CC BY
16
УДК 519.866.2
К.В. Хижняк1
ОЦЕНКА БЕСКОНЕЧНОГО АМЕРИКАНСКОГО ОПЦИОНА НА МАКСИМУМ РИСКОВОГО И БЕЗРИСКОВОГО АКТИВОВ*
В статье приводятся оценки стоимости бесконечного американского опциона на максимум двух рисковых активов. Верхняя оценка строится при помощи интегральной формулы стоимости опциона. В ней область интегрирования заменяется на более широкую, для построения которой применяется ряд свойств множества немедленного исполнения опциона. На основе класса решающих правил, использующих линейные функции, построена нижняя оценка стоимости опциона на максимум рискового и безрискового активов.
Ключевые слова: оценка стоимости опциона, множество немедленного исполнения, бесконечный американский колл-опцион, опцион на максимум, выбор инвестиционного проекта.
Введение. Бесконечный американский опцион-колл предоставляет его держателю право купить актив по заранее установленной цене исполнения в любой момент времени. Опцион на максимум двух активов позволяет приобрести актив, имеющий большую стоимость. Такой опцион применяется при оценке инвестирования в один из двух альтернативных проектов [1]. Сложность оценки стоимости американских опционов на несколько активов состоит в необходимости изучения структуры множества немедленного исполнения. В [2] для построения верхней оценки стандартного американского опциона использовался метод, основанный на интегральной форме представления стоимости опциона. В [3] анализировались различные виды опционов на два и более актива с конечным временем действия и, в том числе, опцион на максимум двух активов. Был описан ряд свойств множества немедленного исполнения и получена интегральная формула стоимости опциона. В [4] изучались бесконечные американские опционы на два рисковых актива с однородными функциями выплат при нулевой цене исполнения. С помощью мартингального подхода были найдены точные формулы стоимости некоторых опционов и, в частности, альтернативного. В [5] рассматривалась задача выбора одного из двух инвестиционных проектов в условиях неопределенности, эквивалентная оценке бесконечного американского колл-опциона на максимум двух рисковых активов. Для рассматриваемого опциона изучалась форма границы множества немедленного исполнения и была построена верхняя оценка его стоимости.
В данной работе уточняются результаты из [5]. Найдены явные формулы для асимптот границы множества немедленного исполнения и уточнена верхняя оценка стоимости опциона. Кроме того, получена нижняя оценка стоимости опциона на максимум рискового и безрискового активов, которая строится на основе класса линейных решающих правил с использованием оптимизации по параметрам, задающим эти правила.
1 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: k.v.khizhnyakQgmail.com
* Работа выполнена при поддержке гранта президента РФ "Поддержка научных школ", проект НШ-693.2008.1, и гранта РФФИ, проект № 08-01-00249.
12 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 3
1. Постановка задачи. Будем использовать непрерывную модель безарбитражного рынка Блэка-Шоулза [6]. Рассмотрим два базовых актива. Их стоимости Si(t) и S2(t) удовлетворяют уравнениям
d,Si(t) = Si(t)(ai<it + ai<izi(t)), dS2(t) = S2(t)(a2dt + (T2dz2(t)), (1)
где Zi(t), i = 1,2, — стандартные винеровские процессы (¿¿(0) = 0) с постоянной корреляцией р G (—1,1), г > 0 — банковская процентная ставка и безрисковая доходность второго актива, щ и Oi — средняя доходность и волатильность ¿-го актива. Пусть по каждому активу выплачиваются дивиденды с интенсивностью > 0, т. е. за отрезок времени [t, t + dt] они составляют сумму 6iSi(t)dt на акцию. Из условия отсутствия арбитража вытекает, что щ + Sf = г. Рассмотрим американский опцион-колл на максимум из двух указанных активов, не имеющий ограничения на срок исполнения. Держатель опциона может предъявить его в любой момент времени i' ^ 0 и приобрести имеющий большую стоимость актив по цене исполнения К. Таким образом, платеж по опциону в момент времени t' равен
/(Si(О, S2(t')) = (max(Si(0, S2(t')) - K)+ ,
где ж+ = тах(ж, 0).
