One example of a vector-valued metric in the space of nonempty closed subsets of a metric space Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 515.124+515.126.83

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-2-378-383

ПРИМЕР ВЕКТОРНОЗНАЧНОЙ МЕТРИКИ В ПРОСТРАНСТВЕ НЕПУСТЫХ ЗАМКНУТЫХ ПОДМНОЖЕСТВ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА

© Е. С. Жуковский, Е. А. Панасенко

В пространстве непустых замкнутых подмножеств заданного метрического пространства определяется векторнозначная метрика, отличная от используемых в литературе векторных обобщений метрики Хаусдорфа. Предлагаемая векторнозначная метрика возникает в задачах анализа многозначных отображений с возможно неограниченными образами, позволяет получить достаточно полную информацию о расстояниях между точками соответствующих множеств, оказывается удобной в утверждениях о неподвижной точке многозначных отображений.

Ключевые слова: пространство непустых замкнутых подмножеств метрического пространства; векторнозначная метрика; полное метрическое пространство.

Пусть E — линейное нормированное пространство, в котором определен замкнутый выпуклый конус E+, и задан порядок: Ув\, e2 € E в\ ^ e2 ^e2 — e\ € E+. Векторнозначная метрика на непустом множестве X определяется как функция d : X2 ^ E+, удовлетворяющая «стандартным» аксиомам метрики:

Vx,y,z €X d(x,y) = 0 ^ x = y, d(x,y) = d(y,x), d(x,y) ^ d(x,z) + d(z,y). (1)

В пространстве с векторнозначной метрикой естественным образом определяются понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей, полноты, сепарабельности и т. д. Такие пространства возникают при исследовании конечных и бесконечных систем уравнений, в задачах численного анализа.

Понятие векторнозначной метрики введено Duro Kurepa в [1]. Пространства с вектор-нозначными метриками и их обобщения исследовались многими авторами; в литературе такие пространства называют псевдометрическими, K -метрическими, вектор-метрическими, коническими метрическими, обобщенно метрическими и др. (см. статью [2] и приведенную в ней библиографию). Ряд работ (см., например, [3]) посвящен анализу многозначных отображений, действующих в пространства с векторнозначной метрикой. Однако, такие исследования встречают затруднения, связанные с тем, что порядок в пространстве E значений вектор-нозначной метрики является частичным, а не линейным, как в R. Это обстоятельство не позволяет, например, определить «векторное» расстояние от точки до множества как инфи-мум всех расстояний от точки до точек множества, поскольку этот инфимум может не существовать. Соответственно, не удается предложить точный аналог и расстояния по Хаусдорфу между множествами в пространстве с векторнозначной метрикой.

В данной статье для пространства непустых замкнутых подмножеств заданного метрического пространства дается определение векторнозначной метрики, отличное от многочисленных векторных обобщений метрики Хаусдорфа. Предлагаемая векторнозначная метрика возникает не в проблеме исследования систем включений, а в задачах анализа многозначных отображений с замкнутыми, возможно неограниченными образами, и представляет, на наш взгляд, достаточно полный набор информации о расстояниях между точками соответствующих множеств. Эта векторнозначная метрика оказывается удобной в утверждениях о неподвижной точке многозначных отображений.

В качестве пространства Е значений векторнозначной метрики мы используем здесь пространство М последовательностей V = (ьо, V2, ■ ■■) действительных чисел, имеющих ограниченное с весом В = (^1, Бз, ■■■) приращение, т. е.

т> -ч ( ч » . ( VI - Ьо Ь2 - VI Ьз - Ь2 \

М э V = (Ь0,Ь1,Ь2, ■■■) ^^ Аь = I Ьо, , В2 ,"7 Е

где т — пространство ограниченных последовательностей. Пространство М, очевидно, линейное с привычными операциями покомпонентного сложения и умножения на числа, изоморфное пространству т: отображение V ^ Аь является биекцией, сохраняющей операции. В М определим норму ^Нэд = ||Аv||m, = 8ир^ |Аvг|, где Аv0 = v0 и Аvг = Уг 1

при % = 1, 2, ■■■■ Далее в пространстве М можно выделить выпуклый замкнутый конус М+, состоящий из последовательностей с неотрицательными компонентами. Конус М+ задает на М порядок, который мы будем обозначать ^ , а именно: для любых € М имеем V ^ ш тогда и только тогда, когда ш — V € М+ .

