CC BY
5УДК: УДК 519.816 MSC2010: 91А80
ГАРАНТИРОВАННОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФИНАНСОВЫХ ВЛОЖЕНИЙ ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
© Н. Г. Солдатова
Московский государственный областной гуманитарный институт
факультет математики и физики ул. Зелёная, 22, Орехово-Зуево, 142611, Российская Федерация e-mail: solnata@pochta.ru
The guaranteed allocation of financial investments under
uncertainty.
Soldatova N. G. Abstract.
In this paper the problem of deposit allocation between the assets is considered. The sum of the individual deposit between the three assets (unrisky and two risky) increased within a year one can offer in the form
f (ж, y) = r(1 - xi - Ж2) + xiyi + Ж2У2,
where r - profitability of unrisky assets; y - profitability of risky assets i; action ж = (ж1,ж2) and жг (i = 1,2) - part of investing funds in assets i.
The profit of the decision maker is defined both by the plan of diversification (1 — ж1 — ж2, ж1, ж2) and by uncertaintes (value of profitability of risky assets) y = (y1, y2) e Y. It should be noted that between profitabilities of risky assets some kind of dependence may exist. In this case
Y = {y = (y1, У2)|y1 e [a, b], ^1(y1) < У2 < ^2(y 1)}. The profitability of portfolio is defined by the sum f (ж,у).
It is demanded for the depositor to define parts of one ruble жг (i = 1,2) under which final cash f (ж, y) will be as much as possible.
So one can suppose the mathematical model on deposit diversification between three assets as ordered the three
<X,Y,f (ж, y)),
where criterion f (ж,у) is defined over. Set X actions ж of the decision maker is
X = {ж = (ж1,ж2)|ж1 + ж2 < 1 Л жг ^ 0(i = 1, 2)} С R2.
So the decision maker does not know the real profitability of risky assets, and has to look at some «corridor change» for them. Any characteristics of probability are absent.
The depositor wants to have the greatest possible profit or possible less risks. To estimate risk we use Savage functions of regret (from principle of minimax regret).
In this paper a guaranteed on outcome solution and a guaranteed on risk solution to this problem is given. This solution is based on the principle of guaranteed result and function of regret used by Savage.
Key words: uncertainty, outcome, risk, deposit diversification, guaranteed result.
Введение
Наращенную за год сумму единичного вклада между тремя активами (безрисковым и двумя рисковыми) можно представить в виде
f (x,y) = r(1 - Xi - Ж2) + Ж1У1 + Ж2У2, (1)
где r - доходность безрискового актива; yi - доходность i-го рискового актива; действие x = (xi, x2) и xi (i = 1, 2) - доля вложения средств в i-ый актив.
Доход ЛПР определяется как планом диверсификации (1 — x1 — x2,x1,x2), так и неопределенностями (величиной доходностей рисковых активов) y = (y1,y2) Е Y = = [а1,61] х [ai,6ij. Эта доходность портфеля определяется суммой f (x,y) из (1).
Для вкладчика требуется определить доли одного рубля xi (i = 1, 2), при которых итоговая наличность f (x,y) будет возможно большей. Одновременно следует учесть, что доходности рисковых активов yi (i = 1, 2), как правило, неизвестны. Но они все-таки могут быть заданы коридором возможных значений, именно, yi Е [ai, bi] (i = 1, 2), где постоянные 6i > ai > 0 заданы заранее или выбраны априори (например, на основе экспертных оценок).
Итак, математическую модель задачи о диверсификации вклада между тремя активами можно представить упорядоченной тройкой
(X,Y,f (x,y)>, (2)
где критерий f (x,y) определен в (1). Множество X действий x у ЛПРа есть
X = {x = (x1,x2)|x1 + x2 ^ 1 Л xi ^ 0(i = 1, 2)} С R2. Множество неопределенностей y тогда
Y = {y = (y1,y2)|yi Е КД](i = 1,2)} = [«1,61 ] х [«2,62] С R2.
Следует заметить, что между доходностями рисковых активов может существовать какая-либо зависимость. В этом случае
Y = {y = (y1,y2)|y1 е М],^1 (y1) ^ y2 ^ ^2(y1)}.
f (ж, у) - оценочная функция вкладчика, конкретное значение которой называем исходом. «С точки зрения» теории исследования операций, (2) представляет собой од-нокритериальную задачу при неизвестных действиях реактивных агентов.
