CC BY
16
УДК 515.124
DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-3-565-570
О СХОДИМОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ ЗАМКНУТЫХ ПОДМНОЖЕСТВ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА
© Е. А. Панасенко
Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 E-mail: panlena_t@mail.ru
Рассмотрено пространство clos(X) замкнутых подмножеств произвольного неограниченного (не обязательно сепарабельного) метрического пространства (X, qx) с метрикой pX, предложенной в работе [Zhukovskiy E.S., Panasenko E.A. // Fixed Point Theory and Applications. 2013:10]. Показано, что если любой замкнутый шар в пространстве (X, gX) вполне ограничен, то сходимость в пространстве (clos(X),p°X) последовательности {Fi}°=1 к F равносильна ее сходимости по Вайсману, а именно, сходимости при любом x € X последовательности расстояний gX (x,Fi) к gX (x, F). Ключевые слова: пространство замкнутых подмножеств метрического пространства; сходимость по Вайсману; метризуемость
Введение
Пусть (X, qx ) некоторое метрическое пространство и clos(X) — множество всех непустых замкнутых подмножеств этого пространства. Для изучения свойств многозначных отображений, действующих в X, множество clos(X) стараются наделить топологической структурой, по возможности сделать его метрическим, введя удобную в использовании и "информативную" метрику. На сегодняшний момент известно достаточно много способов топологизации, а также метризации clos(X). Одной из топологий в clos(X) является так называемая топология Вайсмана (см., например, [1]), которая позволяет достаточно эффективно исследовать ряд вопросов теории многозначных отображений [2]. В основе построения этой топологии лежит введенное Р.А. Вайсманом определение сходимости последовательности множеств через сходимость последовательности соответствующих функций расстояния до этих множеств [3], а именно: последовательность {FiС clos(X) называется сходящейся по Вайсману к множеству F € clos(X), если для любого x € X выполнено qx (x,Fi) ^ qx (x,F), где qx (x,F)==
= inf qx (x, f) — расстояние от точки x до множества F в пространстве X. Такая сходи-f
мость, вообще говоря, более слабая, чем сходимость множеств в расширенной метрике Хау-сдорфа dist, и совпадает с ней только в следующем случае:
Т е о р е м а 1. [4] Сходимость последовательности замкнутых множеств {Fi}?=i к множеству F по Хаусдорфу равносильна сходимости {Fi}?=i к F по Вайсману тогда и только тогда, когда пространство X вполне ограничено.
В связи с этим утверждением возникает вопрос: можно ли, и как именно, определить метрику в clos(X) так, чтобы сходимость в этой метрике была равносильна сходимости по Вайсману? В работе [1] показано, что метризовать clos(X) с топологией Вайсмана можно тогда и
только тогда, когда пространство X сепарабельно, и метрику в этом случае можно определить равенством
i=1
где {xi}°=i — счетное плотное подмножество X.
Очевидно, что p*(F,G) < ж для любых замкнутых множеств F,G С X, однако вычисление p*(F,G) для конкретных F,G £ clos(X) по формуле (1) крайне затруднительно. В настоящей работе мы рассмотрим пространство clos(X) с метрикой pXX, определенной в [5]. Эта метрика также принимает конечные значения для любых замкнутых множеств, а для ее определения не требуется сепарабельности пространства X. Мы покажем, что сходимость в этой метрике равносильна сходимости по Вайсману в случае, когда каждый шар в пространстве X вполне ограничен.
Основной результат
Введем еще некоторые обозначения: М = X \ М — дополнение к множеству М С X; B°X (x0,r)= {x £ X : qx (x, x0) < r}, BX (x0,r)= {x £ X : qx (x, x0) ^ r} — открытый и, соответственно, замкнутый шары в пространстве X радиуса r>0 с центром в точке xo; BX (x0, 0) = = 0; dX (M1,M2)== sup qx (x,M2) — полуотклонение по Хаусдорфу множества M1 от M2;
xeMx
distX (M^M2)= max {dX (M1,M2); dX (M2,M1)} — расстояние по Хаусдорфу между множествами Mi, M2. Через clbd(X) будем обозначать множество всех ограниченных замкнутых подмножеств X. Везде далее считаем, что метрическое пространство (X,qx ) неограниченное.
