CC BY
11Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского
Серия «Физико-математические науки» Том 27 (66) № 1 (2014), с. 177-197.
УДК 519.833 MSC2000: 91A80
В. И. Жуковский, П. К. Ахрамеев
ГАРАНТИРОВАННОЕ ПО РИСКУ РЕШЕНИЕ В ЗАДАЧЕ ДИВЕРСИФИКАЦИИ ВКЛАДА ПО ТРЕМ ДЕПОЗИТАМ (РУБЛЕВОМУ, В ДОЛЛАРАХ И ЕВРО)
Рассматриваются задачи распределения некоторой суммы (в рублях) на три депозита (в рублях, долларах и евро) с целью получения максимального годового дохода (в пересчете на рубли). При этом ЛПР (вкладчик) не знает курсов доллара и евро в конце года и ориентируется только на некоторые границы их возможных изменений. Решение этой задачи зависит и от отношения ЛПР к риску. Построение гарантированного по риску решения составляет содержание настоящей статьи.
Ключевые слова: многошаговая бескоалиционная игра, позиционная стратегия, равновесие по Нэшу, метод динамического программирования.
E-mail: zhkvlad@yandex.ru, p.akhrameev@gmail.com
1. Математическая модель
Если в начале рассматриваемого периода времени (для определенности года) ЛПР знает, как распределять один рубль по трем депозитам (рублевому, в долларах и евро), то таким образом он распределит по этим депозитам и любую сумму.
Итак, пусть Kd и Ke - курсы доллара и евро в начале года по отношению к рублю, (1 — Xd — xe, Xd, xe) - размеры рублевого, долларового и евро депозитов соответственно (в пересчете на рубли). Известны соответствующие процентные ставки r, dd, de по каждому из трех видов вклада. Однако курсы валют yd (в долларах) и ye (в евро) в конце периода депонирования точно неизвестны. Они для рассматриваемой задачи являются неопределенными и относительно них предполагаются известными лишь границы возможных изменений yi € [ai, bi] (i = d,e). Доход ЛПР в конце года после конвертации определяется как планом диверсификации (1 — Xd — xe, Xd, xe), так и неопределенностями (курсами валют в конце года)
У = (Vd, ye) € Y = [ad, bd] x [ae, be]. Этот доход можно представить в виде:
f (x, y) = (1 + r)(l - Xd - Xe) + Xd 1 + dd Vd + Xe 1 + ^ Ve- (1)
Kd Ke
На содержательном уровне задачей ЛПР (лица, принимающего решение) являются аналитическое конструирование такой стратегии x = (xd, xe) € X = {xd + xe ^ 1, Xi ^ 0 (г = d, e)}, чтобы добиться наибольшего итогового результата (исхода) f (x,y). При этом ЛПР вынужден учитывать возможность реализации любой неопределенности y € Y. Неопределенность -это неточность или неполнота информации о результатах предпринятых ЛПРом действий (стратегий).
Итак, математическая модель рассматриваемой задачи о диверсификации представляется упорядоченной тройкой Г =< X,Y,f (x,y) >, где множество X стратегий x и множество Y неопределенностей y имеют соответственно вид
X = {x = (xd, xe)\ xd + xe ^ 1, xi ^ 0 (г = d, e)},
(2)
Y = {y = (yd,ye) \ yi € [ai, bi] (г = d,e)}-
Согласно терминологии теории исследования операций Г является однокритери-альной задачей при неопределенности. Именно принятие решений в Г, базируясь только на риске и составляет содержание настоящей статьи. В экономической литературе (например, в [1, с. 102-103]) разные ЛПР по разному относятся к риску (именно в этом и состоит субъективная природа риска). Есть рискофобы (индивидуумы, которые относятся к риску отрицательно, и таких индивидуумов, в том числе предпринимателей, большинство: греч. phobos - страх), рискофилы (индивидуумы, относящиеся к риску положительно, то есть любят рисковать: греч. philos - любящий) и рисконейтралы (индивидуумы, которые стремятся одновременно увеличить исход (как рискофобы) и уменьшить риск (как рискофилы)) [1, с.102-103]. Для рискофоба при решении задач типа Г естественно применять принцип гарантированного результата (по Абрахаму Вальду [3]). Согласно этому подходу гарантированным по исходам решением Г (ГИР) называем пару (xg, fg) € X x R, определяемую цепочкой равенств
maxminf (x,y) = min f (xg ,y) = fg. (3)
x£X y£Y V&Y
Согласно (3), операция внутреннего минимума min f (x,y) = f [x] реализует
y&Y
для каждой стратегии x € X гарантию f [x], ибо f [x] ^ f (x,y) У у € Y; операция внешнего максимума max f [x] = f [xg] = fg выделяет из всех гарантий f [x] наибольшую, так как f [xg] ^ f [x] Vx € X и f [xg] = fg ^ f(xg,y) Vy € Y. Стратегию
= <
хд из ГИР предлагается ЛПРу использовать, ибо она «обеспечит» ЛПР наибольшую гарантию /д. В [2] получены достаточные условия существования и явный вид ГИР для рискофоба в задаче Г. Именно, имеет место
Утверждение 1. Гарантированное по исходам решение задачи Г имеет вид
(хд /д) _ (1 хд _ хд хд хд /д) _
(х , / ) (1 ха хе ,хфхе,/ )_
(1,0,0,1 + г) при 7г ^ 0 (г _ д,г), (0,1,0, К1 аа) при {1л > 0,7е < 0} V {^ >ъ > 0}, (0,0,1, ае) при {^а < 0,7е > 0} V {^е >1а > 0}, ^ (0, хда, 1 - хда, К*аг) Ухда е [0,1] (г _ й, е) при ъ _ Ъ > 0, где 7г _ ^К1 (аг — Кг) (г _ й,е), знак V означает "или".
