CC BY
49
3. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. С. 387-395. БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 13-07-01020.
Поступила в редакцию 10 июня 2015 г.
Ostapov V.A., Olenev N.N. OPTIMIZATION IN AN INVESTMENT POLICY DYNAMIC MODEL OF INNOVATIVE SECTOR FIRMS
The article investigates the problem of investing in innovative projects. A dynamic model of a lifecycle during an investment period of such a firms is given. Non-autonomous optimal control problem for an innovative firm is solved.
Key words: dynamic modeling; venture investment; optimal control.
Остапов Всеволод Александрович, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, аспирант кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]
Ostapov Vsevolod Aleksandrovich, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation, Post-graduate Student of the Department of Nonlinear Analysis and Optimization, e-mail: [email protected]
Оленев Николай Николаевич, Вычислительный центр им. А.А Дородницына РАН, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, e-mail: [email protected]
Olenev Nicholai Nicholaevich, Dorodnicyn Computing Center of RAS, Moscow, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Senior Researcher, e-mail: [email protected]
УДК 515.124
О ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННЫХ И КОМПАКТНЫХ МНОЖЕСТВАХ В ПРОСТРАНСТВЕ ЗАМКНУТЫХ ПОДМНОЖЕСТВ МЕТРИЧЕСКОГО
ПРОСТРАНСТВА
© Е.А. Панасенко
Ключевые слова: пространство замкнутых подмножеств метрического пространства; вполне ограниченное множество; компактное множество.
В работе продолжены исследования [1, 2] пространства clos(X) непустых замкнутых подмножеств метрического пространства X с метрикой р^ • В частности, рассмотрены критерии полной ограниченности и компактности множеств в (clos(X),рХ) •
Пусть (X, qx ) — метрическое пространство. Будем использовать следующие обозначения: M = X \ M — дополнение к множеству M С X; clos(X) и clbd(X) — пространства всех непустых замкнутых, непустых замкнутых ограниченных подмножеств X, соответственно; BX (x0,r) = {x € X : qx (ж, x0) < r}, BX (x0,r) = {x € X : qx (ж,Жо) ^ r} — открытый и, соответственно, замкнутый шары в пространстве X радиуса r > 0 с центром в точке x0; BX (ж0, 0) = 0; qx (ж, M) = inf qx (x,y) — расстояние в X отточки ж до мно-
X yeM
жества M = 0; dX (Mi, M2) = sup qx (x, M2) — полуотклонение по Хаусдорфу множества
xeMi
Mi от M2; distX(Mi,M2) = max{dX(Mi,M2);dX(M2,Mi)} — расстояние по Хаусдорфу между множествами Mi, M2.
Будем считать, что пространство X неограниченное, то есть для любого £ € X выполнено
sup £х (£,x) = те.
x€X
Рассмотрим пространство clos(X), которое наделим метрикой pX. Напомним определение этой метрики и некоторые изученные ранее свойства пространства (clos(X),pX)•
Пусть в — некоторая фиксированная точка X. Будем обозначать (г) = (0, г), Вх (г) = Вх (в, г). Для каждого г ^ 0 определим оператор бг : о1с8(Х) м о1с8(Х) равенством
егя = я и вх(г). (1)
Л е м м а 1. [1, 2] Для любых С € е1с8(Х) выполнено:
1) функции г м- йх (&гбгС, г м distх [&гбгС не убывают;
2) йх {&г^ бгС < 00 и distх (бгбгС < для любого г ^ 0;
3) для любого г ^ 0
distх )©г^ егС) < distх (^ С). (2)
Для любых F, G € clos(X) положим
pX(F,G) = |^(0,F) - £х(^,G)|
pf(F, G) = sup min j distX (©rF, SrG), - 1 ,
r>0 [ r J
pcX(F, G) = pX(F,G) + pS(F,G).
„cl
(3)
r '
Л е м м а 2. [1, 2] 1) Значение р^;(^ С) конечно для любых ^ С € clos(X).
2) Функция рсх : clos(X)xclos(X) м М+ определяет метрику в пространстве clos(X).
3) Если пространство (X, дх) полное, то и пространство ^^^), Р^З) является полным.
4) Последовательность множеств {Д^}? С clos(X) сходится к множеству ^ € € clos(X) в метрике рс^ тогда и только тогда, когда дх (в, м дх (в, ^) и существует такое го > 0, что distх (бгбгД1) м 0 для любого г ^ го-
Точку в для определения метрики р^ можно выбирать произвольно, то есть при замене в € X на некоторое в1 € X мы получим эквивалентную метрику в clos(X).
