметим, что в случае, когда card (X ) = card (Y)

ds(X, Y) = ^ inf{dis/ : / : X Y - биекция}, (10)

где dis f = sup{|dX(x, x') — dY(f (x), f (x')| : x, x' G X} - искажение биекции /.

Следовательно, в этом случае верна следующая грубая оценка

4(Х У) < ^(тах{ДХ), D(Y)} - min{m(X), т(У)}), (И)

где, например, m(X) = inf{|xy| : x, y G X, x = y}. Некоторые иные свойства искажения отображения можно найти в [2, с. 297].

Пример 1. Пусть M = {0,1, 2,10}, W = {0,1, 9,10} - подпространства множества вещественных чисел со стандартной метрикой. Тогда нетрудно вычислить,

dGH (M, W ) = 0.5 < a (M, W ) = 1 < 3.5 = ds(M, W ).

В следующем предложении 2 выделяются некоторые простые аппроксимативные свойства N-сетей для ограниченных множеств метрических пространств. Условия предложения 2 выполнены в случае, когда рассматриваемые множества компактны.

Предложение 2. Пусть M, A G B(X), W G B(Y) и существуют наилучшие N-cemu S^X(M), S^X(A), SNY(W). Тогда найдутся такие наилучшие N-сети S*N x (M ), SN x (A), SN y (W ), что

(i) a(M,S^x (M)) = Rnx (M),

|a(M,A) — a(SNx(M),SNx(A))| < Rnx(M)+ Rnx(A);

(ii) dGH (M,SNx (M)) < Rnx (M),

|dGH(M, W) — dGH(S^x(M), S^y(W))| < Rnx(M) + Rny(W);

(iii) ds(M,S^x(M)) < Rnx(M),

|ds(M, W ) — ds(S^x (M ), SN Y (W ))| < Rnx (M ) + Rny (W ).

Замечание 1. Учитывая полученные свойства, можно сделать вывод о возможности использования расстояния ds для (метрического) распознавания компактов. Нетрудно понять, что задача такого распознавания зависит от объема вычислений расстояния ds (или его оценок) между конечными множествами фикси-

N

не меньше, чем N! вычислительных операций, поскольку N! - число биекций одного множества из N элементов та другое множество. Для достаточно больших N проще подсчитать диаметры и несколько относительных радиусов этих множеств, а также воспользоваться следствием 2 (и тем свойством, что ds не меньше расстояния Громова Хаусдорфа между теми же множествами), чтобы в случае ненулевой величины в левой части неравенства не вычислять более сложное расстояние ds. Это показывает прикладное значение оценок снизу расстояния ds.

Замечание 2. Нетрудно проверить, что при card (X) = card(Y) G {1, 2, 3},

справедливо равенство

max{|D(X) - D(Y)|, |Rix(X) - Riy(Y)|, |R2x(X) - R2Y(Y)|} = 2ds(X, Y). (12)

Это очевидно, если card (X) = card (Y) G {1, 2}. Если card (X) = card (Y) = 3, можно провести простое доказательство от противного, рассмотрев каждую из шести биекций X па Y. Следовательно, при card (X) = card (Y) G {1, 2, 3} в следствии 2 на самом деле равенство, но уже при общей мощности равной четырем неравенство (6) строгое.

Пример 2. Пусть A, B - два множества вершин прямоугольников в евклидовой плоскости с длинами сторон ai, а2 и Ь\, Ъ2 соответственно и диагоналями оз = \]+ сщ, Ьз = + Ъ\. Тогда элементарный, но утомительный расчет приведет к равенству

ds(A, В) = ^ min{max{|oi - 6^(1) |о2 - Ь<т(2)|, |оз - Ь<т(з)|} : сг G 5'(3)}, (13)

где S(3) - группа всех подстановок трех элементов. Можно также проверить, что doH (A,B) = ds(A,B). Уже в этом простом случае проверка ясно покажет, что вычислять doH (A, B) намного сложнее, чем ds(A, B). Пусть теп ерь ai =9, = = bi =2, b2 = 1. Тогда неравенство (6) является строгим:

v/85-А/5 < 7.