2. Принцип минимаксного сожаления (по Сэвиджу)
Перейдем к способу принятия решения в Г для рискофила. Особенность Г в том, то в ней о неопределенностях у ЛПР известны лишь границы изменения, а какие-либо вероятностные характеристики отсутствуют по тем или иным причинам. Такие неопределенности названы в [4] Еленой Сергеевной Вентцель «дурными» (из-за неопределенности их реализаций). Наличие неопределенности в Г как раз и позволяет говорить о риске ЛПР, возникающим при использовании любых стратегий х е X .В экономической литературе (например, в [5, с.15]) приводятся многочисленные различные понятия риска. Более того, известный специалист по теории управления Сиразетдинов Р.Т. считает: «строгого математического определения риска в настоящее время не существует» [6, с.31]. Мы будем использовать следующее понятие риска: «риск - это возможность отклонения каких-либо величин от их желаемый значений», а под мерой риска будем понимать «разницу между желаемым значением показателя качества функционирования процесса и реализовавшимся значением». Заметим, что именно такое понятие широко используются для оценки микроэкономических рисков [7, с. 38, 45-50].
Наконец, указанному виду неопределенностей как раз и отвечает принцип минимаксного сожаления, предложенный Леонардом Сэвиджем в 1951 г. в статье [8]. Согласно этому принципу, гарантированным по риску решением (ГРР) задачи Г будем называть пару (хг, Фг), определяемую цепочкой равенств
тгптах Ф(х,у) _ тах Ф(хг,у)_Фг, (4)
х£Х у£У У&
где функция риска (сожаления)
Ф(х,у)_ тах/(г,у) — /(х,у), (5)
х&Х
значение которой называют риском (по Сэвиджу).
Заметим, что
a) из (5) получаем <&(x, у) ^ 0 Vx € X,y € Y (наилучший риск -нулевой);
b) если f (x, y) непрерывна на произведении компактов X х Y, то ГРР существует в задаче Г;
c) согласно операции внутреннего максимума из (4) (max <^(x,y) = ФЫ) каждой стратегии x € X отвеча-
V&Y
ет «своя» гарантия по риску Ф^] ^ ф^,у) Vy € Y, и из таких гарантий операция внешнего минимума в (4) min Ф^] = Ф^г] = Фг выделяет наименьшую, ибо
xGX
Фг < Ф[x] Vx € X и Фг = Ф[xr] ^ Ф^,у) Vy € Y. Здесь, в отличие от ГИР, гарантии по риску Ф^] ограничивают функцию риска Ф^,у) сверху. Таким образом, ЛПР, являясь рискофилом, стремится в Г за счет выбора своей стратегии x € X уменьшить свой риск Ф(^,у). При этом он вынужден учитывать возможность реализации любой неопределенности у € Y («самый хороший» риск - нулевой).
Замечание 1. Итак, построение ГРР (гарантированного по рискам решения) в задаче Г проводится в 4 этапа.
Этап 1. Каждой ситуации x € X ставится в соответствие функция f [у] = max f (x,y).
Этап 2. Строится функция риска Ф^,у) = f [у] — f (x,y). Этап 3. В результате операции внутреннего максимума из (4) определяется гарантия по риску max Ф^,у) = max (f [у] —
V&Y y&Y
— f(x,y)) = ФЫ ^ Ф^,у) Vy € Y для каждой стратегии x € X.
Этап 4. Согласно операции внешнего минимума из (4) находится наименьший гарантированный риск Фг = min Ф^] = Ф[xr], и то-
x£X
гда пара: план диверсификации (1 — xrd — xre,xrd,xre) и гарантия Фг объявляются ГРР задачи Г Остановимся на «оптимизирующем смысле» гарантированного по риску решения (xr, Фг) задачи Г, именно, что означает (или что «обеспечивает»?) такая стратегия xr = (xrd, xre) и такой риск Фг (с точки зрения ЛПР)? Ответ в том, что согласно этапу 1, каждой неопределенности у € Y ставится в соответствие максимальный годовой доход f [у] = max f (x,y), если бы неопределенность у в задаче Г реализовались бы
x
на самом деле.
А согласно этапу 2 функция риска Ф(x, у) = f [у] — f (x, у) характеризует, насколько исход f (x,y) «не дотягивает» до вышеупомянутого максимального дохода f [у],
и как раз поэтому ЛПР стремится разность /[у] - /(х, у) возможно уменьшить (за счет выбора х е X).
Далее, согласно этапу 3, каждой стратегии х е X ставится в соответствие наибольшая (по у) такая разность Ф[х] _ max(/[у] — /(х,у)) - наибольший (гарантиро-
У&
ванный) «зазор» между «самым хорошим для ЛПР» доходом /[у] и реализующимся при фиксированной стратегии х е X доходом /(х,у).
Наконец, следуя этапу 4, из всех таких «зазоров» Ф[х] ЛПР выбирает наименьший «зазор» Фг _ Ф[хг], который «обеспечивается» стратегией хг _ (хгл,хге) из ГРР (хг, Фг). Итак, ЛПР, следуя стратегии хг е X, «одним выстрелом убивает сразу двух зайцев», именно,
во-первых, при любых колебаниях курсов доллара и евро у е У (к концу года) число Фг ограничивает сверху все возможные «зазоры» Ф(хг, у), ибо Ф(хг, у) ^ Фг _ Ф[хг ] У у е У;
во-вторых, «зазор» Фг _ Ф[хг] будет «самым маленьким» из всех Ф[х], ибо Ф[х] ^ < Фг _ Ф[хг] Ух е X.