Пусть Si = Si(0), ¿ = 1,2, — начальные стоимости активов. Положим п, п, - of/2 и выпишем решения уравнений (1):
Si(t) = Siedit+aiZi(t\ ¿ = 1,2.
Стоимость опциона равна
F(SU S2) = sup E[e~rT' f(Si(T'), S2(T'))], (2)
где супремум берется по всем моментам остановки (см. [7]) или правилам предъявления опциона Т' ^ 0. Немедленное предъявление опциона соответствует моменту Т' = 0. Поэтому из (2) следует неравенство F(Si,S2) ^ f(Si,S2).
В дальнейшем будем предполагать, что max(,Si, ¿>2) > 0. В этом случае F(Si,S2) > 0, так как при фиксированном Т' = Т > 0 с положительной вероятностью f(Si(T),S2(T)) > 0. Оптимальное решающее правило имеет вид (см. [7])
Т* = min(t | F(S1(t),S2(t)) = /(Si(i),S2(i))),
т. е. опцион следует предъявлять в первый момент, когда платеж равен его стоимости. Это правило задает множество немедленного исполнения опциона
£ = {(Si, S2) G Е\ I F(SU S2) = /(5i, S2), max(5i, S2) > 0} .
В [3] показано, что множество £ состоит из двух непересекающихся подмножеств = £ П ¿ = 1,2, где Qi = {(<5i, S2) G £\ \ Si = max(<Si, ¿>2)}- В [4] при К = 0 получены явная формула стоимости опциона F и соответствующее оптимальное правило его предъявления.
2. Свойства множества немедленного исполнения. В [3] доказано следующее утверждение, справедливое в том числе и для рассматриваемого опциона.
Утверждение 1. Пусть £ — множество немедленного исполнения американского опциона на максимум двух рисковых активов. Тогда £\ выпукло и для него выполняются следующие свойства. Если (5^1,) € £\, то (Л^!,^) € £\ и (Л51,Л5г) € £\ при любом А ^ 1, а (й^Ай^) € £\ при любом 0 ^ А ^ 1. Аналогичные свойства выполняются для подмножества £2.
Из этого утверждения следует, что границы подмножеств £i задаются функциями С?г(<?з_г) = = тт{,% | ¿>2) = Si — К}, г = 1,2 (см. рисунок). Таким образом, границы подмножеств немед-
ленного исполнения представляют собой выпуклые функции О^вз_г) с £¿(0) = 5*, где 5*, г = 1, 2, — оптимальные пороговые значения для исполнения бесконечного американского опциона-колл на г-ж актив [8]:
п, + л/а,;2 + 2 га?
_ Kfjj _ ~«г + у«г
о и>1 ^
Множество немедленного исполнения
В [5] получена интегральная формула стоимости американского опциона на максимум двух рисковых активов
сю сю
= J ! exp(-rt)(51S1-rK)ф(s^t)dsdt+J ^ ехр(-Н)(5232-гК)ф(8^) (3)
о зг^ОгМ о з2^С2(з1)
которую иначе можно переписать как
0 -сю
[ё&е-^ФУп) - гКе~гЧ{(112)] ф2)(1х2(И+
СЮ СЮ
+ / / - гКе~гЧ{й22)\ <р(хх)йххМ, (4)
0 -сю
где (р(х) и Ф(ж) — плотность и функция стандартного нормального распределения, ф(х,у) — двумерная нормальная плотность, а
—
-\n(Gi(exp(a3-i^Дx3-i + (2 - э)р0\0<2Х + 1п£3-г + аз-г*))) | (УгУ1рх3-г + (2 - + 1п Бг -\-ait
(У г
а,
для г, 2 = 1,2.