Пример 2 также показывает, что имеются метрические инварианты, отличные

(6)

нейших исследований.

Для конечных метрических пространств X, Y мощности N > 1 имеется

ds ( X, Y)

laN(X) - aN(Y)|< 2ds(X,Y), (14)

где, например,

= J^-j- Е \ху\. (15)

V ' x,y£X

Отметим также, что некоторые относительные ^-радиусы множества X, где card (X) = N > 1, 1 < K < N - 1, могут быть вычислены иным способом. Например, нетрудно установить, что R(N-i)x(X) = m(X) - длина минимального ребра полного графа X, а если N > 2, то R(N-2)X(X) - длина минимального ребра

X

XY

N> 2

вычислимой левой частью:

max{|aN(X) - aN(Y)|, |D(X) - D(Y)|, |Rix(X) - Riy(Y)|,

|R(N-2)X(X) - -2)Y(Y)|, |m(X) - m(Y)|} < 2ds(X, Y).

Для проведения вычислительного эксперимента автором на встроенном языке математического пакета Maxima-5.23.2 была написана программа для оптимального вычисления левой и правой частей этого неравенства для двух произвольных множеств одной мощности N > 2 из R3. Выяснилось, что компьютер с оперативной памятью 1 Гб и процессором 2 ГГц быстро считает правую часть лишь при 2 < < N < 9 (при N = 9 среднее время вычисления правой части - около 10 мин, а левой части около 2 с), то есть для быстрого вычисления правой части уже при N =15 нужен современный суперкомпьютер.

2. Доказательства результатов

Доказательство Теоремы 1. Пусть M, W, A, B е B(X), N е N.

(г) Выберем произвольно Sb С B, где 1 < card (Sb) < N, и запишем неравенство треугольника для отклонения Хаусдорфа

в(М, Sb ) < в(М,А) + в(А, Sb ).

Взяв точную нижнюю грань по всем Sb С B (1 < card (Sb ) < N) сначала в левой, а затем в правой части этого неравенства, получим

Rnb(M) < в(М,А) + Rnb(A). (16)

Докажем вспомогательное равенство

e(SB, W) = inf{e(SB, S) : S С W, 1 < card (S) < N}.

Пусть £ > 0 произвольно. Для каждого y е SB найдется такой элемепт е W,

|ywy | < |yW | + £.

Тогда 1 < card(SW) < N, гДе SW = {wy : y е SB}. Кроме того, для каждого У е Sb

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

|ySw | < |ywy | < |yW| + £ < ^(Sb ,W)+ £.

Следовательно,

^(Sb ,Sw) < ^(Sb ,W)+ £.

Требуемое вспомогательное равенство можно теперь получить, если в следующих неравенствах

^(Sb , W) < inf{^(Sb ,S) : S С W, 1 < card(S) < N} < ^(Sb ,Sw) < £(Sb ,W)+ £

перейти к пределу при £ ^ 0. Используем полученное равенство для доказательства еще одного вспомогательного неравенства

Rnw(M) < e(B,W)+ Rnb(M). (17)

Действительно, если в правой части неравенств

(M) = inf {в(М, S) : S С W, 1 < card (S) < N} <

< e(M,SB )+inf{e(SB, S) : S С W, 1 < card (S) < N} =

= в(М, Sb )+ ^(Sb ,W) < в(М, Sb)+ £(B, W)

взять инфимум по всем Sb С B (1 < card (Sb ) < N), то получим неравенство (17). Используя доказанные неравенства (16) и (17), получим

Rnw (M) - Rnb (A) <

< Rnw(M) - Rnb (M) + Rnb (M) - Rnb (A) < fi(B,W)+ в(М, A),

Из полученного неравенства и произвольности M, W, A, B G B(X) следует требуемое неравенство (i).