Построение явного вида ГИР и ГГР для задачи диверсификации только по двум депозитам (рублевому и валютному) на конец года в [9, с. 58], такая же задача, но уже и для рисконейтрала в [10, с.117-135], гарантированным по риску решениям в многокритериальных задачах и бескоалиционных играх посвящены книги [11, 12, 13]. В следующем разделе как раз, следуя этапам 1-4, и найдем явный вид гарантированного по риску решения задачи Г.
3. Явный вид гарантированного по риску решения задачи Г
Итак, пусть в Г множества стратегий X и неопределенностей У заданы в (2), а критерий /(х,у) определен в (1). Для построения ГРР будем следовать этапам 1-4 из замечания 1.
Этап 1. В задаче Г каждой неопределенности у _ (уа, уе) е У _ [а^, ЪО] х х [ае, Ъе] ставится в соответствие множество X, которое представляет собой прямоугольный треугольник ЛОБ (рис. 1).
Для всякого у е У функция /(х,у) из (1) линейна по компонентам вектора х _ (ха, хе) и поэтому может достигать своего тах/(х, у) лишь в угловых
х£Х
точках - вершинах треугольника ОАВ. Поэтому, с учетом явного вида /(х,у) из (1), будет
тах/(х,у) _ {(1 + г) V [1 + йауа\ V уе]} _ /[y},
х&х ка Ке
здесь «V» - бинарная связка «или».
Этап 2. Согласно (5) тогда функция риска будет
Ф(х,у) _ /[у] — /(х,у) _
Уе Ье
аа
У=(УП,Уе)
У а
Ф = (0,1)
О = (0, 0) А = (1, 0)
ха
Рис. 1
Ф-(х,у) = 1 + г - /(х, у) = [1 + г - КгУаХ + [1 + г - Уе]
{ УФ2(х, у) = ^ УЛ - /(х, У) = (1 - уЛ - (1 + г)] + [(1 + г) - ^Уе]
{ УФ3(х, У) = -КтУе - /(х, У) = [1+ г - У*]ха + [К*Уе - (1 + г)]хе. Этап 3. Для каждой стратегии х € X найдем гарантированный риск
Ф[х] = тах Ф(х,у) =
уеУ
[1 + Г - -КГ + [1 + Г - Уе]
хе
тах уег
[ К? у Л - (1 + г)](1 - хЛ) + [1 + Г - К* Уе]
хе, > =
[1 + г - КГ УЛ х + [ К* Уе - (1 + г)](1 - хе),
[1 + г - Кгал]хл + [1 + г - К*ае]хе = Ф-[х], = тах { [К?ьл - (1 + г)](1 - ха) + [1 + г - К*ае]хе = Ф2М, \ =
[1 + г - -КГГал]хл + [К*Ье - (1 + г)](1 - хе) = Фз[х]
= тах {ФЛхП.
¿=-,2,3
(6)
т.к. постоянные г > 0,бг > 0,Ьг > аг > 0, Кг > 0(1 = б,е).
Замечание 2. Далее, для сокращения записей, будем использовать обозначения
Г1 . 1+ ^ 1+ бе ,
ал = [1 + г---— ал], ае = [1 + г---— ае],
Кл Ке
вл = Ьл - (1 + г)], ве = [^КбЬе - (1 + г)]-
(7)
Отсюда,
1+ б^ 1 + бе . О 1 + бе, 1 + ба
ае + вй = -К—Ьа--К—ае, аа + ве = —Ье--к—аа,
кй ке ке кл
ал + вл = 1 +<ба (Ьд, - ал), ае + ве = (Ье - ае),
КЛ
Ке
х
е
а
е
е
вл - ^ = 1+йл(Ьл + ал) - 2(1 + г), ве - ае = (Ье + ае) - 2(1 + г),
Кл Ке
ал - ве = 2(1 + г) - (К*ал + Ье), (8)
Кл Ке
а , Л /1+ йе , 1 +
ае - вл = 2(1 + г) - ( ае +---— Ьл),
Ке Кл
1 + йл 1 + йе
ае - ал = —р— ал---— ае.
Кл Ке
Лемма 1. Если постоянные аг ^ 0, вг ^ 0 (г = й,е), то справедливо
[аг ^ вг (г = й, е)] [аеал ^ вевл}-В самом деле, имеет место цепочка импликаций
[(ае < ве) Л (ал < вл)] [(аеал < веал) Л (алве < вевл)] [аеал < вевл]. (9) Лемма 2. Если постоянные аг ^ 0 Л вг ^ 0 (г = й,е), то
1 + йл 1 + йе 1 + йе 1 + йл
ьл > ~кг ае,^~Ье ал,
1 + йл 1 + йл 1 + йе 1 + йе
~ктЬл ал,^гЬе ае. (10)
Доказательство 1. Так как [аг ^ 0] [1 + г ^ ^^Таг] Л [Щ1 Ьу ^ (1 + г)] (%,] = й,е), то отсюда сразу получаем справедливость (10).