Как показано в [2], в определениях р^ и рх вместо оператора (1), образы которого неограничены, можно использовать другой оператор, образы которого будут ограниченными «аналогами» множеств &г^ и &гС. А именно: для каждого г > 0, в силу неограниченности пространства X, существует такой элемент жг € X, что До (г) = 9х (в,жг) ^ г; положим
Д(г) = До (г) + 2г (4)
и определим оператор £д(г) : clos(X) м clbd(X) равенством
£адя = &гн п Вх (Д(г)) = )н и ВхМ) П Вх (Д(г)).
Тогда для произвольного г > 0 и любых О € с1ов(Х) выполнено
(ег^ &гО) = £Д(г)О) (5)
(см. [2]), и, следовательно, р^ можно вычислять по формуле
О) = 8ПрШШ (£Д(Г) ^ £д(г)О), -) . (6)
г>0 (_ г )
Если пространство X — линейное нормированное, то равенство (5) будет выполнено при Я(г) = г (что может быть неверно для произвольного пространства X); один из таких случаев, X = Мга, рассмотрен в работе [3].
Каждое из приведенных определений функции р^ имеет свои преимущества. Так, формулу (3) удобнее использовать при вычислениях величин О) и р^ О) для конкретных множеств ^ и О, в то время как формула (6) позволяет применять известные результаты, например, из теории многозначных отображений с замкнутыми ограниченными или компактными образами для изучения многозначных отображений с замкнутыми не обязательно ограниченными образами.
Следующее утверждение выражает признак полной ограниченности множества замкнутых подмножеств относительно метрики р^ в пространстве с1ов(Х).
Т е о р е м а 1. Множество М С (с1ов(Х),рХ) вполне ограничено тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:
1) существует с > 0 такое, что дХ (0,М) ^ с для любого М € М и
2) множество
б-М = (б-М : М € М}
вполне ограничено в пространстве (с1оэ(Х), ) при любом Г > с.
Доказательство. Пусть множество М вполне ограничено. Покажем, что имеют место свойства 1) и 2).
Из полной ограниченности М следует его ограниченность, то есть М С Вс108(х) ((0},с), с > 0. Тогда для любого множества М € М, в силу неравенства рХ' ((#}, М) ^ с, получаем соотношения
^х(0,М) = рХ((0},М) < рсХ ((0},М) < с.
Таким образом, свойство 1) выполнено.
Докажем, что имеет место 2). Для этого возьмем произвольное Г > с, произвольное е > 0, и покажем, что для множества существует конечная е -сеть. Рассмотрим два
случая: г < е-1 и г > е-1.
а) Пусть г < е-1 и пусть N(е) — конечная е -сеть для множества М. Это означает, что для любого М € М существует N € N(е) такое, что рХ' (М, N) ^ е. Тогда р^(М, N) ^ е, и имеют место следующие соотношения:
е ^ р^(М, N) = ®иршт (©гМ, &гN),1| ^ шт (бг-М, ), 1| . (7)
Поскольку Г-1 > е, то из (7) следует, что (б^М, б^) ^ е- Таким образом, множе-
ство е-N(е) = {©-N : N € N(е)} образует конечную е -сеть (относительно метрики ) для е-М, и следовательно, б^^М вполне ограничено.
б) Пусть теперь Г > е-1. Возьмем произвольное е1 > 0, удовлетворяющее неравенствам е-1 > Г > е-1. Тогда Г-1 > е1 и е1 < е. Согласно пункту а), для бг^М существует
конечная ei -сеть, множество SfN (ei) = {Sf K : K gN (ei)}, где N (ei) — конечная ei -сеть для множества M. Следовательно, для любого M gM найдется такое K G N (ei), что distX (Sf M, SfK) ^ ei < e, то есть множество SfN(ei) является конечной e -сетью для SfM. Таким образом, SfM вполне ограничено в (clos(X), distX) при любом f.
Докажем обратное утверждение. Пусть выполнены свойства 1) и 2), покажем, что M вполне ограничено. Для произвольного e > 0 выберем f, удовлетворяющее неравенствам f > 2e-i и f > c. Множество SfM вполне ограничено в (clos(X),distX) и для него существует конечная 2-ie -сеть, которую обозначим через Nf. Тогда для любого M G M найдется Nf G Nf такое, что distX (SfM, Nf) ^ 2-ie. Оценим pX'(M, Nf).