(ii) Выберем произвольно x G M ,y G W, a G A, b G B. Применим неравенство треугольника

|xy| < min{|xa| + |ab| + |by|, |xb| + |ba| + |ay|} < min{|xa| + |by|, |xb| + |ay|} + D(A, B).

aGA bGB

Тогда получим

|xy| < min{|xA| + |yB|, |xB| + |yA|} + D(A, B) <

< min{e(M, A) + e(W, B), e(M, B) + e(W, A)} + D(A, B).

xGM

y G W, имеем

D(M, W) - D(A, B) < min{e(M, A) + ¡3(W, B), ¡3(M, B) + p(W, A)}.

M, W, A, B G B(X)

(ii)

Доказательство Предложения 1. Пусть для определенности существует XY

дующие три случая.

1. Пусть существуют сюръекции из множества X та множество Z и из множества Z та множество Y, то есть

card (X) > card (Z) > card (Y).

Представим произвольную сюръекцпю f : X ^ Y в виде композиции сюръекции g : X ^ Z и h : Z ^ Y. Тогда дая любых x, x' G X

|dx(x,x') - dy(f (x),f (x'))| < |dx(x,x') - dz(g(x),g(x'))| +

+ |dz(g(x),g(x')) - dy(h(g(x)),h(g(x')))| <

< sup{|dx (x, x) - dz (g(x), g(x' ))| : x, x G X} +

+ sup{|dz(z, z') - dY(h(z), h(z'))| : z, z' G Z}.

Следовательно,

sup{|dx(x,x') - dY(f (x),f (x')| : x, x' G X} <

< sup{|dx(x, x') - dz(g(x), g(x'))| : x, x' G X} +

+ sup{|dz(z, z') - dY(h(z), h(z'))| : z, z' G Z}.

Взяв сначала точную нижнюю грань по всем сюръекциям f : X ^ Y в левой части полученного неравенства, а затем точные нижние грани по всем сюръекциям g : X ^ Z и h : Z ^ Yb правой части неравенства, получим требуемое неравенство. 2. Пусть существует сюръекцпя из множества Z та множество X. Тогда,

card (Z) > card (X) > card (Y).

Представим произвольную сюръекцпю h : Z ^ Y в виде композиции сюръекций g : Z ^ X и f : X ^ Y. Тогда для любых z, z' е Z

|dx(g(z),g(z')) - dY(f (g(z)),f (g(z')))| < |dx(g(z),g(z')) - dz(z,z')| + + |dz(z, z') - dY(h(z), h(z'))| < sup{|dz(z, z') - dx(g(z), g(z'))| : z, z' е Z} +

+ sup{|dz(z, z') - dY(h(z), h(z'))| : z, z' е Z}.

Следовательно,

sup{|dx(x, x') - dY(f (x),f (x')| : x, x' е X} <

< sup{|dz(z, z') - dx(g(z), g(z'))| : z, z' е Z} +

+ sup{|dz(z, z') - dY(h(z), h(z'))| : z, z' е Z}.

Взяв сначала точную нижнюю грань по всем сюръекциям f : X ^ Y в левой части

g:

Z ^ X и h : Z ^ Y в правой части неравенства, получим требуемое неравенство.

YZ

card (X) > card (Y) > card (Z).

Представим произвольную сюръекцню g : X ^ Z в виде композиции сюръекций f : X ^ Y и h : Y ^ Z. Тогда дая любых x, x' е X

|dx(x, x') - dY(f (x),f (x'))| < |dx(x, x') - dz(g(x),g(x'))|+

+ |dz(h(f (x)),h(f (x'))) - dY(f (x),f(x'))| <

< sup{|dx(x, x') - dz(g(x), g(x'))| : x, x' е X} +

+ sup{|dY(y, y') - dz(h(y), h(y'))| : y, y' е Y}.