Замечание 3. С учетом обозначений (8), а также хе = 1 - хл, для (6) имеем
Ф[х] = тах {Ф1[х] = алхл + аехе, Ф2[х] = вл(1 - хл) + аехе,
Фз[х] = алхл + ве(1 - хе)} Ух € X. Этап 4. Чтобы обеспечить, согласно (5) и (6), неравенство Ф(х,у) ^ 0 У(х, у) € X х У, достаточно считать выполненным
Условие 1. Постоянные аг ^ 0, вг ^ 0 (г = й, е). Очевидно, что условие 1 имеет место, если
1 + г
аг ^ 1 + й Кг ^ Ьг (г = й, е).
1 + йг
В теории исследований операций установлено [14, с. 55], что максимум выпуклой (и, в частности, линейной) функции на выпуклом многограннике (здесь треугольник АОВ из рис. 2) достигается на его границе. Поэтому далее находим минимизаторы хг = агдтгп Ф[х] из (6) на сторонах ОА, ОВ и АВ треугольника
X
АОВ отдельно, и затем, в качестве Фг используем наименьшее из тгп Ф[х]. С
хех
этой целью выделим три случая.
Случай 1 (сторона AO = {xd € [0,1], xe = 0}. Тогда стратегия x = (xd, 0))■ Возвращаясь теперь к (6), с учетом xe = 0, получаем
$[x] = max {^\[xd, 0] = adxd = §?\xd, 0], §2[xd, 0] = (1 - xd)Pd}-При выполнении условия 1 график $[x] представлен на рис■ 2, где выделен жир-
ной линией.
ßd
ad
$d{i _1
Xd
Рис. 2
Из этого рисунка следует, что min Ф[х] = Ф[хгЛ, 0] = ФГЛ. Тогда adXrd = (1 —
— xrj)ßd, и поэтому
т
xd =
ßd
xd
l-Kr bd — (1 + r)_ bd — -ft Kd
ad + ßd
1 — xd =
Kt (bd — ad) bd — ad
ad _ T+SdKd — ad
Наконец,
Ф = Ф-К, 0] = adxd =
ad + ßd bd — ad
adßd [ Kd — ad][bd — Kd] ^
ad + ßd Итак, получили
Утверждение 2. Если в задаче
bd — ad
^ = (X = Xd = [0,1], Y = Yd = [ad, bd],f (xd, 0, yd)) имеет место цепочка неравенств
1 + r
ad <
-Kd < bd,
1 + dd
то гарантированное по риску решение ^ будет
(1 — xd,xd, 0, Ф-d) = (
ad
ßd
0 adßd ) =
ad + ßd ad + ßd ad + ßd
= (Kd — ad bd — Kd ^ [-feKd — ad][bd — ^Kd]Kdy
bd — ad
bd — ad
bd — ad
(11)
0
1
x
Утверждение 2а. Если в той же задаче Гл
a) Ъл ^ К 1++^ 7 то гарантированное по риску решение (ГРР) имеет вид (0,1,0,0),
b) ал ^ Кл, то ГРР задачи Гл будет (1,0,0,0).
Справедливость утверждения 2а фактически установлена (при переобозначениях а = аЛ,Ъ = ЪЛ,К = Кл) на стр. 123-124 книги [10]. Аналогично устанавливается справедливость для Случай 2 (Сторона ВО = {хл = 0, Хе € [0,1]}). Утверждение 3. Если в задаче
Ге = (X = Хе = [0, 1], Y = Ye = [ae, be], f (0, Xe,Ve))
имеет место
1 + r ts
ae < , , , K( < be,
1 + de
то гарантированное по риску решение re будет
ae
—e—, 0, - ,
1ae + f3e ae + fie ae + Д
r n r лчг\ I ae n aePe \
(1 - Xr, 0,xe, $e) = ( , д , 0,„ , д , , д ) =
= ( 1+Ле Ке ае 0 Ъе 1+МвКе [ 1+ЫвКе ае][Ъе 1+Ле Ке] ) (12)
Ъе - ае ' ' Ъе - ае ' Ъе - ае
Аналогично утверждению 2а справедливо Утверждение 3а. Если в задаче Г л
a) Ъе ^ Ке 1+г, то ГРР имеет вид (0,0,1,0),
b) ае ^ Ке 1+ге, то ГРР задачи Г^ будет (1,0,0,0).
Случай 3 (гипотенуза АВ = {хл + хе = 1х ^ 0 (г = d,e)}) В этом случае (6) примет, с учетом = 1 — хе, вид
Ф[х] = max {$i[x] = ad + (ae - ad)xe, Ф2[х] = (fid + ae)Xe, Фз[х] = (ad + &)(! - Xe)}.
Рассмотрим здесь три варианта.
Вариант 3а
Введем М - точку пересечения отрезков Ф2И и Ф3^] (рис. 3). Здесь и далее для сокращения записи будем обозначать Ф^] = Ф»^] (на самом деле в нашем случае x = (1 — xe,xe)), и потребуем, чтобы Ф2^] ^ Ф1[xe], т.е. (см. рис. 3) выполнялось неравенство
MN ^ KN
Рис. 3
Лемма 3. Если
0 < аг < вг (г = б,е), (13)
то ММ ^ КМ, т.е., напомним, Ф2[хге] ^ Фг[хге}.