1. Распределение средств вкладчиком, ориентирующимся на исход
Для ориентирующегося на исход вкладчика (стремящегося получить возможно больший доход) при решении задач типа (2) естественно применять принцип гарантированного результата (по Абрахаму Вальду [1]). Согласно этому подходу гарантированным по исходам решением (ГИР) задачи (2) называем пару (xg, fg) G X x R, определяемую цепочкой равенств
fg = min f (xg ,y) = maxmin f (x,y). (3)
y€Y x€X yEY
Согласно (3), операция внутреннего минимума minf (x,y) = f (x,y(x)) = f [x] реали-
y€Y
зует для каждой стратегии x G X гарантию f [x], ибо f [x] ^ f (ж, у) Vy G Y; операция внешнего максимума maxf [x] = f [xg] = fg выделяет из всех гарантий f [x] наиболь-
x€X
шую, так как fg = f [xg] ^ f [x] Vx G X и fg = f [xg] = f (xg,y(xg)) ^ f (xg,y) Vy G Y. Стратегию xg из ГИР предлагается ЛПРу использовать, ибо она «обеспечит» ЛПР наибольшую гарантию fg.
Определение 1. Четверку (1 — xf — x2,xi,x2, fg) назовем гарантированным по исходам решением задачи (2), если
1o для каждого действия x G X существует гарантия f [x], при которой
min f (x,y) = f [x];
y€Y
2o пара (xg = (xg,xf),fö) G X x R удовлетворяет равенству (3):
max f [x] = f [xg ] = fg.
x€X
В статье [2] получено гарантированное по исходам решение задачи (2) в случае, когда доходности рисковых активов определены выражением
Y = {у = (уьу2)|уг G [агД](i = 1, 2)} = [ai,bi] x [02,62] С R2.
Используя подход [2] в случае, когда
Y = {У = (У1,У2)|У1 G [a,6],^i(yi) ^ У2 ^ ^2(yi),^i(yi) = kiyi + li(i = ^ 2)},
при х Е X и хг = 0 (г = 1,2) получим гарантированное по исходам решение
(1,0, 0, г) при а ^ 0 (г = 1, 2), (0,1, 0, а) при (а > 0, а2 ^ 0} V (а > а2 > 0},
_гуд_гуд гуд гуд 4-9
Х1 х2, Х1, х2, У )
где
(0,0,1,к1а + 11) при к1 ^ 0,
(а1 ^ 0, а2 > 0} V (а2 > а1 > 0}, (0,0,1,^6 + /1) при ^ 0,
(а1 ^ 0, а2 > 0} V (а2 > а1 > 0}, к (0, х1, 1 — х1, г + аг) Ух1 Е [0,1] при а1 = а2 > 0,
а1 = а — г, а2
к1а + /1 — г при к1 ^ 0, к1Ь + /1 — г при к1 ^ 0.
2. Распределение средств вкладчиком, ориентирующимся на риск
Перейдем к способу принятия решения в (2) для вкладчика (ЛПР), который ориентируется на риск. Особенность (2) в том, что в ней о неопределенностях ЛПРу известны лишь границы изменения, а какие-либо вероятностные характеристики отсутствуют. Наличие неопределенностей в (2) как раз и позволяет говорить о риске ЛПР, возникающем при использовании любых стратегий х Е X. Здесь применяем следующее понятие риска: «риск - это возможность отклонения каких-либо величин от их желаемый значений», а под мерой риска понимаем «разницу между желаемым значением показателя качества функционирования процесса и реализовавшимся значением».
Указанному виду неопределенностей как раз и отвечает принцип минимаксного сожаления, предложенный Леонардом Сэвиджем в 1951 г. в статье [3]. Напомним, что, согласно этому принципу, гарантированным по риску решением (ГРР) задачи (2) будем называть пару (хг, Фг), определяемую цепочкой равенств
Фг = тахФ(хг , у) = тттах Ф(х, у),
уЕУ х€Х уЕУ
где функция сожаления
Ф(х,у) = тах/(г,у) — / (х,у).
(4)
(5)
Итак, построение ГРР (гарантированного по рискам решения) в задаче (2) проводится в 4 этапа.