Следовательно,

sup{|dx(x,x') - dY(f (x),f (x')| : x, x' е X} <

< sup{|dx(x, x') - dz(g(x), g(x'))| : x, x' е X} +

+ sup{|dY(y, y') - dz(h(y), h(y'))| : y, y' е Y}.

Взяв сначала точную нижнюю грань по всем сюръекциям f : X ^ Y в левой части

g:

X ^ Z и h : Y ^ Zb правой части неравенства, получим требуемое неравенство.

Доказательство Предложения 2. (г) Пусть

S = {x е S*Nx(M) : a(M, S^x(M)) > Rnx(M)}.

N

Тогда первому равенству удовлетворяет N-сеть SNx(M) = SNx(M)\S. Аналогично находим SNx (A) • Второе неравенство следует теперь из неравенств

|a(M,A) - a(S*Nx(M),S*Nx(A))| <

< a(M, SNx(M)) + a(A, S*Nx(A)) = Rnx(M) + Rnx(A).

(ii) Из доказанного равенства a(M,S*Nx (M)) = RNx (M) и определения расстояния Громова-Хаусдорфа следует неравенство dOH (M,SNx (M)) < RNx (M). Доказательство второго неравенства теперь получается по тому же способу, кото-

(i)

(iii) Пусть отображение P : M ^ SNx (M) сопоставляет каждому x G M некоторый элемент множества

SNx(M) n B[x, |xSNVx(M)|],

где B[x, |xSNx(M)|] - замкнутый шар с центром в точке x радиуса |xSNx(M)|. Положим SNx (M) = P(M). Тогда

ds{M,S*NX{M)) < isup{||xx'| - |Р(ж)Р(ж')|| : х, х G М} <

< isup{|xP(x)| + Iх'Р(х')\ : X, х' G М} < /3{М, S*NX(M)) = RNX(M).

Доказательство второго неравенства теперь получается по тому же способу, кото-(i)

Summary

N

In t.lie present, paper, we study properties of the best radius of approximation of a bounded N

difference of such radii using the Hausdorff distances between the sets under consideration. In the case of bounded metric spaces, the Gromov Hausdorff distances and a more simple (in terms of amount of calculations) distance between these spaces are used for estimation.

N

distance.

Литература

1. Куратоаский К. Топология. Т. 1. М.: Мир. 1966. 594 с.

2. Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В. Курс метрической геометрии. М.: Ижевск: Ип-т коми, исслед.. 2004. 496 с.

3. Гаркааи А.Л. О наилучшей сети и наилучшем сечепии множеств в нормированном пространстве // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1962. Т. 26, Л» 1. С. 87 106.

4. Wimicki A., Wosko J. On relative Hausdorff measures of lioncompactness and relative Cliebysliev radii in Banacli spaces // Proc. Amer. Math. Soc. 1996. V. 124. No 8. P. 2465 2474.

5. Cocoa E.H. Относительный чебышевский центр конечного множества геодезического пространства // Изв. вузов. Матем. 2008. Л' 4. С. 66 72.

6. van Dulst D., Sims В. Fixed points of nonexpansive mappings and Cliebysliev centers in Banacli spaces with norms of type (KK) // Banacli space theory and its applications. Lecture Notes in Math. Springer-Verlag, 1983. V. 991/1893. P. 35 43.

7. Rao T.S.S.R.K. Cliebysliev centres and cent.rable sets // Proc. Amer. Matli. Soc. 2002. V. 130, No 9. P. 2593 2598.

8. Bandyopadhyay P., Dutta S. Weighted Cliebysliev Centres and Intersection Properties of Balls in Banacli Spaces // Contemp. Matli. 2003. V. 328. P. 43 58.

Поступила в редакцию 02.03.11

Сосов Евгений Николаевич доктор физико-математических паук, доцент кафедры геометрии Казанского (Приволжского) федерального университета. E-mail: Evgenii. Sosov Qksu.ru

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.