В самом деле, из [Ф2[хге\ = Ф3[хге]} ^^ {(в<1 + ае)хТе = (ве + ал)(1 -хТе)} находим, с учетом (8),
ве + ал
Кг
к* "е
ве + ае + вл + ал -КГ (Ьл - ал) + (Ье - ае)
Кг
Так как, согласно (10), (13), (14) будет хге ^ 0, а
(14)
то тогда
1 х е -
вл + ае
г+ле
Ье
Ке ие кл
ал
ве + ае + вл + ал К? (Ьл - ал) + (Ье - ае)
Но
Ф-хе] = ал(1 - хе)+аехе = ^ ++ае)+ае+е+^
ве + ае + вл + ал
= ал ае + ал вл + ае ве + аеал ве + ае + вл + ал '
т
х' =
е
-сТ лч г т1 /о i \ т (вл + ае)(ве + ал) Ф3а = Ф2 [хе] = в + ае)хе =
вевл + аеве + алвл + аеал _ (Ч±ТЬл - Ч+Гае)(ЧКтЬе - ал)
ве + ае + вл + ал
- Кг ал)
(15)
ве + ае + вл + ал Щт (Ьл - ал) + Щт (Ье - ае)
Наконец, согласно лемме 1, имеет место импликация
[0 ^ аг ^ вг (г = d, е)] [аеал ^ вевл], что и доказывает лемму 3. Лемма 4. Если
^ 1 + г ^ ^Ъг + аг
аг < Т+ГКг ^ —2— ^ = d, е), (16)
то
0 < аг < вг (г = Г,е). (17)
Доказательство 2. Из (16) и аг <Ъг следует, что
Тогда
1 + г
аг < 1 + , Кг < Ъг (г = Г, е). 1 +
Г1 + Г 1 1 + Гг
^Кг - аг]^~ = аг ^ 0,
^ - ^ К,^ = вг > 0,
т.е.
аг ^ 0, в > 0 (г = Г,е). Далее используем цепочку эквиваленций
1 + Г- Ъ• + п- 1 + г
[вг > аг] ^ [вг-аг > 0] ^ [-р-(Ъг+а)-2(1+г) ^ 0] ^ [] ^ [-+-Кг] (г = Г,е).
Кг 2 1 + Гг
Итак, если выполняется цепочка неравенств (16), то имеет место (17).
Утверждение 4. Если в задаче Г
/1 + г V ^Ъг + аг , Л
аг < Кг ^ — = ^
то гарантированное по риску решение задачи Г имеет вид
(0 1_ г г фГ ) = (0 ва + ае__ве + ад ад(ва + ае) + ае(ве + ад) )
хе , хе , 3а) ( , ве + ае + вл + аа ве + ае + вл + а/ ве + ае + вл + аЛ '
1Ъ _ 1+ла 1+dd ъ 1+^в п
= (0 . Ке КЛ ал КЛ Ъл Ке ае
^ Ъ - ал) + Кг (Ъе - ае)' 1Кт Ъ - ал) + (Ъе - ае)
(Ъл - ае)( 1КгЪе - К?ал)
Ъ - ал) + 1Кг(Ъе - ае)
). (18)
Доказательство 3. Функция Ф[ж] = max {Фг[ж]} выделена на рис. 3 жирной
i= 1 ,2,3
линией. Но тогда min Ф[х] достигается в точке xre. Поэтому, гарантированный
xGX
риск Ф3а = Фi[xr] = MN, т.к. {MN ^ KN} ^ {Ф^[xre] ^ Фi[xre] (j = 2, 3)}.
Итак, при выполнении (16) вкладчик, имея в распоряжении 1 рубль, в случае 3a ничего не вкладывает в рублевый депозит, в долларовый вносит 1 — xre и,, наконец, оставшуюся часть xre на депозит в евро. В этом случае в конце года вкладчик получит максимально возможную наращенную (гарантированную) сумму вклада с риском, не большим Ф3а (при любых курсах валют y = (yd,ye) € Y). Вариант 3b.
Q=(1,ßd + ae)
rr L3b
Рис. 4
Следующие заключительные варианты 3Ь и 3с относятся к случаю, когда КЫ > > МЫ (см. рис. 4), т.е. Ф\[хге] > Ф2[хге] = Ф3[хте]. Заметим, что вследствие вг ^ 0, аг ^ 0 (г = е) будет ва + ае ^ ае и ве + ad ^ ad, и поэтому точки отрезка Ф1 [хе] не могут находиться выше отрезка PQ. В связи с этим дальнейшие и заключительные варианты будут различаться лишь условиями аа < ае, аа > ае, аа = ае. Итак, в варианте 3Ь предполагаем, что аа < ае и, конечно, КЫ > МЫ. Аналогично лемме 3 доказывается Лемма 5. Если
0 < вг < аг (г = (1,е),
то
KN > MN ^ Ф^] > Ф2[xee] = Ф3[xee] В самом деле, в доказательстве леммы 3 установлено,
ßeßd + OLeße + Ctdßd + OteOt-d
Ф2[xe ] =
ße + ae + ßd + ad
0
1
x
r
x
e
e
ф [ г] = аеал + аеве + алвл + аеал
= ве + ае + вл + ал '
Тогда КЫ > МЫ ^^ Фу[хГ] > Ф2[хе] и это условие имеет место, если
алае > влве-
Такое строгое неравенство выполнено при
аг > вг > 0 (г = (1,е). Доказательство этого факта проводится также, как в лемме 1, в помощью цепочки импликаций
[(ал > вл) Л (ае > ве)] [(алае > влае) Л (влае > вевл)} (алае > вевй) ■
Лемма 6. Если
Ъг + аг 1 + г .
