CC BY
67
Оптимальные портфельные решения, учитывающие скачкообразные изменения
цены фондовых активов
Каранашев Анзор Хасанбиевич, кандидат экономических наук, доцент, заведующий кафедрой технологии социально-культурного сервиса Кабардино-Балкарского государственного университета;
Аннотация: Предложена модель финансового инвестирования с учетом стохастического и скачкообразного изменения цены рискового актива и стохастической эволюции параметров инвестиционной среды. В аналитической форме получены составляющие оптимального портфеля (спекулятивный спрос, спрос на хеджирование и спрос, связанный со скачками цен актива) как функции рисковой премии, волатильности цены рискового актива, параметров скачков цены и характеристик функции полезности инвестора.
Ключевые слова: рисковые активы, прогнозирование, спекулятивный
спрос, спрос на хеджирование, оптимизация
Abstract. The model of financial investment taking account of stochastic and jump dynamics of a price of a risky asset and stochastic evolution of investment opportunities is presented. We derive an explicit analytical characterization of the optimal portfolio (speculative demand, hedging demand and the demand induced by the jump process in the asset price movement) in terms of risk premium, asset price volatility, jump process and investor’s utility function.
Keywords. risky assets, forecasting, duopolistic competition, speculative demand, hedging demand, optimization
Введение
Финансовые рынки в современных условиях (особенно зарождающиеся рынки, к числу которых относится и российский фондовый рынок) функционируют в условиях неопределенности и характеризуются различного рода нестационарными, стохастическими и кризисными явлениями [1-4]. В таких условиях традиционная портфельная теория [5,6] и классические методы финансовой математики [7], представляющие собой основанный на статистических методах механизм оптимизации формируемого
инвестиционного портфеля по заданным критериям соотношения уровня его ожидаемой доходности и риска (характеризуемого дисперсией доходности), оказываются неэффективными при прогнозировании спроса на рисковые активы и динамической реструктуризации портфеля. Поэтому возникает необходимость развития методов моделирования оптимального размещения капитала в рисковые активы в условиях стохастического и скачкообразного изменения их доходности с учетом стохастической эволюции параметров инвестиционной среды.
Модель финансового инвестирования
Исследование проводилось путем анализа следующей модели финансового инвестирования. Инвестор максимизирует свой конечный капитал на временном горизонте т = Т — t, инвестируя средства в безрисковый актив (банковский счет) с постоянной непрерывно начисляемой ставкой г и один рисковый актив (который может представлять индекс акций), динамика цены которого Р( описывается следующим стохастическим дифференциальным уравнением
^ = (ц — Я )Л + о & +(ви — (Я) (1)
где - стандартное броуновское движение, ц - тенденция, -волатильность (мгновенное среднее квадратическое отклонение) цены актива, а dV(Я) определяет случайный процесс Пуассона с интенсивностью скачков Я (вероятность появления одного скачка за малый промежуток времени dt равна Рг(dV = 1)= ). Вероятность осуществления п скачков на
инвестиционном горизонте т определяется вероятностью Пуассона
(Ят)п
Рг, (т)=.
е —Ят
п!
Член 5 = Е(еи — і) (Е - оператор математического ожидания) описывает средний вклад скачков в цену актива в расчете на один скачок, а и - нормально распределенная случайная величина с N (уИи , 7% ).
Рыночная цена риска у1 (рисковая премия по активу с ожидаемой избыточной доходностью), =(ц{ — Я — г )/ с описывается случайным процессом Орнштейна - Уленбека с релаксацией к своему долгосрочному значению
dvt = —k (vt — + 7VdzV,
где k - параметр, характеризующий скорость релаксации рисковой премии к долгосрочному значению V, 7у - волатильность рисковой премии, zv: -
стандартное броуновское движение, коррелированное с процессом zt : Е^г, dzv ] = р&, р - коэффициент корреляции. zt и zv.
Динамика капитала инвестора Wt эволюционирует следующим образом
dWt = гШ^ + 7Г1Ж1 + (еи — lJdV(я),
где 7Т1 - доля капитала, размещаемого в рисковый актив. Неявная функция
полезности инвестора, соответствующая максимизации его конечного капитала на инвестиционном горизонте т = T -1, имеет вид
J (W ,vt , т) = max Et [e ~rTU (WT )J, (2)
nt
где U (•) - мгновенная функция полезности инвестора.
Составляющие оптимального портфеля
Запишем уравнение Беллмана, соответствующее задаче (2), подобно тому, как это было сделано в [3]
0 = max(- JT + Щ [J (w;, у, т) - J (Wt ,y, t)J + JwrWt + Jw^PtvWt +
Щ
+ 2 JwwK?V?Wt2 - Jyk (y - y)+ 2 Jyy°2y + KtWtJwy°t°y P L
где Ж = Ж(\[ + пг (еи — 1)] - изменение капитала инвестора при одном скачке цены актива.
Максимизация правой части уравнения (3) относительно жг дает условие первого порядка, из которого следует выражение для оптимальной
инвестиционной стратегии
*
п
(W у, t ) =
J,
W
1 W
'-Г ШШ ’’ і
V Л t V
1 W
'-Г ШШ ’’ і
7Р +
+ ЛЕ, [Л. ^у,т\еи — 1)] (4)
— 1-—7І
Первый член в (4) представляет собой спекулятивную часть портфеля («близорукий» спрос инвестора на рисковый актив, соответствующий игнорированию инвестором стохастического изменения инвестиционных возможностей). Второй член показывает, как инвестор должен оптимально хеджировать изменения инвестиционных возможностей. Последняя часть портфеля индуцирована случайным процессом Пуассона в динамике изменения цены актива. Будем называть это слагаемое спросом на рисковый актив, связанным со скачками цены актива. Заметим, что выражение (4) является фактически неявной функцией портфельного решения п*,
поскольку W в последнем слагаемом содержит п *. Это означает, что величина спроса, связанного со скачками цены рискового актива, зависит от полной позиции инвестора по активу.