Пусть (Х,дх) — метрическое пространство. Мы будем использовать следующие обозначения: М = X \ М — дополнение к множеству М С X; е1о8(Х) — пространство всех непустых замкнутых подмножеств X; ВХ (х0,т) = {х € X : дх (х,х0) < т}, Вх (х0,г) = {х € X : дх (х,Хо) ^ т} — открытый и, соответственно, замкнутый шары в пространстве X радиуса т> 0 с центром в точке х0; ВХ (х0,0) = 0; дх (х, М) = Иу&м вх (х, у) — расстояние в X отточки х до множества М = 0; (1х (М^М2) = 8иРжеМ1 6х (х,М2) — полуотклонение по Хаусдорфу множества М1 от М2; distх (М1 ,М2) = шах{ (х (М1, М2); (х (М2, М1)} — расстояние по Хаусдорфу между множествами М1, М2^ В перечисленных обозначениях будем опускать индекс, если из изложения ясно, в каком пространстве определяется соответствующая величина.

Зафиксируем 0 € X и обозначим В°(т) = В°х (в, г); В(т) = Вх (0,т) Метрическое пространство X будем предполагать неограниченным, т. е. будем считать, что supжe^ д(0, х) = ж Для каждого т > 0 определим оператор вТ :е1os(X) ^ е1os(X) равенством

ег н = н и В°(т). (2)

Очевидно, что для любого Н € е^^) и любых Т2 > Т1 > 0 выполнено вТ2 Н С вТ1 Н и Н = П &гН■ Далее, для произвольных Г, С € е^^) определим величину dist(&ТГ, вТС),

г>0

свойства которой описывают следующие утверждения. Л е м м а 1. [4] Пусть Г, С € еке^)■ Тогда:

1) для любого т ^ 0 выполнено dist )вТГ, вТС) < ж;

2) функция М+ э т ^ dist [&ТГ, вТС) € М+ не убывает;

3) для любого т ^ 0 справедливо неравенство

dist (©гГ, &гС) < dist(Г, С)

и соотношение

Иш dist (вгГ, &гС) =dist(Г,С)■ Л е м м а 2. Для любых т2 >т1 > 0 и Г, С € е^^) справедливо неравенство

0 ^ dist (6т2Г, вт2С) - dist (©Т1 Г, вт1 С) ^ dist(В°(т2),В°(п)) ■ (3)

Доказательство. Справедливость первого неравенства следует из пункта 2) леммы 1. Для доказательства второго неравенства покажем сначала, что для любого множества Н € е1о8(Х)

^ (еГ1 Н, &Г2Н < dist (В0(п), В0(Т2)). (4)

Оценим расстояние от произвольной точки х € бГ1 Н до множества &Г2 Н. Если х € В0(т1) или х € В0(т2), то, очевидно, д (х, &Г2Н) = 0. А в случае, когда х€ В0(т2)\В0(г1), имеем д (х, &г2Н) <д (х,В0(т2)) < ё18^В0(п), В0(т2)^. Следовательно, й (&т1 Н, &Г2 Н) < < В0(т1),В0(т2)). Поскольку &Г2Н С &Г1 Н, то й (&г2Н, &Г1 Н) =0- Таким образом, оценка (4) справедлива.

Пусть теперь Е,С — произвольные замкнутые множества пространства X. Для любого х € &г2Р (и, следовательно, х € &Г1 Р ), используя свойства метрики Хаусдорфа, получаем:

ß(x, 6r2G) < g(x, епG) + dist(епG, 6r2G) <dist(епF, епG) + dist(Bo(n), Bo(r2)). Аналогично, для любого y € 6r2 G выполнено

д(у, 6г2Р) < &г1 G, &г1 Р) + В0(п), В0(т2)).