Этап 1. Каждой ситуации х Е X ставится в соответствие функция / [У] = тах/ (х,у).
х€Х
Этап 2. Строится функция сожаления Ф(х,у) = /[у] — /(х,у). Этап 3. В результате операции внутреннего максимума из (4) определяется гарантия по риску тахФ(х,у) = Ф[х] ^ Ф(х,у) Уу Е У для каждой стратегии х Е X. уеУ
Этап 4. Согласно операции внешнего минимума, из (4) находится наименьший гарантированный риск Фг = ттФ[х] = Ф[хг] и тогда пара: план диверсификации
х€Х
(1 — хЦ — х2,х1,х2) и гарантия Фг объявляются ГРР задачи (2). Рассмотрим задачу (2)
(X, У, /(х,у)>,
где критерий /(х, у) определен в (1). Множество X действий х у ЛПРа есть
X = (х = (х1,х2)|х1 + х2 ^ 1 Л хг ^ 0(г = 1, 2)} С К2. (6)
Множество неопределенностей
У = (у = (У1,У2)|У1 Е М],^1(У1) ^ У2 ^ ^Ы^гЫ = кгУ1 + (г = 1, 2)}. (7)
Построение ГРР (гарантированного по рискам решения) в этом случае осуществим согласно описанным выше четырем этапам.
Этап 1. В задаче (2) каждой неопределенности у ставится в соответствие множество X, которое в прямоугольной декартовой системе координат представляет собой прямоугольный треугольник ОАВ с вершинами в точках О = (0,0), А = (1,0), В =(0,1).
Для всякого у Е У функция /(х, у) из (1) линейна по компонентам вектора х = (х1, х2) и поэтому может достигать своего тах/(х, у) в угловых точках - верши-
х€Х
нах треугольника ОАВ. Поэтому, с учетом явного вида /(х, у) из (1), будет
тах/(х,у) = (г V у1 V у2} = /[у].
х€Х
Этап 2. Согласно (5) тогда функция риска будет
Ф(х,у) = / [у] — / (х,у) =
Ф1(х,у) = г — /(x,У), [ [г — у1] х1 + [г — у2] х2,
Vф2(x,y) = у1 — /(x,y), = < V [у1 — г] (1 — х1) + [г — у2] х2, Vфз(x,y) = у2 — /(x,У), I V [г — у1] х1 + [у2 — г] (1 — х2).
где
Этап 3. Для каждой стратегии х Е X найдем гарантированный риск
Ф[х] = тахФ(х,у) = max (Фг[x]},
¿=1,2,3
[г — а] х1 + [г — /1 — fc1a] х2, если k1 > 0,
Ф1[х] Н
[г — а] х1 + [г — /1 — k1b] х2, если k1 < 0, [b — г] (1 — х1) + [г — /1 — к1а] х2, если k1 > 0,
Ф2[х] Н
[b — г] (1 — х1) + [г — /1 — k1b] х2, если k1 < 0, [г — а] х1 + [¿2 + k2b — г] (1 — х2), если k2 > 0,
Фз[х] = {
[г — а] х1 + [¿2 + k2а — г] (1 — х2), если k2 < 0, т.к. постоянные г> 0, b>a> 0 (i = 1, 2).
Далее, для сокращения записей, будем использовать обозначения
а0 = г — а, а1 = г — /1 — к1а, а2 = /2 + к2а — г, во = b — г, в = г — ¿1 — kib, ^2 = ¿2 + k2b — г.
Отметим, что одновременно условия а0 < 0 и во < 0 не могут быть выполнены, так как b > а > 0, а условия a1 < 0 и а2 < 0 (в1 < 0 и в2 < 0) не выполняются одновременно, ибо /2 + к2а > /1 + к1а > 0 (¿2 + k2b > /1 + k1b > 0).
Лемма 1. Если постоянные > 0 и вг > 0 (i = 0,1, 2), то
а < г < b, /1 + к1а < г < /2 + к2а, /1 + к1а < г < /2 + k2b, , .
(8)
/1 + k1b < г < /2 + к2а, /1 + k1b < г < /2 + k2b.