то есть для некоторого (а, следовательно, и для любого) { £ X выполнено sup qx ({,x) = ж.
xex
Наделим clos(X) следующей метрикой. Зафиксируем произвольную точку в £ X, обозначим B°x (r) = B° (в,г), BX (r) = BX (в,г). Для каждого r ^ 0 определим оператор Sr :clos(X) — — clos(X) равенством
Sr И = И U BX (r) У И £ clos(X). Далее, для любых F, G£ clos(X) положим
pX (F, G) = I Qx (в, F) - qx (в, G)|,
p% (F, G) = sup min I distx (&rF, GrG), - I, (2
r>0 I r)
р* (Р,с) = рх + р6х р,С). (3)
Свойства функции р^} подробно изучены в [5], в частности, доказано, что: р^} принимает только конечные значения; рсх определяет метрику в пространстве е^(Х); если пространство (Х,вх) полное, то и пространство е^(Х) с метрикой рсх является полным. Также имеет место следующий критерий сходимости последовательности замкнутых множеств в пространстве (еке(Х),рсх) .
Л е м м а 1. [5] Пусть Р,Рг € е1ов(Х), г = 1, 2,.... Тогда из сходимости рсх Р, Р) ^ 0 следует
вх (9, Fi) ^ вх (9, Р) и distх (ХгХгF) ^ 0 Уг > 0.
Обратно: если дх (в, Р^) — дх (в, Р) и существует такое г0 > 0, что при всех г ^ г0 имеет место сходимость (ег Рг, &г р) — 0, то рХ (Рг,Р) — 0.
Метрика рсх не изменится, если вместо оператора ©г , который имеет неограниченные образы, использовать оператор, значения которого будут ограниченными множествами (см. [6]), а именно: пусть для произвольного г > 0 существует такое число Я(т) > 0, что оператор £щг) :ек>8(Х) — е1Ъё(Х), определенный равенством
£ц{г)Н = 6,я п Вх {П{г)) = (Я и Вох (г)) П Вх (П(г)), удовлетворяет соотношению
(&г Р, &г С) = ^1^ (Ск(г)Р, Ск(г) С) V Р,С е е1ов(Х), V г>0, тогда р© можно вычислять по формуле
р^(Р,С) = 8припп{йЫх(€щг)Р,€1Кг)С), Н. (4)
г>0 I. Г)
Очевидно, что вследствие неограниченности метрического пространства X для каждого г> 0 найдется такой элемент хг еX, что Яо(г) = дх (в, хг) ^ г. Легко проверить, что в качестве Я(г) можно взять
Е(г) = Ео(г) + 2г. (5)
Таким образом, мы можем находить р© и по формуле (2), и по формуле (4). Стоит отметить, что первую формулу удобнее использовать для вычисления расстояний между конкретными множествами, а вторая позволяет применять утверждения, справедливые для пространства (е1Ъё(Х),ё1в1х) при изучении свойств пространства (е1ов(Х),рсх) , в чем мы убедимся ниже.
Теорема 2. Пусть (Х,дх) неограниченное метрическое пространство, в котором каждый шар вполне ограничен. Последовательность {РгС е1ов(Х) сходится к множеству Р е е1ов(Х) относительно метрики рсх тогда и только тогда, когда {Рг}=1 сходится к Р по Вайсману.
Доказательство. Пусть имеет место сходимость рх(Рг, Р) — 0. Тогда, согласно лемме 1, для любого г>0 выполнено
(&гРг, &гР) — 0.
Зафиксируем произвольную точку х* е Х. Определим д* = дх (х*, Р), г* = д* + дх (в, х*) + 1. Тогда
£>х (х*, в°х(г*)) > 9Х {0, В°х(г*)) - дх(х*,9) > г* - дх(х*,9) = д* + 1.