Утверждение 2. Функции Gi(Sз-i), г = 1,2, возрастают, и их графики имеют асимптоты Si = с^йз-г + г^ (выражения для С{ и п)г приведены в доказательстве).
Доказательство. В [4] при К = 0 доказано, что (7г(5з_г) = Сг^з-г, где
_ ©! \©1-©2 / -©2 \©1-©2 с _ / ©1 \01-02 ( -&2 Л @1-02
©1-1
1-е,
©1-1
1-е,
-а
± V«2 + 252<т2
СГ
61,2 = --——--—, сг2 = о\ - 2ра1а2 + а = - аг, а = а--—.
В [5] при К > 0 показано существование асимптот 01(83-1) ~ + г^, при —»> +оо. Также
найдено = 0, г = 1,2. Найдем г^, г^- Запишем приближенные выражения с^-, = 1,2, при
больших $2 и = Са^) ~ С1^2 + :
Л ~
52С!
= ¿1,3 ( — Ь 3 = 1>2>
<71^(1 -Р2)
(«1 ~ «2 + (2 ~ ЯО7? - рбТ1бг2))^ + ~ 02)^X2 (И ^ /_1
^--^^-Тп 2 ^-+
<72^(1 - Р2)
ах + {2-ра1а2))1+{а2р-а1)^/1х1 (ы 3 / 1 \ ■ , 0
+-^^(1-Р»)-= ,=1'2'
Подставляя в (4) 51 = С?1(<?2), учитывая, что -Р(С?1(<52), <52) = Сп(<52) — К, и отбрасывая члены, бесконечно малые относительно 1/52, получим уравнение
(С152 + «71) (1 - Я1(1/52)) = к( 1 - Я2(1/52)) + 52Я3(1/52) - КЯ4(1/%),
где, полагая у = 1/52,
оо оо сю сю
Н\{у)= / / 51е"мФ(^ц(у))^(ж2)(&2(Й, н2(у)= / / ге"г*Ф(^12(у)Мж2)йж2(Й,
О —сю 0 —сю
сю сю сю сю
Щ(у) = I I 52е ыФ{й21{у))^р{х1)йх1(И, Я4(у) = I I ге ^Ф^ШФх) йх^йЬ.
О —сю 0 —сю
Введем обозначения:
, _ а + о2 _ (7\р о~2 _ «1 - «2 , _ 0ц — -, п ; Оц — -/ „ ; »12 — -/ „ ; «21 —
<71 Л/1 ~ Р2 ' ~ Р2 ' <71 "У1 - Р2' ^2^1 - р2
_ 02р - <71 - Ь(С1С2) _ -СК1 + «2
Й21 - -, , /1,2 - -, , 022 ~ -, ,
СТгУ1^^ <72,1 V1 ""
«2 — «1 ± л/(«2 — «I)2 + 2о2Г ^1,2 = -
С72
Тогда (вычисления интегралов см. в [5])
нт =
и (а\ - 1-02 и (а\ - 2 и (а\ - и («\ _ Ыс^2
и1\[)) ~ 7\-РГ' -"2(и) — --—, и3(и; — —-——, н4{и; — —---—
©1 - ©2 У2 ©1 - ©2 У2
8 хтх ( 1
сюг^/Т^2 \л/Ь21 + 2{а21 + 1)51
1 \ аеГ п
= 401 РЦ,
у/Ь- 2ацЬца2 - а\ + 2(<5х + ра^2 + а2)(а|1 + 1)
с^^Г^2 ф221 + 2(а221 + 1)62 \ а?21 + 1 а221 + 1 )
го2<52 1 ( /1О21 - <71 а21) ---: ехр (--2--
С1С2бГ2^1 - р2 У^З! - 2бГ1а21Ь21 - <72 + 2(«21 + 1)<52 V а21 + 1
Ьл/Ь21 - ^10'2\Ь21 + 2(а21 + 1)<52 ^
2 . I = + 1^2 Рз2-
< +1
Подставив вместо ЯД1/52), г = 1,4, их разложения в ряд до первого порядка, получим
(с1<52 + у]1)(1- Я1(0) - 1/52Я;(0)) = К (1 - Я2(0)) + 52Я3(0) + Я^(0) - КЯ4(0),
откуда находим