Таким образом, второе неравенство в (3) также имеет место. □

Для определения векторнозначной метрики в е1ов(Х) построим последовательность радиусов {тг}°=0 следующим образом: положим то = 0; так как пространство X неограничено, то найдется элемент х1 € X, х1 = в, такой, что д(в,х1) ^ 1, положим т1 = д(в,х1); в силу неограниченности X существует элемент х2 € X, х2/В(т{), такой, что д(в,х2) ^ т1 + 1, положим т2 = д(в,х2); далее, найдется х3 € X, х3/В (т2), такой, что д(в,х3) ^ т2 + 1, положим т3 = д(в,х3) и т. д. Получим последовательность неотрицательных: чисел {тг}°=0 такую, что тг — ж, более того, тг+1 — тг ^ 1 для любого г. Положим Бг = В0(тг), В0(тг-1)). Следует отметить, что В г ^ тг — т—1.

Пусть теперь Р^ € е1os(X); определим Ъг(Р^) = dist (&п Р, G), г = 0,1,...; очевидно, что ^0(Р, G) =0. Сопоставим паре (Р^) последовательность Ъ(Р^) = (Ъо(Р^), ?>1(Р^), ^(Р^),...). Обозначим Д^(Р^) = Ъ(Р^) — дг-1(Р^), г = 1,2,..., ДЭо(Р^) = Зо(Р^)=0, и положим ДЭ(Р^) = (Д^(Р^), Д^Р^),...). Согласно лемме 2, для любого г = 1, 2, ... выполнено

0 < ДЪг(Р, G) = dist (виР, G) — dist (&Г-Р, G) < 1 < Вг dist(В0(тг),В0(тг-1)) < ,

т. е. для любых Р^ ) имеем Ъ(Р^) € М+ . Построенная таким образом функция

5 х е^^) — М+ удовлетворяет условиям (1) , поскольку при каждом г = 0,1,... рас-

стояние по Хаусдорфу dist (&пР, &п G) удовлетворяет аксиомам метрики.

Сходимость последовательности {Рк}'р°=1 С е^^) к множеству Р € е1os(X) относительно введенной метрики 5 означает сходимость Рк, Р^ — 0 в пространстве М, т. е. ||Да(Рк, Р) \\т — 0. Последовательность {Ркявляется фундаментальной относительно метрики если для любого е > 0 найдется такой номер К, что для любых к,1>М выполнено неравенство ||Дэ( Р к ,Р 0 \\

т < е.

Теорема 1. Если пространство (X, д) полное, то пространство (е^^), 5) также является полным.

Доказательство. Пусть {Рк С е1os(X) — некоторая фундаментальная (относительно метрики 5 ) последовательность. Покажем сначала, что для любого г = 0,1,...

последовательность {6^Гкбудет фундаментальной в метрике Хаусдорфа. Зафиксируем % = %о и выберем е > 0- Так как последовательность {Гкфундаментальна, то для е = е(В1 + В2 + ■■■ + Вго)-1 найдется номер N = N(е) такой, что для любых к,1>М и % = 1, 2, ■■■ выполнено

dist (бпГк, бпГ1) - ^ (&П-1 Гк, 6п_1 Г1)

< е (5)

В,

Учитывая, что dist (вТ0Гк, 6ТоГ=0, из (5) получим следующие соотношения:

dist (6Т1 Гк, 6Т1 Г1) ( к ,) -V В ' 1—< е, dist (6т1 Гк, 6т1 Г1) < В

dist (6Т2 Гк, 6Т2 Г1) - dist (6Т1 Гк, 6Т1 Г1) _

В2

< е, dist (6т2 Гк, 6т2 Г1) < В + еВ1;

dist (б^ Гк, 6П0 Г1) - dist (6т,0-1 Гк, 6Т,0-1 Г1)