—2— < ГГй7Кг ^ Ъг (г = Г, е), (19)
то
0 < вг <аг (г = Г,е). (20)
Доказательство 4. Из (19) и аг <Ъг следует, что
1 + г
аг < 1 + . Кг ^ Ъг (г = Г, е), 1 +
поэтому
г1 + г ^ 11 + Гг 1 + Гг „
[——гКг - аг] Т. = 1 + г--—— аг = аг > 0,
1 + Гг Кг Кг
г, 1 + г ] 1 + Гг 1 + (!г
- тгКг]^~ = к г - (1+г) ^ 0,
т.е. аг > 0 и вг ^ 0 (г = Г,е).
Далее, справедливость (20) устанавливается с помощью цепочки эквиваленций и (8):
1 + Гг
(аг > вг) ^ (аг - вг > 0) ^ (2(1 + г) - —^(аг + Ъг) > 0) ^
Кг
1 + г аг + Ъг 1 + г аг + Ъг
^ Кг--V- >0) ^ (ГTd¡Кг >~) (г =
Утверждение 5 Если в задаче Г выполняются условия
10. ^ < Кг <Ъг (г = Г,е),
20. ^ аа > ^ (
е
то гарантированное по риску решение примет вид
г г жг \ гп ае ве ааае + аеве \
(0,1 - ^, ^, ^ =(0, , в^ ,-вето-) =
1+г К —а Ь - 1+г К (1+аеЬ - ^(1Й)(1+г К -о ) = (о 1+аеКе ((е Ье 1+аеКе ^ к Ье кл аа)( 1+аеКе (е)) (21)
' Ье - ((е ' Ье- (е ' Ье- (е '
Доказательство 5. Требование (1°) утверждения 5 обеспечивает неравенство
КН > МН, а условие (20) и (8) приводит к аа < ае, в результате чего график
функции 'риска Ф[хе] = тах Фг[хе] примет вид ломаной, выделенной на рис. 4
г=1,2,3
жирной линией. Тогда для построения ттФ[хе] = Ф3ъ следует найти х3зь, исходя из равенства Ф3[х3зь] = Ф1[х3ь], т.е. из
Отсюда
(аа + ве)(1 - хГ3Ъ) = аа + (ае - аа)х г ве _ Ье - 1+е Ке
г
3Ъ-
х3Ъ =
(1 - х33ъ) =
ве + ае Ье - (е
ае $+0г Ке -
тогда
Ф3ъ = Ф3[х3Ъ =
ве + ае Ье - (е
(аа + ве)ае _ ( 1~КтЬе - КГаа)( 1+ёКе - (е)
ве + ае Ье - (е
и Ф3ъ > 0, т.к. аг > 0,вг ^ 0 (г = (1,е). Вариант 3с. Здесь, в отличие от предыдущего варианта 3Ь, будем считать аа > ае (см. рис. 5). Аналогично утверждению 5 доказывается Утверждение 6. Если в задаче Г
1°. ^ < Т+Т Кг <Ьг (г = (,е), 2°. К1 (а < %(е,
то гарантированное по риску решение имеет вид
(0 1 Фг ) = (0 ва аа вааа + аеаа) =
(0, 1 - х3С, х3С, Ф3с) =(0, в+аа, в+аа, } =
= {{)ЬЛ-ШК_, ^ГКа - (а (1-КГЬа - ^(е)( 1+ГК - (а)} ^
Ьа - (а Ьа - (а Ьа - (а
Доказательство 6. Как и при варианте 3Ь требование (1°) обеспечивает неравенство КЫ > МЫ, а (2°) и (8) приводит к аа > ае (см рис. 5). Поэтому функция
(
Q=(1,,Sd + «в)
Рис. 5
'риска Ф[же] = max Фг[же] в этом случае имеет вид ломаной, выделенной на рис. 5 ¿=1,2,3
жирной линией. Отсюда минимизатор xr3c функции Ф[хе] находится из равенства
ф1[х3с] =
= Ф2[х3с], т.е.
Итак,
ad + (ae - ad)x3c = (fd + ae)x"3c-
ad
1 + г - lKt ad_ 1+d Kd - ad
3c
fd + ad ^Kd (bd - ad) bd - ad
1 - x3c =
Kd fd
bd -
1+r 1+dd
Kd
fid + ad
bd - ad
(fid + ae)ae _ fdad + aead _ (Щгbd - K'ae)(1++dKd - ad)
1+d,
Ф- = Ф2^]= fd + ad A + ad
Замечание 4. Пусть в Г
bd - ad
bi + ai 1 + г
< ——-ai ^ bi (г = d, e),
2
1 + di
1 + dd Kd
ad =
1 + de
Ke
-ae .
Тогда гарантированное по риску решение Г будет
(0,1 - x*e,x*e, ad) = (0,1 - x*e,x*e, 1 + г -
1 + dt Ki
ai) (г = d, e)
(23)
при Vx*e g [xei),xe2)] = [aSe;, oe+kЬ
0
r
e
x3c
1
X
X
e
r
Рис. 6
Доказательство проводится с помощью рис. 6, число х^ определяется из равенства Ф3[хР] = Ф1[х£1>] = аа, а х^ - из условия ФгХ^] = аа.
4. Заключение
Переходим к завершению этапа 4, именно к построению минимальной из гарантий с помощью утверждений 2-6, отличающихся ограничениями на К (г = Л, е). Для этого,
во-первых, объединяем требования утверждений 2, 3 и 4,
во-вторых, то же самое проделываем с утверждениями 2, 3 и 5 (или 6).
Объединение утверждений 2, 3 и 4.