«71(1 - #1(0) - С1Рп - Р31) - из2Р32 = К( 1 - Н2(0) - Я4(0)). (5)
Аналогично приближенные выражения для с^-, г^ = 1, 2, при больших 51 и 52 = О^Бх) ~ с23\ + т2 имеют вид:
— In(cic2) — + Wl c~(a''^X'' + (2~i)pa''<7lt+d''t)^J
{di~ a2 + {2-j)a\-{2-j)paia2)t+{aip-a2)y/tx2 ^ f 1 \ ■ 0
-=-= Mvb ^^
, 5
a 2j ~
W2 [ 1 _ p-(<JiVtxi + (2-j)p<j1<j2t+ait) \
?ic2 v1 e ;
<J2y/t{l ^P2)
(cf2 - cfl + (2 - j)(T| - (2 - j)p<7i<72)t + ((T2p - <7l)VtXi def J /'M • n 0
Подставляя в (4) S2 = G2(Si) и отбрасывая члены, бесконечно малые относительно 1/S\, получим уравнение
(c2S 1 + (1 - J3(l/5i)) = К (1 - J2(l/Si)) + 5i Ji(l/5i) - JfJ4(l/5i),
где, полагая ж = l/Si,
оо оо сю сю
Ji(®) = J J 51е"мФ(^ц(ж))^(ж2)(&2(Й, J2(x) = J J re~r4(d12(x))tp(x2)dx2dt,
0 — сю 0 —сю
сю сю сю сю
Мх) = J J S2e~S2^(d2i(x))(p(xi)dxidt, J4(x) = J J re~rt§(d22(x))ip(xi) dxidt.
0 — сю 0 —ос
Тогда
©1 - ©2 Wl- W2 ©1 - ©2 Wl- W2
~rf if\\ w2Si 1 ( bn
с2а1у/Т=? + 2(0?! + l)ii \ afi + 1 afi + 1 /
wi<5i 1
4(0) =
C1C2CT1 - P2 - 2с2йцЬц - + 2(af: + l)(5i
/2(^11 ~ <72an) _ /2 y^n ~ 2a2a11b11 - a\ + 2(0?! + l)<5i ^ def »11 + 1 ah
S2w2 ( 1
x exp--3——---*-2——- = w2Q3 1 + wiQ32,
\ a„ + 1 af, + 1 /
г,гт,ч/1 ^ VVb2i+2(oii + l)i2
1 \ def „
= W2Q11-
~ 2о:2\Ъ2\(7 1 - а\ + 2(52 + ро\о2 + «^(а^ + 1) Подставив вместо «/¿(1/61), % = 1,4, их разложения в ряд до первого порядка, получим
(С251 + у]2) (1 - МО) - 1/^4(0)) = К( 1 - 72(0)) + 51^(0) + ^(0) - КМ0), откуда имеем
'Ш2{ 1 - 73(о) - с2дц - д31) - = ^(1 - МО) - МО))- (6)
Из (5) и (6) находим:
= ^Р32К(1 - J2(0) - J4(0)) - К( 1 - Н2{0) - Я4(0))(1 - J3(0) - c2Qu - Qsi) Wl Q32P32 - (1 - 0) - cipii - P3i)(l - J3(0) - c2qu - q31)
= ^Q32K(1 - Я2(0) - Я4(0)) - ^(1 - J2(0) - J4(0))(1 - ffi(O) - ciPn - P31)
W2 Q32P32 - (1 - #i(0) - ClPn - P31)( 1 - J3(0) - C2Qu - q31)
3. Оценка стоимости опциона. Пусть Gj(53_j) = max(5*, Cj53_j + Wi), i = 1,2. Обозначим через F(Si,S2) и (¿1,2 выражения для F(Si,S2) и (¿1,2 с заменой Gi(S3-i) на Gi(S3-i) соответственно. Из свойств функций Gi(Ss-i) следует, что Gi(Ss-i) ^ Ог(53_г) ^ 5* ^ rK/Si. Отсюда (SiSi(t) ~ ^ 0. Поэтому из (3) следует, что F(Si,S2) < F(5b52), т.е. F(Si,S2)
является верхней границей для F(Si,S2). Рисунок иллюстрирует вышесказанное.
