GAMILTON-YAKOBI TIPIDAGI TENGLAMANI YECHISH ORQALI NOCHIZIQLI JARAYONLARNI MODELLASHTIRISH Текст научной статьи по специальности «Математика»

GAMILTON-YAKOBI TIPIDAGI TENGLAMANI YECHISH ORQALI NOCHIZIQLI JARAYONLARNI MODELLASHTIRISH

1Rakhmonova M, 2Kudratilloyev N

1Toshkent iqtisodiyot va pedagogika instituti, 2Toshkent iqtisodiyot va pedagogika instituti,

https://doi.org/10.5281/zenodo.11211455

Annotatsiya. Ushbu maqolada Gamilton-Yakobi tipidagi tenglamani yechish orqali nochiziqli jarayonlarni modellashtirish masalasi o'rganilgan. Ma'lumki, nochiziqli masalalarni yechish oddiy chiziqli masalarni yechish usullaridan tubdan farq qiladi, bunda an'anaviy yechish metodlari hech qanday samara bermaydi, ushbu ishda noan'anaviy usullardan foydalangan holda nochiziqli masalalarni sonli yechish orqali ularning yechimlarini olishga muvaffaq bo'lindi.

Kalit so'zlar: nochiziqli masalalar, blow-up yechim, avtomodel yechim, avtomodel tenglama, lokalizatsiya, chegara sharti, Gamilton-Yakobi tenglamasi, sonli husoblashlar, iterative jarayonlar, Pikard usuli, Nyuton usuli.

Bugungi kunda tabiatda uchraydigan bir qancha jarayonlarni ifodalovchi chiziqli bo'lmagan tenglama va tenglamalar sistemalariga oid tadqiqotlar yetarli darajada muhim sanalib, fan-texnikaning bir qancha tarmoqlariga, xususan, fizika, mexanika, ekologiya, texnologiya, biologiya, biofizika, tibbiyot va boshqa ko'plab sohalariga keng qo'llanilmoqda. Shuning uchun ham, nochiziqli matematik modellarini tadqiq etish, ular uchun sonli yechish sxemalari va algoritmlarini yaratish hamda axborot texnologiyalari taraqqiyotidan keng foydalangan holda ularning dasturiy ta'minotini yaratishga katta e'tibor qaratilmoqda.

Chiziqli bo'lmagan muammolarni chiziqli masalalardan ajratib turadigan xususiyatlardan biri, mavjudlik, o'ziga xoslik va uzluksiz, bog'liqlik nazariyasi bo'lishi mumkin bo'lgan ma'lumotlar sinfida yagonalik imkoniyatidir. Chiziqli bo'lmagan masalalarda ham, cheksiz yechimlar paydo bo'lishi mumkin [1]. Aynan bu chiziqli bo'lmagan parabolik tenglamalarning blow-up yechimlarini o'rganish siklini davom ettirmoqda. Blow-up yechimlarning bunday sinfiga qiziqish ularning g'ayrioddiy xususiyatlarining lokalizatsiyasi va shu bilan bog'liq bo'lgan statsionar bo'lmagan dissipativ tuzilmalarning paydo bo'lishi bilan bog'liq. Batafsil sharhlarni bugungacha bo'lgan ko'plab ilmiy ishlarda topish mumkin [1-2]. Ushbu muammolarni o'rganishda avtomodel yechimlar muhim rol o'ynashini ta'kidlaymiz. Ular ma'lum bir chiziqli bo'lmagan muhitda paydo bo'lishi mumkin bo'lgan barcha turdagi tuzilmalarni tavsiflaydi [2].

Ushbu maqolada biz ikki karra chiziqli bo'lmagan issiqlik tenglamasi uchun

QT -{ (t,x) • 0 < t < T, x e R+} quyidagi muammoga o'xshash tahlilga asoslangan yechimlarning sifat xususiyatlarini o'rganamiz.

L(u ) = -

ddu d

dt dx

m—1

u

du

dx

P-2 , A P duk

dx y

= 0 (1)

u |i=0 = u (x) > 0, u |x=0 = (T -1)-", 0 < t < T, a> 0 (2) bu yerda k >1, m, p eR nochiziqli muhit xossasini tavsiflovchi sonli parametrlardir. Birinchi chegara sharti blow-up rejimi deb ataladi.

Masalaning sifat xususiyatlarining yechimi yordamida tashkil etilgan (1) tenglamaga mos keladigan Gamilton-Jakobi tenglamasi (birinchi tartibli ikki karra nochiziqli tenglama)

âu ât

= ku

m+k—3

a uk

dx

p—2

âj u

(—)2, u(0, x) = u0 (x) > 0, x e R+ (3)

dx

Bu holat yonish lokalizatsiyasini ko'rsatadi: bu mintaqadan tashqarida, simmetriya markaziga yaqin bo'lgan mintaqada harorat ko'tariladi [1].

(1) Tenglamaning quyidagi avtomodel yechimini ko'rib chiqamiz:

u (t, x) = (T — t)—a f (4), 4 = x[T(t)]—17p, r(t) = (T — t)

1—( m+k ( p—1)—2))a

(4)

Bu yerda, f (4) funksiya avtomodel tenglamani qanoatlantiradi.

d s rm—1

d4

dfk

d4

p—2 k

f) — [1 — (k(p — 1) + m — 2)a]4 f + af = 0 (5) dç p dç

(4) ni (3) ga qo'yish (3) Gamilton-Yakobi tenglamasini quyidagi avtomodel tenglamaga

olib keladi.

f

m+k ( p—1)—2

dfk

dÇ

p—2

f 2 (1 — (m + k(p — 1) — 2)a)g df

dÇ

4i~ + af = 0 (6) dç

bu funksiyaga e'tibor bering.