Следовательно, дх(х*, Р) > дх (ж*, (г*)) и дх (ж*, > дх (ж*, (г*)) при всех достаточно больших номерах г. Из этих неравенств следует, что дх (х*,Р) = дх (х*, ©г*Р) и дх (х*,Рг) =
= дх (х*, &г* Рг). Окончательно получаем:
I дх (х*, Рг) - дх (х*,Р)\ = | дх (х*, ©г* Рг) - дх (х*, ©г* Р) | < ^х {&г* Рг, ©г* Р) - 0,
то есть {Рг}?=1 сходится к Р по Вайсману.
Докажем обратное утверждение. Пусть для любого х е Х выполнено соотношение
\дх (х,Рг) - дх (х,Р)|-0. (6)
Обозначим r0 = qx {в, F), ri = gX {e,Fi) Прежде всего, очевидно, имеет место сходимость \ri — r0\ —^ 0. Выберем произвольное r, удовлетворяющее неравенству r ^ r0 + 1. Тогда BX {r) П F = 0 и BX {r) П Fi = 0 при достаточно больших i. Далее, определим R{r) по формуле (Б); отметим, что R{r) ^ 3r. Так как в шаре BX {r) есть точки множества F, то для любого x G BX {r) выполнено
Qx(x, F П Bx (R{r))) < 2r.
В то же время
(x,FnB°x{R(rj)) > Qx (в, В°х (R{r))) - (в, ж) ^ R(r) - r ^ 2г.
Следовательно, для K{r) = F П BX (R{r)) имеем gX {x,F) = gX (x,K{r)). Аналогично, для любого i, начиная с некоторого, имеет место равенство gX {x,Fi) = gX {x,Ki{r)), где Ki{r) = Fi П BX (R{r)). Теперь из (б) получаем соотношение
\qx (x,Ki{r)) — Qx (x,K{r))\ — 0. (7)
Определим метрическое пространство Xr = BX (R{r)), которое, согласно условию теоремы, вполне ограничено, и покажем, что в этом пространстве последовательность [CR(r)F^H=1 сходится к множеству &R(r)F по Вайсману, а следовательно, в силу теоремы 1, и по Хаусдор-
Фу- _
Очевидно, что для любого x G (г) П Вх (В(г))
\Qx (x, CR(r)Fi) — Qx (x, ¿R(r)F) \ — 0, (8)
так как в этом случае gX (x, &R(r)F^ = gX (x, =0 при всех i. Предположим, что
x G B0X {r). Тогда возможны следующие ситуации:
1) дх(х,К(г)) > Qx{x,B°x(r)). Тогда существует такой номер /, что при всех г>1 справедливо неравенство дх(х, Ki(r)) > дх(х, В^(г)). Значит при достаточно больших i выполнено qx (ж, = qx (ж, £R(r)Fi) = qx (ж, (г)), то есть соотношение (8) имеет место.
2) qx (ж, К (г)) < Qx (ж, (г)). Тогда найдется такой номер /, что для любого г > I выполнено Qx(x,Ki(r))<ßx(x,B°(r)). Следовательно, gx(x,<íR^F)=Qx(x,K(r)), дх(х= = qx (x,Ki{r)), и учитывая (7) получаем соотношение (8).
3) дх(х,К(г)) = (ж, (г)). В этом случае можно считать, что {Kí{r)}(^Ll={Kík{r)}'^'=lyj ^{K3k{r))T=y где {¿fc}~=1U{ifc}r=i={l,2,3,...}, ßx{x,Ktk(r)pßx{x,B^)) и Qx(x, K3k{r))< < qx (ж, Bx (г)) для любого к. Тогда, очевидно,
\Qx (x, £R(r)Fik) — Qx (x, CR(r)F) \ =0, \qx (x, <¿R(r)Fjk) — Qx {x, Cr^F) \ — 0.
Таким образом, соотношение (8) имеет место и в этом случае.
Сходимость последовательности {Fi}i=1 к множеству F в метрике pX теперь следует из леммы 1. □
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Lechicki A., Levi S. Wijsman convergence in the hyperspace of a metric space // Bollettino U.M.I. 1987. V. 7. P. 439-451.
2. Francaviglia S., Lechicki A., Levi S. Quasi-uniformization of hyperspaces and convergence of nets of semicon-tinuous multifunctions // J. Math. Anal. Appl. 1985. V. 112. n. 2. P. 347-370.