При расчетах верхней оценки в [5] вместо асимптоты применялась параллельная ей прямая, проходящая через начало координат. Кроме того, в [5] использовалась F_(Si,S2) = max(Ci(5i), C2(S2)) — нижняя оценка стоимости опциона на максимум двух рисковых активов, где Ci(Si) — стоимость бесконечного американского опциона на один рисковый актив [8]:
Г к (siuji-py* . «у. я* Ci(Si) = < Л-1 V ьк ) Si К^Si ^ Si •
В случае, когда один из активов является безрисковым, т. е. когда Cj одного из активов равна нулю, для нахождения нижней границы F_(Si,S2) функции F(Si,S2) можно воспользоваться методом, предложенным в [2] для опциона на один рисковый актив. В дальнейшем для определенности будем считать, что S2 — цена безрискового актива. В качестве решающего правила рассмотрим правило остановки вида
t* = minii : min(«(i) — Si(t)) ^ 0}, ¿=1,2
где u(t) — некоторая функция, удовлетворяющая неравенству u(t) > К, t ^ 0. Опцион исполняется при достижении ценой одного из базисных активов значения u(t). Так как в правой части (2) стоит супремум по всем Т ^ 0, то, положив Т = t*, получим нижнюю оценку Q(Si,S2) для стоимости опциона F(Si,S2):
F(SuS2) z Q(SuS2) = E[e~rt* (max(5i(i*), S2(t*)) - K)+}.
Время первого достижения г броуновским движением X(t) = d\t + (J\Z\{t) значения g(t) является случайной величиной г = inf{i : X(t) ^ g(t)}. Так как Si(t) = Sieait+C7lZl^ = Siexs^\ то необходимо
рассматривать решающее правило u(t) вида u(t) = Аеы, где А > 0 и b — действительные числа, при этом g(t) = ln(A/5i) + bt.
Функция плотности распределения gT(t) известна [9]:
_ lnCA/fr) / МА/Бг) - (аг - bW 9Л )~ aW2^ 4 2aft
Тогда
т*
Q(SuS2) = J e~rt(u(t) - K)gT(t) dt + е"гГ* (u(T2*) - К)Р(т > T*), о
где Т2* — гарантированное время достижения значения u(t) ценой безрискового актива S2(t): Т2* = = (In А - \nS2)/(a2 - b), а2 - Ъ > 0.
При а2 — b ^ 0 можно принять Т| = +оо, так как стоимость безрискового актива никогда в будущем не достигнет значения u(t). В этом случае
+ ОС
Q(SuS2)= J e~rt(u(t) - K)gT(t)dt = Aexp
где
А
1 = 1п—, £1 = д/а^ + 2га'(,
Также известно [91, что
р(т > Т2*) = Ф
I - «1Т2*
Тогда, при а2 — Ь > О
«12 + 2 га?, г = г — Ь, «1 = «1 —Ь.
/21аЛя( -1-а^ ехр | —— | Ф 1
а\
<П л/Щ
(Ае
ат
ьт*
К)е
-гт*
ехр
<71
21 а 1
К
ехр
(ф (1 ~ "1Т2 ^ V
- 6)
с7
1
£7?