С учетом обозначений (7), для (6) имеем
!а0х1 + а1х2, если k1 > 0, о 1 1 2 1
а0х1 + в1х2, если k1 < 0,
!в0(1 — х1) + a1 х2, если k1 > 0,
^ (9)
в0(1 — х1) + в1 х2, если k1 < 0,
!а0х1 + в2(1 — х2), если k2 > 0, а0х1 + а2(1 — х2), если k2 < 0. Этап 4. Чтобы обеспечить (согласно (5) и (9)) неравенство Ф(х,у) > 0 У(х,у) Е Е X х Y достаточно считать выполненным
Условие 1. Постоянные > 0, вг > 0 (i = 0,1, 2). Очевидно, что условие 1 имеет место, если справедливы (8).
Далее воспользуемся тем, что минимум выпуклой (и, в частности, линейной) функции на выпуклом многограннике достигается на его границе. Поэтому находим минимизаторы хг = аг$штФ[х] из (9) на сторонах ОА, ОВ и АВ треугольника АОВ
х
отдельно, и затем, в качестве Фг используем наименьшее из ттФ[х]. С этой целью
х€Х
выделим три случая.
Случай 1. (Сторона АО = (х1 Е [0,1],х2 = 0}, тогда х = (х1, 0)). Из (9) с учетом х2 = 0, получаем
Ф[х] = тах(Ф1[х1, 0] = а0х1, Ф2[х1,0] = (1 — х1)во, Ф3[х1, 0] = а0х1 + 7},
где
(а2, если к2 < 0, в2, если к2 > 0.
Используя подход, изложенный в [4], можно показать, что справедливы следующие утверждения.
Утверждение 5. Если в задаче (2), (6), (7) х2 = 0 и выполнено условие 1, то гарантированное по риску решение (ГРР) этой задачи будет,
и^, , 0, ^^ , если во > 7 > 0,
(1 — хг хГ 0 ФГ) = < «о+ро ' ' а0+во у ' ' '
1, Ь , 1 |(1,0,0,7), если 7 > в0 > 0.
Утверждение 6. Если в задаче (2), (6), (7)
1) а0 > 0, в0 > 0, 7 < 0, то ГРР этой задачи имеет вид (, , 0, ;
7 0 ' 10 ' 1 — ' уао+во' а °+во ' ' ао+во) '
2) а0 > 0, в0 < 0, 7 < 0, то ГРР будет (1,0, 0, 0);
3) а0 > 0, в0 < 0, 7 > 0, то ГРР имеет вид (1,0, 0,7);
4) а0 < 0, во > 0, 7 < 0 или а0 < 0, во > 0, 7 + а0 < 0, то ГРР имеет вид (0,1,0, 0);
5) а0 < 0, во > 0, 7 + а0 > 0, то ГРР имеет вид (0,1, 0,7 + а0);
6) а0 = 0, 7 > 0, то ГРР имеет вид (1 — х*, х*, 0,7), где х* Е [0,1] при в0 < 7 и
ж* G
1 - -Y 1
1 во ' 1
при во > 7;
7) а0 < 0, в0 = 0, Y < 0 или а0 = 0, в0 < 0, Y < 0, то ГРР имеет вид (1 - ж*, ж*, 0, 0), где ж* е [0,1];
—, 1
ао '
8) а0 < 0, в0 = 0, 7 > 0, то ГРР имеет вид (1 — х*,х*, 0,0), где х* Е
Случай 2. (Сторона ВО = (х1 = 0,х2 Е [0,1]}). Из (9) с учетом х1 = 0, получаем
Ф[х] = тах(Ф1[0,х2] = 71x2, Ф2[0,х2] = во + 71x2, Фз[0,х2] = 72(1 — х2)},
где
(«1, если > 0, I а2, если к2 < 0,
72 = <
в1, если к1 < 0, I в2, если к2 > 0.
Справедливы утверждения, аналогичные утверждениям 5 и 6.
Утверждение 7. Если в задаче (2), (6), (7) имеет место ж1 = 0 и выполнено условие 1, то гарантированное по риску решение (ГРР) этой задачи будет,
(^, 0, , Т^МоЛ , если 72 > во > 0, (1 - ж£, 0,ж£, Ф2 )=^71+72 71+72 71+72
(1, 0, 0, во), если во > 72 > 0.