( ) Вг0 ( ) dist (&т0Гк, 6т0Г1) < еВго + ■■■ + еВ1 = е(Вго + ■■■ + В1)) = е^

Таким образом, последовательность {6Т1Гкфундаментальна в (е^^), dist) для любого % = 0, !,■■■■

Поскольку пространство (X, д) полное, то пространство (е1os(X), dist) также является полным (см., например, [5]), и, значит, последовательность {6Т1 Гксходится в метрике Хаусдорфа при каждом % к некоторому замкнутому множеству; обозначим это множество

■ Отметим, что В°(тг) СТТ1 ■

Для каждого % определим множество Гп = П В°(тг) С возрастанием % множества Гт. «расширяются» следующим образом (см. доказательство теоремы 1 в [4]): для любых ]>% выполнено ГТ1 = Гт. П В°(тг), т. е. ГТ1 есть подмножество Гт., содержащее элементы х такие, что д(0, х) <тг. Далее, построим множество Г = и0 ГТ1; это множество непусто, замкнуто (см. доказательство теоремы 1 в [4]) и ГТ1 = Г П В°(тг), ТТ1 = 6Т1Г для любого %.

Покажем, что последовательность {Гксходится к множеству Г■ Для произвольного е, в силу фундаментальности последовательности {Гк}Ж=1 относительно метрики найдется номер N = N (е) такой, что для любых k,l>N и любого % = 1, 2, ■■■ справедливо неравенство

^ {бпГк, Г1) - dist (бп_ 1Гк, бп_1 Г1) < е/2. (6)

Далее, для каждого % = 1, 2, ■■■ последовательность {6Т1Гк} сходится в метрике Хаусдорфа к множеству Г, поэтому для выбранного е найдется такой номер I = 1(%), что

dist (6ПГ1, 6пГ) < е/4 и dist (6П-1Г1, &и-1Г) < е/4. (7)

Не уменьшая общности, можно считать, что l>N■ Тогда из неравенств (6) и (7), используя свойства метрики Хаусдорфа, для любого % = 1, 2, ■■■ получаем:

^ (6ПГк, &т<Г) - dist (бП-1 Ек, 6т-(Г) < dist (6ПГк,6пГ1) +dist (6ПГ1, 6пГ)-- dist (6П-1Гк, 6п-1Г1) + dist (6п-1 Г1, 6п-1Г) < е/2 + е/4 + е/4 = е,

откуда следует сходимость Гк, Г) — 0 при к — □

П р и м е р.

Рис. 1

Пусть X = R2, в = 0. Положим ri = i, i = 0,1,.... Тогда Di = 1 для любого i = 1, 2,.... Найдем в (clos(R2), d) расстояние между двумя лучами l\ и ¡2, выходящими из нуля и образующими угол а. Сначала рассмотрим случай, когда а € [0,^/2) (см. рис. 1). Очевидно, do(¡1 ,l2) = = 0. Найдем d1(l1, l2) = dist(S1l1, &1l2). Для любой точки x € S1l1 имеем g(x,&1l2) =min{g(x,l2), g(x, Bo(1))}. Легко заметить, что sup g(x, S1l2) достигается в точке

x равноудаленной от l2 и Bo (1), откуда, после неслож-

ных вычислений, получаем d(Si ll, Sll^ =

sin а 1 + sin а

^ i ^ i \ sin а sin а В силу симметрии, а(Slí2, Glíl) = ——;-, и, значит, fll(íl,í2) = ——:-. Рассуждая ана-

1 + sin а

1 + sin а

2 sin а

логично, получим d2(li,l2) =-;-, и т.д. Таким образом, при а € [0,^/2) имеем

1 + sin а

d(ll,l2) = 0

0,

sin а

2 sin а

1 + sin а 1 + sin а

,...

и Adi(ll,l2) =

sin а 1 + sin а

, i = 1,2,....