Прежде всего, из условия 1) и неравенства f > c следует, что £X(0,M) = £X(0, SfM), а поскольку для любых F, G G clos(X) и x G X выполнено
| gX (x, F) - gX (x, G) | ^ distX (F, G)
(см., например, [4]), то
e
pX(M,N) = pX(SfM,Nf) = |^X(0, SfM) - ^x(0,N)| < distx (SfM,Nf) < ^•
Далее, согласно лемме 1, функция r ^ distX (SfF, SfG) не убывает для любых F, G G G clos(X), поэтому, учитывая неравенство f-i < 2-ie и оценку (2), получаем следующие соотношения:
pf (M, Nf) = sup min j distX (SrM, SrNf), 11 <
r>0 t r J
^ таЛ sup distX (SrM, SrNf), sup - 1 = таЛ distX (SfM, SfNf), 11 ^
t r^f r>f Г J t f J 2
Таким образом, pX(M, Nf) ^ e, следовательно, Nr является конечной e -сетью для M, и M вполне ограничено в пространстве (clos(X),pX') . □
В силу равенства (5) и определения (6) для pf, непосредственно из теоремы 1 получаем следующее утверждение. ( )
Следствие1. Множество M С (clos(X), pX') вполне ограничено тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:
1) существует c > 0 такое, что (0, M) ^ c для любого M G M и
2) множество
CR(f)M = {CR(f)M : M G M},
где R(f) определяется равенством (4), вполне ограничено в пространстве (clbd(X), distX) при любом f > c.
Теорема 2. Пусть M С (clos(X ),pX') . Если существует такое c > 0, что (0, M) ^ c для любого M GM и множество
Mf = {M П BX (f) : M GM}
вполне ограничено в пространстве (clbd(X), distX) при любом f > c, то множество M вполне ограничено.
Доказательство практически полностью повторяет доказательство достаточного условия теоремы 1 в силу очевидных равенств £X (0, M) = £X (0, Sf M) = £X (0, M П BX (f)) и SfM = Sf (M П BX (f)), выполненных для любого f > c. □
Следует отметить, что утверждение, обратное теореме 2, неверно.
Как было отмечено ранее, если пространство X — полное, то пространство (clos(X), р^с) также будет полным, поэтому для предкомпактности множества M С (clos(X),рХ) необходимо и достаточно, чтобы M было вполне ограниченным (см., например, [5]). Имеет место также следующий критерий компактности.
Теорема 3. Множество M С (clos(X ),рХ) компактно тогда и только тогда,
когда sup qx (0, M) ^ c, c > 0, и для любого r > c множество SrM = {SrM : M € M} M eM
компактно в (clos(X), distx) •
ЛИТЕРАТУРА
1. Zhukovskiy E.S., Panasenko E.A. On multi-valued maps with images in the space of closed subsets of a metric space // Fixed Point Theory and Applications 2013, 2013:10 doi:10.1186/1687-1812-2013-10.
2. Жуковский Е.С., Панасенко Е.А. Определение метрики пространства clos0 (X) замкнутых подмножеств метрического пространства X и свойства отображений со значениями в clos0 (Rn) //Математический сборник. 2014. Т. 205. № 9. C. 65-96.
3. Жуковский Е.С., Панасенко Е.А. Об одной метрике в пространстве непустых замкнутых подмножеств пространства Rn // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 1. C. 15-25.
4. Григоренко А.А., Панасенко Е.А. Асимптотические свойства множеств решений дифференциальных включений. Тамбов: Издательский дом ТГУ им. Г.Р. Державина, 2009. 141 с.
5. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 с.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 14-01-97504, № 14-01-00877).
Поступила в редакцию 15 апреля 2015 г.
Panasenko E.A. ON TOTALLY BOUNDED AND COMPACT SETS IN THE SPACE OF CLOSED SUBSETS OF A METRIC SPACE
The work continues the studies [1, 2] of the space clos(X) of non-empty closed subsets of a metric space X, the former being endowed with the metric pX • In particular, the criteria of total boundedness and compactness of sets in (clos(X},pX) are considered.
Key words: space of closed subsets of a metric space, totally bounded set, compact set.
Панасенко Елена Александровна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры алгебры и геометрии, e-mail: [email protected]
Panasenko Elena Aleksandrovna, Tambov State University named after G.R. Derzhavina, Tambov, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Algebra and Geometry Department, e-mail: [email protected]