&(4) = (b — Ç7 )+L1, where (n)+ = max(0, n), y1 =

P — 1

p

m + k(p — 1) — 2 p — 1

Bu (6) Gamilton-Yakobi tenglamasining taqribiy yechimi

f (4) = 0(4)®T) , T(t) = (T—1)1—(m+k(p—1))a, 0(4) = (b—4L)L1,b > 0

Teorema 1. 1 — (k(p — 1) + m — 2)a > 0 shart bajarilsa, u holda yechim asimptotikaga ega

bo'ladi.

1

f (4) = 0(4) (1+0(1)), c =

1

p—2

m+k ( p—1)— 2

(7)

k2(p—V p j

Isbot. Transformatsiyaga asoslangan bu teoremaning isboti quyidagichadir: f (4) = 0(4) ®( y (4)), 0(4) = (b—4L )L1, b > 0, y(4) = — in(b—4L )

U holda biz

—kp—Lp

a( y)

topish uchun shu tenglamani yechamiz

b — e~

■+r

Lw +

L p

da dy

+La

\ — y

ae

+ a— a = 0 (8)

J

b — e

y

Bu yerda:

Lw = am—1 \ay k — l kak\p— (ay k — l kak )

(7) tenglamaning barcha yechimlari algebraik tenglamaning yechimi ekanligi isbotlangan. Teorema 2. Deylik, (8) da

* m+k ( p—1)—3

> (m + k(p — 1) — 2)]p—1 / pp, m + k(p — 1) — 2 > 0, u

a

1 — a(m + k ( p — 1) — 1)

< 1/p

u0 (x) < z(0, x) = T-a (c — (xTp )p/(p—1) )

-1/p^p/(p—1) x (p—1)/(m+k(p—1)—2)

x e R, c > 0

doimiy bo'lsin, u holda (1), (2) masalaning zaif yechimi u (t, x) < z (t, x) in QT bu

yechim tebranishning (DSR) cheklangan tezlik tarqalishi xossasiga ega, bunda z (t, x) funksiya (8) orqali berilgan Gamilton-Jakobi tenglamasining yechimidir.

Teorema 3. Deylik, (1) tenglamada m+k(p-1)-2>0 . Agar 1 - (m + k(p -1)-1)a< 0 bo'lsa, u holda (1), (2) tenglamaning yechimi fazoviy jihatdan lokalizatsiyalangan bo'ladi.

Agar 1 - (m + k(p -1) - 1)a > 0 bo'lsa, u holda yechimning fazoviy lokalizatsiyasi yo'q.

Sonli hisoblashlar va vizualizatsiya Chiziqli bo'lmagan avtomodel masalalar uchun eng muhim xossa yechimning o'ziga xosligining yo'qligi bo'lib, bu ularni o'ziga xos yechimga ega klassik masalalardan ajratib turadi.

Muammolar quyidagi hollarda ko'rinadi: har bir yechim turiga "muvofiq yaqinlik " toping; har doim kerakli yechimga yaqinlashuvchi (dastlabki yaqinlashuvga to'g'ri keladigan) tez yaqinlashadigan, yetarlicha aniqlikni ta'minlaydigan iterativ usulni qurish; hisoblash jarayonini avtomatlashtirish, shunda muammoning berilgan parametrlari uchun barcha turli xil yechimlarni topish. Masalani sonli yechishda tenglama muvozanat usuliga kombinatsiyalangan holda to'r ostidagi to'rga yaqinlashtirildi. Iterativ jarayonlar Pikard, Nyuton usuli va maxsus usul asosida qurilgan. Hisoblash tajribalari natijalari shuni ko'rsatadiki, barcha sanab o'tilgan iterativ usullar ko'rib chiqilgan nochiziqli muammolarni hal qilishda samarali bo'ladi va agar biz chiziqli bo'lmagan bo'linish va chiziqli bo'linish usuli bilan tuzilgan Gamilton Yakobining o'ziga o'xshash tenglamalarining yechimlarini dastlabki yaqinlashish sifatida ishlatsak, nochiziqli ta'sirga olib keladi [2].

FORDALANILGAN ADABIYOTLAR

1. A. A Samarskii., V.A Galaktionov., S.P.Kurdyomov, A.P.Mikhailov. Blow-up in quasilinear parabolic equations. Berlin, 4, Walter de Grueter, (1995), 535.

2. Pan Zheng, Chunlai Mu, Dengming Liu Xianzhong Yao, and Shouming Zhou Blow-Up Analysis for a Quasilinear Degenerate Parabolic Equation with Strongly Nonlinear Source Abstract and Applied analysis Volume 2012, Article ID 109546, 19 pages.

3. P. Cianci, A. V. Martynenko and A. F. Tedeev. The blow-up phenomenon for degenerate parabolic equations with variable coefficients and nonlinear source // Nonlinear Analysis: Theory, Methods &Applications A, vol. 73, no. 7, pp. 2310-2323, 2010.

4. V.A. Galaktionov and Juan L. Vazquez the problem of blow-up in nonlinear parabolic equations discrete and continuous dynamical systems. Vol.8, №2, April 2002, pp. 399-433ro

5. M. Aripov. Method of standard equations to solving of nonlinear boundary value problems. /Tashkent: FAN, (Monography), 1988, p. 137.