Итак, при аг < Кг ^ ь (г = й,е), строим минимум из гарантий Фел, Фге (из утверждений 2 и 3) и $3« (из утверждения 4). Таким образом, найдем минимум из трех чисел
Ф* = тги{Феа, Фее, Ф3за}.
a) если этот минимум равен Ф^, то гарантированное по риску решение (ГРР) задачи Г примет вид (11),
b) если Ф* = Фге, то ГРР задачи Г доставляет формула (12),
c) если такой минимум Ф* совпадает с Ф3а, то явный вид ГРР в (18). В результате первая итоговая
Теорема 1. Пусть в задаче Г имеет место
+ г V ^ аг + Ьг аг < Т+Лг Кг ^ — (г = ^
Тогда,
если (а) тгп{Фес1, Фее, Ф3а} = Феа, то ГРР примет вид
г г г ал вл алвл
(1 - ^^, о, ф„> = (, -—т, »-ао+ё-,) = = ( Щ; К - ал ДЧ, 0 'К? [ ^ К - а* - ЙО К] = ф > 0); (24)
Ъл - ал Ъл - ал Ъл - ал л
если (Ь) шгп{фга, Фе, Ф§а} = ФГ, то ГРР будет
ае ве аев
(1 _ хг 0 хг Фг) = (——— 0 ——--) =
(1 хе, ^ Фе) ( ае + ве , 0,ае + ве , ае + ве ;
= ( ьЮКе ае 0 Ъе ^вКе [ 1+0;Ке ае][Ъе \+й;Ке] = фг > 0); (25) Ъе - ае ' ' Ъе - а^ ' Ъе - ае е ^ '
если (с) шгп{фга, Фг, ф3а} = Фэа, то ГРР имеет вид
(0 1- г г фг ) = (0 вл + ае__ве + ал ад(ва + ае) + ае(ве + ал))
хе,хе, 3а) = (,ве + ае + ва + ал, ве + ае + ва + ал, ве + ае + вл + ал )
1+Л; Ъ _ 1+Л; 1+Л; ъ 1+Л; п
= (0 К; Ъе К; ал К; Ъд К; ае
К? Ъ - ал) + (Ъе - ае)' Ъ - ал) + ^ (Ъе - ае):
(^Ъл - К-ае)('КгЪе - ал),
(Ъд - ал) + ^Кт(Ъе - ае)
-), (26)
здесь аг = ^Кт(ЮКг - аг), вг = ^(Ъг - Кг) (г = Г,е). Объединение утверждений 2, 3 и 5.
Итак, пусть теперь 0 < а:+< Кг < Ъг (г = Г,е). Снова находим
шт {фd, фг, ф3ь} и шт {фd, фе, ф3с}-
1+г
1+Л:
Лемма 7. При а:+Ь: < т+О-Кг < Ъг имеют место
фе < фЗь,
фл < Фзс.
Доказательство 7. Действительно, аг = К1+: - аг > 0 (г = Г,е) и тогда
фг _ аеве < аеве + аЛае _ аеве + аЛае _ фз _ фг + аЛае
е = аеТве ае + ве = а^Гв а^Гв = 3Ь = е ,
_ адва ^ адва + аеа, _ г _ адва . ада, _ „ аеаа ф а = ~—т1г < —~—тъ-= ф зь = ~—+ ~—= фа +
аа + ва ад + ва ад + ва ад + ва ва + а,
т.к. имеет .место импликация
[а, > 0,ßi > 0(i = d, e)] =^ [> 0].
ad + ßd
С учетом леммы 7 получаем Теорема 2. Если выполнено
а + ßi ^ 1 + Г TS с А \
Т" < ТЛгК <bi (i = d>e)>
то гарантированное по риску решение задачи Г
a) при &rd ^ Фге имеет вид (24),
b) при &rd ^ Фге имеет вид (25).
Доказательство 8. В случае ^ Фге, с учетом леммы 7, имеем
min ф Фге, =
а в случае ^ Фге -
mm {®rd, К, ф3с} = фГе-
Отсюда и из этапа 4, а также из утверждений 2 и 3 следует справедливость теоремы 2.
Объединение утверждений 2, 3 и 6.
Как и в предыдущем случае предполагаем, что ai+в < К, < b, (i = d, e) и
-KTad = ^кГае.
Здесь, как и в теореме 1, следует найти min {^d, ^3b,ad = ае} и затем, в зависимости от того, при каком из этих трех чисел данный минимум достигается и с помощью соответствующему ему утверждению (2, 3 или 6) построим ГРР. Именно, имеет место
Теорема 3. Пусть в задаче Г имеет место
а + ßi ^ 1 + г v с А \
""Г" < К, <b (i = d>e)>
1 + dd 1 + d
е
Kd ~ad = a
а = ае = ad
Тогда, если
a) min {^d, Фге, а} = то ГРР имеет вид (24);
b) min {^d, Фге, а} = Фге, то ГРР имеет вид (25),
c) min {^d, Фге, а} = а, то ГРР имеет вид (23).
5. Выводы
Статью завершим рекомендациями к использованию ЛПРом теорем 1, 2 и 3 для практического построения гарантированного по риску решения (ГРР) в задаче Г.
Шаг 1 Выписать действующие в настоящий момент, числовые значения г, йе,йе, Ке, К а, а также (с помощью экспертов, рекомендаций экономистов или собственных предположений) задать численные значения границ изменения (через год) курсов доллара [аа, Ьа] и евро [ае, Ье].