Далее, если а e [^/2,^], то d0(ll,l2)=0 и di(ll,l2) = i/2, i = 1,2,..., т.е.

d(ll, l2) = (о, 1, 1, 3,...) и Adi(ll, l2) = 1, i = 1, 2,....

0

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Kurepa D.R. Tableaux ramifiés d'ensembles. Espaces pseudo — distanciés // C. R. Acad. Sci. Paris, 1934. V. 198. P. 1563-1565.

2. Proinov P.D. A unified theory of cone metric spaces and its applications to the fixed point theory // Fixed Point Theory and Applications. 2013. Iss. 103. 51 p. doi:10.1186/1687-1812-2013-103.

3. Asadi M., Soleimani H., Vaezpour S.M. An Order on Subsets of Cone Metric Spaces and Fixed Points of Set-Valued Contractions // Fixed Point Theory and Applications. 2009. 8 p. doi:10.1155/2009/723203.

4. Zhukovskiy E.S., Panasenko E.A. On multi-valued maps with images in the space of closed subsets of a metric space // Fixed Point Theory and Applications. 2013. Iss. 10. doi:10.1186/1687-1812-2013-10.

5. Castaing C., Valadier M. Convex Analysis and Measurable Multifunctions. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1977. 278 pp.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 14-01-00877), государственной программы Министерства образования и науки РФ № 2014/285 (проект № 2476).

Поступила в редакцию 21 марта 2016 г.

Жуковский Евгений Семенович, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, директор научно-исследовательского института математики, физики и информатики, е-mail: zukovskys@mail.ru

Панасенко Елена Александровна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры функционального анализа, e-mail: panlena_t@mail.ru

2016. T. 21, Bbm. 2. MaTeMaTHKa

UDC 515.124+515.126.83

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-2-378-383

ONE EXAMPLE OF A VECTOR-VALUED METRIC IN THE SPACE OF NONEMPTY CLOSED SUBSETS OF A METRIC SPACE

© E. S. Zhukovskiy, E. A. Panasenko

In the space of nonempty closed subsets of a given metric space, we define a vector-valued metric which differs from the known vector generalizations of the Hausdorff metric. The metric proposed appears in the analysis of multi-valued maps with possibly unbounded images. It allows to get more information about distances between elements of the corresponding sets and turns out to be convenient in fixed point theorems for multi-valued maps.

Key words: space of nonempty closed subsets of a metric space; vector-valued metric; complete metric space.

ACKNOWLEDGEMENTS: The work is partially supported by the Russian Fund for Basic Research (project № 14-01-00877) and by the state program of the Ministry of Education and Science of the Russian Federation No. 2014/285 (project № 2476).

REFERENCES

1. Kurepa D.R. Tableaux ramifiés d'ensembles. Espaces pseudo — distanciés // C. R. Acad. Sci. Paris, 1934. V. 198. P. 1563-1565.

2. Proinov P.D. A unified theory of cone metric spaces and its applications to the fixed point theory // Fixed Point Theory and Applications. 2013. Iss. 103. 51 p. doi:10.1186/1687-1812-2013-103.

3. Asadi M., Soleimani H., Vaezpour S.M. An Order on Subsets of Cone Metric Spaces and Fixed Points of Set-Valued Contractions // Fixed Point Theory and Applications. 2009. 8 p. doi:10.1155/2009/723203.

4. Zhukovskiy E.S., Panasenko E.A. On multi-valued maps with images in the space of closed subsets of a metric space // Fixed Point Theory and Applications. 2013. Iss. 10. doi:10.1186/1687-1812-2013-10.

5. Castaing C., Valadier M. Convex Analysis and Measurable Multifunctions. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1977. 278 pp.

Received 21 March 2016.

Zhukovskiy Evgeny Semenovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Director of the Research Institute for Mathematics, Physics and Informatics, е-mail: zukovskys@mail.ru

Panasenko Elena Aleksandrovna, Tambov State University named after G.R. Derzhavina, Tambov, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Functional Analysis Department, e-mail: panlena_t@mail.ru