3. Wijsman R.A. Convergence of sequences of convex sets, cones and functions. II. Trans. Amer. Math. Soc. 1966. V. 123. P. 32-45.
4. Beer G. Metric spaces with nice closed balls and distance functions for closed sets // Bull. Austral. Math. Soc. 1987. V. 35. P. 81-96.
5. Zhukovskiy E.S., Panasenko E.A. On multi-valued maps with images in the space of closed subsets of a metric space // Fixed Point Theory and Applications. 2013. 2013:10 doi:10.1186/1687-1812-2013-10.
6. Жуковский Е. С., Панасенко Е.А. Определение метрики пространства clos0(X) замкнутых подмножеств метрического пространства X и свойства отображений со значениями в clos0(Rn) // Математический сборник. 2014. Т. 205. № 9. C. 65-96.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 17-01-00553, № 16-01-00386).
Поступила в редакцию 15 февраля 2017 г
Панасенко Елена Александровна, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры функционального анализа, e-mail: panlena_t@mail.ru
UDC 515.124
DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-3-565-570
ON CONVERGENCE IN THE SPACE OF CLOSED SUBSETS
OF A METRIC SPACE
© E. A. Panasenko
Tambov State University named after G.R. Derzhavin 33 Internatsionalnaya St., Tambov, Russian Federation, 392000 E-mail: panlena_t@mail.ru
We consider the space clos(X) of closed subsets of unbounded (not necessarily separable) metric space (X,gx) endowed with the metric pX introduced in [Zhukovskiy E.S., Panasenko E.A. // Fixed Point Theory and Applications. 2013:10]. It is shown that if any closed ball in the space (X, gX) is totaly bounded, then convergence in the space (clos(X),pcx) of a sequence {Fi}°=1 to F is equivalent to convergence in the sense of Wijsman, that is to convergence for each x e X of the distances gx (x,Fi) to gx (x,F). Key words: space of closed subsets of a metric space; Wijsman convergence; metrizability
REFERENCES
1. Lechicki A., Levi S. Wijsman convergence in the hyperspace of a metric space // Bollettino U.M.I. 1987. V. 7. P. 439-451.
2. Francaviglia S., Lechicki A., Levi S. Quasi-uniformization of hyperspaces and convergence of nets of semicon-tinuous multifunctions //J. Math. Anal. Appl. 1985. V. 112. n. 2. P. 347-370.
3. Wijsman R.A. Convergence of sequences of convex sets, cones and functions. II. Trans. Amer. Math. Soc. 1966. V. 123. P. 32-45.
4. Beer G. Metric spaces with nice closed balls and distance functions for closed sets // Bull. Austral. Math. Soc. 1987. V. 35. P. 81-96.
5. Zhukovskiy E.S., Panasenko E.A. On multi-valued maps with images in the space of closed subsets of a metric space // Fixed Point Theory and Applications. 2013. 2013:10 doi:10.1186/1687-1812-2013-10.
6. Zhukovskiy E.S., Panasenko E.A. Definition of the metric on the space clos0 (X) of closed subsets of a metric space X and properties of mappings with values in clos0(Rn) // Sb. Math., 205: 9 (2014), 1279-1309.
ACKNOWLEDGEMENTS: The work is partially supported by the Russian Fund for Basic Research (projects № 17-01-00553, № 16-01-00386).
Received 15 February 2017
Panasenko Elena Aleksandrovna, Tambov State University named after G.R. Derzhavina, Tambov, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Functional Analysis Department, e-mail: panlena_t@mail.ru
Информация для цитирования:
Панасенко Е.А. О сходимости в пространстве замкнутых подмножеств метрического пространства // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2017. Т. 22. Вып. 3. С. 565—570. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-3-565-570
Panasenko E.A. O skhodimosti v prostranstve zamknutykh podmnozhestv metricheskogo prostranstva [On convergence in the space of closed subsets of a metric space]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2017, vol. 22, no. 3, pp. 565—570. DOI: 10.20310/18100198-2017-22-3-565-570 (In Russian)