Утверждение 8. Если в задаче (2), (6), (7)
1) 71 > 0, 72 > 0, во < 0, то ГРР этой задачи имеет вид ( 71 , 72 , 0, 7172 ) ;
1 2 о 1+ 2 1+ 2 1+ 2
2) 71 > 0, 72 < 0, во < 0, то ГРР будет (1, 0, 0, 0);
3) 71 > 0, 72 < 0, во > 0, то ГРР имеет вид (1, 0, 0,во);
4) 71 < 0, 72 > 0, во < 0 или 71 < 0, 72 > 0, во + 71 < 0, то ГРР имеет вид (0,1,0, 0);
5) 71 < 0, 72 > 0, во + 71 > 0, 'то ГРР имеет вид (0,1, 0,во + 71)/
6) 'у1 = 0, во > 0, то ГРР имеет вид (1 - ж*, ж*, 0,во), где ж* е [0,1] при 72 < во
и ж* е
1 - &, 1
2
при 72 > во;
7) 71 < 0, 72 = 0, во < 0 или 71 = 0, 72 < 0, во < 0, то ГРР имеет вид (1 - ж*, ж*, 0, 0), где ж* е [0,1];
8) 71 < 0, 72 = 0, во > 0, то ГРР имеет вид (1 - ж*, ж*, 0, 0), где ж* е
-во 1
71 ,
Случай 3. (АВ = {ж1 + ж2 = 1, ж, > 0 (г =1, 2)}.) В этом случае (9) примет, с учетом ж1 = 1 - ж2, вид
Ф[ж] = тах{Ф1[ж] = ао + (71 - ао)ж2, Ф2[ж] = (во + Т1)ж2,
Фз[ж] = (ао + 72)(1 - ж2)}. ( )
Очевидно, что результаты, полученные в (10) и соответствующем разделе [4], совпадают с точностью до обозначений.
Таким образом, решение задачи (2), где множество
У = {У = (У1,У2)|У1 е М],^1(У1) ^ У2 ^ ^Ы^гЫ = + 1,(г = 1, 2)} может быть сведено к решению этой задачи при
У = {у = (У1,Ы|У е [агД](г = 1, 2)} = [«1,61 ] х [«2,62] С К2.
Заключение
Полученные результаты показывают, что оптимальное решение задачи (2) зависит от граничных значений неопределенностей. Если же применить к решению задачи диверсификации вклада (выбора оптимального портфеля) подход нобелевского лауреата Гарри Марковица [5], то оптимальное решение будет зависеть от вероятностных характеристик случайных величин доходностей активов: средних ожидаемых доходностей, стандартных отклонений доходностей. Подход Марковица связан с необходимостью описывать корреляционные связи между доходностями различных активов. Если возникает новый актив, то в начальный период его существования будет недостаточно статистических данных, позволяющих определить эти связи и найти оптимальное решение по Марковицу. Однако возможно определить границы изменения доходности нового актива и применить способ, предложенный в данной работе.
Исследования выполнены при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 14-00-90408 Укр_а и НАН Украины проект № 03-01-14.
Описок литературы
1. WALD, A. (1939) Contribution to the theory of statistical estimation and testing hypothesis. Annuals Math. Statist. 10. p. 299-326.
2. Жуковский, В.И., Солдатова, Н.Г. К задаче диверсификации по трем депозитам // Вестник Удмурского университета. Математика, механика, компьютерные науки. — 2013. — № 4. — C. 5561.
ZHUKOVSKIY, V. & SOLDATOVA, N. (2013) On the problem of diversification of contribution on the three deposits. Bulletin of Udmurt university. Mathematics, mechanics, computer science. 4. p. 55-61.
3. SAVAGE, L.Y. (1951) The theory of statistical decision. J. American Statistic Association. 46. p. 55-67.
4. Жуковский, В.И., Ахрамеев, П.К. Гарантированное по риску решение в задаче диверсификации вклада по трем депозитам (рублевому, в долларах и евро) // Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского. — Симферополь: ТНУ имени В.И. Вернадского, 2014. — Т. 27(67).1. — C. 177-197.
ZHUKOVSKIY, V. & ACHRAMEEV, P. (2014) Guaranteed on risk solution in problem of sum distribution into three deposits (in rubles, dollars and euros). Scientific notes of Taurida National University named after V.I. Vernadsky. 27 (1). p. 177-197.
5. MARKOWITZ, H. (1952) Portfolio Selection. The Journal of Finance. 7 (1). p. 77-91.
Статья поступила в редакцию 26.05.2015