Шаг 2 Вычислить семь чисел
1 + r 1 + r
а = , 7 " ai = bi - Ki
'1+ Лг 1+ &
Ф = агвг (. = , ) Фе = аа(ва + ае) + ае(ве + аа)
Фг = аг + вг (г = d,e), Фза = ве + ае + ва + аа ' Шаг 3 Определить Ф0 = тгп {Фа, Фе}.
Шаг 4 - вариант 1. Если аг < Ц+О:Кг < а:++(г = Л, е), то (согласно теореме 1 и утверждению 4) построить Ф* = тгп {Ф0, Ф3а} и затем, если
а) Ф* = Феа, то ГРР будет
аа ва п аава ,
(1 - xd - xre ,xrd, xre, Ф') = , , 0
' ttd + fíd ad + fíd ad + fíd
b) Ф* = Фе, то ГРР имеет вид
( ae о ве аеве
\Хе + ве ' ае + ве ае + ве
с) Ф* = Фг3а, то ГРР станет
(0 f^d + ае__ве + ad ad^d + ае) + ае(ве + ad) )
' ае + ве + ad + ва ae + ве + ad + ва ae + ве + ad + вd '
Шаг 4 - вариант 2. Если ai+в < 1+drKi < bi (i = d, e) и ae = ad, то (согласно теореме 2),
a) при Ф'01 ^ Фге искомое ГРР примет вид
(1 - xrd - x',xrd,xre, Фг) = ( ad 0 , в\ , Ь-ЪЩ-); d d е ad + ва ad + ва ad + вd
b) при Фг(1 > Фге ГРР задачи Г будет
( ае о ве аеве )
ае + ве , , ае + ве ' ае + ве '
Шаг 4 - вариант 3. Если в < Ki (i = d,e) и а = ае = ad, то (согласно
теореме 3), ГРР имеет вид
(24) при min {Фгс1, Фге, а} = Фd, (1 - xrd - xre, xrd, xre, Фг) = <j (25) при min {Ф% Фге, а} = Ф^,
r Фг
de r r,
e
(23) при min [Фга, Ф£, а} = а.
Наконец (согласно утверждениям 2а и 3а) гарантированное по риску решение (ГРР) будет
(1, 0, 0, 0) при ад > Кд , г г г г^л ;(1,0,0,0) при ае > Ке 1+Г,
(1 - хга - хг ,ха,хе, фг ) = < 1+л;
а е а е ] >, 1, 0, 0) при Ъд < Кд ^, х(0, 0, 1, 0) при Ъе < Ке .
Таким образом, в отличие от вариантов 1-3 шага 4, в данном случае все деньги направляются только в один депозит (рублевый (1,0,0,0), долларовый (0,1,0,0) и евро (0,0,1,0)) и с нулевым риском (т.е. «наверняка!») обеспечат себе «самый большой» гарантированный выигрыш: при рублевом (1 + г), при долларовом 1К,;ад и в евро 1КЛ; ае соответственно.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №14-01-90408).
Список литературы
[1] Черемных Ю.Н. Микроэкономика. Продвинутый уровень. - М.: ИНФА-М, 2008.
[2] Жуковский В.И., Солдатов Н.Г. К задаче диверсификации по трем депозитам. // Вестник Удмурского университета. "Математика, механика, компьютерные науки", 2013, вып. 4, с. 55-61.
[3] Wald A. Statistical Decision Functions. - N.Y.: Wiley, 1950.
[4] Венцель Е.С. Исследование операций. - М.: Знания, 1976.
[5] Шахов В.В. Введение в страхование. Экономический аспект. - М.: Финансы и статистика, 1994.
[6] Спразетдинов Т.К., Спразетдинов Р.Т. Проблема риска и его моделирование. // Проблемы человеческого риска, 2007, №1, с. 31-43.
[7] Цветкова Е.В., Орлюкова И.О. Риски в экономической деятельности. - Санкт-Петербург: СПбИВЭСЭП, 2002.
[8] Sawage L.Y. The theory of statistical decision. // J. American Statistic Association, 1951, №46, p. 55-67.
[9] Капитоненко В.В. Финансовая матиматика и её приложения. - М.: Изд-во ПРИОР, 2000.
[10] Жуковский В.И., Кудрявцев К.Н. Уравновешивание конфликтов и приложения. - М.: URSS, ЛЕНАНД, 2012.
[11] Жуковский В.И., Жуковская Л.В. Риск в многокритериальных и конфликтных системах при неопределенностях. - М.: Едиториал URSS, 2004.
[12] Zhukovskiy V.I.Lyapunov Functions in Differential Games. - London and N.Y.: Taylor and Francis, 2003.
[13] Zhukovskiy V.I., Salukvadze M.E. The Vector - Valued Maximin. - N.Y., etc.: Academic Press, 1994.
[14] Морозов В.В., Сухарев А.Г. и Федоров В.В. Исследование операций в задачах и упражнениях. - М.: Высшая школа, 1986.
Guaranteed on risk solution in problem of sum distribution into three deposits (in rubles, dollars and euros) We are looking at problems of sum distribution (in rubles) into three deposits (in rubles, dollars and euros) in order to obtain the maximum annual income (in terms of rubles). The decision maker (investor) does not know the real dollar and the euro rates at the end of the year, and has to look at some possible rate boundaries or limits for them. The solution of this problem depends on the readiness of the decision-maker to take risks. The contents of this article are the ways to construct the decisions of guaranteed risks onto account. This paper is actually devoted to constructing of a guaranteed on risk solution.
Keywords: probability measure, mixed strategy, weak compactness in itself, guarantee,
Berge-Vaisman equilibrium, Nash equilibrium, maximin.