Дальнейшие результаты получены в предположении, что инвестор характеризуется функцией полезности с постоянным относительным неприятием риска
/ ч W1—Г и (W )= ----,
1 — г
где коэффициент у > 0 представляет собой коэффициент относительного неприятия риска Эрроу - Пратта [6]. В работе доказаны следующие Предложения.
УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Оптимальная доля капитала, инвестируемого в рисковый актив, определяется следующим уравнением
УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Для умеренно не принимающих риск инвесторов (у > 1) спрос на хеджирование положителен и возрастает с ростом инвестиционного горизонта т тогда и только тогда, когда рисковая премия отрицательно коррелирована с процессом, определяющим доходность рискового актива.
Интуитивно ясно, что отрицательная корреляция предполагает, что, когда доходность рискового актива и, следовательно, благосостояние инвестора, испытывает отрицательное воздействие, рисковая премия у{ будет испытывать положительное воздействие. Отрицательное воздействие на цену актива тем самым частично компенсируется положительным воздействием на рисковую премию. По существу, отрицательная корреляция между рисковой премией и доходностью обеспечивает страховой механизм для инвестора, который поэтому рассматривает рисковый актив как «менее» рисковый и решает инвестировать в него больше. Если корреляция положительна, наблюдается противоположная ситуация.
У°г У&2 У°г
(5)
где
Для исследования влияния скачков цены актива на спекулятивный спрос на рисковые активы и на спрос на хеджирование вычислим частную производную от оптимального решения (5) по интенсивности скачков Я:
дя* _ £ — 5 роуВ(т)$
(6)
дЛ уа'2 — Л дSt/ дп уа] — ЛдSt/ дп Первый член в правой части выражения (6) определяет влияние вероятности скачка цены актива на спекулятивный спрос инвестора, а второй член - на спрос на хеджирование. Анализ показывает, что при нейтральном отношении инвестора к риску (у = 0) £ = S = Е(єи — і). Для не принимающих риск инвесторов (у > 0) д£г/дп < 0 и, кроме того, оба выражения £ — S и д(£ — £)/ду имеют знаки, противоположные знаку веса рискового актива п. Отсюда следует
УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Для не принимающих риск инвесторов (у > 0) вероятность скачка цены рискового актива, независимо от направления скачка, сокращает спекулятивный спрос инвестора (короткую или длинную позицию) на этот актив. Этот эффект усиливается с ростом относительного неприятия риска инвестора.
Кажется несколько противоречащим интуиции то, что направление скачка цены актива не влияет на воздействие скачка на инвестиционный спрос. Однако, благодаря наличию в тенденции динамики цены актива в уравнении (1) слагаемого — Л£, соответствующее ему снижение спроса более чем компенсирует увеличение спроса благодаря скачку цены в положительном
направлении, т.е. £ > £ , если £ = Е(еи — 1) положительно. В случае скачка
цены актива вниз (£ > 0) увеличение спроса благодаря — Л£ недостаточно для компенсации понижающего влияния скачка на спекулятивный спрос, т.е.
£ <
£
при £ отрицательном. Поэтому скачок цены актива, независимо от
его направления, снижает спекулятивный спрос. Эта асимметрия влияния скачка связана с умеренным значением коэффициента относительного неприятия риска инвестора у. Только в том случае, когда инвестор
характеризуется нейтральным отношением к риску (у = 0), оба отмеченных эффекта уравновешивают друг друга: £ = £.
Заключение
Итак, спрос на хеджирование и влияние риска, связанного со скачками цены актива, взаимосвязаны. Влияние скачков цены актива на спрос на хеджирование нетрудно проанализировать на основе уравнения (6). Скачок в положительном направлении (£ > 0) снижает абсолютную величину спроса на хеджирование, а отрицательный скачок (£ < 0) повышает ее. Более существенная связь между спросом на хеджирование и влиянием на портфельный выбор риска, связанного со скачками цены актива, состоит в том, что, согласно уравнению (6), влияние на инвестиционное решение скачков цен актива зависит от общей позиции инвестора по активу. Спрос на хеджирование поэтому изменяет влияние риска, связанного со скачками цены актива, за счет своего вклада в общую позицию. Проведенный анализ показывает, что скачки цен рисковых активов, существенно влияют на динамические инвестиционные решения. Укажем некоторые возможные пути дальнейшего развития теории. В работе рассмотрен финансовый рынок с единственным рисковым активом (который может представлять индекс акций). Важной проблемой является распространение исследования на несколько рисковых активов с учетом возможной корреляции их цен (наблюдаемой, например, при финансовых кризисах). Представляет интерес исследование динамических портфельных решений при наличии корреляции между характеристиками скачков (величиной или интенсивностью) в стохастическом дифференциальном уравнении для цены актива и рисковой премией.
Литература
1. Eichengreen B. Financial crisis and what to do about them. - Oxford University Press, 2002.
2. Sornette D. Why stock markets crash. - Princeton: Princeton university Press, 2002.
3. Каранашев А.Х. Моделирование оптимальных инвестиций в рискованные активы // Материалы Всероссийской научно-практической конференции «Механизмы эффективного управления в рыночной экономике». -Кисловодск, 2004.
4. Шарп У., Александер Г., Бейли Д. Инвестиции. - М.: ИНФРА-М, 1997.
5. Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции. - СПб.: Питер, 2000.
6. Четыркин Е.М. Финансовая математика. - М.: Дело, 2002.
7. Колмогоров А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1986.