Ф
Ф
ехр
V ^^ /
—I — п 17"Г \ \ _
ъ^Щ //
(1(<Ь ■ 6Л ф / /
\ о-? / V ^^
Для получения нижней оценки стоимости опциона £(5 1, ¿>2) необходимо подобрать коэффициенты А и Ь, максимизирующие оценку <5(^1 ? ^2) ■
Численные расчеты функций ¿>2), ¿>2), <2(<51,<52) осуществлялись в среде Ма"ЫаЬ при
следующих значениях параметров: г = 0.05, = 0.01, = 0.01, К = 10. В табл. 1 представлены результаты вычислений при р = 0.2, ¿>1 = 52 = 8. В табл. 2 — при р = 0.2, ¿>1 = 52 = 25. В табл. 3 — при р = 02 = 0.0, ¿>1 = 52 = 8. В табл. 4 — при р = ст2 = 0.0, ¿>1 = 52 = 25.
Табл и ца 1
<71 <72 Я-?!, ¿а)
№1,2 = 0 №1,2 Ф 0
0.1 0.1 6.2804 6.1759 4.3081
0.1 0.05 5.8289 5.7374 4.3081
0.2 0.1 7.5795 7.4475 4.8651
Табл и ца 2
<71 <72 да. ¿а)
№1,2 = 0 №1,2 Ф 0
0.1 0.1 23.3146 22.7663 17.2389
0.1 0.05 22.0526 21.5605 17.2389
0.2 0.1 27.0212 26.3833 18.2088
Табл и ца 3
<71 даъйг)
№1,2 = 0 №1,2 Ф 0
0.1 5.7564 5.6659 5.5714 4.3081
0.05 4.8883 4.8379 4.7797 4.1181
0.2 7.3796 7.2404 6.9764 4.8651
Табл и ца 4
<71 даъйг)
№1,2 = 0 №1,2 Ф 0
0.1 21.8868 21.3934 20.7820 17.2389
0.05 19.3469 19.0720 18.8052 16.9294
0.2 26.6176 25.9443 24.7601 18.2088
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Dixit А. К., Pindyck R. S. Investment under Uncertainty. Princeton: Princeton University Press, 1994.
2. В roadie M., Detemple J. The american option valuation: New bounds, approximations, and a comparison of existing methods // Review of Financial Studies. 1996. 9. P. 1211-1250.
3. В roadie M., Detemple J. The valuation of american options on multiple assets // Math. Finance. 1997. 7. P. 241-286.
4. Gerber H. U., Shiu E. S.W. Martingale approach to pricing perpetual american options on two stocks // Math. Finance. 1996. 6. P. 303-322.
5. Vasin A.A., Morozov V. V. Investment decisions under uncertainty and evaluation of american options // Int. J. Math Game Theory Algebra. 2006. 15. 2006. P. 323-336.
6. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities //J. Political Economy. 1973. 81. P. 637-659.
7. Ширяев A.H. Статистический последовательный анализ. Оптимальные правила остановки. М.: Наука, 1976.
8. McKean Н. P. Appendix: A free boundary problem for the heat equation arising from a problem in mathematical economics // Industrial Management Review. 1965. 6. P. 32-39.
9. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1. М.: Мир, 1984.
10. Сох J. С., Ross S. A. The valuation for alternative stochastic processes // J. Financial Economics. 1976. 3. P. 145-166.
11. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. М.: Мир, 2003.
12. Kim I.J. The analytical valuation of american options // Review of Financial Studies. 1990. 3. P. 547-572.
Поступила в редакцию 16.09.10
PRICING OF PERPETUAL AMERICAN OPTION ON MAXIMUM OF RISKY AND RISKLESS ASSETS
Khizhnyak K. V.
The article provides valuation formulas for pricing perpetual American option on maximum of two risky assets. An upper bound is derived by means of integral representation, where the area of integration is replaced by a broader one using a number of early exercise region's properties. A lower bound is derived for the perpetual American option on maximum of risky and riskless assets using the class of decision rules based on linear functions.
Keywords: option pricing, early exercise region, perpetual American call-option, maximum option, alternative investment projects.
